CC BY
82
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 145-153 Механика
УДК 539.3:534.26
Прохождение звука через однородный
__и __и и
термоупругий плоский слой *
Н. В. Ларин
Аннотация. Рассматривается задача отражения и преломления плоской звуковой волны однородным изотропным термоупругим плоским слоем, граничащим с невязкими теплопроводными жидкостями, в общем случае разными. Получено аналитическое решение задачи. Представлены результаты расчетов коэффициента прозрачности звуковой волны по интенсивности. Исследовано взаимовлияние теплового и механического полей в слое на прохождение звука. Показано, что степень этого влияния существенно зависит от значения параметра связанности.
Ключевые слова: прохождение звука, плоская звуковая волна, однородный термоупругий плоский слой, взаимовлияние теплового и механического полей, оценка влияния связанности.
Существенное влияние термоупругости однородного материала плоского слоя на прохождение звука показано ранее в [1]. При этом волновые поля в слое описаны уравнениями связанной задачи термоупругости. Возникает вопрос, обусловлено ли это влияние эффектом связанности полей деформации и температуры в слое.
1. Постановка задачи. Рассмотрим однородный изотропный термоупругий плоский слой толщиной 2Н, материал которого характеризуется плотностью р, упругими постоянными Ламе Л и температурным коэффициентом линейного расширения ат, коэффициентом теплопроводности Лт, объемной теплоемкостью ве. Источники тепла в слое отсутствуют. Система прямоугольных координат х\, х2, х3 выбрана таким образом, что ось х\ лежит в средней плоскости слоя, а ось хз направлена вниз по нормали к поверхности слоя. Полагаем, что верхнее (в = 1) и нижнее (в = 2) полупространства, с которыми граничит слой, заполнены невязкими теплопроводными однородными сжимаемыми жидкостями. Жидкости имеют плотности рз, скорости звука Л3, отношения удельных теплоемкостей при постоянных давлении и объеме 7з, коэффициенты: температуропроводности хЦ, темпера-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).
турного расширения aJ, теплопроводности . Считаем, что слой и жидкости в невозмущенном состоянии имеют одинаковую постоянную температуру Tq.
Пусть из верхнего полупространства (x3 < -h) на термоупругий слой наклонно падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой равен
Фо = Л exp {i [k111xi + k?1 (хз + h) - wt] } , (1)
где A0 — амплитуда падающей волны, k^1 = k11 sin в0 и k31 = k11 cos 60 — проекции волнового вектора кц на оси координат Х1 и хз соответственно, кц — волновое число звуковых волн в верхнем полупространстве, w — круговая частота, во — угол падения волны. Временной множитель exp(-iwt) в дальнейшем опускаем.
Определим акустическое поле в нижнем полупространстве.
2. Уравнения волновых полей. Поскольку волновой вектор падающей волны лежит в плоскости x1, x? и, следовательно, возбуждающее поле не зависит от координаты x2, а термоупругий слой является однородным и изотропным, то от координаты x2 не должны зависеть ни отраженные, ни прошедшие в полупространство x? > h, ни возбуждённые в термоупругом слое поля. Кроме того, в термоупругом слое будут отсутствовать смещения частиц по координате x2.
Скорость частиц жидкости в верхнем (s = 1) и нижнем (s = 2) полупространствах представим в виде
vs = grad (Ф51 + Ф^2), s = 1, 2.
Потенциалы скоростей звуковых Ф21 и тепловых Ф22 волн — решения следующих уравнений:
ДФ,т + ^тФвт = 0, s,m = 1, 2,
где Фц = Фо + ФИ, Фп — потенциал скоростей отраженной звуковой волны, ks1 и ks2 - волновые числа звуковых и тепловых волн соответственно. При этом ,_
k2 = -Bs - (-1)mV B2 + 4AsCs sm = 12
ksm = 2C , s, ' = 1 , 2 ,
где
2 / • T \ ■ T
As = Bs =Л - Щг) Ъ, Cs =
c2 V c2 ) w
Потенциалы скоростей отраженных от слоя и прошедших через слой волн будем искать в виде
Фц = Ап ехр {г [к^жг - к^ (жэ + Н)] } ,
Ф12 = А г 2 ехр {{ [к^жг - к^ (жэ + Н)]} , (2)
Ф2т = А2т ехр {г [к2тж 1 + кэт (жэ - Н)] } , т = 1,2,
где кПт (п = 1, 3) — проекция волнового вектора кзт на ось хп, (к1зт)2 + + (k3m)2 = k2m. Согласно закону Снеллиуса [2] k|2 = k2 1 = k22 = k1 1.
Определение волновых полей в однородном изотропном термоупругом плоском слое будем рассматривать на основе связанной задачи термоупругости [3]. Смещение частиц термоупругого слоя представим в виде
и = grad(Фl + Ф2) + го1Фз. (3)
Потенциалы смещения Ф1, Ф2, Фз — решения следующих уравнений [3]:
ДФт + ^тФт = 0, ДФз + k2Фз = 0, ш = 1, 2, (4)
где km (ш = 1, 2) и kз — волновые числа продольных термоупругих и поперечных упругих волн соответственно. При этом [3]
k2
=! {1+1 <1+-
- (-12 1 - 2I (1 - *)+( 3 (1+ е)
kf
(I (1+*>)] ■
(5)
ш = 1, 2,
1 ш
kз = —. сТ
Здесь
ш
ь = —, ^ =
с
{¿ОСТ
(1 + г), 01 =
0т =. 1Е V р V Р
Хт
\т
0е '
(ЗА + 2^)2 а2т То
е
(6)
(А + 2^) Се '
где ^ и ^ — волновые числа продольных упругих и тепловых волн соответственно, С[ и ст — скорости продольных и поперечных упругих волн соответственно, хт — коэффициент температуропроводности, е — параметр связанности.
Представим вектор Фз в виде
Фз = Фз (Ж1,Жз) в2,
(7)
где е2 — орт на оси х2. На основании представления (7) векторное уравнение (4) сводится к скалярному уравнению
ДФз + k2Фз = 0. (8)
Решения скалярных уравнений (4) и (8) будем искать в виде
Фг
^ Вгт ехр {г [^Х1 - (-1)т ^хз]} , г = 1,2,3
(9)
т=1
где kn (n = 1, 3) — проекция волнового вектора kr на ось xn, (к},)2 + (к;?)2 = = к^. Согласно закону Снеллиуса к{ = к} = к} = к|1.
Коэффициенты Asm (s, m = 1, 2) и Brm (r = 1, 2, 3) в выражениях (2) и (9) подлежат определению из граничных условий, заключающихся в равенстве нормальных скоростей частиц термоупругой среды и жидкости на обеих поверхностях плоского слоя, отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений, равенстве на них нормального напряжения и акустического давления, в непрерывности акустической температуры и теплового потока на поверхностях слоя:
хз = (-1)s h : -шиз = VsN, 0"13 = 0, азз = -ps,
, dT лТ dTs (10)
T = Ts, Х^ — = Х^—^, s = 1,2.
Здесь
дх3 дх3
VsN = -~-, Ps = lUps (Фs1 + ^s2)
T = —
T s - rp
ai
дхз
^TT (^s1 + ^2) + — A (^s1 + ^2) c2 и
s = 1,2,
где vsN — нормальные компоненты скоростей частиц жидкости, ps — акустические давления, Ts — акустические температуры в верхнем (s = 1) и нижнем (s = 2) полупространствах. Компоненты тензора напряжений апз (n = 1, 3) связаны с компонентами тензора деформаций епз и изменением температуры термоупругого слоя T соотношениями Дюгамеля-Неймана [3]
апз = 2ц,£пгз + [Xdivu - (3Х + 2ц) атT] §пз,
1 f дип диз \ .
£пз = 21 д--+ д— , divu = ец + езз, n = 1, 3,
2 \ дхз дхп J
T= [k2 (Ф' + Ф2)+А(ф. +ф2)] ,
где 5пз — символ Кронекера, ип (n = 1,3) — проекция вектора смещения u на ось координат хп. При этом на основании представлений (3) и (7) компоненты ип принимают вид
д (Ф1 + Ф2) дФз д (Ф1 + Ф2) дФз
U1 = -^--т;—, из = ----+ -—.
дх1 дхз дхз дх1
Подставив выражения (1), (2), (9) в граничные условия (10) получим систему десяти линейных алгебраических уравнений относительно такого же числа неизвестных коэффициентов Asm (s, m = 1, 2) и Brm (r = 1, 2, 3):
MR = V, (11)
где т R = (A1b A12, A21, A22, B11,B12, B21,B22, B31, Вз2) ,
e3m,
V = (0, У2, Уз, У4, , 0, 0, 0, 0, 0)Т , М = \\MpqII , р,д = 1,..., 10.
Здесь
У2 = -гшрА, Уз = г^Ао, = £пАо, У5 = А^ц^А,
М1т = М1;2+т = 0, М1,4+т = МГ 2^k1lk3elm,
М1;5+т = (-1)т 2^1 k3e2m, М1,8+т = Ц [^а)2 - (^1)^ М2т = гшр1, М2,2+т = 0, М2,4+т = felm, М2,б+т = fe2• М2,8+т = (-1)т 2^k1lk3eзm, Мзт = г^т, Мз,2+т = 0, Мз,4+т = (-1)т+1 ш^т, Мз,6+т = (-1)т+1 ш^ет, Мз,8+т = С^^зт,
М4т = —(lm, М4,2+т = М4,8+т = 0, М4,4+т = в - k2) е1т, М4,б+т = в - k2) е2т, М5т = АT£lmk3m, М5,2+т = М5,8+т = 0,
М5,4+т = (-1)т+1 Атв (kг2 - k2) k3elm, М5,б+т = (-1)т+1 Ат в (^ - k3e2m, Мбт = Мб,2+т = 0, Мб,4+т = (-1)т 2^1^1,3-
Мб;5+т = (-1)т2^kk^lk3e2,з-m, Мб,8+т = Ц (k3)2 - ^п)2 eз,з-r
М7т = 0, М7,2+т = ¿Шр2, М7,4+т = fel,3-m, М7,б+т = fe2,3-m, М7,8+т = (-1)т 2^kl1lk3eз)3-m, М8т = 0, М8,2+т = -¿^„, М8,4+т = (-1)т+1 шk3el>3-r
М8,е+т = (-1)т+1 Ш^в^-т, М8,8+т = шк^в^^-т, М9т = М9,8+т = 0, М9,2+т = —^2т, М9А+т = в (к1 — к\) в1,3-т, М9,6+т = в (к^2 — Щ в2,3-г
М10,т = М10,8+т = ° М10,2+т = — Ат£2тк3т,
М10;4+т = ( —1)т+1 Атв (к? — к2) к3в1,3-т,
\т+Ь о (и2 и2) и3,
М10,6+т = ( —1)т+1 Атв {к? — к2) к3в2,3-f = 2ц (к11)2 — (А + 2ц) к2, в = А +
(3А + 2ц) ат '
6т = 4 — — ) ' вгт = ехр {(—1)т гк3^> , в,т = 1,2, г = 1,2,3.
Решив систему (11) и определив коэффициент Лц, получим аналитическое описание акустического поля в нижнем полупространстве по формуле (2).
3. Результаты расчетов. На основе полученного решения задачи проведены расчеты коэффициента прозрачности по интенсивности
2
W =
Л
Л0
Р1С2
для пластин толщиной 2Н = 0.005 м в воде р = р2 = 1000 кг/м3, С1 = С2 = = 1485 м/с, 71 = 72 = 1.006, хТ = хТ = 1-43 х 10-7 м2/с, аТ = аТ = 2.1 х 10-4 1/К, = Ат = 0.59 Вт/(м-К), Т0 = 293 К). Амплитуда падающей звуковой волны полагалась равной единице, а термоупругие материалы пластин определялись физико-механическими характеристиками, приведенными в таблице [1]. Там же представлены значения параметра связанности е, рассчитанные по формуле (6).
Для оценки влияния учета эффекта связанности полей деформации и температуры в уравнении (5) на интенсивность прохождения звука вычислительный эксперимент проводился и для термоупругих пластин при нулевых значениях параметра связанности. Кроме того, с использованием результатов, полученных ранее в [1], расчеты выполнялись и для упругих пластин при изотермическом процессе. Заметим, что при е = 0 выражение (5) принимает вид
к1 = к, к2 = кт.
т
Таблица 1
Физико-механические характеристики пластин
Характеристики материала Материал
Алюминий Поливинилбутираль
р, кг/м3 2700 1070
Л, Н/м2 5.3 х 1010 3.9 х 109
1Л, Н/м2 2.6 х 1010 9.8 х 108
аТ,1/Х 25.5 х 10~6 2.3 х 10-4
ЛТ, Вт/(м-Х) 236 0.2
се, Дж/(м3-Е) 2.3 х 106 1.2 х 106
е 0.037 0.411
Таким образом, если предположить, что термоупругая связь отсутствует, то уравнение (5) описывает распространение двух видов продольных волн, из которых один, связанный с к\, близок к чисто упругой волне, а другой, связанный с к2, сходен по своему характеру с чисто тепловой [3].
На рис. 1 и 2 соответственно представлены зависимости коэффициента прозрачности Ш от угла падения звуковой волны в интервале 0° ^ во ^ 50° при фиксированном волновом размере пластины 2 |к211 Л = 8.5 и от волнового числа в интервале 0 < 2 |к211 Л ^ 45 при нормальном падении волны. Сплошными и штриховыми линиями обозначены зависимости, рассчитанные для термоупругих алюминиевых пластин при е = 0.037 и при е = 0 соответственно, штрихпунктирными и пунктирными линиями - зависимости, построенные для термоупругих пластин из полимерного материала при е = 0.411 и при е = 0 соответственно. Случай упругого деформирования пластин отдельно на рисунках не выделен, так как в приведенном масштабе рисунков кривые, построенные для упругих материалов и для соответствующих им термоупругих материалов при отсутствии термоупругой связи, неразличимы. Это говорит о том, что при описании волновых полей в слое уравнениями несвязанной задачи термоупругости процесс прохождения звука через однородный термоупругий слой близок к изотермическому. Кроме того, из графиков видно, что в металлической пластине эффект связанности поля деформации и температурного поля мало влияет на величину интенсивности прошедшей звуковой волны. В пластине из полимерного материала, обладающего большим значением параметра связанности, это влияние выражено сильнее.
Таким образом, анализ результатов расчетов показывает, что особенности влияния термоупругости однородного материала плоского слоя на прохождение звука, выявленные в [1], обусловлены эффектом связанности полей деформации и температуры в слое.
» о / 1 11 ¡1 ■
^ -' |\ 1 ¡1 ;
.1 : у :
и и "4- •\г ^ __
Рис. 1. Угловая зависимость коэффициента прозрачности
Рис. 2. Частотная зависимость коэффициента прозрачности
Список литературы
1. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 4. С. 650-659.
2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.
3. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев.: Наукова думка, 1970. 308 с.
Ларин Николай Владимирович, к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
The transmission of sound through a uniform thermoelastic
plane layer
N. V. Larin
Abstract. The problem of the reflection and refraction of a plane acoustic wave by a uniform isotropic thermoelastic plane layer, bounded by non-viscous heat-conducting liquids, generally different, is considered. The analytic solution of the problem was obtained. The results of calculations of the intensity transmission coefficient of the acoustic wave are presented. The coupling between the thermal and mechanical fields in the layer on the transmission of sound was investigated. It is shown that the extent of this effect depends very much on the value of a coupling parameter.
Keywords: transmission of sound, plane acoustic wave, uniform thermoelastic plane layer, coupling between the thermal and mechanical fields, influence of coupling.
Larin Nikolay, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 12.06.2015
