CC BY
44
ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ СИНТЕЗ ТРЕХЗЕРКАЛЬНОИ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ БАЗОВОЙ ДВУХЗЕРКАЛЬНОИ
А.Н. Шепелевич Научный руководитель - д.т.н., профессор В.А. Зверев
Разработанная профессором Г.Г. Слюсаревым теория расчета оптических систем на основе введенного им понятия тонкого компонента [1] определила широкое применение теории первичных аберраций не только для расчета, но и для аберрационного анализа оптических систем и составляющих их элементов. Оптическая система из двух отражающих поверхностей сферической или несферической формы при нулевом расстоянии между ними практического смысла не имеет. Однако, дополнив отражающую поверхность плоской, при ё = 0 формально получаем идеально тонкий компонент [2], обладающий аберрационными свойствами первой по ходу луча отражающей поверхности. Оптическая сила /-го тонкого зеркального компонента
Ф, =(-0-> 00
Г
где г, - радиус кривизны первой по ходу луча отражающей поверхности компонента. При таком представлении оптической системы из отражающих поверхностей для определения положения изображения относительно тонких компонентов применимы известные формулы параксиальной оптики и, в частности, например, известная формула отрезков. Оптическая сила системы из двух тонких зеркальных компонентов равна
Ф = Ф1 +Ф2 - Ф1Ф2, (2)
где ё, = (-1)1-6?, ; ё, - расстояние между отражающими поверхностями в исходной сис-
2 2
теме. При этом ф1 =--, ф2 = —; ё = -ё1.
Г1 Г2
Расстояние от оптической оси системы до точки пересечения осевого виртуального луча со вторым компонентом равно
к2 = К ( -Ф1ёэ,).
к
Отношение к = — определяет параксиальный коэффициент экранирования осе-оэ к1
вого пучка лучей (зрачка) по диаметру. При этом
Ф = Ф1 + коэФ2 , (3)
где коэ = 1 -Ф1ёэ1. (4)
Из формулы (3) и (4) следует, что 1 - к
Ф = "7^, (5)
ёэ1
Ф1 =Фк^- (6)
к
оэ
Задний фокальный отрезок при а' = 1 определяется выражением
'=к=к к=к,/'=коэ.
к1 Ф
Этот отрезок удобно выразить через расстояние между компонентами, положив б'р' = к4ёэ1, где кц - коэффициент, значение которого выбирается из конструктивных соображений. При этом
= ^, (8) к
5
1 ■ к
Ф1 = К , (9)
к„
1
' 1 — к ^
Ф2
к
1 - к
к
оэ V оэ у
(10)
кр = ^ - а 2= \ - \ф^р =1--^ коэФ1.
Кривизна поверхности изображения при равном нулю астигматизме (нулевая кривизна) определяется коэффициентом
'=к Ф
б*=1Ф.
»=1 П
В рассматриваемом случае = -Ф1 — Ф2. Подставив в это выражение соотношения (9) и (10) и преобразовав его, получаем
е-^+1- к=о. (11)
ОЭ т гг ОЭ т гг V '
При 0< к. < 1 изображение, образованное двухзеркальной системой, расположено в сходящихся пучках лучей в промежутке между зеркалами. Используя параметры оптической системы из двух тонких зеркальных компонентов, находим, что разность = dэ1 — .'р>= dэ1 — кДл = (1 — к.) dэ1. При э том для осевого виртуального луча при
к1 = 1 имеем
1 —к-
к
Используя формулу (9), получаем
кр = коэ + к. (1 — коэ). (12)
Пусть Вр - диаметр сечения сходящегося осевого пучка лучей в плоскости расположения изображения. При этом приближенно справедливо следующее геометрическое соотношение:
В к -Р = -Р = к
в к кр,
где В - диаметр входного зрачка. Отсюда следует, что Вр = Вкр = коэВ + (1 — коэ )к.В.
Диаметр изображения, образованного рассматриваемой оптической системой, равен 2у' = —2 jtgW, где Ж - угол поля в пространстве предметов. При этом экранирование осевого пучка лучей поверхностью изображения определим коэффициентом к„э, равным
к = 2/=— = — (13)
" Вр коэ + К (1 — коэ )В коэ + К (1 — коэ к
где ¥ - диафрагменное число. Вполне очевидно, что должно соблюдаться условие кт < коэ. При этом из выражения (13) следует, что
к >--
¥
2 ( л Ь \
1 + к
1 к„.
к у
оэ /
(14)
При к = 1 = . Таким образом, чем меньше диафрагменное число ¥ (чем
¥
светосильнее система), тем угловое поле больше.
Кривую сечения несферической поверхности вращения меридиональной плоскостью в декартовой системе координат определим уравнением
у2 = 2гг -(1 + Ь)2, (15)
где г - радиус кривизны поверхности в осевой точке, Ь - эксцентриситет кривой второго порядка, образующей поверхность вращения.
Можно показать, что при апланатической коррекции аберраций третьего порядка, т.е. при отсутствии в изображении сферической аберрации (йг = 0) и комы третьего порядка (йц = 0), коэффициенты деформации отражающих поверхностей соответственно равны:
Г , Л3
Ь =-1 = -1
и1 1 ^ 3 ; 2
; 3 3
Ф1
коэ 1
4 V
1 - к
оэ у 2
- коэФ2 (1 + Ф1 )
1 - к.
1 - ко
к
3
2 А. -
к
1 - к
1 - к
к
1 + к.
1 - к
оэ у
к
оэ у
оэ
При йг = 0 и йц = 0 коэффициент 1 - 2 ( - кДу )
йш =
2к
где йгу = - ф1 - ф2.
(16)
(17)
(18)
Рис. 1. Схема трехзеркальной оптической системы
В общем случае йш ^ 0 и йгу ^ 0. Для достижения планастигматической коррекции аберраций изображения, при которой йг = йц = йш = йгу= 0, двухкомпонентную
зеркальную систему можно дополнить третьим зеркальным компонентом ф =-Рас-
смотрим оптическую систему, схема которой показана на рис. 1, для которой/': Б
3
в,
При диаметре третьего компонента, равном В3, в соответствии с уравнением (15) имеем:
В32 = 8Г3Д3 -4(1 + Ъъ)Дз2,
где Д3 - «прогиб» вогнутой поверхности третьего компонента (Д3 < 0).
В соответствии с рисунком, на расстояние от третьего компонента до изображения, образованного двухкомпонентной системой, и на расстояние от третьего компонента до изображения, образованного третьим компонентом (и всей системой в целом), должны быть наложены следующие очевидные геометрические ограничения:
а3 < Д3 - — В,
3 3 з
а'3 > В - Д3,
где В - диаметр входного зрачка системы. В общем случае отрезки а3 и а'3 можно выразить через диаметр В соотношениями вида:
а3 =—1 к,В, а3 =1 к,В -1 В + кзВ = к 1 3 2 3 3 1 3 3 ^
где к1 > 1, к3 > 1. При этом, используя формулу отрезков, находим, что оптическая сила третьего компонента, приведенная к оптической силе всей системы (ф < 0), равна
фз=/'оА—а,=/' з3(к1+кз)-1=-3/3(к1+кз)-1. (19)
а3а' к1В к1 + 3кз -1 к1 к1 + 3кз -1 Отсюда следует, что при к1 = 1, кз ^да: ф3 ^ -3/; при к1 ^го, кз = 1: ф3 ^ 0. Положив к1 = кз = 1, получаем ф3 ^ -3/.
Поперечное увеличение изображения, образованного третьим компонентом, равно
У3 = О3 = -1 - 3Ь-1. (30)
а3 к1
При к1 = 1, кз ^да: У3 ^-да; при к1 ^да, кз = 1: У3 1х. При к1 = 3кз - 1: У3 3х, при этом при кз = 1 коэффициент к1 = 1.
Таким образом, в пределах разумного конструктивного решения задачи построения трехзеркальной системы можно принять, что
ф3 > 3/, а У3 < -3х.
При выбранной величине У3 фокусное расстояние двухкомпонентной системы равно
/13 = 1 /', (31)
У3
а оптические силы первых двух компонентов, приведенные к оптической силе всей системы, определяются соотношениями:
ф 1 = /=/ =Ф^/=у3ф1; /1 /1 /13 /13 аналогично находим, что фз = У3фз.
Как следует из формулы (30), диафрагменное число двухкомпонентной системы в составе трехкомпонентной равно
/,3=/3=1 /=--! /.
13 В У3 В У3
Величина Б12 принципиально не может быть меньше 0,5 при соблюдении условия синусов. Следовательно, диафрагменное число Е = -У3 Е12 не может быть меньше значения, определяемого приемлемыми величинами Е12 и У3.
Кривизна поверхности изображения, образованного рассматриваемой оптической системой в целом, определяется коэффициентом
й1УЕ = -ф1 -ф2 -ф3 = -3 (Ф1 +Ф2 ) -ф3 = Vй1У - ф3 ,
где йгу - коэффициент, определяющий кривизну поверхности изображения, образованного двухкомпонентной оптической системой. При йгга = 0 коэффициент
1 2 ( к + к2)-1
й:у —Ф3 = 2 -. (22)
1¥ У3 3 (к + 2к2 -1)2
Подставив соотношение (22) в уравнение (11), при выбранном значении коэффициента к$ получаем уравнение относительно величины коэ, решив которое, находим все параметры рассчитываемой системы.
Пусть, например, требуется определить конструктивные параметры трехзеркаль-ного объектива при /' = -1000мм, Е = 2,5 , 2 Ж = 2°. Диаметр входного зрачка системы
Б = -—= 400мм. Из конструктивных соображений принимаем к1 = 1,2 , к2 = 1,1. При
Е
этом из выражений (19), (20), (21) и (22) находим, что ф3 =-6,25, У3 =-2х, /2 = 500мм, й1У = 3,125 . Приняв к4=0,3 и подставив найденное значение коэффициента йгу в уравнение (11), получаем к2э + 0,5664коэ - 0,1062 = 0 .
Параметрам рассматриваемой системы соответствует корень этого уравнения
коэ = 0,1485 . Положив в соотношениях (8), (9) и (10) коэффициент коэ = 0,2, находим,
что кэ1 = 0,495, ф1 = 1,7202, ф2 = -4,8498 . При этом ё1 = ёэ1 - /2 = -247,5,
2 2 2 г1 = — /1'2 = -581,33 мм, г2 =— /1'2 = -206,2 мм. Кроме того, г3 =--/' = -320мм .
Ф1 Ф2 Рр3
Расстояние между второй и третьей отражающими поверхностями рассчитываемой оптической системы равно
ё2 = + 2 к1Б = 314,25 мм.
В результате выполненных вычислений получаем оптическую систему, которую можно записать в виде:
п = 1
Г1 =-58и3 ё1 =-247,5 1
г2 =-206,2 П2 •
2 ё2 = 314,25 п = 1
г3 =-320 2 П3 1
п4 =-1
В рассматриваемом случае коэффициент коэ=0,1485«0,15. Принято считать допустимой максимальную величину коэ = 0,3 . Поэтому выходной зрачок рассматриваемой
оптической системы (апертурную диафрагму) можно считать расположенным в плоскости, проходящей через вершину третьей отражающей поверхности.
Последующая оптимизация значений коэффициентов деформации Ь1, Ь2 и Ь3 отражающих поверхностей по критерию минимизации значений сферической аберрации, комы и астигматизма приводит к получению системы, параметры которой приведены в табл. 1, конструктивные параметры - в табл. 2, а остаточные аберрации - в табл. 3.
Фокусное расстояние в мм Диафрагменное число Угловое поле (2 омега )
Положение предмета относительно первой поверхности Положение изображения относительно последней поверхности Диаметр входного зрачка
Положение входного зрачка относительно первой поверхности Положение выходного зрачка относительно последней поверхности Основная длина волны в нм
1000.0 2.500 2°00'20" бесконечность -479.98 400.000 -2741.98 0
546.070
Таблица 1. Параметры системы
#
ПОВ
1 2 3
РАДИУСЫ
-581.330A -206.200A -320.000A
D
-247.50 314.25
МАРКИ СТЕКОЛ
ПОКАЗАТ. ПРЕЛОМЛ. 1.000000 -1.000000 1.000000 -1.000000
СВЕТОВЫЕ ДИАМЕТРЫ
493.68 89.78 192.31
СТРЕЛКИ
-52.64 -4.46 -14.70
Таблица 2. Конструктивные параметры
S0 ! Z0 ! Z'0(0) S'0(0) F'(0) УЗР(0) S'A
-2742. 0 -480.0 1000.0 -.4800 -479.9
MU=0 H ДS'(0) TGC' Y'(0) W(0) ЭTA %
200. -.0241 0.204 ! -.0049 .716-5 -.0424
173. .00281 0.176 ! .494-3 -.0873 -.0436
141. 0.0130 0.143 ! .00186 .654-6 -.0375
100. .00375 0.101 ! .377-3 0.0937 -.0232
MU Z Z' TGC' Y'(0) ДИС ! Z'M
0.0124 -2732. 0 -.0258 -12.4 ! .00639 -.0259
0.0175 -2722. 0 -.0364 -17.5 ! 0.0177 -.0322
MU H TGC' ДTGC' ДУ' W(0)
0.0175 200. 0.166 ! 0.203 ! -.0331 0.562 !
173. 0.138 ! 0.175 ! -.0108 -0.460
141. 0.106 ! 0.142 ! .00195 -0.658
100. 0.0640 0.100 ! .00501 -0.326
-100. -0.138 -0.102 0.0135 0.987 !
-141. -0.181 -0.145 0.0215 2.32 !
-173. -0.215 -0.179 0.0274 3.76 !
-200. -0.244 -0.208 0.0327 5.23 !
MU ! M TGC' TGD' ДХ' W(0) ДУ'
0.0175 200. -.0373 0.204 ! -.0204 1.54 ! .00297
173. -.0371 0.176 ! -.0100 0.820 ! .00419
141. -.0368 0.143 ! -.0042 0.435 ! .00419
100. -.0366 0.101 ! -.0020 0.223 ! .00284
MU ! H TGC' ДTGC' ДУ' W(0)
Z'S
-.027910.00203! -.0322I-.706-6!
Таблица 3. Остаточные аберрации
Конструктивно малое плоское зеркало расположено в сходящемся пучке лучей, отраженном поверхностью третьего зеркала, а, следовательно, экранирует центральную зону пучка лучей. Заметим, что линейные размеры плоского зеркала определяются линейным полем промежуточного изображения. Следовательно, экранируемая плоским зеркалом центральная зона пучка лучей определяет угловое поле рассматриваемой оптической системы в целом.
Диаметр светового пучка лучей в плоскости, перпендикулярной оптической оси третьего компонента и содержащей оптическую ось двухкомпонентной системы, равен
Dp = (a3 + a3 )• 21tgc'\ = 2^2 -1 = D\sin a'|. Но |sin a'| = = . При этом
Vi—si
Sin2 С'
2 | f '\ 2F
D = ^=LD.
V4F2 -
(23)
Полагая 2у'« коэБ , где 2у' - диаметр изображения, образованного двухкомпо-
оэ р
нентной системой, получаем
2 У' к Б = ^3
/2 /
2к2 - 1 к О
у! 4 Е2 -1
или
<|
* .
(24)
ЕЛ/4Е2 -1
Отсюда следует, что чем больше величина коэффициента к2 и чем меньше величина Е, тем больше угловое поле системы. Однако следует иметь в виду, что чем больше к2, тем больше абсолютная величина у3, а, следовательно, тем больше светосила двухкомпонентной системы.
Заметим, что при Е = 2,5, ¥3 = -2х и к2 = 1,1 величина 2| tgW\ = 0,196коэ. При коэ = 0,3 угловое поле 2Ж = 3°22 '.
Литература
1. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969, 672 с.
2. Зверев В.А., Шепелевич А.Н. Понятие тонкого компонента в системе отражающих поверхностей. // Оптический журнал. 2006. Т.73. №12. С. 21-26.
