Телеобъектив с афокальной двухзеркальной насадкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ОПТИКА

УДК 535.317

В. А. Зверев, Г. В. Карпова, И. Н. Тимощук ТЕЛЕОБЪЕКТИВ С АФОКАЛЬНОЙ ДВУХЗЕРКАЛЬНОЙ НАСАДКОЙ

Показано, что замена выпуклой отражающей поверхности в афокальной системе из двух сферических зеркал плосковыпуклым зеркалом с внутренним отражением позволяет при малой остаточной величине отступления от условия изо-планатизма успешно компенсировать остаточную сферическую аберрацию изображения. Дополнение афокальной насадки двухкомпонентным телеобъективом позволяет достичь плананастигматической коррекции аберраций изображения.

Ключевые слова: отражающая поверхность, афокальная насадка, условия изопланатизма, сферическая аберрация.

Фокусное расстояние оптической системы, состоящей из афокальной насадки и объектива, в параксиальной области определяется формулой f' = — = — — = Г/o, где f — фо-

а ' h2 а '

кусное расстояние объектива; Г = /ц/ h2 — угловое увеличение изображения, образованного афокальной системой. При этом длина системы определяется как L0 ас = d + /0, где d — расстояние между компонентами системы. В этом случае коэффициент уменьшения длины равен Qoас =Г/(l + d//О). Отсюда следует, что чем больше Г, тем больше Qoас.

В работе [l] для компенсации сферической аберрации изображения, образованного сферической отражающей поверхностью, рассмотрена возможность применения плоскопараллельной пластинки, расположенной в сходящемся пучке лучей. Показано, что при этом может быть достигнута весьма совершенная стигматическая коррекция аберраций: волновая сферическая аберрация изображения бесконечно удаленной точки, образованного сферической отражающей поверхностью при относительном отверстии 1:1,5 и радиусе кривизны, равном 500 мм, в пределах всего зрачка не превышает 0,25 длины волны.

Продольная сферическая аберрация изображения точки, образованного оптической системой, состоящей из сферической и плоской отражающих поверхностей, определяется формулой

А^Сф = 2 (V2/V1 + cos а ' -1) г, (1)

где а ' — задний апертурный угол, г — радиус кривизны образованной поверхности.

Сферическая аберрация изображения точки, образованного плоскопараллельной пластинкой толщиной dra, определяется формулой

А^л = ^ (l - n cos а '/ТП

n

in2 - sin2 а '

Суммарная сферическая аберрация изображения, образованного системой отражающих поверхностей с плоскопараллельной пластинкой в сходящемся пучке лучей, равна А^ = А^Сф + А^ . Положив А^' = 0 , получим

_ 1 1-У2/У1 + cos о' 2 1 - n cos о'/ yf.

2 • 2 n - sin о '

rnr .

(2)

Толщина пластинки из стекла марки ТК8 (пе = 1,61675) при а ' = 30° равна =-0,32г. Таким образом, для компенсации сферической аберрации изображения, образованного отражающей поверхностью сферической формы, необходима плоскопараллельная пластинка достаточно большой толщины.

Рассмотрим аберрационные свойства изображения, образованного афокальной системой из двух отражающих поверхностей сферической формы с плоскопараллельной пластинкой, расположенной в пространстве между поверхностями (рис. 1).

Oí

Рис. 1

Сферическая аберрация изображения, образованного сферической отражающей поверхностью, в соответствии с формулой (1) при некотором значении угла о ' прямо пропорциональна радиусу кривизны r. Совместим задний фокус вогнутой отражающей поверхности с передним фокусом выпуклой отражающей поверхности, образовав, таким образом, афокаль-ную оптическую систему. Пусть на первую поверхность в точку N1 на высоте m падает луч, параллельный оптической оси. После отражения от поверхности луч пересекает оптическую ось под углом -о ' в точке F{, образуя продольную сферическую аберрацию изображения точки, равную FOF _ As{. Пусть луч, падающий на вторую поверхность в точку N2 под тем же углом -о ' к оптической оси, пересекая ее в точке F2 при F02F2 _ FhF _ ^s2 , отражается от

поверхности на высоте m' параллельно оптической оси, как показано на рис. 1. При этом расстояние между падающим на вторую поверхность и отраженным от первой поверхности лучами в направлении оптической оси равно As ' _ As{ + As^ _ As{ - As2 . Для компенсации этого смещения лучей толщина плоскопараллельной пластинки должна определяться согласно формуле (2) следующим образом:

_ 1 1-У2/У1 + cos о

2 1 - n cos о '/Vi

2 • 2 , n - sin о

n(r1 - r2) .

(3)

При As ' = 0 координата m = rj sin у = r1 sin 2 а ', а координата да ' = r2 sin у = r2 sin 2 а', где

y — угол между нормалью к поверхности и оптической осью. При этом угловое увеличение изображения, образованного рассматриваемой афокальной оптической системой, равно Г = m /m' = r /r2, т.е. не зависит от угла а' , а соответственно от координат т и т'. Следовательно, если компенсировать остаточную сферическую аберрацию, то изображение, образованное рассматриваемой оптической системой, будет обладать апланатической коррекцией аберраций. Представим формулу (3) в виде

(

¿пл = УГ1

1

. r1 J

v =

И

i -V2/V1

+ cos а

2 1 - п cos а '/л/и2 - sin2 а '

Г2 m

Но — = — = кэ, где кэ — коэффициент центрального экранирования зрачка по диамет-Г да

ру. При этом ёпл = ё (1 - кэ) , где величина ёпл определяется формулой (2) при г — Г1. Отсюда следует, что чем больше коэффициент центрального экранирования, тем меньше требуемая толщина пластинки, а чем меньше толщина пластинки, тем меньше масса объектива. Однако при этом уменьшается значение Г, а следовательно, утрачивается практический смысл применения афокальной насадки.

Толщина пластинки может быть сколь угодно малой, если вторую поверхность пластинки заменить выпуклой поверхностью сферической формы внутреннего отражения (рис. 2).

Рис. 2

Для аберрационного анализа афокальной системы телеобъектива запишем ее с помощью углов осевого виртуального луча в следующем виде:

а1 — 0 п1 — 1

а2 — а ё1 — п2 — -1

а3 — а/п ё2 — ё п3 — - п

а4 — 0 ё3 — - ё2 п4 — п

а5 — 0 п5 — 1

Коэффициенты сферической аберрации, комы, астигматизма третьего порядка и пецва-левой кривизны поверхности изображения можно определить выражениями вида [2, 3]

Si = SI = Bi

* 1

jo> Sn =—Sn = Ko + qBo;

Sш = "72 Sni = Co + 2qKo + q2 Bo; J

Sjv = Siv = D

IV

где

Во = /Ир ; Ко = -/Щ ±/И,0,Р, ;

,=1 г=1 г =1

Со = -2]Г^ ±/И^Р ; А = ;

,=1 Иг ,=1 ,=1 ,=1 Иг

аг ±1 - аг А , ™ , , ™ Ч • О - аг ±1 - аг Ш ■ С - ^к-1

\ ,±1 ~ ,±1 , ~ , ' > , , 7 ~ , ; 5

V,- ±1 -v г V. ±1 -V. к=2 пкИкИк -1 п,-

VI

а величина q определяется положением зрачка и предмета: q = ^^-1-т . При VI = 1

И2 (1/51 - 1/5,1)

и 51 = величина q = -5,1, где 5,1 — расстояние от первой поверхности системы до входного зрачка.

Пусть И = 1, тогда И2 = 1 - а^1, И3 = 1 - а^1 - а^ / п, но И3 = кэ . При этом й?1 = (1 - кэ)/ а-^2, тогда И2 = кэ ±vad2. При этих значениях величин коэффициент сферической аберрации третьего порядка определяется формулой

Во =

V(1 - V2)а2а - (1 - 4кэ ± 3V2кэ)/4

а3.

Положив Во = о, получим формулу, определяющую толщину пластинки:

, 1 - 4кэ ± 3v2кэ

ё2 =-/ 2 э . (4)

4v(1 -v2)a 2

Отсюда следует, что ^2 < о при 1 - 4кэ ± 3v кэ > о . Этому условию удовлетворяют значения коэффициента кэ < —т-1-—. Таким образом, при п = 1,5...2,о коэффициент

V2 ±4(1 -V2)

кэ < о,375.о,3о8.

При толщине ^2 зеркально-линзового компонента, определяемой выражением (4), раса 3 - 4v2 ± V2кэ И 1 -V2кэ Т стояние а =-г--, а высота И2 =-. Тогда, учитывая эти соотношения и вы-

4(1 -v2)a 4(1 -V2)

ражение (4), находим коэффициенты О,:

V = о о = 4 = 3 - 4V2 ± V2кэ о = 1 - кэ

=о, о2 = -^ = - , о3 = ; .

И2 (1 -V 2кэ) а кэа

При этом коэффициент комы третьего порядка определяется выражением Ко = -(1 -V2)а2/4.

Дополним рассматриваемую афокальную систему тонким компонентом фо (см. рис. 2), образовав оптическую систему телеобъектива. Будем считать, что в изображении, образованном афокальной системой и тонким компонентом, сферическая аберрация отсутствует. При этом параметр Рк тонкого компонента равен нулю. Вполне очевидно, что при апланатиче-ской коррекции аберраций изображения, образованного оптической системой телеобъектива в целом, значение параметра тонкого компонента должно удовлетворять условию

Жк =-(1 -V2) а2/4.

1

Для тонкого компонента в составе телеобъектива имеем: ак =0,5 =0, аК = 1. Тогда при И1 = 1 высота Ик = И4 = И3 = кэ. При этом

£ = 0- £ =-= -3~4у2 +у2кэ . £ = £ = _1 ~кэ .

1 ' 2 Ъ (1 _у2кэ)а ' 3 2 Ъ2кэ кэа'

1 1 у2к

£4 =---2 э2 ; £5 = £4 + а4 /(И4И5п5).

а 4(1 _у2)кэ2а 5 4 4 4 5 5

2 2

Принимаем ^ =_йх. Учитывая, что И4 = И5 = Из = кэ, получаем £5 = (кэ _ 1)/(кэа). Полученные соотношения позволяют выражение, определяющее коэффициент астигматизма

. _ кэ2 +v2kэ _2(1 _V2) 1

изображения третьего порядка, представить в виде Со =-2-а+--. Отсюда

4кэ2 кэ

С 0 4п2кэ Т

следует, что при С0 = 0 угол а определяется выражением а =-2-^-. Тогда

2(п _ 1) _ кэ (п2кэ _1)

2 2

при 0 < кэ < 1 угол а принимает значения в интервале 0 < а< 4п / (п _ 1), т.е. а> 0. В рассматриваемой оптической системе насадки угол а < 0 . Таким образом, при независимой коррекции сферической аберрации изображения, образованного афокальной насадкой и тонким компонентом, устранить астигматизм изображения невозможно.

Пусть толщина пластинки в соответствии с формулой (4) определяется как

, 1 _ 4кэ + 3v2kэ +5 5

а2 =---, где добавленная величина -2— характеризует изменение тол-

4v(1 _ v2)а 4v(1 _v2)а

щины пластинки, нарушающее стигматичность изображения, образованного афокальной насадкой. При этом для апланатической коррекции аберраций изображения, образованного телеобъективом, параметры тонкого компонента должны удовлетворять следующим условиям:

5 3 1 _ v2 2 5 3 Рк = — а , Щ =--4— а +--^ а . В этом случае при С0 = 0 угол а определяется выра-

э 4кэ

4к3

жением а =-2-^-2—2- и в рассматриваемой оптической системе насадки

[2(1 ^2)^2кэ +кэ2]кэ2 _5

а< 0. Для достижения этого величина 5 должна быть положительной, что соответствует увеличению толщины пластинки.

Для коррекции кривизны поверхности изображения и астигматизма в качестве дополнительной следует использовать более сложную систему, например телеобъектив, состоящий из двух тонких компонентов ф1 и ф2. Схема такого объектива показана на рис. 3 В этом случае коэффициент £>0 определяется выражением

а( кэ п2 _ Л _ф2

£0 = \ 2 +

1 _ф2 кэ а

кэп2 пкэ (1 _ф1а)

Из этого выражения находим, что при £0 = 0 расстояние между компонентами телеобъектива, при котором кривизна поверхности изображения, образованного рассматриваемой системой в целом, равно

а =

1 п±а(кэп2 -1) ф1 а (кэп2 -1) ± кэпф1

(5)

Применение дополнительной системы в виде телеобъектива позволяет компенсировать и остаточный астигматизм изображения.

-а2= а

Рис. 3

Пусть сферическая аберрация изображения, образованного первым и вторым компонентами телеобъектива, отсутствует, т.е. пусть параметры Р = Р = о . При этом для определения

* *

основных параметров Р, и применим следующие формулы [4]:

Р* =-1—3{р - 4а Щ ± а (а' - а) [2 (2 ± л) а ± а']},

(а'-а)

Щ- =•

-1—2[Щ -а(а'-а)(2± л)] .

(а'-а)

Пусть параметры Щ ^ ЩЩ ^ о . Тогда выражения, определяющие коэффициенты аберраций третьего порядка, принимают следующий вид:

Во = о, Ко =-

а2 (п2 -1) 4п2

- Щ - Щ2,

(6)

Со =

а

4кэ п

■[ к, (2 - 3п~ )± + ± 21-2 т +

--7-Т -о— 1'

кэ (1 -ф^) акэ2

±2

' 1 - кэ2

а

ак^ к2 (1 -ф1а)

Щг.

(7)

Решая систему уравнений (6) и (7), при Ко = Со = о получаем значения параметров Щ и Щ2 , при которых оптическая система, состоящая из афокальной зеркально-линзовой насадки и телеобъектива, становится апланатическим плананастигматом.

Пусть Щ Ф 0, а Щ2 = 0 . Тогда при К0 = 0 параметр Щ = -

а2 (п2 -1) 4п2

. При этом коэф-

фициент Со определяется выражением

Со = -

а

4^2 п2

кэ2п2 - кэ + 2 (п2 -1)

2

1 -ф1 кэй кэ (1-ф1й)

Отсюда находим, что при Со = 0 расстояние

1а

й = •

кЭ2п2 - кэ + 2 (п2 -1)1 - 4кэп2

(8)

Ф1 а [кэ2п2 - кэ + 2 (п2 -1) - 4кэ2п2ф1

Предположим, что при одном и том же значении расстояния й отсутствуют астигматизм и кривизна поверхности изображения. Тогда, приравняв правые части выражений (5)

и (8), получим ап (кэф1 -1) (1 + 4п)(кэп2 -1) кэ + 2 (п2 -1) = 0. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае плананастигматическая коррекция аберраций возможна при ф1 = 1/кэ . При этом, как следует из выражения (8), расстояние между компонентами телеобъектива й = кэ, т.е. второй компонент телеобъектива расположен в плоскости изображения, выполняя функцию линзы Смита.

Пусть Щ = 0, а Щ2 Ф 0 . Тогда при К0 = 0 параметр Щ2 =-фициент С0 определяется выражением

а

V-1)

4п2

. При этом коэф-

С0 = -

а Гкэ2п2 -кэ + 2(п2 -1)] + 1 -ф2кэй +а

4п2 кэ2

п2-1

й

кэ (1 -ф1й)

Отсюда находим, что при С0 = 0 расстояние

а Гкэ2п2 - кэ + 2 (п2 -1)] - 4кэ/

2кэ2 п2 1 -ф1й

й=

2а (п2 -1)

+ аф1

;2 2 кэ п

- кэ + 2(п2 -1) - 4кэ2п2ф2

(9)

В этом случае, приравняв правые части выражений (5) и (9), получим

2(п2 - 1)[п + а(п2кэ -1)]

ф1 =

1 1

- + —^ + -

2кэ 4кэ2 пкэ

(1 + 4п)(п2кэ -1) + 2 (п2 -1) При значении угла а = -3,333 и коэффициенте экранирования кэ = 0,3 оптическая сила первого компонента ф1 = 4,616, расстояние между компонентами й = 0,172, оптическая сила второго компонента ф2 = -6,23 .

Технические характеристики телеобъектива с зеркально-линзовой афокальной насадкой приведены ниже.

Фокусное расстояние, мм................................................................................

Диафрагменное число.....................................................................................

Угловое поле (2w)...........................................................................................

Положение предмета относительно первой поверхности.............................

Положение изображения относительно последней поверхности, мм.........

Диаметр входного зрачка, мм.........................................................................

Положение входного зрачка относительно первой поверхности, мм .........

Положение выходного зрачка относительно последней поверхности, мм.

Основная длина волны, нм..............................................................................

Диапазон ахроматизации, нм.........................................................................

500,2 5,00 2°00'

да 38,76 100,0 1216,86 -53,99 546,07 480,00—643,80

Конструктивные параметры и остаточные аберрации изображения, образованного такой системой, приведены в табл. 1, 2.

Таблица 1

Номер поверхности г, мм а, мм Марка стекла п 0св, мм

1 -3оо,ооо -83,86 1,оооо

2 да -18,19 ТК16 -1,оооо 117,86

3 -59,436 -11,27 Ф1 -1,6152 49,5о

4 -145,152 11,27 Ф1 -1,6169 38,56

5 -59,436 18,19 ТК16 1,6169 33,92

6 да 86,оо 1,оооо 33,64

7 597,778 12,оо ТК1 1,5661 33,95

8 -48,о13 7,оо Ф4 1,6285 37,28

9 -126,о79 1,оо 1,оооо 37,35

1о 23о,3о6 9,8о ТК1 1,5661 38,2о

11 -197,357 81,6о 1,оооо 38,о9

12 -46,14о 8,оо СТК19 1,7477 17,96

13 -24,998 5,55 Ф1 1,6169 18,21

14 376,41о 1,оооо 18,о2

Таблица 2

Оо=да 5,о 5',о 5' о / 'о У(5,о) 5' А 5' о(^1-^о) 5' о(^2-^о)

1217,о -53,99 38,761 5оо,16 о,1854 38,761 -о,ооЮ51 -о,оо1226

2^=о т А5' & Щ П, % 8§' (Х2-Х!)

5о,о о,139 о,1оо о,о139 -о,оо71 о,9-1о-3 -о,о114 о,о156

43,3 о,о215 о,о869 о,оо187 -о, 177 о,о224 -о,оо681 о,оо94о

35,4 -о,о354 о,о7о9 -о,оо25 -о, 15о о,о289 -о,оо346 о,оо474

25,о -о,о4о4 о,о5о1 -о,оо2о -о,о544 о,о213 -о,оо116 о,оо154

5, 5', У АУ 7 ^ т 7 - 7 т5

о,о124 1217,о -53,96 -о,о668 6,19 о,оо357 -о,оо73 -о,оо27 -о,оо458

о,о175 1217,о -53,94 -о,о946 8,76 о,оо995 -о,оо58 -о,оо29 -о,оо292

м>= =о,о175 т 81^' Щ — 8я' (^2-Хо)

5о,о о,оо535 о,о999 о,о1о3 о,456 — -о,оо79о о,о217

43,3 -о,оо79 о,о866 о,оо545 о,273 — -о,оо333 о,о158

35,4 -о,о238 о,о7о8 о,оо32о о,153 — о,ооо282 о,ош

25,о -о,о444 о,о5о2 о,оо186 о,о597 — о,оо3о4 о,оо764

-18,8 -о,133 -о,о381 -о,3-1о-3 -о,о114 — о,оо6о3 о,оо41о

-26,5 -о, 149 -о,о54о -о,оо41 о,о396 — о,оо698 о,оо264

-32,5 -о, 161 -о,о663 -о,о119 о,2о3 — о,оо823 о,ооо717

-37,5 -о, 171 -о,о766 -о,о239 о,519 — о,оо982 -о,оо17о

м>= =о,о175 М 8в' Щ 8^' 80' (^!-Хо) 80 ' (Х2-Хо)

5о,о -о,о95о о,1оо о,о23о о,383 -о,оо42 -о,о12о о,о164

43,3 -о,о949 о,о867 о,оо759 о,о367 -о,оо12 -о,оо738 о,ою1

35,4 -о,о948 о,о7о8 о,5о-1о-3 -о,о6о3 о,46-1о-3 -о,оо392 о,оо527

25,о -о,о947 о,о5оо -о,оою -о,о353 о,84-1о-3 -о,оо15о о,оо191

Применение в качестве вторичного зеркала афокальной системы зеркально-линзового компонента с выпуклой поверхностью внутреннего отражения позволяет построить оптическую систему телеобъектива с плананастигматической коррекцией аберраций образованного изображения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зверев В. А., Хлусова Н. И. Применение плоскопараллельной пластинки для исправления сферической аберрации // ОМП. 1972. № 9. С. 24—25.

2. Чуриловский В. Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. Л.: Машиностроение, 1968. 312 с.

3. Зверев В. А. Основы геометрической оптики: Учеб. пособие. СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2002. 218 с.

4. СлюсаревГ. Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.

Сведения об авторах

Виктор Алексеевич Зверев — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-

следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра прикладной и компьютерной оптики; E-mail: post_vaz@rambler.ru

Галина Васильевна Карпова — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный иссле-

довательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра прикладной и компьютерной оптики Ирина Николаевна Тимощук — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный иссле-

довательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов; E-mail: tim_ir@rambler.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

прикладной и компьютерной оптики 07.02.13 г.

УДК 535.317

Е. В. Ермолаева, В. А. Зверев, И. Н. Тимощук

ВОЛНОВАЯ АБЕРРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ ТОЧКИ ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ ЭКРАНИРОВАНИИ ВХОДНОГО ЗРАЧКА

Определены условия, при которых волновая аберрация изображения точки для крайних лучей на входном зрачке оптической системы и для лучей на границе экранируемой части пучка равна нулю, что позволяет заметно уменьшить остаточную волновую аберрацию изображения точки.

Ключевые слова: волновая аберрация, изображение точки, выходной зрачок, центральное экранирование.

Волновая аберрация Ф изображения точки при известной продольной сферической аберрации As' и продольном смещении А' плоскости установки изображения с приемлемой точностью определяется выражением [1]

ст'

Ф = J As' sin ст' • da' - (1 - cos ст') A'.

о

На рис. 1 показано сечение меридиональной плоскостью сферы сравнения, проходящей через осевую точку Р'и крайнюю точку Q 'волнового фронта. Вполне очевидно, что волновая аберрация в плоскости сечения заметно уменьшится, если кривую сечения поверхности сравнения провести через крайнюю точку волнового фронта и крайнюю точку Q/ его экранируемой части. В этом случае радиус кривизны окружности сечения становится равным Яэ'. При этом для определения волновой аберрации используем точное выражение [2]