Нерегулярная эллиптическая краевая задача с вырождением на границе Текст научной статьи по специальности «Математика»

A7i (x 1 < cj ( d) hf (x)

l0,R+*

поэтому, выбирая Sj достаточно малым, из неравенств (7) — (11) получаем:

||лs (D) h0p (x, D) U;|| <

< 1/2C2 ||лs+2 (D) hoU||0R„ +

+ C2 |||Ls (D) hop (x, D) U|0R„ + (13)

+ \\qs+2 (D') hU

0, R+

Методами работы [2] нетрудно показать справедливость неравенства:

||л5+1 (Б) Ь-и^ || < С;-АЕ ||Л5+3 / 2+5 (Б) Ь2и\|о,д„ ,

где е > 0.

Это с учетом оценок (1) и (13) приводит к окончанию доказательства теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа / Ю. В. Егоров. М. : Наука, 1984. 360 с.

2. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных / Л. Н. Слободецкий // Учен. записки Ленингр. пед. ин-та. 1958. С. 54 112.

3. Смолкин Г. А. Априорные оценки, связанные с дифференциальными операторами типа Купцова Хермандера / Г. А. Смолкин // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 2. С. 242 250.

4. Смолкин Г. А. Априорные оценки для вырождающихся эллиптических операторов в обобщенных пространствах С. Л. Соболева / Г. А. Смолкин // Журн. Средневолж. мат. о-ва [Саранск]. 2011. Т. 13, № 1. С. 71 78.

Поступила 21.02.2012.

УДК 517.927

НЕРЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ВЫРОЖДЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ

Д. И. Бояркин

В работе рассматривается нерегулярная краевая задача для эллиптического уравнения с вырождением на границе области. Получены априорные оценки для решения задачи и доказана замкнутость краевого оператора в пространствах Соболева Слободецко-го. При исследовании использованы методы функционального анализа и геометрии гладких многообразий.

1. Классификация многообразий вырождения

Пусть G — ограниченная область в Яп, п > 3, Г — кусочно-гладкая граница области G. Рассмотрим краевую задачу:

Ьы = f в G, (1.1)

т(х,0)м = на Г, (1.2)

где Ь — эллиптический оператор второго порядка с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в G, т (х, О) и — диффе-

© Бояркин Д. И., 2012

ренцирование вдоль гладкого векторного поля т, определенного на Г.

Если поле т ни в одной точке не касается границы Г, то эта задача является эллиптической краевой. В случае, когда поле т выходит в касательную плоскость к границе Г, для задачи (1.1) — (1.2) не выполняется условие Шапиро — Лопатинского и свойства задачи зависят от структуры векторного поля т.

Пусть т — гладкое векторное поле, определенное на Г, касается Г вдоль (п-2)-мерно-го гладкого многообразия Г0, но не касается Г0.

Многообразие Г0 является ориентируемым в Г с помощью векторного поля т. Обозначим через р= < т, п > скалярное произведение т и п, где п — вектор внешней нормали к Г. В точках Г0 функция р = 0. Обозначим через Г+ множество точек Г1, в которых Р > 0, а через Г- — множество точек Г1, где Р < 0. Пусть р° = < т, и0 > — скалярное произведение т и п0, где п0 — нормаль к Г0, лежащая в касательной плоскости к Г0 и направленная в сторону Г+. В зависимости от структуры поля т многообразие Г0 отнесем к одному из трех классов:

— к первому классу, если р > 0, р0 > 0;

— ко второму классу, если р > 0, р0 < 0;

— к третьему классу, если Г+ = 0 либо Г- = 0.

Заметим, что Г0 может относиться только к одному классу, так как поле т не касается многообразия Г0.

Свойства решений и их зависимость от природы касания поля границы впервые изучил Р. Боррелли в работе [7].

1. Если многообразие касания первого класса, то задача (1.1) — (1.2) недоопределе-на. В этом случае, «доопределив» граничные условия, задачу можно сделать нетеровой.

2. Если многообразие касания второго класса, то для задачи (1.1) — (1.2) нет теоремы существования, но ядро имеет конечную размерность и справедлива теорема о гладкости решения.

3. Если многообразие касания третьего класса, то задача (1.1) — (1.2) имеет конечномерные ядро и коядро и область значений соответствующего ей оператора замкнута, справедливы теоремы о гладкости и существования решений.

Разными методами для эллиптического оператора второго порядка такого рода задачи исследовались в работах А. В. Бицадзе [1], Р. С. Сакса [6], В. Г. Мазьи [5] и в ряде других. Л. Хермандер [8] рассматривал задачу (1.1) — (1.2) как неэллиптическую краевую, которая решалась сведением к псевдодифференциальному оператору на

границе. В этой работе установлена связь между задачей с косой производной и теорией псевдодифференциальных операторов. В частности, были указаны условия, при которых пседодифференциальный оператор является субэллиптическим.

В работе Ю. В. Егорова и В. А. Кондратьева [3] при исследовании задачи с косой производной для эллиптического оператора второго порядка были предложены методы, основанные на теории эллиптических краевых задач и геометрии гладких многообразий. Эти методы позволяют исследовать краевые задачи для эллиптического оператора при более общих граничных условиях.

Подобные задачи возникают при моделировании явлений упругости, фильтрации и многих других физических процессов.

2. Постановка задачи

Рассмотрим (п — г)-мерные гладкие многообразия Гп-г, г = 1, ..., к, к < п — 1, причем Гп-1 эг»-2 ^ ... эГ1 зГ0. На каждом Гп-г при к < п - 1 определим невырождающееся векторное поле с гладкими вещественными коэффициентами тг таким образом, чтобы это поле касалось Гп-г вдоль Гп-г-1, но не касалось Гп-г-1. На Г1 определим невырождаю-щееся векторное поле тп—1 с гладкими вещественными коэффициентами, которое может касаться Г1 в точке Г0.

Предположим, что все многообразия Гп-г относятся к первому классу. Продолжим гладким образом поля т1, ..., в достаточно малую окрестность Пг многообразия Гп-г—1 в G. Предположим, что в Пг поля т1, ..., линейно независимые, в этой окрестности их можно дополнить до базиса {т1, ..., .-> т"}.

Так как все Гп-г относятся к первому классу, можно утверждать, что в G существует (п — 1)-мерное гладкое многообразие Ып—1 проходящее через Гп—2 трансверсально к полю т1, причем каждую точку из Пг можно соединить с Мп—1 интегральной кривой поля т1. Далее определим (п - г)-мерные гладкие многообразия Ып—г, г = 2, ..., к со следующими свойствами:

а) Ып- е М"-м;

б) Ып—г проходит через Гп-г—1 трансверсально к полю и каждую точку из Ып— можно соединить с Ып—1 интегральной кривой поля тг.

Заметим, что в окрестности точки Г0 многообразие Ы1 будет являться внутренней

нормалью к границе Г области G, проведенной в точке Г0.

Рассмотрим краевую задачу:

Ьп = f в G, (2.1)

т1(х,П)и = ф1, на Г"-1' (2.2)

цг(х, = фг на Г"-1,

(2.3)

г = 2, ..., к = п - 1, где Ь — эллиптический оператор второго порядка с коэффициентами из класса ц1(х, D) — дифференцирование вдоль гладкого векторного поля т1; М-г(х, D) — дифференцирование вдоль гладкого векторного поля т1.

Замечание 2.1. В локальной системе координат {|Д ..., тг, ■■■, М-"} оператор Ь на

Ып-г I г = 1, ..., k _ 1 можно представить в виде:

Ь = Ь + ¿4 (ц9 (х, D)), (2.4)

9=1

где L¿ — эллиптический оператор второго порядка по тг+1, ..., т"; ^ — дифференциальный оператор первого порядка по переменным ..., ц".

Замечание 2.2. При k = п _ 1 многообразие проходящее через Г1 трансверсаль-но к полю тп1, будет иметь размерность, равную 2. Так как невырождающееся векторное поле тп1, по предположению, имеет только вещественные коэффициенты, условие Шапиро — Лопатинского выполняется на Г1 для операторов Ьп_2, тп1(х,0) даже в случае, когда поле тп1 касается кривой Г1 в точке Г0.

Замечание 2.3. Если же тп1(х,Д) — оператор типа Коши — Римана, т. е. тп1

(х,я) = цГЧх)— + г ■ цТ1 -, где г2 = _1,

до дх

V, х — единичные векторы нормали и касательной к Г1, то на Г1 для операторов Ьп_2, тп-1(х,0) условие Шапиро — Лопатинского может не выполняться, и в этом случае на оператор тп1(х,Д) накладывается дополнительное условие, а в точке касания Г0 необходимо задать значения функции и.

Задача (2.1) — (2.2) — (2.3) — нетерова.

Замечание 2.4. Теперь пусть k < п _ 1, т. е. вместо условий (2.3) имеем:

цг(х, Б)и = фг на г, г = 2, ..., к < п - 1.

В этом случае на Гп k 1 дополнительно определяем:

и = фА+1 на Гп^-1. (2.6)

Задача (2.1) — (1.2) — (1.5) — (1.6) нете-рова.

В настоящей работе исследования основаны на идеях Ю. В. Егорова и В. А. Кондратьева [3]:

— специальная локальная система координат;

— априорные локальные оценки для решений;

— специальное разбиение единицы;

— априорные оценки для решений в окрестности многообразия вырождения;

— априорные оценки для решений во всей области.

3. Вспомогательные построения и предложения

Определим многообразия Г" г = Гп

-(г+1)

для г = 1,

k _ 1 и Г

"-к

Г"-к

-(г+1)

Многообразие, проходящее через Г трансверсально к полю тг, обозначим через Ы"-г. Заметим, что многообразия Гп-(г+1), Мп-г имеют все свойства пунктов «а» и «б» в постановке задачи. Кроме того, отметим, что поле тг, определенное на Гп-г, не касается этого многообразия в точках Г" г.

3.1. Специальная локальная система координат

Предложение 3.1. Для каждой точки Р, принадлежащей многообразию гп-(г+1), г = = 1, Z^

£1>

.., k _ 1, существует система координат z с центром в этой точке и такая, что в

некоторой ее окрестности: 1. Поля ц1 (х,Б),

ют соответственно с полями

цг (х, О) совпада-

д д

дгг

2. Многообразие Г" (г+1) определяется уравнениями Zl = ... = z¿ = zn = 0.

3. Многообразие Nп-г, проходящее через гп-(г+1), описывается уравнениями Zl = = ... = ^ = 0.

3.2. Специальное разбиение единицы

Предложение 3.2. Существует разбиение единицы

(2.5)

Ум+1(х) + Е

г=2

1 ( . . (м . \\ угМ1+1(х) ■ Е уХ(х)

V х=1

М г,

+ X У?(х) = 1, к = 2, ..., п -1,

?=1

такое, что угт е Сю(О). Причем уМ+^х) = 0 в некоторой 1/2 окрестности многообразия ри-О+О, г _ 1, ..., к - 1 и равна 1 вне этой окрестности, а в носителе каждой из остальных функций угт определена система координат ¿1, ..., г , удовлетворяющая условиям предложения 3.1 и цЧх,= ••• = = цг (х, В)уг1+1 = 0 в некоторой окрестности многообразия рп-(г+1).

Замечание 3.1. При к = 1 получается разбиение единицы

м

Ум+\(-х) + X Ут(х) = 1,

т=1

причем ум+1(х) = 0 в окрестности многообразия Г"-2.

Замечание 3.2. Из построения разбиения единицы (3.2) следует, что

Зирр(уМ+1(х)) I... I Supp х

Ум+1(х) ■

г м \\

1-1

X угт

V т=1

Чх)

П...

... П Supp

м

X V?(х)

V т=1

-п-г ■ _

Для дальнейшего нам необходимы некоторые локальные оценки.

Пусть и — окрестность произвольной

п т^га—2

точки Р е 1 с достаточно малым диаметром 1 и ¿1, ..., гп — система координат, введенная в предложении 3.1. Так как Гп 2 — многообразие первого класса, каждую точку окрестности и можно соединить с многообразием Мп-1, описывающимся уравнением ¿1 = 0, отрезком, параллельным оси 0г^ целиком лежащим в G и имеющим длину < 1.

3.3. Вспомогательные леммы

Лемма 3.1. Для любого 81 > 0 найдется такое 1, что если диаметр окрестности и равен 1, функция и е Н3(0) при 5 > 0 и и(х) = 0 вне и, то [3]

п

I Е1 и

0

Аналогичная лемма справедлива и для точки Р е Гп-(г+1), г < k - 1. Снова рассмотрим окрестность и точки Р достаточно малого диаметра 1, в которой существует си-

стема координат ¿1,

¿п из предложения

3.1. Напомним, что в этой системе координат многообразия Ып-г и гп-(г+1) описываются

Определим функции:

к м к а) Ык(х) = ХУк (х), / (х) = Угм1+1(х) х

т=1

М . Л 1 1

X У?(х) I, г = 2, ..., к - 1, /Чх) = Ум+1(х).

Ч?=1 )

Функция //г(х) будет равна 1 в некоторой 1/2-окрестности многообразия Гп г и равна 0 вне 1-окрестности Гп г. Иными словами, функция /Чх) будет являться срезающей для многообразия Гп

„. . = ¿г = 0

Обозначим через ип-г пересечение окрестности и с ^п-г, а через 1г — диаметр ип-г. Заметим, что ( < 1 Лемма 3.2. Для любого 8г > 0 найдется

такое 1г, что если диаметр окрестности ип-г точки Р е Гп-(г+1), г < k - 1 равен функция и е Н5 (О) при 5 > 0 и и(х) = 0 вне ип-г то

соответственно уравнениями ¿1

и ¿1 = ... = ¿г = ¿п = 0.

| и( 0,

0, ХЙ, ¿¿+1,

< 8,- ||и(0,

0,

. г = 1,

г, М . ( к

б) Нк(х) = X Ук(х), йг(х) = X ^1Х(х)

т=1 \%=г

г = 2, ..., к - 1, й1(х) = уМ+1(х).

Функция /г(х) будет равна 1 в некоторой 1/2-окрестности многообразия Гп-г и равна 0 вне 1-окрестности Гп-г. Иными словами, функция /г(х) будет являться срезающей для многообразия Гп-г, г = 1, ..., к.

Из лемм 3.1 и 3.2 следует Лемма 3.3. Для любого 8 > 0 найдется такое 1, что если диаметр окрестности и точки Р е Гп-(г+1), { = 1, к - 1 равен 1,

функция и е Н (G) при 5 > 1 и и(х) = 0 вне и, то справедливо неравенство

( ¿—1 ип—4 л

ди ди4

и < 8 + X

15 дг1 ¿-и 5 4=1 дг4+1 5

f U"-q л

k-1 duq

- s X q=i feq+1 s У

где ия = и(0, ..., 0, гд+ь ..., 2п), и1 = и(0,

..., 0, 2-+!, ..., гп), ип-(1 = и п ип-г = = и п Ып-\

Замечание 3.3. При выполнении условий леммы 3.3 справедлива оценка

+ u

i = 1, ..., к -1.

4. Априорные оценки для решений краевой задачи

Далее будут получены априорные оценки для решений задачи (2.1) — (2.2) — (2.3) и для задачи (2.1) — (2.2) — (2.5) — (2.6). Кроме того, будут рассмотрены некоторые важные следствия, соответствующие аналогичным утверждениям из теории эллиптических краевых задач.

4.1. Оценки для решений в окрестности точки многообразия вырождения

Приведем несколько лемм о локальных оценках для решений краевой задачи.

Рассмотрим случаи:

а) k = п - 1.

Лемма 4.1. Пусть и — окрестность точки Р е гп-(г+1), i = 1, ..., к - 1 диаметра й. Если й достаточно мало и функция и, принадлежащая пространству И5+1^), равна

_ 1-, . Пусть и — окрестности точки Р е е гп-(г+1). Для г = 1, ..., к - 1 в этой окрестности при выполнении условий леммы 4.1 выполняется оценка (4.1).

2. Теперь пусть г = k- В этом случае поле тЛ определенное на многообразии касается Г"^ вдоль многообразия рп-к-1,

т^п-к-1 ^ ^ .л т т ^п-к-1

размерность I будет > 2. На I

было задано дополнительное условие (2.6).

Лемма 4.2. Пусть и — окрестность точки Р е Гп к 1 диаметра й. Если й достаточно мало и функция и, принадлежащая пространству равна нулю вне и, то

при s > ^ справедливо неравенство

Il 1 II k-ln Un-q

+ m1(x, d)u + x mq+1(x, d)u +

Il II, q=1 lls

+X N|n-q s C

q=i k-i

Lu|| 2 + ||m1(x, D)Lu|| „ +

Il U"

s _ 2

(4.2)

U"-q

+ X |mq+1(x, D)Lu\ + X \\Lufs_2 +

q=l s q=1

.....Г»k _1.. ||Г'

+ M 1 + X

s 2 q=l" "s_

_(q+1)

+ j

k+1

_k _1

где Un q — пересечение области U с многообразием Nn_ q.

нулю вне U, то при s > ^ справедливо нера-

II 1 II i-1 II 1 l|U"-q

+ m1(x, D)u + X mq+1(x, D)u +

Il II, q=1 lls

+ X lull - C

q=1 S

||LU|s-2 + m1(x, D)Lm +

ls-2

(4.1)

X |mq+1(x, D)Lu(s"; + £| |L

q=1 |Г"-1 i-l

q=1

jl ^ + X j

fe+i

-(q-l)

l||"-q Ils—2

-(i+l)

2 q=i

+ lK+1 ,-3 + Mo

где ип я — пересечение области и с многообразием Nп-я, а ип-i = и П Ып-\ Здесь и ниже С — константа, не зависящая от и; б) k < п - 1.

4.2. Оценки для решений в окрестности многообразия вырождения

Теперь получим оценки в окрестности

всего многообразия Г

n-(i+1)

, i = 1, ..., k _ 1.

Лемма 4.3. Пусть функция и, принадлежащая пространству И5+1^), равна нулю вне й-окрестности многообразия гп-(г+1), г = 1, ..., к - 1. Тогда, если й достаточно

мало и s > ^, то существует такая постоянная С, что выполняются неравенства: а) при k = n - 1

il 1 il i-1 il 1 iN"-q

||u|| + m1(x, D)u + X mq+1(x, D)u\ + s II lls q=1 s

+X INI Г s C

q=1

|Lu|| _2 + m1(x, D)Lu +

s_2 s_2

4

_1. X

q=i

+ X llmq+1(x, D)Luf" " + X II LufV + (4.3)

11 Ils _2

q=1

l|Nn _q

s_2

¡_1 ^"-(9-1)

+ + I Фк+1Г1 +

5 2 9=1 5 2

+ ||т1(х, оЩ+^ьА +

II 115-2

+ ф

¡+1

-(¡+1)

б) при к < п - 1

II 1 II 6-1ц 1 цМ"-9

а|| + т1(х, + х т (*, +

5 II 115 ^цИ 115

1-1 II , ■ , ||М"-9

+ х к (х о)й[+1ьА +

9=1" 5 2

5-2

■к и „ ^

+х |А|| < с

9=1 5

к-1 +х

9=1

1|Г"-1 ¡-1

1|ьА| 5-2 + т (х, о)ьА +

5-2

(4.4)

Х||т9+1(х, о)ьи||+ XI |ь

9=1

\\ы"-я 5-2

Г1 1 + х Гк

„Г«-('+1)

Г"-(9-1) Г

к+1 Г , т«+1г , II- II

, ^ - „ -1 + Г -з + IIй'0

5 2 9=1 5 2 5 2

У

в) когда к < п - 1:

1. Для 1 = 1, ..., к - 1 в окрестности ри-(г+0 при выполнении условий леммы 4.3 выполняется оценка (4.4).

2. Пусть г = к.

Для функции ук+1и справедливы оценки (4.3). Заметим, что

х У+1«

II И^ 1

М1\\

ф

Замечание 4.1. Рассмотрим функции /г, введенные в замечании 3.2 к предложению 3.2, пункт «а». Напомним, что / е Сш(0), г = 1, ..., к, причем / равна 1 в ¿/2-окрест-ности многообразия Гп 1 и равна нулю вне ¿-окрестности этого многообразия. Тогда справедливы следующие неравенства в окрестности каждого многообразия Г"-г, г = 1, ..., к - 1:

а) при к = п - 1

й1+1и +||т1(х, оЩ+'Ц +

г+1-

(4.5)

+х| Ыг+^и|[-"2? + ЁЦ Ы^1 (т1(х, о)и)|[" 2 +

¿-1

+1| /1+1 (т+Чх, о)и 15-1 +|

+ ЦйТ1 (т+1(х, о)и

рП-(г+1)

5-3 5 2

+ \\и\\о + ||и||

¿-1,

Л*/2

+ т

,т="-1

¿/2

1(х, 0)и|| ¿/

II , ..ги-(9+1) г N"-4 ^

+ хт+1(х, оир/ 2 + х н М-/2 9=1 5 2 9=1 5 2

где 0^/2 — множество точек из G, отстоящих от Гп (1+1) на расстоянии больше ¿/2, \rn-q = г¿+1 п \Г"-9 гП-1 /-1+1 п гП-1

а Ыс1 /2 = Gd /2 1 N \ Г^ /2 = ° / 2 П Г ,

Р"-(9+1) _ ,"¿+1 р, гп-(9+1). ^/2 = ^/2 П 1 ;

б) При к < п - 1:

1. Если г < к, то выполняется неравенство (4.4).

2. Пусть г = к, тогда

11/1+4 +||т1(х, о^+Я +

+ I \\тч+1(х, оЖ+Ч + I "

9=1 9=1

< с

1+1

ьи|| + т1(х, о)/1+1ьА +

и-2 II Н5-2

г-1 и , • „ пМ"-9

+1 к+Чх, о^+Ч +

9=1"

+1 ||ыг+1и|

9=1

< с

1+1

ьи +

5-2

к-1 и . , цМ"-9

+ х к+Чх, о)/'+1ьА +

9=1" 5 2

5-2

^"НГГ + Цг у

(х, 0)и || 1

(4.6)

&-1 II мгп-(7+1)

+Е р1+1 (т9+Ч*, D)u I 1 + 9=1 5-2

I-2 + о)к2/ +

5-2

-Ц/^+у+ч*, D)U|г

+ Е

1=2

¿-1

Е р+1(х, Я)к9+2/ + V 9=1 5

¿/2

+ и 0 + Н5 ¿/2 + тЧ*, о)и 1 +

Е|| т9+Ч*, о)^/2 + Е11 и|£7 2 ^+1

л

л

+ Е ||к9+1/|Г7 + ||ф1||г"3 + ||й2фТ , + (4.7)

9=1 5 2 ) 5 2 " 115 2

^ / 2 — множество точек из О, отстоящих от Гп (к+1) на расстоянии больше d/2, \rn-q _ г{+1 п \rn-q ~и-1 п1+1 р. гп-1

а /2 = О/ / 2 1 Г Г^ / 2 = С(1 / 2 П Г ,

/22 = О/ / 2 П г ■

4.3. Оценки для решений во всей области

Рассмотрим функции И1, введенные в замечании 3.2 к предложению 3.2, пункт «б». Напомним, что Иг £ С"(О), I = 1, ..., к причем И1 равна 1 в й/2-окрестности многообразия Г и равна нулю вне а-окрестности этого многообразия. Кроме того, по построе-

11 • к нию к1 = Ум+1, кг = Е г = 2, ..., к - 1,

т=г

М

/к = Еук.

Т=1

Теорема 4.1. Если и е Н5+1(0), й > 0 —

к-1

+ Е

¿=2

^ ¿-1 (,, ,,Гп-(?+1)

НИ5 - 3

Е

V ?=1 V

+|к?+у+1]

-(?+1) ^

к-1,,

„¿+1

+ Е ф'"|I з + И 0

¿=2 5 2

< с

||и|| + шЧх, Д)к2и +

+ Е

¿=2

¿-1

цГ"-9

Е т9+1(х, Б)к9+2и + V 9=1 5

+ Е к9+1и

9=1

,мп-9

\\

где f = Ьи в О, фг = (х, D)u на Гп ¿; б) при k < п - 1

С

-1

||и|| + шЧх, 0)к2и\\ +

достаточно малое число и 5 > ^, то существует такая постоянная С > 0, не зависящая от и, что выполняются оценки: а) при к = п - 1

С

+ Е

¿=2

и\ + т (х, о)к и +

V • -1

цГ"-'

Е у+1(х,В)кя+2и\ +

^ Я=1 5

+Е

¿=2

г-1

|Гп-9

Е т9+1(х, о)к9+2и +

V 9=1 5

+ Е к9+1и

9=1

Nп-9 ^

11/11 2 + т1(х, о)к2/ +

11 115 2 II 115-2

цГ""9 ^

+ Е ||к9+1и||

9=1 ' УУ

+Е

¿=2

г-1

|Гп-9

Е т9+1(х, Б)к9+2Л +

V 9=1 5

+ Z p+V + j1 3 + hj1 1 + (4.8)

q=1 2 ) S -S -1

+Z

i=2

f i-\' Z

^ q=i

q+l||

-(q+1)

1П - 3 + ^

q+1 II

-(q+1) M

+ j

k+1

n-(k+1)

+ \\u\\,

< С

\\u\\ + m (x, D)h u +

+ Z

i=2

i-1

II Nn-q

Z mq+1(x, D)hq+2J +

^ q=1 lls

Nn-q

ЛЛ

6) Lu = 0 в G; m1(x, D)u = 0 на Г"-1; ym(x, D)u = 0, i = 1, ..., k, k < n - 1 на

mk+1(x, D)u = 0 на Г" к 1 конечномер-

ны.

4.5. О замкнутости краевого оператора Следствие 4.2. Обозначим через П 5 (G) пространство функций с конечной нормой

■\\п (G) = IUIs + ||m1(h2u) + X ||mi(hi+1u)|

s Hi i=2

IN

-(i-1)

а через Г" г, i = 1, ..., к - 1 — пространства

1 т^П-i

функции, определенных на нормой

т^га-i

Г с конечной

hfu

+ ||hi+1u

+ Ё Р+1«||

9= ' У У

где f = Ьы в G, фг = цг(х, 0)и на Г""г, Фк+1 = ы на Ги-(к+1).

4.4. Пространство решений однородных задач

Следствие 4.1. Пространства решений однородных задач: а) Ьы = 0 в G;

т1(х, В)п = 0 на Г""1;

т1(х,D)ы = 0, I = 1, ..., ^ k = и - 1 на

Г^-г

lls+1

где Аг — функции, определенные в предложении 3.2. Тогда область значений операторов;

а) и ^ (Ьы, цг(х, 0)и, Д)ы), к = = п - 1, действующего из П5 (G) в П5-2(G) х

- 1,

X Г"-! X ... X rn1fe-1) X H 3(rn-k);

s 2 s-2 S 2

6) u ^ (Lu, ml(x,D)u, u), k

действующего из П s (G) в П -2(G) x Г"-з x

s 2

x ... x Г"-! x Hs-1 (rn-(k-1)),замкнута.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бицадзе А. В. Об однородной задаче с наклонной производной для гармонических функций в трехмерных областях / А. В. Бицадзе // ДАН СССР, 1963. Т. 148, № 4. С. 749 752.

2. Бояркин Д. И. Одно обобщение задачи с косой производной / Д. И. Бояркин // УМН. 1983. Т. 38, № 1 (229). С. 157 158.

3. Егоров Ю. В. О задаче с косой производной / Ю. В. Егоров, В. А. Кондратьев // Мат. сб. 1969. Т. 78. С. 148 176.

4. Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа / Ю. В. Егоров. М. : Наука, 1984. 360 с.

5. Мазья В. Г. О вырождающейся задаче с косой производной / В. Г. Мазья // Мат. сб. 1972. Т. 87. С. 417 454.

6. Сакс Р. С. К задаче о наклонной производной / Р. С. Сакс // Сообщения АН Груз. ССР. 1971. Т. 63. C. 285 288.

7. Borrelli R. The Singular, Second Order Oblique Derivative Problem / R. Borrelli // J. Math. and Mech., 1966. Р. 51 81.

8. Hormander L. Pseudo-differential Operators and Non-elli ptic Boundary Problems / L. Hormander // Ann. Math. 1966. № 83. P. 129 209. (Псевдодифференциальные операторы и неэллиптические краевые задачи // Псевдодифференциальные операторы. М., 1967. С. 166 296.)

Поступила 10.02.2012.

УДК 519.85:532.593

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОЯЧИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ЖИДКОСТИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ

Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова

Рассматривается математическая модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра.

Ось цилиндра радиуса Ь совпадает с осью Ог, направленной вертикально вверх против вектора ускорения свободного падения д. Задача решается в цилиндрической системе координат (г, 8, г), z = -Ну — твердая поверхность (дно цилиндра), ограничивающая снизу слой пористой среды, насыщенной жидкостью; г = 0 — поверхность раздела пористой среды и слоя свободной жидкости; г = ^ — невозмущенная (плоская) свободная поверхность жидкости, граничащей с атмосферой. Номерами 1 и 2 обозначены (в необходимых случаях) величины, относящиеся к пористой среде (область 1) и свободной жидкости (область 2) соответственно. Распространение прогрессивных (бегущих) волн на бесконечной поверхности жидкости, находящейся на слое пористой среды, рассмотрено в [5].

Уравнения движения жидкости в пористой среде имеют вид [1; 5]:

Г Ц = -gradp + pg - к щ, div» = 0.

фильтрации, связанная со средней скоростью V жидкости в порах соотношением u = Гг^; K — коэффициент проницаемости пористой среды, вычисляемый по формуле Козени [1]:

K =

Г3р2

(1)

Здесь р — плотность жидкости; Г — пористость (отношение объема пор к элементарному объему среды); h — вязкость; Р1 — давление; u — макроскопическая скорость

150 (1 - Г)2

где d (см) — диаметр шариков, образующих пористую среду. Все величины измеряются в системе СГС.

Уравнения движения свободной жидкости в предположении, что амплитуда поверхностной волны значительно меньше ее длины [3], запишем в линейном приближении:

Р ^ = -gradp2 + pg, divu = 0. (2)

dt

Здесь U2 — скорость свободной жидкости.

Из уравнений (1), (2) следует: » = Vjj, »2 = Vj2, где ф! (r, 8, z, t), j2 (r, 8, z, t) — потенциалы скорости, удовлетворяющие уравнениям Лапласа в цилиндрических координатах

1 j i

Дфj (Г, 8, z, t) = - -i-

a2jj

r dr dr

1

d2j j

d82

d2jj dz2

(3)

0, (j = 1,2).

Тактаров H. Г., Миронова С. М., 2012