Несферические поверхности и проблемы их аппроксимации Текст научной статьи по специальности «Физика»

8

ПРИКЛАДНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ _ОПТИКА

НЕСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПРОБЛЕМЫ ИХ АППРОКСИМАЦИИ В.А. Зверев, Г.Э. Романова

Поверхность вращения образуется вращением плоской кривой вокруг некоторой оси, например, вокруг оси При этом в общем случае поверхность вращения определяется уравнением вида:

* = I (л/*2 + У2).

Поверхность вращения второго порядка принято определять уравнением

х2 + у2 = 2г0 * - (1 + а)г2, (1)

где а - коэффициент «деформации» сферической поверхности, равный отрицательной величине квадрата эксцентриситета кривой второго порядка, т.е. а = -е2.

Расстояние между вершинами кривой, описываемой уравнением второго порядка, обозначим 0102 = 2а, а расстояние между геометрическими фокусами кривой обозначим Е1Б2 = 2с. При этом эксцентриситет кривой е = —. При совмещении геометриче-

а

ских фокусов кривой в одной точке, т.е. при с = 0, уравнение (1) определяет сферическую поверхность, наиболее широко применяемую при композиции оптических систем. Поперечные аберрации третьего порядка в изображении точки, образованном лучами в меридиональной и сагиттальной плоскостях, соответственно равны [1]:

- 2n'дg' = а' (а'2 + а'2)$ + (За'2 + а> 2(3$ш + 32 ¿1У) + К (2)

- 2п'3в' = а' (а'2 + а'2)$ + 2а'а; м>БП +а' * 2($ш + 32 ^) (3) где а', а' - апертурные углы, образованные крайними лучами осевого пучка с оптической осью в пространстве изображений в меридиональной и сагиттальной плоскостях; * - угол, образованный главным лучом с оптической осью в пространстве предметов (полевой угол). Коэффициенты ¿I, - ¿V как функции углов а, образованных осевым виртуальным лучом с оптической осью, расстояний И и Н от оптической оси до точек пересечения осевого и главного виртуальных лучей с главными плоскостями оптических поверхностей и коэффициентов «деформации» а сферических поверхностей определяются выражениями:

2=1

1=п

¿I =ЕН& -з

1 =1

1=п ТЛ2

¿III =1 - 2з£ + з2

2=1 И1 1 =1 И1 1=1 И1

¿V = 1

1 1+1 1+1 1

1=1 И

1=пН „ . ЛПН2^ 31=п^ -V2

¿V =1тТй -33Т~РГЩ + 32^7т[3(У1+1а1+1 -у1а1)+(^ -^а)]-33£

/—I 1 2 1 4 1+11 +1 11^ ^11 +1 1+1—1 /-( 1 2

1=1 И 1=1 и 1=1 и 1=1 И

=1

где й = Т1а1 + р, = (у^—Vа), Р , Т = Р^1 -)

V , — V

у 1+1 у 1

V , —V

у 1+1 у 1

(п 1+1— п1)2

у^^ = — . Инвариант Лагранжа -Гельмгольца J = п'а'1'.

п

При известных внешних и внутренних (конструктивных) параметрах оптической системы приведенные соотношения позволяют определить величину аберраций третьего порядка, вносимых оптической системой в образованное ею изображение. Однако применение теории аберраций третьего порядка имеет практический смысл при решении обратной, наиболее сложной, задачи определения конструктивных параметров оптической системы при заданных (или требуемых) значениях аберраций.

Радиус кривизны г0 в вершине поверхности второго порядка принимает значение в весьма широких пределах: 0 <| г0 |< го. При больших значениях абсолютной величины радиуса г0 пользоваться уравнением (1) неудобно. Решив уравнение (1) относительно получаем:

1 X2 + у2

г = ■

1+

II

1 — (1 — а)

2 . 2 X + у

(4)

Образующую кривую любой несферической поверхности вращения можно рассматривать как эвольвенту некоторой эволюты, при этом любая эволюта определяет семейство эвольвент, включая и исходную. При этом естественно предположить, что поверхности, определяемые уравнениями (1) и (4), не исчерпывают возможностей и свойств других несферических поверхностей. Профессор М.М. Русинов впервые обнаружил весьма важные аберрационные свойства, присущие эвольвентным поверхностям [2].

Обратимся к рис. 1, на котором показаны эвольвента окружности радиуса К При вращении верхней и нижней ветвей эвольвенты вокруг некоторой линии, принятой в качестве оси вращения (оптической оси), образуются две поверхности вращения, соприкасающиеся вершинами в осевой точке и имеющие одинаковый радиус кривизны в этой точке, равный г0. Поскольку обе поверхности образуются вращением, по сути дела, одной и той же кривой, их можно назвать бинарной (от лат. Ыnaris - двойной) поверхностью.

о

Рис.1. Эвольвентная поверхность

Пусть нормаль к верхней кривой эвольвенты в некоторой точке N образует с оптической осью угол ф. При этом в соответствии с рисунком меридиональный г и сагиттальный г радиусы кривизны поверхности вращения в точке N равны:

Г = Г0 + ^ Г8 = Г —

г

0

2

г

0

Пусть осевая точка предмета расположена на бесконечно большом расстоянии от преломляющей поверхности, образованной вращением эвольвенты и разделяющей среды с показателями преломления п1 и п2. При этом луч, выходящий из осевой точки предмета, падает на преломляющую поверхность в точку N параллельно оптической оси на расстоянии т от нее. Пусть нормаль к поверхности в точке N (в точке падения луча) образует угол Ф с оптической осью, как показано на рис. 2, и пересекает ее в точке С8.

m

Рис. 2. Аберрации осевого пучка

Преломленный в точке N луч пересекает оптическую ось в точке Б' под углом а' к ней. Буквой О обозначена вершина преломляющей поверхности. При этом в соответствии с рис. 2 отрезки ОС8 и С8Б' равны

^^ п p n sinffl

OCs = r0 + Rtg 2 = r0 + R --0S-

2 1 + cosp

(5)

sin s

CF =-rS~.-' =-rs

sin a

sins

sin(p + s')'

где угол 8 падения луча и угол преломления 8 взаимосвязаны законом преломления: n sins = n2 sins'. В рассматриваемом случае угол -е = ф. При этом при n1 = 1 и

n2 = n имеем:

CF' = r.

Ф

n2 - sin2 p +-y] 1 - sin2 p ñr—1

(6)

В соответствии с рисунком отрезок OF' = OCs + CsF'. Используя соотношения (5) и (6), получаем:

-y/n2 - sin2 р +-yj 1 - sin2 ф

OF' = r0 + R

sinp

1 + д/Т- slnф"

Выражение, определяющее радиус кривизны в некоторой точке поверхности в сагиттальной плоскости, удобно представить в виде

■ + r

n2 -1

(7)

r. = Го + R

arcsin(sin p) -

sin р

1 + 1 - sin2 p

(8)

Из выражений (7) и (8) следует, что при ф = 0 радиус rs = r0, а отрезок n

OF0' =-r0. При этом продольная сферическая аберрация в изображении точки равна

n -1

As ' = OF' - OF'

Применив полученные соотношения, находим, что sin Р , r

As ' =

n -1

+ R

1 + sj 1 - sin p"

^ + r„

n2 - sin2 p + -J1 ~:~2

sin р

n2 -1

(9)

Естественно предположить, что

R

< 1 и |sin ф| < 1. Тогда, используя выражения

(9) и (8), продольную сферическую аберрацию можно определить степенным рядом

Маклорена в виде

л f 1 П г, ■ 1 r0 . 2 1 ( 1 n - 6 V . 3

As =--R sin ф---—sin2 ф + -1 1 +--IR sin3 ф-

2 n -1 2nn -1 81 3nn -1 J

3 f 3 л (10) 1 n3 +1 r0 . 4 1 L 1 3n - 5 1 n3 +1 V

0 • 4

--3--^—Sin фН--

8 n3 n2 -1 16

1 + " 2 3 v 15nn -1 n -1 n

Rsin5 ф-...

В соответствии с рисунком имеем: ф = s = s ' + о'. При этом

f /2 •2 • f n Sin ф = Sin ф cos о +y¡n - Sin ф Sin о

Отсюда находим, что

n2 - Sin2 ф (n - cos о')2

22 Sin ф Sin о

Эти выражения легко преобразовать к виду

n sin о '

Sin ф= / 2 Л

л/1 + n - 2n cos о

Будем приближенно считать, что

по '

Sin ф =-г . (11)

n -1

Заметим, что вносимая в изображение точки эвольвентной поверхностью вращения продольная сферическая аберрация не должна зависеть от знака угла о'. Поэтому, используя соотношение (11), поперечную сферическую аберрацию, вносимую в изображение осевой точки поверхностью вращения, в соответствии с выражением (10) определим степенным рядом вида

1 n2 „ , гтт 1 n ,3 1Л 1 n - 6 ^ n3 ■

5g' = RоЧо'2 ----г0о'3 + -I 1 + Rо 'Чо'2 -

2(n -1)2 2n (n - 1)3 0 8 ^ 3nn -1) (n -1)3

i 3 Л (12)

1 n П +1 ,5

8 n2 - 1(n -1)4 0

Поперечная сферическая аберрация в изображении точки, образованном традиционной несферической поверхностью вращения, определяется степенным рядом, содержащим нечетные степени функции sin а '. Степенной ряд (12), определяющий сферическую аберрацию в изображении точки, образованном бинарной поверхностью вращения, включает члены, содержащие не только нечетные, но и четные степени функции sin а '.

Пусть сферическая аберрация определяется первыми двумя членами ряда (12): 1 n2 „ , гтт 1 n

г0о +...

' = - '' 2 ЯеЧе'2 ----г0а '3. (13)

2 (п -1)2 2п (п -1)3 0

Положив при некотором (выбранном) значении а ' = а 'к сферическую аберрацию

5g '(а К) = 0, получаем:

2

R =. r0 i

n-1 n

При о i = ко' выражение (13) можно представить в виде

5g' = k^iX -о '2 '

2(n -1)3^V кр Г

Пусть, например, k = 4. При этом 5g ' = 1 ПГо

3Í3Jа'ра'2 - 4а'2 W 8(n - 1)3VV кр Г

Возможный вид кривой сферической аберрации, определяемой выражением (14), показан на рис. 3.

-1.0

Рис. 3. Сферическая аберрация эвольвентной поверхности

Заметим, что сферическая аберрация в изображении точки, образованном поверхностью, полученной вращением нижней ветви эвольвенты, т.е. при отрицательных значениях угла ф, определяется выражением (12), если при этом знаки перед членами, содержащими угол о' в четной степени, изменить на обратные.

Заметим, что при R = 0 члены в выражении (12), содержащие угол о' в четной степени, обращаются в нуль.

m

Фокусное расстояние f' =-, на рис. 2 равное отрезку NF', находим в соот-

sin а '

ветствии с теоремой синусов из треугольника NCs F :

NF' = _si:np_CSF' = nCsF'. - sin е '

Используя формулу (6), получаем:

f' = nrs

2 2 2 n - sin Р+л] 1 - sin р

n

(15)

При ф = 0 : = " г0. При этом отступление от условия синусов 5 определяется п -1

соотношением

5 =

f ' - f0

f0

n - sin р+л] 1 - sin р n+1

Выражение (16) можно представить степенным рядом Маклорена в виде:

5 1R •

5 =--sin р

2 r0

1 2 n-6 R 3 sin р+---sin р

2n

24n r0

1 n3 +1 . 4

--^sin р +...

n +1 8n3

Применив приближенное соотношение (11), получаем:

1 n R 1

5 =---а -

n

2 n -1 r0 2 (n -1)2

2n

а'2 +

n - 6 R ,3 1 n n3 +1 ,4

--3— а----- а +...

24 (n -1)3 r0 8 n + 1(n -1)4

(16)

(17)

(18)

При малой линейной величине у' изображения меридиональная кома определя-

r

s

r

0

ется формулой [3]:

5gk = У-d-\5 sin а Ч-5^ \ (19)

d(sin а' )l s'p - s0

Здесь 5g' - поперечная сферическая аберрация, s'0 - расстояние от вершины поверхности до параксиального изображения осевой точки предмета, s'p - расстояние от вершины поверхности до осевой точки выходного зрачка. Заметим, что меридиональная кома, вносимая в изображение внеосевой точки эвольвентной поверхностью, не должна зависеть от знака угла а'.

В рассматриваемом случае удобно принять s'p =<х . Полагая при этом sin а' « а',

получаем:

Sg = У'

n R 3 n '2 n2 n - 6 R '2 r-2 5 n n3 +1 M

--'\¡a---2a +---а va----го +...

n-1 r0 2(n-1)2 6 (n-1)3 r0 8 n + 1(n-1)

4

. (20)

Меридиональная кома в изображении точки, образованном традиционной несферической поверхностью вращения, определяется степенным рядом, содержащим четные степени функции sin а'. Степенной ряд (20), определяющий меридиональную кому в изображении точки, образованном бинарной поверхностью вращения, включает члены, содержащие не только четные, но и нечетные степени функции sin а'.

Пусть меридиональная кома в изображении точки определяется первым двумя членами ряда (20):

8gk = У'

n R г-2 3 n ,2

la----а

n -1 r0 2 (n -1)

2

(21)

Положив при некотором значении а ' = ак меридиональную кому 5g'k (а'к) = 0. получаем:

3 г I—

я = 3 Го ^

2 n -1 v

При о[ = ко 'кр выражение (21) можно представить в виде

8^к = кОр )у'Vo72.

2 (n -1)2 1 кр

Положение оптически сопряженных точек для бесконечно узких пучков лучей в меридиональной плоскости определяется формулой

г 2 г 2 II

n cos 8 n cos 8 n cos8 - П COS8

-'---=-, (22)

s s r

mm m

а в сагиттальной плоскости - формулой:

n' n n 'cos 8 '-n COS 8

--=-• (23)

S' Ss rs

Здесь rm и rs - радиусы кривизны несферической поверхности в точке падения

луча в меридиональной и сагиттальной плоскостях соответственно. Для предмета, расположенного на бесконечно большом расстоянии, из формул (22) и (23) находим: . n' cos8' + n cos8 . 2 .

sm = -1-2-n cos 8 rm , (24)

n - n , n'cos 8' + n cos8 ,

s' =-^-2-n'rs • (25)

n -n

Отсутствие астигматизма в изображении точки определяется равенством sm = s', что равносильно условию

rs = rm cos2 6 ' (26)

Это условие, справедливое для несферической поверхности любой формы, применительно к поверхности вращения второго порядка определяет необходимость совмещения выходного зрачка с одним из геометрических фокусов кривой [4]. Таким образом, для любой поверхности второго порядка существуют два положения анастигматических выходных зрачков. Однако в случае поверхностей, образующих анаберраци-онное изображение осевой точки, устранение астигматизма в изображении внеосевых точек возможно лишь при одном положении входного зрачка.

Представим условие (26) в виде

Гт - rs = rm Sin2 6' .

Для поверхности с эвольвентным профилем:

п 1

Гт - rs = Rtg 2 Ф .

При этом получаем:

. R ф R sin ф sin 8 '= — tg- =--— .

V« 2 ]¡r0 + Rф 1 + cos ф

Применив закон преломления n' sin 8 ' = n sin 8, можно определить угол 8, а вслед за этим можно найти углы главного луча с осью, w и w',

w = ф±8 , w' = ф±8 ', (27)

которые и определяют два положения анастигматических зрачков эвольвентной поверхности.

На рис. 4 показан эвольвентный профиль преломляющей поверхности, разделяющий среды с показателями преломления n1 = 1, n2 = n . Осевая точка входного зрачка расположена в точке P, определяющей телецентрический ход главного луча в пространстве изображений.

- s'm -W -Z'm

F' m F' s

Рис. 4. Астигматизм эвольвентной поверхности

Нормаль к поверхности в точке N падения луча на поверхность образует с оптической осью угол ф, равный углу преломления луча в этой точке, т.е. ф = -6 '. Главный луч пересекает гауссову плоскость изображения в точке F'w на расстоянии у' от оптической оси. В рассматриваемом случае формулы (24) и (25) можно переписать в виде ncos6 ' + cos6 2

S' =

s ' =

n2 -1 n cos 8 ' + cos 8 n2 - 1

n cos 8' (r0 + Rф), n(ro + Rф- Rtg 2).

(28) (29)

Применяя закон преломления в виде n sin е ' = sin е и учитывая тот факт, что sin р = - sin е ', выражения (28) и (29) можно представить степенным рядом Маклорена:

, n n „ . 1L 3 i . 2 13n + 5n.3

sm =--r0 +--Rsinф--1 1 +-— |nr0 sin ф----nRSin ф-

n -1 n -1 2 V n -1J 6 n -1

1 Г 3 i 2 -4

— I n--In r0 Sin Ф + ....

8 V n -1J 0

2

, n 1 n^. 1 n . 2 1 6n -ss =-r0 +---R sin ф---r0 sin ф---nR sin ф-

n -1 0 2 n -1 2 n -10 24 n -1

3

1 n + 12 -4

(30)

(31)

-n r0 sin ф + ...

8 n2 -1

В соответствии с рис. 4 отрезок NF, = OF0' - OK = f0' - OCs + KCs, где n

f0' =-r0, KC = rs cos р . Используя формулу (5), в результате преобразований полу-

n-1

чаем:

r0

NF, =—0--R sin р + (r0 + Rр)cos р.

n-1

Полученное выражение можно представить степенным рядом вида:

NFW -1 r0sin2 р- 1Rsin3 р-1 r0sin4 р-••• (32)

n -1 2 3 8

При этом осевая составляющая искривления поверхности изображения, образованного узкими пучками лучей в меридиональной плоскости, равна

, , n 1 n2 + n +1 . 2 1 3n2 + 3n + 2„ . 3 = sm - NF,', =-R sin р---r0 sin р---R sin р-

m m w i T— - т

n -1 2 n -1 6 n -1 (33)

1 (n - 1)(n3 -1) - 3n2 . 4

-r0sin4 р +...

8 n -1

Сагиттальная составляющая искривления поверхности изображения равна:

1 n 1

Г n2 i

2 n -1 2

z's = s's -NF' =--Rsinф^- 1--r0 sin2 ф + — 8-n--Rsin3 ф-

v n -1J

1

Г 5n2 i

24

v n -1J

1 n5 +1 . 4

-y eif

8 n2 -1 r°

(34)

r0 sin ф + ...

Из рисунка следует, что -в , = ф = 14,-в . Применив закон преломления, находим,

что sinф = sinw д/1 - n sin ф + cosw • nsinф . Это выражение легко преобразовать к виду: sinw

sin ф =

/1 - 2n cosw + n2

Приближенно будем считать, что w

sin р^-. (35)

1-n

Меридиональная и сагиттальная составляющая искривления поверхности изображения не зависят от знака угла w. Поэтому соотношение (35) запишем в виде

- 1 ,

sin р «-Vw

1-n

Подставив это соотношение в формулы (33) и (34), получаем:

' n „ i 2 1 n3 -1 2 1 3n3 - 4 2

z„ =--kVw---^ r0w----Rw л w -

m (n -1)2 2(n -1)4 0 6 (n -1)5

1 (n - 1)(n3 -1) - 3n2 4

r0 w +...

8 (n -1)5 0

.1 n i 2 1 n2 - n +1 2 1 6n2 - 9n + 8 „ 2 ГГ

z =--- R\ w---— r0 w---— Rw л w -

s 2(n -1)2 2 (n -1)3 0 24 (n -1)4

1 n5 +1 4

(37)

8(n + 1)(n -1)5 0

r0 w + ...

В области аберраций третьего порядка осевая составляющая пецвалевой кривизны поверхности изображения определяется соотношением [5]:

3г ' - г '

г' -т (38)

Р 2

Будем считать, что меридиональная и сагиттальная составляющая кривизны поверхности изображения определяются первыми двумя членами соответствующих выражений (36) и (37). Подставив при этом соответствующие выражения в соотношение (38), получаем:

п „ г^ 1 г0 2 п

z'=--—- Rjw2---^ w2 = z' +-R,¡w2. (39)

Рэ 4(n -1)2 2 n -1 p 4(n -1)2

Отсюда следует, что замена сферической поверхности эвольвентной приводит к некоторой компенсации кривизны поверхности изображения без изменения ее пецвалевой составляющей.

Из рис. 4 следует, что y' = rs sin ф . Это выражение можно представить степенным рядом вида:

y' = r0 sinф + 2Rsin2 ф + 214Rsin4 ф +... (40)

Вполне очевидно, что величина изображения не изменится, если эвольвентную поверхность дополнить плоской, образовав таким образом плосковыпуклую линзу. При этом номинальная величина изображения определяется соотношением

y0 fл (w+i w+.,

r

где f =

n-1

Применив приближенное соотношение (35), выражение (40) можно представить в

виде

r0 + 1 R 2 + 1 R 4

у =--— w +---- w +---- w + ...

п -1 2(п -1)2 24 (п -1)4

Тогда дисторсия Ау' изображения, образованного плосковыпуклой линзой с эволь-вентным профилем выпуклой поверхности, равная разности у' - у 0, определится выражением

А , 1 Я ГГ 1 Г 3 1 Я 3 г^ /„-.ч

Ау =--- wлw2 +--— w +--г wV w2 +... (41)

2(п -1)2 3 п -1 24 (п -1)4

Профессор М.М. Русинов показал [2], что в изображении, образованном плосковыпуклой линзой с эвольвентным профилем выпуклой поверхности, при плоской поверхности, обращенной к предмету, и при телецентрическом ходе главного луча в пространстве изображений можно получить нулевое значений дисторсии для некоторой

(выбранной) величины полевого угла Однако и в рассматриваемом случае возможно решение этой задачи. Действительно, если предположить, что выпуклая поверхность образована вращением нижней ветви эвольвенты окружности, то в выражении (41) перед членами, содержащими четные степени угла следует изменить знак на обратный (отрицательный). При этом при Ау ' = 0 получаем:

2 (n - 1)л/w2 n -

я = 3-:-— г0 « 2—г0 V *

3,1 * 3

1 +--^

12 (п -1)2

Из анализа полученных соотношений следует, что эффективность влияния эволь-вентного профиля поверхности вращения на аберрации изображения определяется прежде всего величиной радиуса Я. При Я = 0 эти соотношения определяют аберрации изображения, образованного сферической преломляющей поверхностью.

Как показал профессор А.П. Грамматин [6], поперечными аберрациями второго порядка обладает изображение, образованное оптическими поверхностями, которые получены путем вращения любой плоской кривой вокруг нормали в некоторой ее точке, когда нормаль не является осью симметрии этой кривой. Таким образом, поверхность вращения с эвольвентным профилем можно считать частным случаем несферических поверхностей этого вида.

Образующую кривую такой поверхности можно определить уравнением вида:

г = ар2 + а 2р3 +... + апрп+1. (42)

При р = л/х2 + у2 вращение этой кривой образует одну поверхность, а при

р = -д/х2 + у2 - другую, как показано на рис. 5. Следовательно, и в этом случае вращение кривой (42) образует бинарную поверхность. При анализе аберраций второго порядка достаточно ограничиться рассмотрением поверхности, представленной уравнением

2 3

2 = ар + а2р .

Будем считать, что в рассматриваемом случае

2 2 I 2

г = ар + а2р д/р .

При этом можно показать [7, 8], что меридиональная и сагиттальная составляющие поперечной аберрации второго порядка определяются следующими соотношениями:

5g' = д[э 4 т 2 (да 2 + М 2) + s2ps 212(6да 2 + М 2) -

1/ (43)

- 2s ps 3/m(2m 2 + M 2) - 4s psl3 m + s 4pl 4]/2 sign y,

8G' = Q[s 4 M 2(m2 + M2) - 2sps 4mM2 + s ps2 /2 M2 + s 4pl 4]^sign x, (44)

где m и M - координаты падающего луча на входном зрачке в меридиональной и в сагиттальной плоскостях; s и sp - расстояние от вершины несферической поверхности до

3а 2 (n ' - n)s'

плоскостей предмета и входного зрачка, соответственно; Q =--2----коэффи-

n'(sp - s)

циент, зависящий от характера деформации поверхности, положения предмета, входного зрачка и плоскости изображения Гаусса (расстояния s') относительно вершины поверхности.

Весьма обстоятельный анализ свойств геометрических аберраций второго порядка, вносимых в образованное изображение рассматриваемой поверхностью, выполнен профессором А.П. Грамматиным и представлен в работе [9].

Наиболее широко в практике композиции оптических систем применяются несферические поверхности вращения второго порядка, образующую плоскую кривую которых можно определить уравнением

р2 = 2г0 г - (1 + а) г2

(45)

Рис. 5. Бинарная поверхность

Следуя методу, предложенному профессором А.П. Грамматиным, образуем несферическую поверхность путем вращения кривой, определяемой уравнением (45), вокруг нормали к ней в некоторой внеосевой точке N (р, г}-). При параллельном переносе системы координат рОг в положение р'N2' в соответствии с рис. 6 имеем:

Р = Р ' + р ], р = г ' + г;.

В системе координат р'N2' уравнение (45) принимает вид

р'2 + 2р;р' = 2[Го - (1 + а)г ^ ]г' - (1 + а)г '2. р А |

(46)

О

Рис. 6. Образующая кривая второго порядка бинарной поверхности

Нормаль к кривой в произвольной точке образует с ее осью угол у, тангенс которого в соответствии с уравнением (45) равен: ёг р

ёр г0 - (1 + а)г При этом для точки N имеем:

tgY, =

р,

го - (1 + а)г

, БШ у , =

1 + tg2 У,

, СОБу , =

БШ у} tgí,

1

1 + tg2 У ,

Повернем систему координат р'Ыг' на угол ув положение р"Ыг" до совмещения оси Ыг" с нормалью к кривой в точке N. Координаты р' и г ' произвольной точки в системе координат р"Ы " равны:

(р^ (cos у . - sin у . ^

P

Vz У

sin y ¡ cos y ¡ y

(р^

Vz У

При этом уравнение (45) в системе координат р "Nz" принимает вид: ар"2 + Ър" + ср "z" + dz " + ez "2 = 0, (47)

где а = 1 + а sin2 y . , Ъ = 2[(1 + a)z. sin y . +р . cos y . - r0 sin y . ], с = 2а sin y . cos y ., Ъ = 2[(1 + а)z. cos y. -р. sin y. - r0cos y . ], а = 1 + а cos2 y .. При р" = л\x2 + y2 уравнение (47) в форме

а(x2 + y2)±^x2 + y2 ±cz,Jx2 + y2 + dz + ez2 = 0 (48)

определяет бинарную поверхность вращения. Заметим, что уравнение (48) представляет собой неявно заданную функцию. Может оказаться удобным представить уравнение (48) в виде

2 2 2 2 2 x + y ± а1 x + y + а2 z z =----у —2— . (49)

¿0 ±ъхл\х + уу

Уравнение поверхности в форме (49) позволяет определить, например, координаты точки падения луча на поверхность методом итераций. Вполне очевидно, что при у^ = 0 коэффициенты а = 1, Ъ = рj = 0, с = 0, d = 2(1 + а)г-2г0 = -2г0, е = 1. При

этом уравнение (47) принимает вид уравнения (45) (штрихи при соответствующих величинах за ненадобностью опускаем). С другой стороны, при у= П разность г0 - (1 + а)= 0. При этом:

=-+-, рj =д/2Г0 - (1 + а) г2 = ^++^0, а = 1 + а , Ъ = 2[(1 + а)г;= 0,

1 + а V ./ 1 + а

с = 0, d = -2р, = -2^ + а г0, е = 1.

1 + а

Подставив эти значения коэффициентов в выражение (47), получаем р2 = 2^г - (1 + а± )г2, (50)

л/т+а 1

где Г01 = (1 + )2 , 1 + °1 = ^ .

(1 + а) 1 + а

Полученное уравнение определяет вещественные значения величины при а > -1. При этом при р2 = х2 + у2 уравнение (50) определяет эллипсоид вращения; если при

у / = 0 эллипсоид был вытянутым, то при у . = П получаем сплющенный эллипсоид, и

; ; 2

наоборот. В общем случае вращение эллипса вокруг нормали к кривой в произвольной точке образует бинарную поверхность, как показано на рис. 7.

Применение несферических поверхностей вращения второго порядка при композиции оптических систем позволяет успешно решать задачу исправления аберраций третьего порядка образованного ими изображения. Однако при сравнительно больших светосиле и угловом поле оптических систем остаточные аберрации высшего порядка принимают нередко недопустимо большие значения, для исправления которых несферические поверхности второго порядка заменяют поверхностями более высокого порядка.

/ N

Рис. 7. Сечение бинарной поверхности, образованной вращением эллипса

Такие поверхности традиционно принято представлять уравнениями вида

2 2 3

р = а1 г + а 2 г + а3 г +... + а

г"-1 + а г"

г = а1р2 + а 2р 4 +... + ап-1р2( "-1) + ап р2"

или

г =

ср

1 + ^ 1 - (1 + а)с 2р2

2 2п

+ а1р2 + . + апр 1п:

(51)

(52)

(53)

1

где с = —, р = х + у .

В том случае, когда изменение аберраций в пределах светового пучка лучей имеет весьма нелинейный характер, применение традиционной формы представления несферических поверхностей не всегда решает задачу требуемого исправления аберраций. В этом случае приходится прибегать к поиску другого вида уравнения для аппроксимации формы несферической поверхности.

При контроле несферических отражающих поверхностей астрономических зеркал широко применяется автоколлимационная схема с линзовым компенсатором. Применение такой схемы всегда сопряжено с необходимостью так или иначе решать проблему аттестации компенсатора, поскольку погрешности его изготовления непосредственно влияют на форму волнового фронта, отраженного от контролируемой поверхности, причем как в прямом, так и в обратном ходе лучей. Для проверки точности изготовления деталей и сборки двухлинзового компенсатора схеме контроля формы отражающей поверхности зеркального параболоида диаметром 6.5 м при относительном отверстии 2А = 1:1.25 было использовано эталонное зеркало с несферической поверхностью, имитирующей отражающую поверхность контролируемого параболоида [10], при этом каждый луч, выходящий из компенсатора, падает на поверхность эталонного зеркала по нормали к ней и отражается обратно к компенсатору, как показано на рис.8.

\

\

\

Рис. 8. Оптическая схема контроля компенсатора

Расположенное в непосредственной близости от компенсатора, эталонное зеркало имеет сравнительно небольшой диаметр, что определило возможность обработки его

отражающей поверхности методом алмазного точения на станке с программным управлением. Профиль отражающей поверхности эталонного зеркала, по сути дела, представляет собой эвольвенту эволюты профиля контролируемого параболоида, расположенную вблизи каустики нормалей к поверхности параболоида. Важно заметить, что при постоянном размахе отклонений эвольвенты от окружности с уменьшением диаметра эталонного зеркала нелинейность профиля его отражающей поверхности растет. Поэтому попытка традиционной аппроксимации отражающей поверхности эталонного зеркала уравнением вида (53) даже при использовании десяти коэффициентов степенного ряда привела к огромной величине остаточной деформации волнового фронта [11]. Замена этого уравнения неявной функцией вида

F (^ г) = - г + aR 2 + bR 4 + cR6 + dR 2 г + eR 4 г +

(54)

+ /г 2 + gR 2 г 2 + кг3 + jR 2 г3 + кг 4 = 0,

где R = (х2 + у2)^, при том же числе коэффициентов позволила уменьшить размах остаточной волновой аберрации на четыре порядка.

Неявная форма представляет собой наиболее общую форму уравнения несферической поверхности. Однако, кроме традиционной, существуют и другие формы уравнений, определяющих несферические поверхности в явном виде.

Так, например, в афокальной оптической системе для расширения лазерного пучка лучей, образованной сочетанием двух светосильных отражающих поверхностей, при сферической форме отражающей поверхности большого зеркала поверхность малого зеркала была аппроксимирована явной функцией вида [11]:

У 6/ 8/ 2( п+1)/

F(р,г) = -г + Ьр3 + Ь2р73 + Ь3р/3 + Ь4р /3 +... + Ьпр /3 , (55)

где р = (х2 + у2)^.

Оказалось, что при относительном отверстии поверхностей 2А = 1:1 и аппроксимации отражающей поверхности малого зеркала функцией (55) рассматриваемая афо-кальная система обладает лучшей коррекцией аберраций, чем при аппроксимации уравнением традиционной формы. Однако при подобной аппроксимации отражающей поверхности малого зеркала в двухзеркальной системе кассегреновского типа при относительном отверстии сферического зеркала 2А = 1:0.7 остаточные аберрации оказались больше, чем при аппроксимации той же поверхности неявной функцией (54) и при традиционном описании поверхности.

Профессор Д.Т. Пуряев показал [12], что при сферической форме большого зеркала форма поверхности малого зеркала в афокальной оптической системе определяется эквидистантной отражающему параболоиду поверхностью, т.е. профиль отражающей поверхности малого зеркала представляет собой эвольвенту эволюты параболы. На рис. 9 показано сечение оптической системы из двух отражающих поверхностей произвольной форма меридиональной плоскостью. На рисунке с вершиной сечения малого зеркала совмещено начало системы координат уог, а с вершиной сечения большого зеркала - начало системы Г07.

В соответствии с рисунком и принципом таутохронизма имеем:

ЛВМЫ = г + ВМ - d -7 = ^, (56)

где d - расстояние между отражающими поверхностями.

Из рис. 9 следует, что отрезок ВМ

ВМ = - d + г - 7 . (57)

сов2ф

Подставив соотношение (57) в равенство (56) и преобразовав его, получаем

7 - г = ^ ■ tg2ф. (58)

C Z, z

Рис. 9. Афокальная двухзеркальная система со стигматической коррекцией аберраций

Из того же рисунка находим, что

Y - y = (-d + z - Z)tg2ф . (59) Выполнив в этом выражении в соответствии с соотношением (58) замену величин

и преобразовав его, получаем

Y - y = -2d • tgф . (60) Для большого зеркала имеем

Y = R • sin ф, Z = R - R • cos ф,

где R - радиус кривизны сферической поверхности. При этом

y = R • sin ф + 2d • tgф, (61)

y = R - R • cos ф + d • tg2 ф.

(62)

Пусть некоторая кривая задана уравнением y0 = /0(z0). Пусть ф - угол между нормалью к кривой и осью z0. Тогда для эквидистантной кривой yэ = /(zэ), каждая точка которой смещена по нормали к поверхности y0 = /0(z0) на расстояние L, имеем:

Уо - Уэ = L • sin Ф, z0 - zэ = L - L • cos ф .

Пусть кривая y0 = /0(z0) описывает параболу: y0 = 2rpz0. Для параболы справед-

Уо2

1

ливо соотношение: y0 = rp ■ tgф . При этом z0 =-= — rp ■ tg ф . В этом случае имеем

2rp 2

Уэ = Уо -L• sinф = rp • tgф-L• sinф,

12

z3 = z0 - L + L • cos ф = 2 rp ■ tg ф- L + L • cos ф

Положив rp = 2d, а L = -R, получаем y э = R • sin ф + 2d • tgф, z3 = R - R • cosф + d • tg2ф .

(63)

(64)

(65)

(66)

Сопоставив выражения (61), (62) и выражения (65), (66), приходим к выводу, что кривая, определяемая формулами (61) и (62), представляет собой кривую, эквидистантную параболе с радиусом кривизны при вершине гр = 2ё и удаленную от последней на

расстояние Ь = -R . При этом в выражениях (63) и (64) естественно принять у э = у,

Из выражений (63) и (64) соответственно находим, что

У

z э = z .

L • sin ф = rp • tgф- y,

Г 1 2

L • cos ф = z + L - 2 rp ■ tg ф.

Отсюда следует, что

rP • ^Ф-У tgф =-p

12

z+L - 2 rp • tg ф

или

13

у = (гр - Ь - г)tgф + 2 Гр • ^ Ф . (67)

Из выражения (63) получаем

(г^ф - У)2(1 + tg2Ф) - Ь2tg2Ф = 0 (68)

или в развернутом виде

rptg4ф - 2ypptgЗф + (гр + у2 - Ь2 ^2ф) - 2уг^ф + у2 = 0. (69)

Для краткости записи удобно обозначить tgф = у. Тогда, выразив линейные величины в масштабе радиуса гр при вершине параболоида, выражения (67) и (69) можно представить в виде

у3 + 2(1 -Ь - г)у-2у = 0, (70)

у4 - 2уу3 + (1 - Ь2 + у2 )у2 - 2уу + у2 = 0. (71)

Запишем уравнение (70) в виде

у3 + 3 ру + 2д = 0, (72)

2

где р = 3(1 - Ь - г), Я = -у .

Из уравнения (72) следует, что у3 =2у -3ру, у4 =2уу-3ру2

Подставив эти соотношения в выражение (71), получаем:

(т - 3 р)у2 + 6 руу - 3 у2 = 0, (74)

где т = 1 - Ь2 + у2.

Заметим, что т - 3р ^ 0. При этом выражение (74) можно представить в виде

{ Л2 2 2 о 2

= 9 РУ 3у

у + 3^ , 2 . .

т - 3 р J (т - 3 р) т - 3 р

Отсюда следует, что

w = -3^+= -3- РУ г

1 -1 - 3p

4. 2 (75)

т - 3р У (т - 3р)2 т - 3р т - 3р

Заменив в этом выражении координату у координатой р = ^х2 + у2, в результате

очевидных, но весьма громоздких преобразований получаем уравнение несферической поверхности, эквидистантной параболоиду вращения, в виде:

а11р2 + а12р4 + а13рб + а21р2 г + а31р2 г2 + а41р2 г3 + а22р4 г + а32 р4 г2 +

+Ь11г + Ь12 г2 + Ь13 г3 + Ь14г4 = 0, (76)

где

ап = 4Ь(Ь - Гр )3,

«12 = (rp - L)2 - 9L(2r + L),

12

«13 = 4,

«21 =

«31

4(Гр -L)(4L2 + 15Lrp -r2p ), 8 [(2rp - L)2 - 2L(rp + L)],

«41 =-16rp

«22 = 4(2L - 5rp ),

«32 = 4,

¿11 = 8L(rp -L)4,

¿12 = 4(rp - L)2 [(rp - L)2 - 8Lrp ],

¿13 = 8rp [4Lrp - (rp - L)2 ],

¿14 = 16rp2.

Литература

1. Слюсарев Г.Г. Методы расчёта оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.

2. Русинов М.М. Композиция оптических систем. Л.: Машиностроение 1989. 383 с.:

3. Слюсарев Г.Г. Геометрическая оптика.. М.-Л.: АН СССР, 1946. 332 с.

4. Русинов М.М. Несферические поверхности в оптике. М.: Недра, 1973. 296 с.

5. Зверев В.А. Основы геометрической оптики..СПб: СПбГИТМО, 2002. 218 с.

6. Грамматин А.П. Асферические оптические поверхности. // ОМП. 1990. № 2. С. 36, 58, 72.

7. Грамматин А.П., Марчук С.М. Аберрации второго порядка асферической поверхности вращения. // ОМП. 1990. № 6. С. 40-41.

8. Грамматин А.П., Марчук С.М. Асферические оптические поверхности нового типа и их аберрационные свойства. // ОМП. 1990. № 11. С. 55-57.

9. Грамматин А.П. Свойства геометрических аберраций второго порядка. // Оптический журнал. 1994. № 8. С 34-38.

10. J.M. Sasian, S.A. Lerner, and J. Burge. Certification of a null corrector via a diamond turned asphere: design and implementation. // Proc. SPIE 3749, 284-285 (1999).

11. S.A. Lerner, J.M. Sasian. Use of implicitly defined optical surfaces for the design of imaging and illumination systems. // Optical Engineering. 2000. V. 39. № 7. 1796-1801.

12. D.T. Puryayev. Afocal two-mirror system. // Optical Engineering. 1993. V. 32. № 613251327.