CC BY
29
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 93-101
Механика =
УДК 539.3
Движение тонкого жёсткопластического тела по поверхности с осевой симметрией
А. А. Маркин, Лыу Туан Ань
Аннотация. В эйлеровых и лагранжевых координатах получена система уравнений, описывающая движения тонкого осесимметричного тела по поверхности (матрице). Материал тела полагается жёсткопластическим, несжимаемым. В отличие от системы уравнений, полученной А.А.Ильюшиным [1, 2] при условии пластичности Треска, в данной статье используется условие Мизеса, кроме того, предложенный подход позволяет моделировать неустановившиеся режимы раздачи и обжатия осесимметричных деталей.
Ключевые слова: градиент поля скоростей, тензор деформации скорости, равновесное движение, жёсткопластический материал.
1. Кинематика
Положение точек тела в начальном состоянии задается дуговой координатой 5о, отсчитываемой вдоль меридиана опорной поверхности, углом ^>о и координатой Со, отсчитываемой вдоль прямых, ортогональных к опорной поверхности. Радиус-векторы точек тела в начальный момент определяются выражением
^ X (50, ^о, Со) = Х (5о, Уо) + £оаэ, (1-1)
где X (5о, <^о) — уравнение опорной поверхности; а3 — вектор, ортогональный к опорной поверхности в точке 5о, <^о.
В дальнейшем используем ассоциированный с опорной поверхностью ортогональный базис единичных векторов а^, связанный с базисом цилиндрической системы координат формулами
дХ 1 Л №о^ \ 1 дХ
а1 — ~Б~с~ — ( вг + 7] ) 5 а2 — т; — е^;
д5о \ ато ) го д^о
а3 — а\ ха2 — —вг 8ш ао + сов ао; сов ао — а\ ■ вг — — 1 =, (1.2)
где Zo = Zo (го) — уравнение опорной поверхности в цилиндрических координатах; g11 = 1 + '0) ; а0 — угол между векторами й1 и ег.
При задании движения тела по опорной поверхности полагаем, что прямолинейные материальные волокна, нормальные к поверхности контакта тела с матрицей, остаются нормальными и прямолинейными в процессе деформации. Зададим закон движения тела по поверхности в виде связей между начальными 50, ^о, Со и текущими координатами 5, р, С материальных точек
5 = 5 (Бо,г); <р = ^о; С = С (Со,*) • (1.3)
Радиус-векторы точек тела в текущих (эйлеровых) координатах определяются выражением
(я)х (5,^,С)= X (5,^,С)+ СТ3• (1.4)
По аналогии с базисом а вводим текущий ортонормированный базис ТТ, Т2, тэ:
дх 1 \ 1 дх
Т1 = д5 = ЖТ Iе' + лГег) ; т2 = Гд^ = е*;
т3 = т1 х Т2 = -er sin а + cos a; cos а = а1 ■ er = —. =. (1.5)
1 + (f)2
Поле скоростей в эйлеровых координатах вследствие осевой симметрии представляется в следующем виде:
т = Vi(S,C,t)fi + V3(S,Z,t)?3. (1.6)
Текущий тензор-градиент поля скоростей определяется выражением
dV
™ = X- дх - (1-7)
где хг — эйлеровые координаты; X — контравариантные векторы текущего
базиса.
Выразим векторы X через ортонормированный базис т1. При этом используем формулы
дТз tau1 дт3
ТТТ7 =- тт— = —ёф cos а-
dS pop
где - = да — кривизна материальной линии.
В результате из (1.4) получим выражения векторов ковариантного базиса
д(S)X дх C -> ( C \ ->
Xl = ~exr = os - pa = (41 - -,,)al'
d(S)X дх ( C А ^
X2 = -77^ = 47 = 1-----cos а ёф,
дх2 дф \ r )
д (S)X дх
Хз дхз dC V.
В дальнейшем полагаем толщину тела малой по сравнению с p и r, поэтому пренебрегаем слагаемыми Р и Р cos а по сравнению с единицей.
В результате векторы контравариантного текущего базиса получат следующий вид:
X1 = Tl; X2 = 1 v2; хз = V3. (1.8)
r
Используя формулы (l.8), представим градиент поля скоростей (l.7) в форме
VV -dV 1 ^dV ^dV
VV = т1^ + ~ a2^~ + . (1.9)
dS p dp dC
Представим поле скоростей разложением (l.6), тогда из выражения (l.9)
находим диадное разложение VV по базису Vi:
V V ( dVl Vз А тт + ( Vi + діз А тт + dVlTT + дVзTT +
VV = ----VlVl +-----1 ТіТз + ТзТі + —— ТзТз +
\dS p ) \p dS ) dC dC
+ -(V. cos а — V3 sin а)ё^ёр. (1.10)
В соответствии с определением тензора деформации скорости, используя представление (l.lO), получим
w=2 (vv+v v )=(§—p А nV+1 (p+дз+д. А
dV^^ + 1
Trr V3V3 I—1
dC r
Гипотеза о сохранении прямого угла между векторами X. и Хз приводит к условию W13 = 0, тогда из (l.ll) следует, что
І-—(p+ЭА >■«
В результате тензор деформации скорости принимает следующий вид:
+ V3V3 + - (Vi cos а — V3 sin а)ё^ёф. (1.11)
V = 2 + У= ( ж — 7) ™ Щ
+ -(У сов а — Уз эш а)ё^ёр. (1-13)
В дальнейшем полагаем компоненты тензора V однородными по
толщине, и, следовательно, распределение поля скоростей принимается в
виде
V(Б,£,і) = Уі(Б,і)ті + (Уз(Б,і)+ №з(Б,і)) тз, (1.14)
где ^ = Wзз(S,t).
С учетом распределения (1.14) поле тензора деформации скорости (1.13) выражается через эйлерову координату Б и время і в форме
W = 2 (тт + У ^) = (дБ — 7)тл +1 (у + и'») тзтІ!+
+ -(У соэ а — Уз віп а)ёч>ёч>. (1-15)
Если точки внутренней или внешней поверхности тела контактируют с опорной поверхностью, то в выражениях (1.14) и (1.15) следует положить Уз(Б, і) = 0.
В случае непрерывного контакта с опорной поверхностью закон движения тела в лагранжевых координатах получим, интегрируя уравнения
§ = уі Н ^ = уі <Б-г> <1Л6>
с начальным условиям
Б 1*=*о = Б0; Ч=*0 = Н0•
В результате получим закон движения точек тела по опорной поверхности Б = Б (Бо, і) и закон изменения толщины Н = Н(Б0, і).
2. Условие равновесного движения осесимметричного тела
малой толщины
Так как в соответствии с выражением (1.15) распределение компонент тензора деформации скорости принимается однородным, то и компоненты тензора истинных напряжений в базисе Ті также однородны, тогда
<Г = 0ц(Б, і) Ті Ті + 022 (Б, І)Т2Т2 + озз(Б, і)тзтз-
(2.1)
Для формулировки условий равновесия тела используем принцип Журдена [3]:
5N(i) + 5N(e) = 0,
где 5N(i) = — fv а ■ -5Wdv — возможная мощность внутренних напряжений,
6N(i) = — /Е Р ■ 6VdT, — возможная мощность внешней нагрузки.
Используя представление тензора деформации скорости в виде (1.15), в результате варьирования поля скоростей приходим к следующему выражению возможной мощности внутренних напряжений:
6N(i) = 2nh ((1Vnn£(1Vi — (2Viir26(2Vi) +
(2)S
+2n J ^ dhdSs11 — hcos aa2^j SVidS+
(1)S
(2)s (2)s
+2n J ^ — + h sin аа22 + ra33^ 6V3dS — 2n J ra335(h')V3dS. (2.2)
(1)S (i)S
Здесь (i)S и (2)S — начальная и конечная текущие координаты поверхности тела, контактирующей с матрицей; (i)Vi = Vi|s=(i)s и (2)Vi = Vi|s =(2)s — скорость точек торцевых поверхностей; (3) Vh = Vs|?=h;
-i = r|s=(i)S и r2 = r|S=(2)S.
Используя распределение скоростей (1.14) получим возможную мощность внешних нагрузок, действующих на тело:
5N(e) = 2nri(i)p.£(i) V + 2nr2(2)T.5(2)V+
(2)S S2
+2n j r(0^P.5VdS+2n j r(h)P.5(h)VdS. (2.3)
(i) S Si
hi h2
Здесь (i)T = / (i)P ((i)S,£)d£; (2)P = / (2)P ((2)S,£)d£ — внешние
0 0
торцевые усилия, выраженные через вектор) ы внешних торцевых
напряжений (i)p и (2)р; (0)р = р , (h)p = р
5=0
напряжений на боковых поверхностях тела.
Суммируя возможные мощности, выраженные соотношениями (2.2) и (2.3), и приравнивая к нулю коэффициенты при вариациях скоростей, получаем систему уравнений равновесного движения тела. При этом
— векторы внешних
5=h
полагаем, что поверхность £ = h свободна от внешних воздействий, тогда (h)р = о, азз = 0, и условия равновесия принимают следующий вид:
rPi + — ha22 cos а = 0, (2.4)
hh
Рз + ац—+ - а22 sin а = 0, p r
(i)Ti + hi(i)aii = 0; (2)Ti — h2(2)a22 = 0. (2.5)
В системе (2.4) приняты обозначения Pi = (0)Pi; P3 = (0)P3.
3. Постановка задачи в рамках модели жёсткопластического
материала
Положим свойства деформируемого тела идеально пластическими [1]. В данной модели выполняется соотношение
W
а = т----, (3.1)
W
где а = а — Eа0 — девиатор напряжений; а0 = | (aii + а22 + а33) —
гидростатическое напряжение; т = (а ■ ■а)1/2 — интенсивность девиатора ( \ i/2
напряжений; W = ( W ■ W I — интенсивность деформации скорости.
Закон пластического течения (3.1) дополняется условием несжимаемости
W ■■V/ = Wii + W22 + W33 = 0 (3.2)
и условием пластичности Мизеса
т = т(S) = const, (3.3)
где т(S) — предел текучести.
В соответствии с формулами, приведенными в [3], главные значения тензора напряжений представляются в виде
ац = Ст0 + у/Г|т cos 7; СТ22 = а0 + т cos ^j + ; (3.4)
[2 / 4п\ ^\/6аиа22а33
а33 = а0 т cos I Y +-^ ); cos3y = ------^3----,
где y — угол вида напряженного состояния.
При условии а33 = 0 из (3.3) и формулы (3.4) получим
CTii = -^2т(S) sin ^y + ‘2-^j ; 022 = —^2т(S) siny. (3.5)
Из закона (3.1) и формул (3.4) следуют выражения компонент тензора W в виде
Wii = W cos y; W22 = Wcos fy + ; W33 = Wcos fy + ~П) ’ (3.6)
где W = \/ З
W
з
На основании формул (З.б) компоненты W.i и W22 связаны выражением W22 cos 7 = W11 cos ^7 I . (3.7)
Из представления (1.15) следует, что при движении тела по поверхности, когда V3 = О, компоненты W.. и W22 имеют вид
Wii = ^; W22 = — Vi. (3.S)
dS r
Из формул (З.7), (З.8) получаем условие совместности скорости V. (S,t) и угла 7 (S, t):
cos а„ dV. ( 2п\ ,
-у-Vicos7 = ds ('os[l . (3.9)
Используя выражения компонент тензора напряжений через угол вида (З.5), представим условия равновесия (2.4) в следующем виде:
rP. I dS (hr sin(7 I I h cos а sin 7 = О, (3.1О)
P3 I —т(s) sin (7 I — ^ h sinат(s) sin7 = О. (3.11)
p \ 3 ) r
Пусть в момент t = т известно положение тела на опорной поверхности
r = r (S, т), (1)S ^ S ^ (2)S, а также известен закон изменения толщины
h (S, т). Тогда из системы (З.10), (З.11) можно найти закон изменения угла вида 7 (S, t) и нормальную составляющую реакции на тело со сторонни опорной поверхности P3 (S,t). Для определения тангенциальной составляющей P. (S, t) необходимо задать закон трения между поверхностью тела и опорной поверхностью. В случае пренебрежения трением P. = О. Уравнение (З.10) дополняется заданием угла 7 на одной из границ тела
7|s=(i)s = 7i либ° 7|s=(2)s = 72.
В результате, зная закон изменения угла вида 7 (S, t), определяем по формулам (З.5) компоненты тензора напряжений аL1 (S, t) и а22 (S, t). Данная
поставка предполагает известной форму тела в рассматриваемый момент времени, то есть является эйлеровой постановкой.
Рассмотрим общую задачу определения закона движения тела и характеристик его напряженно-деформированного состояния с изменением параметра Ь.
В качестве независимых переменных в этом случая используем начальные координаты тела 50 и параметр Ь. Необходимо определить закон движения 5 = 5 (50,Ь); изменение формы тела г (50,Ь), Л (5о, Ь); изменение угла вида напряженного состояния 7(5о,Ь); закон изменения опорной реакции Р3 (50,Ь). При этом начальная форма тела известна:
г (5о,Ь)и*0 = г0 (50) ; Л (5о,Ь)\*=*0 = Л0 (50) •
Кроме того, задано движение одной из границ тела (-1)5 = 5 ((1)50,Ь), либо изменение угла вида на одной из границ (1)7 = 7 ((1)50,Ь). Данная постановка является лагранжевой. В этом случае в уравнениях (3.9), (3.10) надо перейти к дифференцированию по начальной координате 50, тогда
д д5о д ,_1 д
= А-
дБ дБ дБо 1 дБо ’
где А1 (Бо, і) = — закон удлинения меридианного волокна.
Система (3.9)—(3.11) дополняется эволюционными уравнениями, следующими из выражений (1.16) при условии несжимаемости (3.2),
дБ = VI (Б„Л) , (3.12)
= -АГі Щ - ^ VI (ЗД' (3.13)
где Аз = — относительное изменение толщины тела.
В результате имеем систему пяти уравнений (3.9)—(3.13) относительно следующих функций лагранжевой координаты и времени: угол вида напряженного состояния 7 (Бо, і); закон изменения толщины Н (Бо, і); контактное давление Р3 (Бо, і); поле скоростей V1 (Бо, і); закон движения Б (Бо, і). Для интегрирования системы необходимо задать начальное положение тела на опорной поверхности, закон распределения толщины в начальный момент и закон трения. В качестве граничного условия используется закон движения одной из краевых точек.
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М. Логос, 2004. 388 с.
2. Ильюшин А.А. Труды (1946-1966). Т. 2. Пластичность. М.: Физматлит, 2004. 480 с.
3. Маркин А.А. Термомеханика сплошной среды: учебн. пособие. Тула: ТулГУ, 2009. 140 с.
Маркин Алексей Александрович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Лыу Туан Ань ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
The motion of a rigid-plastic body on a thin surface with axial
symmetry
A. A. Markin, Lyu Tuan An’
Abstract. In Eulerian and lagrangian coordinates a system of equations describing motions of a thin axisymmetric body by a surface (matrix) is obtained. The body material is considered to be rigid-plastic, incompressible. Unlike the systme of equations received by A.A.Il’yushin [1, 2] at Tresca plasticity condition in this paper von Mises condition is used, moreover the proposed approach allows to model transient regimes of distibution and compression of axisymmetric details.
Keywords: velocity field gradient, velocity deformation tensor, equilibrium motion, rigid-plastic material.
Markin Alexey ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modelling, Tula State University.
Lyu Tuan An’ ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 29.09.2012
