Понятие тонкого компонента в системе отражающих поверхностей Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПОНЯТИЕ ТОНКОГО КОМПОНЕНТА В СИСТЕМЕ ОТРАЖАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В.А. Зверев, А.Н. Шепелевич

Показано, что введение понятия тонкого зеркального компонента позволяет получить удобные в применении соотношения, определяющие габаритные параметры оптической системы из двух отражающих поверхностей.

В простейшем случае оптическая система состоит из двух преломляющих поверхностей, образующих линзу. При этом расстояние между поверхностями может быть достаточно малым. В практике расчета такую линзу удобно считать тонким компонентом. В оптической системе из двух отражающих поверхностей расстояние между поверхностями является габаритным и коррекционным параметром, а поэтому ее нельзя считать тонкой, и для ее расчета невозможно применить теорию тонких компонентов, разработанную профессором Г.Г. Слюсаревым. Кроме того, при нечетном числе отражающих поверхностей в системе возникают проблемы со знаками величин, входящих в известные формулы. Введение понятия тонкого зеркального компонента позволяет устранить эти проблемы.

В общем случае отдельную линзу в воздухе принято записывать в виде

щ = 1

1 й?1 = ё П2 = п г2 =

пз =1

где г - радиус кривизны I -ой поверхности линзы; ё - расстояние между преломляющими поверхностями; п1 - показатель преломления I -ой среды. Оптическая сила линзы определяется формулой [1]

Ф = (п -1)

С 1 1 ^

+

(п -1)2 ё

V '1 2у

ПТлТ'

1'2

В случае тонкой линзы, т.е. при ё « 0, имеем:

С

Ф = (щ -1)

С 1 1 Л

V Г1 г2 у

Оптическую систему из двух отражающих поверхностей можно записать в виде

П1 = 1

Г1 =

г2 =

=-ё П2 = -1 п3 = 1

При этом

С Л 1 Л

Ф = -2

1 1

V Г1 г2 у

4ё л - г2 + 2ё +-= 2^—2-

Г1Г2 Г1Г2

При ё«0 такая система практического смысла не имеет. Однако, положив г? = ю, формально получаем идеальный тонкий компонент, обладающий аберрационными свойствами первой отражающей поверхности. При этом независимо от величины ё оптическая сила I -го зеркального компонента

Фi =- -, (1)

Г

где г - радиус кривизны первой по ходу лучей отражающей поверхности компонента.

При таком представлении при ё = 0 зеркальный компонент формально ничем не отличается от линзового тонкого компонента. И в этом случае, например, номинальное

положение предмета и изображения относительно тонкого зеркального компонента определяется известной формулой отрезков.

__1 V '—-——1 Ф2 Г

л Л г 1

в

Рис.1. Система из двух отражающих поверхностей в различных представлениях (а-в)

На рис.1 а представлена система из двух отражающих поверхностей (система Кас-сегрена или, например, Ричи-Кретьена). На рис.1 б та же система представлена в виде двух зеркальных компонентов.

Пусть расстояния между поверхностями в каждом компоненте равны нулю. При этом рассматриваемую систему можно представить в виде, показанном на рис.1 в, где оптическая сила каждого компонента определяется формулой (1). При этом оптическая сила всей системы

Ф = Ф1 +Ф2 -Ф1Ф2Л,

где Фу = (-1) —. При Л = -Л1 получаем Г

Ф = 2 Г1 - г2 + 2Л = 2 Г1 - Г2 - 2Л1

Г1Г2 Г1Г2

Заменив отражающие поверхности эквивалентными тонкими компонентами, двухзеркальную систему можно записать с помощью внешних углов осевого виртуального (нулевого) луча с оптической осью в виде а1 = 0 п1 = 1

а 2 = а й?1 = Л П2 = 1

аз =1 пз =1

Применив формулу аг-+1 - аг- = Ифг-, получаем а 2 = а = И1ф1,

а3 = а2 + И2Ф2 = И1Ф1 + И2Ф2 • Но И2 = И1 - а2^1 = И1 (1 - ф^) • Тогда

ф = а3 = Ф1 +Ф2 — Ф1Ф2Л •

И

(2)

(3)

(4)

И2

Отношение — = п определяет коэффициент экранирования зрачка по диаметру. И1

При этом выражение (2) можно представить в виде

Ф = Ф1 + ПФ2 • (5)

Из выражения (3) следует, что

П = 1 - Ф^ . (6)

Решая систему уравнений (5) и (6) относительно величин Ф1 и Ф2 , получаем 1 -п

Ф1 =

Ф2 =

Л ' Ф-Ф1

п

(7)

(8)

Задний фокальный отрезок определяется очевидным соотношением , И2 И1 И2

%'= — = = ПФ • (9)

а3 а3 И1

Этот отрезок удобно выразить через расстояние между компонентами, положив ¿р' = , где к5 - коэффициент, величина которого выбирается из конструктивных

соображений Тогда, учитывая (9), находим, что п

Л = ф

к,

(10)

При ф = 1 (И1 = 1, аз = 1) соотношения (10), (7) и (8) принимают вид

Л = ^, ks (11)

1 и ¿к (12)

1 Гт к 1 -п! Ф2 = 1 ks • п1 п ) (13)

Положив в этих соотношениях коэффициент к8 = 1, получаем

, 1 - п 2п -1

Л = п Ф1 =-, Ф2 =—^

п п2

Заметим, что при этом при 0 <п< 1: Ф1 > 0; при 0 < п < 0,5 : ф2 < 0; при 0,5 < п < 1: Ф2 > 0 •

Кривизна поверхности изображения при равном нулю астигматизме (пецвалева кривизна) определяется коэффициентом [2, 3]

г=к

5IV = 1

Фг

г =1 П

а

В рассматриваемом случае £¡у = -ф1 - Ф2. Подставив в это выражение соотношения (12) и (13) и преобразовав его, получаем

2 2к, +1 к, П2--5-п +-5-= 0. (14)

кб - £IV кБ - £1У

При = 0 уравнение (14) принимает вид

П2-2к£ + 1п +1 = 0. (15)

Если центр входного зрачка совпадает с осевой точкой первого компонента, то при к5 = 1 возможная величина изображения не может быть больше экранируемой части компонента. Пусть Б - диаметр входного зрачка. При этом величина изображения 2у' < Бп. При фокусном расстоянии объектива, равном /', угловое поле равно

2tgw = 2У<Бп = —, где кд - диафрагменное число.

/ / kq

При 0 < к5 < 1 изображение, образованное двухзеркальной системой, расположено

в сходящихся пучках лучей в промежутке между зеркалами. Используя параметры оптической системы из двух тонких зеркальных компонентов, находим, что разность

ёр = ё - я'р' = ё - = (1 - к5 )) . При этом -р = -1 - а2ёр = 1 - -—— пФ1 .

к

б

Используя формулу (12), получаем

-р =п + (1 -п) . (16)

Пусть Бр - диаметр сечения сходящегося осевого пучка лучей в плоскости расположения изображения. При этом приближенно справедливо следующее геометрическое соотношение:

^ = ^ = Нр . Б - р

Отсюда следует, что

Бр = Б-р =пБ + (1 -ц)к,Б .

Диаметр изображения, образованного рассматриваемой оптической системой, равен

2 у ' = 2 ,

где w - угол поля. При этом экранирование осевого пучка лучей фиксируемой поверхностью изображения определим коэффициентом цм>, равным

п = 2/== 2к^ (17)

W Бр п + (1 -п)к, Б п + (1 -п)к5' Вполне очевидно, что должно соблюдаться условие ^ < П . Используя соотношение (17), находим, что при ^ < П ,2 С 1 п Л

2tgw 1 + к5 . (18)

kq V

1 - п

5

п у

По сути дела, формула (18) определяет максимально допустимую величину 2w углового поля.

Пусть к5 = 1 . В этом случае уравнение (15) принимает вид

П2 -3п +1 = 0. (19)

Легко убедиться, что при п = ~ уравнение (19) не изменяет своего вида^ Следова-

п

тельно, решив это уравнение, получаем п1 = ~— = 2,618 • Используя соотношения (12),

п2

(13) и (11), при ks = 1 и п = 2,618 находим, что ф1 =-0,618, ф2 = 0,618, Л = 2,618^ При

этих значениях параметров схема объектива имеет вид, показанный на рис^2а, а ее эквивалентное представление системой тонких компонентов показано на рис^2б^

а)

б)

Рис. 2. Схема объектива (а) и ее эквивалентное представление (б)

при ф1 =-0,618, ф2 = 0,618, Л = 2,618

Используя те же соотношения, при п2 = ~ = 0,382 получаем: ф1 =-ф2 = 1,618,

п1

Л = 0,382 • При этом схема объектива имеет вид, показанный на рисЗа, а ее эквивалентное представление системой тонких компонентов показано на рисЗб^

а)

б)

Э9

ф1

J к Ф2 Г

Л к Г Л Л

Э,

Рис. 3. Схема объектива (а) и ее эквивалентное представление (б)

при ф1 =-ф2 = 1,618, Л = 0,382

На этих рисунках плоскости Э и Э2 определяют положение компонентов ф1 и Ф2 , соответственно, в роли экранирующих элементов •

Итак, введение понятия тонкого зеркального компонента позволяет исключить проблемы знаков при применении известных соотношений параксиальной оптики, что продемонстрировано на примере двухзеркальной (двухкомпонентной) системы^

Литература

1 Чуриловский ВН Теория оптических приборов^ М-Л: Машиностроение, 1966^ 544 а 2^ Слюсарев Г •Г Методы расчета оптических систем^ Л^: Машиностроение, 1969^ 672 а 3^ Зверев В А^ Основы геометрической оптика СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2002^ 218 с