Асимптотическое разделение переменных в задаче термоупругости для анизотропного слоя с неоднородными краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3,517.95

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО СЛОЯ С НЕОДНОРОДНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

В. А. Вестяк, А. В. Земсков, И. А. Фёдоров*

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) E-mail: [email protected], [email protected] * Московский государственный университет путей сообщения E-mail: [email protected]

Предлагается метод решения задачи термоупругости с неоднородными граничными условиями, выражающими неравномерный по поверхности нагрев пластины. Используется асимптотическая процедура разделения переменных, основанная на введении дополнительных пространственных масштабов. Она позволяет решить поставленную задачу в предположении, что неравномерность нагрева носит слабо выраженный характер. Метод излагается для случая, когда нагрев поверхности пластины носит периодический характер. После разделения переменных решение задачи строится с помощью рядов Фурье.

The Asymptotic Separation of Variables In Thermoelastic Problem for Anisotropic Layer with Inhomogeneous Boundary Conditions

V. A. Vestyak, V. A. Zemskov, I. A. Fedorov

A method for resolving a thermoelasticity problem with inhomo-geneous boundary conditions is presented. Boundary conditions represent uneven surface heating of the layer. An asymptotic procedure for separation of variables based on introduction of additional dimensional scales is used. With an additional assumption that the unevenness of the heating is small enough this procedure makes it possible to obtain the solution. The method is shown for periodic heating case. After the separation of variables the solution is obtained using Fourier series.

Ключевые слова: термоупругость, анизотропия, асимптотика. Key words: thermoelasticity, anisotropic, assymptotics.

ВВЕДЕНИЕ

Основным методом решения многомерных линейных задач механики и математической физики с неоднородными граничными условиями является метод разделения переменных, основанный на интегральном преобразовании Фурье. Главным условием применимости данного метода является то, что подынтегральная функция должна быть быстро убывающей функцией по пространственным переменным. Это требование существенно сужает класс рассматриваемых задач. Кроме того, обращение изображений Фурье, особенно в многомерных случаях, представляет собой очень сложную задачу, требующую использования численных алгоритмов. В этом случае трудно исследовать зависимость искомых величин (компонент температурных и механических полей) от исходных данных (физико-механических характеристик среды), что крайне необходимо, например, как при анализе полученных результатов, так и при постановке и решении обратных задач математической физики, актуальность которых подтверждается, в частности, большим количеством публикаций в научных журналах.

В настоящей работе предложена методика асимптотического разделения переменных, позволяющая построить приближённое решение задачи связанной термоупругости для анизотропного слоя, описываемой гиперболическо-параболической системой уравнений в частных производных с неоднородными граничными условиями.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть имеется упругая анизотропная пластина толщины Ь. Одна из поверхностей пластины х3 = 0 подвергается нагреву, плотность которого имеет неравномерное поверхностное распределение. С обеих поверхностей происходит теплообмен с внешней средой. Нижняя поверхность х3 = Ь предполагается закрепленной, а верхняя поверхность х3 =0 свободна от напряжений. Уравнения в прямоугольной декартовой системе координат, описывающие термомеханические процессы в данной среде и соответствующие краевые условия, имеют вид [1-8]

д2um _в дТ = k д2T _D д2щ = дТ

дх*дхп j дх* дЬ2 j дх,дх* j дЬдх* дЬ'

С дит Б Т

Сгзтп о Бгзт

= 0, щ\Хз=ь =0,

» гзтп о '¿зI ^ 1 ^г | хз —ь

V дХп / хз —0

дт \ х дТ \

-къз дХ" + ^ = /(Х1 ,Х2, (&гз д^- + «2т)

(2)

= 0,

Хз — Ь

где все величины являются безразмерными, для которых приняты следующие обозначения [1,2]:

хг —

2 '

иг =

С

2 '

С *

г =

СГ

г]тп

г]тп

* = т-

рС 2

«к =

2

О* Т1 Б = ^То

Бг.? =

т=

«И

кзз

Т *

то

/"Г*

С 2 = Сзззз

2 =

к* кзз

к* = 20.

кзз

рС2 '

(к = 1,2), / (Х1 ,Х2 ,г) =

2

р СеС'

о*

б,-,-

А,- = , у С, '

уе

/* / * * < * \ (Х1 7 Х2 Л

Токзз

(3)

х* — прямоугольные декартовы координаты, г* — время, и* — компоненты вектора перемещений, Т* — приращение температуры, Сг*тп — компоненты тензора упругих характеристик среды, р — плотность среды, к- — компоненты тензора теплопроводности, Б- — компоненты тензора теплового расширения, Се — удельный объёмный коэффициент теплоёмкости, Т0 — начальная температура, «к — коэффициент теплообмена с внешней средой, 2 — линейный масштаб, С — скорость распространения волны растяжения-сжатия вдоль оси Охз, /*(х*,х2, г*) — плотность теплового импульса.

Замечание. В постановке задачи (1), (2) не указаны начальные условия. Это обстоятельство вызвано тем, что, как будет видно из дальнейшего изложения, предлагаемая в работе процедура асимптотического разделения переменных затрагивает только уравнения (1) и краевые условия (2). Начальные же условия в силу отсутствия в них производных по пространственным координатам будут инвариантны относительно упомянутых преобразований.

2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

Будем предполагать, что неравномерность нагрева пластины имеет слабо выраженный характер, что позволяет приближённо решить рассматриваемую задачу с помощью метода асимптотического разделения переменных, суть которого заключается в следующем. Слабая неравномерность нагрева пластины учитывается введением малого параметра е как множителя перед аргументами функции /, т.е. предполагается, что / = /(ех1 , ех2,г). Далее вводятся в рассмотрение два масштаба: «тождественный» = ха и «медленный» па = еха, (а = 1, 2) и предполагается далее, что / = /(пъ П2,г). Решение задачи (1), (2) ищется в виде асимптотических рядов по степеням малого параметра е:

иг(х1 ,Х2 ,хз ,г) = У^ е1 ,6,П1 ,П2,хз,г), Т (х1 ,Х2 ,хз ,г) = У^ е1 Т1 (Съб ,П1,П2 ,хз ,г). (4)

г—о

г—о

Операторы дифференцирования по переменным х1 и х2 будут иметь вид

д2 д2 д2 д2

д

дха

д + е_д_ дСа дпо

+ е-

+ е-

дхадхв д^а дСв д^адпв д£в дп

+ е2

д2

дпадпв

Подставляя ряды (4) в уравнения (1) и группируя слагаемые при одинаковых степенях е, получаем рекуррентную последовательность краевых задач, из которых определяются неизвестные функции разложений (4). Порождающая система (уравнения нулевого приближения) будет иметь вид

д 2ио

угашв

+ 2С

гатз

д2ио д2ио тт

+ Сгзтз——о--Бг

дхз

гатз

дСа дСв д^а дхз

д2 То , д2То , д2 То

кав ол о л + 2каз~—о--Ь кз^^Т^--Аа

дСа дСв

дио

С т | с

дСа дхз ди?

дх2з

дСс

-к

дТо дТо

аз

дСс

дхз

+ «1То

гзтз

хз —о

? - БгзТо

дхз = / (П1 ,П2,г),

д2 ио дСа дг

= 0,

дТо дТо о/- Бгз гч дСа дхз

- В

гз

д2 ио дгдхз

= дг2 '

дТо

~дТ'

хз —о

ио\хз —Ь =

дТо дТо о

ка^^ «2То

дСа дхз

(5)

(6)

= 0.

хз—Ь

х

и

оо

оо

Уравнения первого приближения:

С

гатр

д Пт

+ 2С,

гат3

д2^т + С

о + Сг3т3 о 2 д^адхз дх3

1 ОТ1 ОТ1

т _ В _ в

Вга о,. Вгз о дСа дхз

,2„,1

д2 и, "т2

2С

гат3

о2 ит + В от0 + в

гч гч 1 га 7

дПадхз дПа

д 2п1г

' дСадхз ' ° дх'3 ~шдСадЬ ОТ1 _ д2 п0 д2 Т0

о, + Бга о о/ 2ка3 0 о '

ОЬ дПадЬ дПадхз

д2т1 д2Т1 , д2Т1 ка/З оЛ + 2ка3^^--Ь Кзз^т^--Бга

— Б

гз

д 2п\ дЬдхз

(7)

Сг3та

0п1

+ С

0п1

гзтз

к

дхз

ОТ1

- ВгзТ1

аз

дСо

гзТ

ОТ1

дхз

ОТ1

= - Сг з та

ОПт

хз =0

от1

ка3 + 0

дСа дхз

+ «1Т ^ + «2 Т1

дц,

= ка3

хз =0

= -каз

хз =0

ОТ 0

дПа

ОТ 0

хз=0

хз=Ь

дПа

Уравнения высших приближений (начиная со второго):

п1\хз=Ь =

хз =ь

(8)

С

гатр

д2 П1 д 2П1 д2 П1 ОТ1 ОТ1

д пт , 2С д пт , с д Пт р д — В д + 2Сгат3 ъм + сг3т3 ^ о Вга ^^ ВС3

^а/З

д 2 п\

= "т2

д2Т1

дСа дхз дх3

д^о

дхз

-2Сг

гатз

д пт дпадхз

ОТ1-1

+ ВСа ~ Сгатв

дПа

д2Т1 , д2Т1 ^

+ 2каз^^\--Ь кзз- иг

' д^адхз

дхз,

д 2 п\ д^а дь

д пт

дПа дпв' д2пг

- Б

гз

дЬдхз

дТ_ Б дЧ-1 д2Т1-1 д2т 1-2

о, + Бга о о/ 2каз 0 о кав 0 0 ,

дЬ дПадЬ дпадхз дг/адгцз

Сг

дпт

дпт

гзта

ОС

тт

+ сгзтз—--ВгзТ

дхз

дпт

С гзта о хз =0 дП

I = 2, 3,...,

, п\\хз=Ь = 0,

хз =0

ОТ1 ОТ1 .

-каз^т - + а1 Т1 дСа дхз

а

-*1 ягр1

=к

дТ

1-1

аз

хз =0

ОТ1 ОТ1 _

каз^т- + ^--Ъ а2Т

дСа дхз

дПа

ОТ1-1

= -каз^Г-

хз =ь дп

хз =0

хз =Ь

Как видно, все уравнения начиная со второго приближения имеют одинаковый вид и, кроме того, все без исключения уравнения имеют одинаковую левую часть, различаясь только неоднородностями в правых частях. Поэтому принципиально важным является построение только первых двух приближений к решению задачи (1), (2).

Рассмотрим слагаемые порядка е° . Из вида граничных условий (6) следует, что неизвестные функции п0 и Т0 не зависят от переменных С1 и С2. Тогда задача (5), (6) примет вид [1] (учтено, что в соответствии с (3) кзз = 1):

д 2 п0 ОТ0

С О пт в д

сгзтз 0 2 вгз 0 дхз дхз

20

д2 и

"дЬ2'

д2 Т 0 д2п0

_— Бгз_-

дхз2 гз

С

дп!

гзтп

дх

т - ВгзТ0

дЬдхз

= 0, Па\хз=Ь = 0,

ОТ 0

ЮГ1

ОТ0 дхз

+ (цТ0

хз =0

= / {път^),

хз =0

+ *>Т 0

V дхз

= 0.

хз =Ь

(9)

(10)

п

В случае произвольной анизотропии система (9) содержит четыре неизвестных функции, её решение для установившегося режима при /(п1 , П2,£) = /(пъп2)ег^ ищется в форме [1,2,9]

8 8 Т0 = = ^ ^еЛк= и°(хэ)ег^ = ^ еЛкхз , (11)

к = 1 к = 1

где в соответствии с (3) и = /С, и* — частота внешнего периодического воздействия, а Л& — корень характеристического уравнения, вид которого ввиду громоздкости здесь не приводится. Величины и определяются из уравнений (9) с точностью до произвольных функций, зависящих от переменных па которые находятся из граничных условий (10). На этом построение нулевых приближений закончено.

Перейдём к слагаемым порядка е1. Анализируя, как и прежде уравнения (7) и граничные условия (8), приходим к выводу, что функции и1 и Т1 не зависят от переменных . Тогда уравнения для их определения и соответствующие граничные условия имеют вид

С _ в дТ1 = дМ _ 2С д2 с + В дТ°

дх3 дх3 д£2 дпа дх3 дпа

д2Т1 ^ д2 и1 дТ 1 д2 и° , д2Т°

- = —- + £га —- 2ка3-

(12)

дх3 г д£дж3 д£ га дпад£ а дпадх3' ди1

Сг3ш3^--Вг3Т

дХ3

ди°

хз =0 дПа

0

хз =0

/ дТ1 Л , дТ0 /дТ1 Л

+ а1Т 1 = , + «2Т1

V дх3 / хз =0 дпа V дх3 /

и1|хз=Ь = 0,

дТ0

= -ка3т:—

хз =Ь дПа

(13)

хз =0 дПа \дх3

Решение задач (12) и (13) в случае установившегося режима очень удобно представить в виде суммы общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы. Подобного рода задачи для одномерных уравнений гиперболического и параболического типа подробно разобраны в монографии [10] и других монографиях, посвященных решению задач математической физики. Общее решение однородной системы здесь имеет вид аналогичный (11). Частное же решение ищется в форме (п1 ,П2,х3)ег£^ методом неопределённых коэффициентов, где в качестве таковых выступают функции ^ (П1,П2 ,Х3 ).

Аналогичным образом строятся последующие приближения. Таким образом, формально построено решение задачи (1), (2) в виде

и3(х1? х2, х3, ¿) = и3(х1, х2, х3, ¿) + о(е), иа (ж15 х2, х3) = еиО,(х1, х2, х3, ¿) + о(е), Т(х1, х2, х3, ¿) = Т0(х1, х2, х3, £) + о(е), а = 1, 2,

где функции и0, и1, Т0 и

Т1

являются решениями задач (9)-(12). Следует отметить, что предложенная методика асимптотического разделения переменных не ограничивается стационарными или периодическими задачами. Но несмотря на то что задачи (9), (10), (11), (12) существенно проще исходной (1), (2), тем не менее в нестационарном случае их решение крайне затруднительно. Практически здесь могут быть использованы приближённые методы операционного исчисления, как, например, в работах [2,9].

3. РАСЧЁТНЫЙ ПРИМЕР

Рассмотрим решение задач (9)-(12) для ортотропых сред. В этом случае [3, 8]

Ву = = ку =0 (г = з), С2221 = С2223 = С2111 = С2113 = С2133 = С2311 = С2313 = С2333 = С1113 = С2213 = С1333 = С2312 = 0.

Кроме того, будем рассматривать установившиеся режимы, т.е. / (пъ П2 ,£) = /(пъп2)ег£^. В этом случае система уравнений (9) распадается на две независимые задачи [1, 2] (С3333 = 1 с учётом (3)):

д2и0 д2и0

Са3а3 Щ = ^, а = 1, 2, (14)

дПа

дхз

= 0, Па\хз=Ь =0

хз=0

(здесь суммирование по индексу а не производится),

д2пз „ ОТ0 д2пз

-тг~2— Взз т:—

дх2 дхз

дЬ2

д 2Т0 д 2п0 = ОТ0

дх2 зз дЬдхз дЬ '

(М - ВзТ0

\дхз

= 0, пз\хз =Ь = 0,

ОТ0 дхз

+ а{Т0

хз=0

= /(П1,П2 ,

хз=0

ОТ 0 дхз

+ а2Т0

(15)

(16)

(17)

= 0.

хз =Ь

Решение задач (14)-(17) будем искать по-прежнему в виде (9). Если и не является собственной частотой, т.е. и = VСазазь(п + 2), то решения задач (14), (15) — нулевые. Для задачи (16), (17) имеем [1, 2, 5]

Т0 = £ Аке(х"хз+г"О, п0 = £ -р+и2 Аке(Хкхз^,

к=1

к=1

где -к — корень характеристического уравнения

Л2 + и2 - Взз Л -1иЛБзз Л2 - %и

= 0,

величины Ак зависят от переменных па и находятся из граничных условий (17). Эта задача сводится к решению системы линейных неоднородных алгебраических уравнений вида

I ВззЛк В

- Вззу

к=1 4

)Ак = 0, £

к=1 к 4

Лк е\кь Л2 + и2

еХк Ь Ак = 0,

£ (-Лк + а1) Ак = /(П1,П2), £ (Лк + а2) еЛкЬ Ак = 0. к=1 к=1

Рассмотрим уравнения первого приближения. Так же как и в нулевом приближении данная задача распадается на две независимые

С

д2пв д 2 пО

азрз'

_= _

дхз дЬ2

2С

арзз

д2пз „ ОТ0

з + Во

о о ' —-}ав "о ,

дхз дгцз дпв

с д^к Сазвз дхз

= _ с диз

= Саззв дпв

хз=0

д2пз п ОТ1 д2пз

пО \

хз =Ь

= 0,

дхз

В

зз

дхз дЬ2

хз=0

д 2Т1

дхз

- Б

33

д 2 п1 ОТ1

дЬдхз дЬ

(ОА- В Т1

\дхз

В33 Т1

= 0, п^хз =Ь = 0,

ч1^ / хз=0

- ^ + а Т Л =0, ^ + а2 Т1)

V дхз ) хз =0 \дхз )

(18)

(19)

(20)

(21)

= 0.

хз=Ь

Решения задачи (20), (21) нулевые п1 =0, Т1 = 0. Система (18) представляет собой два независимых уравнения относительно функций п1 и и2. Их решения строятся в виде [1]

Па(хз,П1,Пз,Ь) = иО(хз,П1 ,П2)ешг, а = 1, 2,

(22)

где иО = и+е)ш*хз + и~е-гш*хз + £ икаеЛкхз

и

иа =

_ к = 1 \/Сазаз

Функции ика находятся подстановкой (22) в уравнения (18)

ика(П1 ,П2) =

2Саазз Взз-к

дАк

+

Ва

дАк

(Л2 + и2)(СазазЛ2 + и2) д^а (С азаз -к + и2) дц

(23)

4

(Суммирования по повторяющимся индексам а в выражении для ша и уравнениях (23) нет.)

Неизвестные величины й+а, й- зависят от переменных па и находятся из граничных условий (19):

и-(п 1 ,П2) = 1 (1+ е~2ШаЬ) ^ йка(т,П2)(е(Лк)ь - \к) -ш

— 2шаЬ) -1

к=1 4

вззАк дАк

Ак + ш2 дп с

йа

к=1

(П1,П2) = 1 (1+ е"2^) ^ йка(П1 ,П2)(е(Л*+ Ак) - ^ ш ?—* А2

В33 Ак дАк

к + ш2 дп о

В качестве модели ортотропного слоя рассматривалась осреднённая слоистая (сталь, алюминий) среда [1,2,6]. Плотность теплового импульса моделировалась функцией

/(ж ,Х2) =

1

1 + (еж!)2 + (еж2 )2

На рис. 1 и 2 представлены поля температуры и нормального напряжения внутри пластины с учётом нулевого и первого приближений.

Рис. 1. Распределение напряжений внутри пластины

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рис. 2. Распределение приращения температуры внутри пластины

Построена рекуррентная последовательность краевых задач, позволяющая найти решение системы (1), (2) в виде асимптотического ряда (4) по степеням малого параметра, характеризующего слабо неоднородный нагрев поверхности анизотропного слоя. Класс рассматриваемых задач не ограничивается ортотропными средами. Наличие симметрии только лишь упрощает решение уравнений соответствующих приближений, постольку они распадаются на ряд независимых задач меньшей размерности. Предложенная методика позволяет построить приближённое решение задачи (1) с неоднородными краевыми условиями (2) в аналитической форме, в частности, тогда, когда невозможно выполнить разделение переменных с помощью интегрального преобразования Фурье. Погрешность полученного решения определяется количеством членов в разложении (4).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 11-08-00064-а и 11-08-90453-Укр_ф_а).

Библиографический список

1. Вестяк В. А., Земсков А. В., Федотенков Г. В. стины // Проблеми обчислювально1 мехашки I мицно-Слабо неравномерный нагрев неограниченной слоистой ст конструкцш : зб1рник наукових праць / Днтропет-пластины // Вестн. МАИ. 2010. Т. 17, № 6. С. 152-158. ровський нацюнальний ушверситет. Днтропетровськ :

1МА-прес, 2009. Вип. 13. С. 94-99.

2. Земсков А. В., Эрихман Н. Н. Приближённое решение нестационарной задачи о нагреве ортотропной пла- 3. Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В. Динамические

4

контактные задачи с подвижными границами М. : Наука; Физматлит, 1995. 352 с.

4. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды : учебник. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1978. 287 с.

5. Моргунов Б. И. Математический анализ физико-механических процессов. М. : МИЭМ, 1995. 151 с.

6. Моргунов Б. И. Математическое моделирование связанных физических процессов. М. : МИЭМ, 1997. 224 с.

7. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости

УДК 539.3

Н. А. Гуреева

Волгоградская государственная академия сельского хозяйства E-mail: [email protected]

Изложен в смешанной формулировке МКЭ алгоритм получения на шаге нагружения матрицы деформирования объемного конечного элемента с поперечным сечением в форме произвольного четырехугольника с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений деформаций. Для численной реализации алгоритма использован функционал, полученный из условия равенства возможной и действительной работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения.

Ключевые слова: векторная аппроксимация, тензорная аппроксимация, векторное поле, тензорное поле, смешанная формулировка, вариационный принцип.

/ пер. с польск. Я. Рыхлевского; под ред. Г. С. Шапиро. М. : Мир, 1970. 256 с.

8. Седов Л. И. Механика сплошной среды : в 2 т. Т. 1. М. : Наука, 1973. 536 с.

9. Вестяк В. А., Лемешев В. А., Тарлаковский Д. В. Распространение нестационарных радиальных возмущений от сферической полости в электромагнитоупру-гом пространстве // Докл. АН. 2010. Т. 434, № 2. С. 186-188.

10. Самарский А. А., Тихонов А. Н. Математическое моделирование связанных физических процессов. М. :

Calculation Plainly Loaded Geometrically Nonlinear Designs on the Basis of Mixed FEM with Tenzorno-Vector Approximation Requires Sizes

N. A. Gureeva

The algorithm of reception on a step of loading designs matrixes of deformation of a volume final element with cross-section section in the form of any quadrangle with central unknown persons in the form of increments of movings and increments of deformations is stated in mixed formulation FEM.

For numerical realization of algorithm it is used functional, received of a condition of equality of possible and valid works of external and internal forces on a step loading.

Keywords: vector approximation, tensor approximation, vector field, tensor field, mixed formulation, variation principle.

РАСЧЕТ ПЛОСКОНАГРУЖЕННЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ СМЕШАННОГО МКЭ С ТЕНЗОРНО-ВЕКТОРНОЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ ИСКОМЫХ ВЕЛИЧИН

Для расчета плосконагруженных конструкций реализуется шаговый метод. На шаге нагружения разработан конечный элемент с поперечным сечением в форме произвольного четырехугольника в смешанной формулировке МКЭ с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений деформаций.

Для получения матрицы деформирования конечного элемента в геометрически нелинейной постановке получен функционал из условия равенства возможной и действительной работ внешних и внутренних сил.

Приводится пример расчета, подтверждающий эффективность использования разработанного конечного элемента.

1. ГЕОМЕТРИЯ ТОНКОСТЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ

В декартовой системе координат хОг линия внутреннего контура тонкостенной конструкции принимается в качестве отсчетной. Положение произвольной точки М0 отсчетной линии определяется радиусом-вектором (рис.1)

И0 = х1 + г(х)к, где 1,к — орты декартовой системы координат.