CC BY
27
УДК 539.5
Г. А. Козуб
Национальный университет, г. Запорожье
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ СЛОИСТЫХ
КОМПОЗИТОВ
В статье предложена математическая модель поведения слоистого материала для решения нестационарных задач термоупругости на основе метода конечных элементов. Алгоритм решения нестационарных задач основан на применении неявной схемы дискретизации по времени.
Введение
В современной технике все более широкое применение находят слоистые композитные материалы. Анизотропные свойства таких материалов позволяют создавать рациональные конструкции и конструктивные элементы. Достижения в области расчета и проектирования таких конструкций достаточно широко обсуждаются в литературе. Но в то же время остается неисследованным вопрос о решении нестационарных задач термоупругости для конструкций, изготовленных из анизотропных материалов, в частности, из слоистых композитов. Применение аналитических методов для таких задач связано с определенными затруднениями, обусловлеными различными причинами, например, достаточно сложной геометрической формой конструктивного элемента или сложным характером на-гружения. Основной целью настоящей работы является разработка методики численного решения задач термоупругости на основе применения метода конечных элементов (МКЭ) в трехмерной постановке.
Материалы и результаты исследований
На первом этапе решения задачи термоупругости необходимо определить температурное поле в теле. Для этого следует решить задачу теплопроводности. Применению МКЭ к задачам теплопроводности посвящено достаточно много опубликованных работ. Это связано, прежде всего, с большим количеством новых внедряемых в промышленность материалов и разнообразием конструкций из таких материалов. Кроме того, в большинстве работ применение МКЭ осуществляется на основе каких либо упрощающих гипотез. Рассмотрим методику решения задачи нестационарной теплопроводности для конструкций из слоистых материалов.
Уравнение нестационарной теплопроводности для анизотропного тела можно представить в виде [1]
I = 1 Ш^Г-т+
и К
и V
"2 "2
| Ц|ю+| _[[[+И(т-9)]^'
(1)
где р - плотность, с - теплоемкость, № - тензор теплопроводности, ю0 - мощность внутренних источников тепла, q - интенсивность тепловых потоков, И -коэффициент теплопередачи, 9 - температура окружающей среды.
Применяя конечно-элементную дискретизацию по координатам и времени уравнение (1) можно привести к системе алгебраических уравнений. Функцию температуры можно представить в виде
т (х, о = / (X) я (0.
(2)
Для конечного элемента, моделирующего поведение слоистого элемента конструкции, функция координат может быть представлена в виде
/(х) = Хф(/)(х1, х 2, х3)Т(1)
I=1
(3)
где ф(1) - функции формы слоистого конечного элемента.
1 2 3 1 11 22 3
ф(1)(X1, х2, х3) = -(1 + Х(1)х1)(1 + Х(2)х2)ф(1)(х3) . (4)
Функция ф определяется из условия линейности распределения температуры в слоях в трансверсаль-ном направлении
1п „3 ,„„3^ И - И-1 (/) " 2 1
Ф(/) =Т [! - х1 + 2 х/( X х
I=1 Х 33
х3 - --) « (X
33
1=1
И - И-1) -1]
(5)
33
где - толщина /-го слоя.
Функция времени я (/) принимается линейной.
Применяя конечноразностную аппроксимацию частной производной по времении с применением схемы Кранка-Николсона [2] получаем матричное уравнение
и V
^ £
Н]+Д И
{Тп+1} = ^[о]^{Тп }-{яп}, (6)
+
© Г. А. Козуб, 2006
98
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ ТА МАШИНОБУДУВАНН1
где Н, О - матрицы теплопроводности, Д/ - шаг по времени, Т, Я - векторы узловых температур и тепловой нагрузки.
Для решения задач термоупругости используется МКЭ с применением субпараметрических конечных элементов [3], моделирующих свойства слоистого материала из предположения неразрывности поля перемещений точек слоев.
(к) =Х + ( х1, х 2, х3^ +
I=1
(I)
(7)
где и (к)+ - вектор перемещений узловых точек к-го слоя КЭ,
ф(к))+ -4(1 + х1)х1)(1 + х2)х2)х(к))+ (X3). (8)
Причем для к-го слоя аппроксимация перемещений осуществляется с помощью функции
х(к) + =
Ч-) И
(+ х3 т хЩ) т)
(9)
Исходя из закона сохранения энергии, вариационное уравнение термоупругости Био как обобщение вариационного принципа Лагранжа имеет вид [1, 2]
^8Fdxldx2йхъ - РЫахХдх2дхъ - ЦфиЖ = 0 . (10)
Ук Ук Як
Вариация свободной энергии вычисляется по формуле
= 8Г -а(т)58гу
(11)
здесь 8Ш = ст '8&у - вариация упругой энергии деформации.
Использование конечноэлементной аппроксимации позволяет получить матричное уравнение на каждом временном шаге в виде
К ]{и}= {я},
(12)
где К - матрица жесткости, и - вектор узловых перемещений, Я - вектор узловых нагрузок, обусловленных действием механических и тепловых нагрузок. В рамках рассмотренного подхода решен ряд задач. Задача 1. Нестационарная одномерная задача теплопроводности для составной области. Данный пример
рассмотрен в [4]. Толщины слоев Нк = (1/3; 1/3; 1/3)А, где Н = 6 см - общая толщина пакета. Теплофизичес-кие характеристики: Х(к) = (34,5; 202; 65,6)Вт/(м-К); р(к>= (11340; 2700, 7400)кг/м3; срк = (129,9; 758,4; 226,3)Дж/(кг-К) ( к = 1, 2, 3). Начальная температура
пакета 0 °С. В момент времени / = 0 температура нижней поверхности (х3 = 0) повышается от 0 до 400 °С и поддерживается такой на протяжении всего процесса. На рис. 1. дано распределение температуры по толщине пакета в момент времени /. Конечно-элементное решение, полученное на основе трехмерных КЭ, практически совпадает с аналитическим, приведенным в 4]. Погрешность не превышает 1,5 %, поэтому результаты представлены одной кривой. Кривые 1, 2, 3 соответствуют распределению температуры при / = 8 -10-4 , 50-10-4 , 1 (с).
Т°С
]00 200 300 400 Рис. 1.
Задача 2. Нестационарная задача теплопроводности для двухслойного цилиндра при сложном температурном нагружении. Рассмотрим двухслойный цилиндр
с толщиной слоев Н(к) = (2/3, 1/3)Н, где Н = 0,3 см - общая толщина пакета. Начальная температура - 20 °С. Теплофизические характеристики следующие: Х(к) = (2, 23,3)Вт/(м-К); рс(к = (2,0, 4,413)106 Дж/(м3 -К). Со стороны наружной поверхности температура окружающей среды меняется по закону Т = 500-(1+0,1соБф) °С. Внутренняя поверхность цилиндра и торец х2 = 10 см теплоизолированы, а на торце х2 = 0 задан конвективный теплообмен с окружающей средой 6 = 300 °С. Коэффициенты теплоотдачи на наружной и торцевой (х2 = 0) поверхностях приняты одинаковыми и равными 1000 Вт/(м2-К).
Необходимо отметить, что в научной литературе практически отсутствуют точные решения нестационарных задач теплопроводности для слоистых композитных систем, полученные с помощью аналитических методов. Поэтому для сравнения были взяты результаты решения этой задачи, полученные с помощью полуаналитического метода конечных элементов [5].
При решении применялась неявная схема дискретизации по времени с шагом Д/ = 0,2 с. Распределение температуры по внутренней и внешней поверхности цилиндра вдоль образующей для сечения ф =180 ° при / = 10 с приведено на рис. 2 (сплошная кривая). Результаты, полученные на основе предлагаемого подхода, достаточно хорошо согласуются с решением [5] (штрих-пунктирная кривая).
и
НЯМ 1607-6885 Новi маmерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2006
99
Рис. 2.
Задача 3. Задача термоупругости для цилиндра (L = 2 м; R = 4 м; h = 0,4 м) трехслойной структуры из термочувствительных материалов. Торцы оболочки жестко защемлены. Зависимость характеристик материала слоев от температуры аппроксимируется линейными функциями
E(k )= E( )(l + F(k T(k)},
= GW(l + F3(kT(k)), (r = 1,2),
g(3) = g(k )fl + f+!k t (k)'
r 3
r+3
m =am (1+f^(k(=1...3),
где Fp ' - постоянные, определяемые эксперимен-
тально.
Толщины слоев Н(к) = (0,025, 0,35 0,025) м. Характеристики внешних слоев (к = 1,3) не зависят от температуры (£(1)= Е3)=7-104 МПа; \-®= v(3)= 0,3; а(1) = а(3)= 22,4-10-6 К-1). Характеристики внутреннего термочувствительного
слоя (Е(2); Е(2)) = (1,704;2,808)104МПа; v21=0,106; а33 = 0;
(а11; а22) = (1,134;1,418)10-5 К-1; v21=0,106; ^р=-2,5-10-3 К-1 р = 1-5); ^6=-2,413-10-8 К-1; ^=^8=-2,445-10-8К-1. Температурное поле изменяется по закону
Т(к) = (1000 - 375х1)х3 - 75х1 +100 (°С).
Результаты решения задачи на основе описанного подхода представлены в табл.1 в виде нормальных пе-
ремещений на уровне срединной поверхности. Для сравнения в таблице приведены данные работы [6], полученные на основе прикладной теории, реализованной методом дискретной ортогонализации. Анализ результатов показывает, что применение предложенной методики позволяет получать удовлетворительные решения.
Таблица 1
*1, м Решение 103-u3, м
E^/G^2)
10 100 300
0,3 МКЭ 0,984 1,485 1,531
[6] 0,968 1,409 1,470
0,6 МКЭ 1,443 2,551 2,834
[6] 1,439 2,508 2,741
1,0 МКЭ 1,011 1,756 2,023
[6] 1,021 1,772 1,890
1,5 МКЭ 0,59 -0,139 -0,263
[6] 0,071 -0,169 0,316
Заключение
Разработанная методика, основанная на использовании тремерных конечных элементов, позволяет проводить расчет реальных слоистых конструкций на тепловые нагрузки, в том числе с учетом термочувствительности материала слоев. При этом удается избежать применения упрощающих гипотез, сводящих трехмерную задачу к плоской постановке.
Список литературы
1. Киричевский В.В., Сахаров А.С. Нелинейные задачи термомеханики конструкций из слабосжимаемых эластомеров. - К.: Будiвельник, 1992. - 216с.
2. Метод конечных элементов в вычислительном комплексе "М1РЕЛА+" // Под общ.ред. Киричевского В.В. - К.: Наук. думка, 2005. - 403с.
3. Киричевский В.В., Козуб Г.А., Дохняк Б.М. Построение матрицы жесткости конструкций из анизотропных материалов для задач термоупругости // "Вестник ВУНУ", Луганск: ВУНУ им. Даля, №3(97), 2006. - C. 59-66.
4. Mikhailov M. D., Oziscr M. N., Vulchanov N. L. Diffusion in composite layers with automatic solution of the eigenvalue problem // J. of Hear and Mass Transfer - 1983. - Vol. 11, № 8. - P. 1131-1141.
5. Савченко В.Г. Исследование нестационарных температурных полей в телах вращения при неосесимметрич-ном нагреве // Пробл. проч. - 1982. - №1. - С. 33-36.
6. Рассказов А.О., Соколовская И.И., Шульга Н.А. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек. - К.: КАДИ, 1986. - 191с.
Одержано 14.09.2006
У cmammi запропоновано математичну модель поводження шаруватого Mamepimy для розв 'язання нeсmaцiонapних задач mepмопpyжносmi на основi методу сктчених eлeмeнmiв. Алгоритм розв 'язання нeсmaцiонapних задач оснований на викоpисmaннi неявног схеми дискретизацИза часом.
The mathematical model of layered material behaviour for nonstationary thermo- elastisity problem solving based on finite elements method was offerred. The algorithm of nonstationary problem solving is based on using of uneven scheme of discretization in time.
