CC BY
51
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 122-130 Механика
УДК 539.3
Определение положения границы разделения двухслойной упругой пластины по отражению звука &
С. А. Скобельцын
Аннотация. Рассматривается задача определения вертикального размера отдельных слоев двухслойной упругой пластины фиксированной толщины по отраженной звуковой волне. Вначале формулируется стандартная задача об отражении плоской гармонической звуковой волны упругим слоем, состоящем из двух частей. При этом толщина одной из них - Н - выступает в качестве неизвестного параметра. Для его определения по известному коэффициенту отражения получено нелинейное уравнение, решение которого в общем случае возможно только численно.
Ключевые слова: отражение звука, гармоническая плоская волна, упругий слой, обратная задача.
Практическое применение решений задач об отражении звука упругими телами основано главным образом на том, что по характеру отраженного акустического поля можно судить о параметрах упругого объекта-препятствия.
Одной из наиболее простых моделей исследуемого упругого объекта является плоский упругий слой. Изучению отражения звука плоским упругим слоем посвящено много работ. Общая теория задач о прохождении звуковых волн через слоистую жидкость и упругий слой развита в монографиях [1-4]. В статьях [5-15] рассмотрены частные случаи отражения звуковых волн слоистыми средами. В частности в работах [6, 8, 9] рассматривается отражение звука анизотропными упругими пластинами. В работах [7, 9, 11] показано влияние вязкости окружающей жидкости на характер отражения звуковых волн упругим слоем. Учет теплопроводности окружающей среды и упругого слоя сделан в работах [9, 13-15]. В статьях [10-18] рассматривается отражение звуковых волн неоднородным упругим слоем и телами с неоднородным покрытием.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).
Рассмотрим простейший случай неоднородного упругого слоя — пластину, образованную из двух слоев постоянной толщины, каждый из которых состоит из однородного изотропного упругого материала. Предположим, что пластина погружена в идеальную жидкость. Решим задачу определения положения границы разделения слоев пластины по параметрам отражения плоской звуковой волны. Понятно, что при фиксированной совокупной толщине Н упругой пластины эта задача эквивалентна задаче определения толщины одного из составляющих ее слоев. Геометрическая постановка задачи показана на рис. 1.
идеальная жидкость 2
Рис. 1. Геометрия задачи
В общем случае полагается, что жидкости по обе стороны пластины могут быть разными, свойства сред и общая толщина пластины Н заданы, параметры падающей и отраженной волн известны (предполагается, что они являются плоскими монохромными). Требуется определить толщину Н части пластины, занятой упругой средой 1.
Будем определять величину Н на основе постановки и решения задачи об отражении плоской звуковой волны упругим слоем в рамках линейных моделей движения идеальной жидкости и изотропной упругой среды.
Пусть частота падающей волны равна и, плотность и скорость звука в идеальной жидкости 1 равны ро и со, а в жидкости 2 — рз и сз. Плотность и модули упругости Ламе материала упругой среды 1 будем обозначать р1, А1, а соответствующие свойства упругой среды 2 — р2, А2, Обозначим полупространство, занятое идеальной жидкостью 1 — Оо, область первого слоя с упругой средой 1 — О1, область второго слоя с упругой средой 2 — П2, верхнее полупространство с идеальной жидкостью 2 — Оз.
Положим, что потенциал скорости в падающей плоской звуковой волне имеет вид
Фр = Аовхр[г(ко ■ г - и)], (1)
где Ао - константа, задающая амплитуду и начальную фазу падающей волны; ко - волновой вектор ^|ко| = ко = — , определяющий направление распространения волны; г - радиус-вектор.
Отраженную от слоя звуковую волну будем характеризовать потенциалом скорости в ней — Фз, колебания в упругом слое — потенциалами продольных (Ф,) и поперечных (Ф,) волн (3 = 1, 2 и соответствует области О,), а прошедшую в Оз волну потенциалом скорости — Ф3.
Тогда скорости движения частиц жидкости в Оо и Оз будут определяться выражениями [19]:
Уо = УФо, = УФз, (2)
где Фо = ФР + Фз, а смещения частиц упругой среды в 01 и 02 — выражениями:
= УФ1 + Ух Фь V 2 = УФ2 + Ух Ф2. (3)
При этом векторные потенциалы поперечных волн Ф1, Ф2 должны удовлетворять условиям:
У ■ Ф1 = 0, У ■ Ф2 = 0. (4)
Согласно теории распространения упругих волн малой амплитуды в идеальной жидкости и изотропной упругой среде потенциалы Фо, Фз, Ф,, Ф, должны удовлетворять уравнениям Гельмгольца [19]:
ДФз + ко2Фз = 0, (5)
ДФз + к|Фз = 0, (6)
ДФ, + к,2Ф, = 0 (з = 1, 2), (7)
ДФ, + х^Ф, =0 (з = 1, 2), (8)
где кз = — з - волновое число звуковых волн в области О3; с
, I Р, ГрГ
к, = — д / т-, X, = — * — - волновые числа продольных и поперечных
V + V М
волн в области О, (3 = 1, 2).
Для решения уравнений (5)-(8) и представления компонентов векторных и тензорных полей введем ортогональную декартову систему координат ж, у, г так, чтобы плоскость жОг совпадала с границей полупространства 0о (т.е. нижней поверхностью упругого слоя), а ось Оу была направлена от Оо к Оз. Направление оси Ож выберем так, чтобы волновой вектор падающей волны ко лежал в плоскости жОу и составлял острый угол с осью Ож.
При таком выборе системы координат движение частиц в падающем звуковом поле будет происходить только в плоскости жОу. Тогда в силу однородности рассматриваемых сред и геометрической симметрии взаимодействия волновых процессов все величины, характеризующие задачу,
не будут зависеть от координаты z, а физически наблюдаемые векторные поля (скорости, смещения, силы и т.д.) будут сосредоточены только в плоскости xOy. Таким образом, задача становится двумерной.
В выбранной системе координат потенциал скоростей в падающей волне (1) примет вид
Фр = Aoexp[i({x + aoy - wí)j, (9)
где { = k0 sin в, a0 = k0 cos в - проекции волнового вектора k0 падающей волны на оси Ox и Oy соответственно (в - угол падения волны Фр между вектором k0 и Oy).
Из условий Uiz = Ü2z = 0, (4) и уравнений (8) можно получить, что векторные потенциалы поперечных волн Ф1, Ф2 имеют вид
Ф = Ф iz, (10)
где iz - базисный вектор координатной оси Oz, то есть векторы Ф1, Ф2 содержат только компоненты, направленные по оси Oz. Таким образом, уравнения (8) можно заменить скалярными уравнениями
ДФ, + Х2Ф, = 0 (j = 1, 2). (11)
В силу закона Снеллиуса [19], требующего чтобы в установившемся состоянии скорость распространения волновых процессов вдоль поверхности взаимодействия была одинаковой, следует потребовать, чтобы зависимость потенциалов всех волн от координаты x (вдоль поверхности взаимодействия) и от времени была такой же, что и в падающей волне — exp[i(£x — wí)j (см. (9)). При этом общая фазовая скорость c распространения волн вдоль оси Ox (поверхностей упругого слоя) будет определяться выражением c = Представляя потенциалы Ф,, Ф3, Ф,, Ф, в форме:
Ф^у,^ = Ф^хр^^ — wí)j, Фз(x,y,í) = Фз(y)exp[i(ex — wí)j, (12) Ф, (x,y,t) = Ф, (y)exp[i({x — wí)j, Ф, (x,y,t) = Ф, (y)exp[i({x — wí)j, ( )
из уравнений (5)-(7), (11) получим выражения для функций Ф5(у), Фз(у), Ф, (У), Ф, (У):
Ф, (у) = Ae-iaoy, Ф3 (у) = Beia3y, Ф, (у) = Ajie^'y + A,2 e-iajy, Ф, (y) = Bie^y + B^e-^y,
где a3 = \Jfc2 — C2, a, = ^JЩ — C2, в, = ^J%2 — C2, - проекции волновых
вектров кз, k,i, x,i плоских волн, потенциалы которых получаются в выражениях (12) после подстановки (13), на ось Oy.
Таким образом, процесс взаимодействия падающей волны и порожденных в результате отражения упругим слоем волновых полей описывается следующей системой плоских волн:
Q0 : Фр = A0eiaoyei(«x-wí), (fo); (14)
(13)
Ф, = Лв-^а°уе^х-шг), (к01);
01 : Ф1 = (Апега1У + А^е-^)ег(«х-1^, (кшМ; (15)
Ф1 = (Бцегв1У + Б^е-^)е*«х-^, (Х11, Х12);
02 : Ф2 = (А21ега2У + А22е-га2У)ег«х-1^, (^21,^22); (16)
Ф2 = (Б^е^ + Б22е-гв2У)е*(«х-1^, (Х21, Х22);
03 : Фз = Бе1азУе^х-шЬ\ (кз). (17)
Здесь в скобках в конце строки указаны волновые векторы, характеризующие соответствующие волны.
Заметим, в потенциалах Ф,, Фз оставлено по одному слагаемому, которые представляют волны отходящие от упругого слоя, а в потенциалах Ф^-, Ф^ — по два слагаемых, одно из которых (с Aj1, Бj1; кд, Х^г) представляет волны, идущие вверх от границ слоев, а второе (с А^, Б^; kj2, Хj2) — волны идущие вниз от границ слоев.
Введение системы координат и совокупность волн (14)-(17), полученных в процессе решения задачи об отражении плоской волны двухслойной упругой пластиной проиллюстрированы на рис. 2.
Рис. 2. Совокупность плоских волн в решении
Коэффициенты A, В, Ац, А12, Вц, В12, А21, А22, В21, В22 должны определяться из граничных условий на поверхностях Г1, Г2, Г3. Заметим, в условиях рассматриваемой задачи положение поверхности Г2 (h) полностью не определено. Можно только точно утверждать, что 0 < h < H.
Граничные условия на поверхностях Г1, Г3 (на границах сопряжения идеальной жидкости и упругого материала) состоят в требованиях равенства нормальных составляющих смещения (скорости), равенства нормальных напряжений и отсутствия касательных напряжений:
Г1 : —iwUiy = V0y, ^iyy = — Р0, ^ixy = 0; (18)
Г3 : —iwU2y = V3y, ^2yy = — P3, ^2xy = 0, (19)
где V0y, V0y, Uiy, U2y - компоненты векторов (2) и (3); p0 = ipc^o, p3 = ip^3
- давление в жидкостях; и,УУ, и,xy - компоненты тензора напряжений для упругого слоя .
Граничные условия на поверхности Г2 сопряжения упругих составляющих пластины состоят в требованиях равенства смещений и векторов напряжений в областях Qi и Q2:
Г2 : U2 = U 1, и2уу = и1уу, и2жу = и1жу• (20)
Используя связь (2), (3) с учетом (10) получим выражения для компонент векторов скорости и смещения через потенциалы:
= д(Фр +Ф,) = д Ф3 (21)
V0y = —dy—, V3y = "ар (21)
U = дФ дФ? U = дФ, дФ (22)
дx д^ ,У дy дx '
Выражения для компонентов тензора напряжений получим, используя закон Гука [20]:
= AV ■ Ugfcm + 2^efcm, (23)
где gfcm - компоненты метрического тензора;
efcm = 2(Ufc,m + Um,fc) (24)
- компоненты тензора малых деформаций.
Используя (22) в (24), (23), получим
и = , (2— + д2Ф,
и7ЖУ — Л I 2 о о ^о +
,xy 2 \ SxSy 9x2 9y2
2 f д2Ф, д2Ф,Л
,УУ = —Л, Ф, + 2, -д^ — g^J
(25)
Подставляя (21), (22), (25) с учетом (14)-(17) в граничные условия (18)-(20), получим систему уравнений, которую представим в матричной форме:
М X = Г, (26)
где М = (М1М2М3) - матрица размерности 10 х 10, составляющие подматрицы которой имеют вид:
\
М1 =
/ гао 0 \ гр0ш 0 0
0 -газ /з 0 грзш/з 00
/
М2 =
/ —ша1 ша1 ше ше
^191 —2М1в1е
—2а^ 91 91
—£а! —еъ1 —в1С1
-а1а1 а1Ъ1 е(1
—2а1£а1 2£а^1 91«1 91(1
91а1 91Ъ1 2ев1«1 —2ев1^1
Мз =
V
еа2 еЪ2 в2С2 —^2^2
а2а2 —а2Ъ2 —е«2 —е(2
2{^а2а2 —2{^а2Ъ2 —№«2 —^92^2
—^92а2 —№^2 —2^2 е«2
—ша2аз ша2Ъз ше«з ш£(з
^292аз ^292Ъз — 2^2 ев2(з
—2а2{аз 2а2 ¿Ъз 92 ез 92 (з
/
через 0 обозначены нулевые подматрицы, дополняющие М1, М2, Мз до 10 строк;
а. = Л, ъ. = Л, = егД;Л, ( = е-гД;Л, 9^. = 2£2 - %2 (^ = 1, 2);
аз = е»«2я, Ъз = е-^я, Сз = е^я, ^ = е-в2Я, / = ег«3я, ^ =
X = (А, В, А11, А12, В11, В12, А21, А22, В21, В22)т - вектор коэффициентов в выражениях потенциалов;
У = (—га0, гр0ш, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)т - вектор свободных членов.
При решении прямой задачи об отражении звука упругим слоем система (26) позволяет найти все коэффициенты - составляющие вектора X - через заданные параметры сред, падающей волны и геометрические параметры слоя.
В рассматриваемой задаче величина Л, входящая, как видно, в коэффициенты а^, Ъj, еj, считается неизвестной, а заданной полагается отраженная волна, т.е. коэффициент отражения К = А/А0 — известен.
Для нахождения Л выразим из системы (26) по формуле Крамера коэффициент А
А = Б.
(27)
0
0
где Б = ёе1(М) - определитель матрицы М, а Б = ёе1(М'), где матрица М' получена из М путем замены первого столбца на вектор У.
Заметим, что если зафиксированы р0, е0, рз, ез, р1, А1, р2, Л2, Ао, ш, 0, Н, то определители Б и Б зависят только от Л, т.е. Б = Б(Л), Б1 = Б1(Л).
Тогда при заданном значении коэффициента отражения К связь (27) можно рассматривать как уравнение
А(Н)
= KAo (28)
для определения Н по заданному К.
Решая уравнение (28) с учетом условия 0 < Н < Н, можно найти толщину слоя, занятой средой 1 в упругой пластине (см. рис. 1). Заметим, что уравнение (28) является существенно нелинейным и его решение в общем случае возможно только численно.
Список литературы
1. Лямшев Л.М. Отражение звука тонкими пластинами и оболочками в жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1955. 73 с.
2. Beranek L.L. The transmission and radiation of acoustic waves by solid structures, Noise Reduction. New York: McGraw-Hill, 1971. 346 p.
3. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.
4. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.
5. Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium// Journal of Applied Physics. 1950. V.21. P. 89-93.
6. Лонкевич М.П. Прохождение звука через слой трансверсально-изотропного материала конечной толщины// Акуст. журн. 1971. Т.17. Вып.1. С. 85-92.
7. Цой П.И., Федоров А.Я. Рассеяние звука пластинкой в вязкой среде // Прикладная математика. Tула: Изд-во TулПИ, 1976. С. 36-48.
8. Шендеров Е.Л. Прохождение звука через трансверсально-изотропную пластину // Акуст. журн. 1984. Т.30. Вып.1. С.122-129.
9. Винокур Р.Ю., Могилевский М.И. Влияние вязкости и теплопроводности среды на отражение и прохождение звука через тонкую пластину// Защита от шума в зданиях и на территории застройки. М.: Строит. и архит., 1987. C. 112-117.
10. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Прохождение звуковых волн через трансвесально-изотропный плоский слой// Акуст. журн. 1990. Т.36. Вып.5. С. 740-744.
11. Толоконников Л.А. Прохождение звука через неоднородный анизотропный слой, граничащий с вязкими жидкостями// Прикладная математика и механика. 1998. Т.62. Вып.6. С. 1030-1036.
12. Толоконников Л.А. Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем// Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т.40. № 5. С. 179-184.
13. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Прохождение звуковых волн через неоднородный термоупругий слой, граничащий с теплопроводными жидкостями// Оборонная техника. 2001. № 11-12. С. 49-53.
14. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. О прохождении звука через плоский неоднородный термоупругий слой// Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т.7. Вып. 2. С. 104-109.
15. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой// Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 4. С. 650-659.
16. Толоконников Л.А., Лобанов А.В. О рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим сфероидом// Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.3. С. 119-125.
17. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку// Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.3. С. 179-192.
18. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием// Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.2. Ч. 2. С. 265-274.
19. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
20. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
Скобельцын Сергей Алексеевич (skbl@rambler.ru), к.ф.м.-н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Determining position of the boundary separating the two-layer elastic plate by the sound reflection
S.A. Skobeltsyn
Abstract. The problem of determining the vertical size of the individual layers of a bilayer elastic plate fixed by the thickness by the reflected sound waves is considered. Initially formulated standard problem of reflection of plane harmonic sound wave from elastic layer consisting of two parts. The thickness of one of them - h - acts as unknown parameter. To it determining by the known reflectance derived nonlinear equation, whose solution is generally possible only numerically.
Keywords: sound reflection, harmonic plane wave, elastic layer, inverse problem.
Skobeltsyn Sergey (skbl@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 22.09.2014
