Априорные оценки для одного класса дифференциальных операторов второго порядка, являющихся эллиптическими в полупространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения

УДК 517.925.4

априорные оценки для одного класса

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО

порядка, являющихся эллиптическими в полупространстве

Г. А. Смолкин

Построены специальные продолжения функций из Е+ в Е", на основе которых, а также теории псевдодифференциальных операторов доказана априорная оценка в пространствах С. Л. Соболева для рассматриваемого дифференциального оператора. Эта оценка позволяет исследовать краевые задачи в полупространстве, на границе которого эллиптический оператор может вырождаться.

В работе использованы общепринятые ные С1 и С2, не зависящие от X е К", такие, обозначения (см., например, [1—2]). Е" — п- , ... , * , ...

мерное евклидово пространство точек х = что С1 (1 + Х1 / - 9(х) - С2 (1 + Х1), то попол-

= (х1, ..., хп), х'= (х2, ..., X"), X = ■■■, нение множества функций V е Сд (Еп) по

X"), X = (Х2, Хп), г — мнимая единица норме (в)назовем пространством

С. Л. Соболева и вместо 9 (-О) V пишем

(г2 = -1), V (X), V (Х1, X') — преобразование Фурье функции У(х) по переменным х и х' соответственно Введем еще ряд обозначений. Пусть

Е+П = {х : х1 > 0} — полупространство из

^ (х) = ^ (х), - = (-г)к д), Е", Г = {х : Х1 = 0} — граница °преде"

а5 (О) V как нижнюю грань Е+

где W — продолжение

как обычно: IVI

Лх ■

j лим норму

j = 1,

норм д5 (Л) W ии У из Е

[х) на Г бу

определяется равенством ция. Ради краткости вместо выражения г г

В неравенствах в качестве коэффициентов будут фигурировать константы, обозна- функции V из Е+ в Rn. Норму следа функ-

чаемые буквой С с индексами. , ч ,, ,,

„ „ , ции V(x) на I будем обозначать V Она

Пусть s е Е, g (X) — вещественная функ- J II Ils,г '

1/2 ' < >2 nV 2

(i\v(x)|2 g2s (X)dx) будем писать ||gs (d)v||. ||VIS,r = [Л V(X)dXi(1 + |Х')) dx

Если существуют положительные постоян-

© Смолкин Г. А., 2012 ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2

Всюду ниже полагаем, что Н е С0" (|х,| < < 2), 0 < Н (х1) < 1, Н (х1) = 1, если < 1, Н — четная функция, Ад = Ад (х) = Н (|х'|) х х Н (х1), \ = йд (х/4), = йд (х/8), А (х1) = = Н (4x1); т, У — целые неотрицательные числа, 5 > 0 и у - 1 < 5 < у, и (х) е С" (я" и г).

.(X) = (1 + х2("+1) + М2)/2/('"+1), я(Х') =

(1 + |Х'|2 )1/2(т+1), р (х, Б) = Д2 + х2т х

иу

А (х ) и (х), если х1 > 0,

(-1)у +1 А (х)и (-х1,х') + Е 7/х1 А х I=0

и такие, что

5 + 2

(^ 410,я+п

< Си I (Б') ^р (х, Б)Ц I + +

V 10,Л+

+ 11(5 + з/2)/(т + 1), Г +

(1)

||л5+3/2 (Б)

0.Д+

л5+2 (Б) й0и <

II К ' 0 Ио.д?

< с2,5 |||л5 (Б) ¿0р (x, Б) Щ0,^ +

+ 1 Г2и\ 1( 5 + 3/ 2 )/(т + 1),Г +

(2)

х (+ ... + Б^) — рассматриваемый дифференциальный оператор.

Введем продолжение функции А ( х ) и ( х )

из Л" в Л". Для этого положим

й (х^ (Б'))01 (Й2 (0, х') и (0, х')) = = (2р)-"+1 |егх'Хй (х^ (X')) /е-*'*' 01 х (й2 (0, х') и (0, х'))

1|л5+3/2+е (б)

10,Л+

Доказательство. Из работ [3 — 4] следу-

д5+2 (О') ^о <

(3)

С (|д5 (-') Ьр(X,О)Цо| + ||с (О) |)

|л5+2 (О) Ьоиу < < С2 (|л5 (О) Ьор (X, О) + (4)

+1 ( Б ) Й2и Л ),

+ Л'

где

[х (х^ (П'))а1 (й2 (0, х') и (0, х'))/1!,

если х1 < 0, л = 1- (-1)у+1+1.

Условие на коэффициенты у^ обеспечивает непрерывность Ц вместе с ее производными

до порядка у + 1 включительно.

Теорема. Для любых 5 > 0, е > 0 существуют постоянные С С2 не зависящие

от и = и (х) е С" (я+ и Г)

с ( X) = (, + <? +|Х'|2([']+2) |' *" ' 2([ * 2) 7 • *' .

Так как

ио (х) =

|Й2 (х ) и (х ), если Х1 > 0, [-й2и ( - х1, х') + 2й (х^ ( Б')) х

|х Й2 (0, х')и (0, х'), если х1 < 0,

с (X) < С3 (х,| + Я+1 (X')) и и0(х) является дифференцируемой функцией, то

||с (Б) ^и0 (х)|| < < С4 ( Л"+1й2и (х) + (5)

+ |(х)\|(5 + 1/2)/(т + 1),г )

Далее ради удобства положим /(х) = р(х, D)U(x) при х^ > 0. Поскольку

< С7^||(1 + д5 (Б'))/ / (х)

+ 11(5 + 3/2)1(т + 1), Г +

+ ^ Цб'.-ц- ,,

/=^1 11( 5-/ + 3/2)/т + 1,Г

h0 Р ( х Б)и0

|йо (х) f (х), если х| > 0,

Оценим Б^/р (х, Б) иу . Очевидно, что

-ho f (-х1; х') + 2ho р (х, Б) х (6)

х h (х1д (Б'))h2 (0, х')и (0, х'),

если х1 < 0,

Б^й р (х, Б) и

<

;с8 (б/ (х )|| + | (Б/ (х )||),

(9)

где

получаем:

(Я) hор (х, Б)ио| < < С5 д" (Б') йор (х, Б) и

I д{ й (х) f (х), если х-! > 0, / (х) = < ._.

|й_х йо (_х-, х') / (_х-, х'), если х < 0,

+ Й2 (х)и (X)1 „ ,,

II 2 4 ' к 5+3/2)/(т+1), Г

Отсюда и из (3) и (5) следует оценка

(1).

Теперь докажем оценку (2). При 5 = 0 она вытекает из неравенства (4), в котором у = 0, определения функции ио(х) и равенства (6).

Пусть 5 = У - 1 + в, У > 1, 0 < V < 1. Очевидно, что

||л5 (Б) й0р (х, Б) иу|| <

< С6 (IIЛор (х, Б) У +

II и (7)

+ Б5/) р (х, Б) иУ +

+ |(Б') йор (х, Б) иу ||).

Оценим каждое слагаемое правой части этого неравенства. Из определения функции и у следует:

||й0р (х, Б) иу || + д5 (Б') й0р (х, Б) иу <

122

/2 ( X )

0, если Х1 > 0, у

X У/^/ (х), если Х1 < 0, /=0

(х) = д'х_1р (х, Б) х[н (x1q (Б'))э1 х х 0,х')и (0,х'))/1!. Сразу же заметим, что /2(х) является дифференцируемой функцией, так как у у-1 = 0. Поэтому

Б/ (х 1 < С9

11А2и|| (5+3 / 2)/(т+1),Г +

¿1 А%>и[

1( 5 _/+3 / 2)/т+1,Г

(10)

Используя преобразование Фурье, легко доказать, что

¿НйиЦ <

/=1 "(5-/+3 / 2)/(т+1),Г

<е11Л5+2 (Б) йи)^ + (11)

+ Сю (61 )||д5+2 (Б')/Ц,

Н0,д"

Из дифференцируемости функции /1(х) следует:

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2

A7i (x 1 < cj ( d) hf (x)

l0,R+*

поэтому, выбирая Sj достаточно малым, из неравенств (7) — (11) получаем:

||лs (D) h0p (x, D) U;|| <

< 1/2C2 ||лs+2 (D) hoU||0R„ +

+ C2 |||Ls (D) hop (x, D) U|0R„ + (13)

+ \\qs+2 (D') hU

0, R+

Методами работы [2] нетрудно показать справедливость неравенства:

||л5+1 (Б) Ь-и^ || < С;-АЕ ||Л5+3 / 2+5 (Б) Ь2и\|о,д„ ,

где е > 0.

Это с учетом оценок (1) и (13) приводит к окончанию доказательства теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа / Ю. В. Егоров. М. : Наука, 1984. 360 с.

2. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных / Л. Н. Слободецкий // Учен. записки Ленингр. пед. ин-та. 1958. С. 54 112.

3. Смолкин Г. А. Априорные оценки, связанные с дифференциальными операторами типа Купцова Хермандера / Г. А. Смолкин // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 2. С. 242 250.

4. Смолкин Г. А. Априорные оценки для вырождающихся эллиптических операторов в обобщенных пространствах С. Л. Соболева / Г. А. Смолкин // Журн. Средневолж. мат. о-ва [Саранск]. 2011. Т. 13, № 1. С. 71 78.

Поступила 21.02.2012.

УДК 517.927

НЕРЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ВЫРОЖДЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ

Д. И. Бояркин

В работе рассматривается нерегулярная краевая задача для эллиптического уравнения с вырождением на границе области. Получены априорные оценки для решения задачи и доказана замкнутость краевого оператора в пространствах Соболева Слободецко-го. При исследовании использованы методы функционального анализа и геометрии гладких многообразий.

1. Классификация многообразий вырождения

Пусть G — ограниченная область в Яп, п > 3, Г — кусочно-гладкая граница области G. Рассмотрим краевую задачу:

Ьы = f в G, (1.1)

т(х,0)м = на Г, (1.2)

где Ь — эллиптический оператор второго порядка с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в G, т (х, О) и — диффе-

© Бояркин Д. И., 2012