Неравновесные течения кислорода и азота в соплах с учетом возбуждения колебательных степеней свободы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977

№ 6

УДК 532.525.011.55.011.6

НЕРАВНОВЕСНЫЕ ТЕЧЕНИЯ КИСЛОРОДА И АЗОТА В СОПЛАХ С УЧЕТОМ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Г. Н, Саяпин

Численно исследованы квазиодномерные течения азота и кислорода в гиперболических соплах с учетом колебательной релаксации. Проводится оценка точности метода „мгновенного замораживания*

Финни [1]. Приводятся корреляционные зависимости температуры замораживания азота Тр в соплах по параметру Финни. Метод энтропийной корреляции Брэя обобщается на случай неравновесных течений с колебательной релаксацией. Результаты исследований течений азота и кислорода представлены в виде, удобном для практического использования. '

Известно [1], что в существующих аэродинамических установках с высокими параметрами торможения в сверхзвуковой части сопла, как правило, нарушается обмен энергией между активными и внутренними степенями свободы и течение перестает быть равновесным. При этом энергия внутренних степеней свободы как бы консервируется. Этот процесс получил название „замораживания" течения. „Замороженность“ потока в рабочей части трубы может существенным образом влиять на параметры потока в рабочей части, а также на аэродинамические характеристики обтекаемых тел [2]. Знание „замороженной" энергии колебаний позволяет свести расчет неравного течения в рабочей части гиперзвукового сопла к расчету течения совершенного газа с некоторыми („эффек-тивными“) параметрами торможения и новым значением размера критического сечения сопла [3]. Таким образом, важной задачей является определение температуры „замораживания" колебательных степеней свободы газа.

Рассмотрим квазиодномерное стационарное течение релакси-рующего газа с неравновесностью колебательных степеней свободы молекул в сопле без учета трения и теплопроводности. Предполагается, что вращательные и поступательные степени свободы молекул находятся в равновесии, а диссоциация еще не имеет места.

Течения в соплах с заданной геометрией описываются системой уравнений в безразмерной форме.

р иГ = т\ р = рТ;

■ *_7-+£К(ГК) = Я0;

2

da

ад = —

dx

I dp _ р dx ’

dEK

dx

г, [Ee{T)~ EK(TK)] т0 a0 их

(1)

здесь F(x)— площадь поперечного сечения сопла, зависящая от л: — расстояния вдоль оси потока; % — cpjcv — отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме (для двухатомного газах ==1,4); р, Т, и, р — соответственно, плотность, температура активных степеней свободы, скорость потока, давление.

Переход к безразмерным переменным осуществлялся по формулам: -

?' = РРо» Т' = ТТ0, а' = а0и, р' = р0а20р,

E'K=EKRT0, F' = FF^, m' = mF*a0p0, (2)

x' = xr^, 't' = 'CT0) 6' = 0TQ, Hq = H0 RT0.

Индекс 0 относится к условиям в форкамере, индекс # — к условиям в критическом сечении сопла. Здесь а0= '>

FK(FK) — энергия колебаний, соответствующая температуре колебательных степеней свободы Тк; Ее = —- jjr-.-----------— равновесная

энергия колебаний;0' — характеристическая температура колебаний (для азота б' = 3353 К, для кислорода 0'= 2230 К); г* — радиус геометрического критического сечения сопла; //„—полная энтальпия потока; R = Rfv-, где /? — универсальная газовая постоянная, [J. — молекулярный вес газа; т' — время релаксации.

Распределение площади поперечного сечения сопла вдоль координаты х' задавалось в виде

F'/F* = 1 + L2x2,

(3)

где Л — 2ср — угол раствора асимптотического конуса.

Система дифференциальных уравнений после несложных алгебраических преобразований может быть сведена к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя неизвестными:

du

dx

dEK

dx

p dx

dE. МД.(Г)-Д,(Г«) I

dx (Zq xq

(4)

Известно что для неравновесных течений, в отличие от течений совершенного или равновесного газа, состояние потока в каком-либо сечении зависит не только от термодинамических свойств, но также и от всей предыстории движения, связанной с характером изменения профиля сопла. Причем критическое сече-

ние (сечение, где число М, вычисленное по „замороженной" скорости звука, равно единице) не совпадает с наиболее узким сечением сопла [1, 4]. Это приводит к тому, что при расчете неравновесных течений, начинающихся из дозвуковой области, задание формы контура сопла является неудобным. Действительно, задавая начальные условия в форкамере для фиксированной геометрии сопла, нельзя быть уверенным, что наперед заданный размер критического сечения пропустит заданный расход; если же этот расход пройдет через критическое сечение, то при этом реализуется сверхзвуковое течение.

Расчет неравновесных течений в соплах сопряжен также с теми трудностями, что и в областях, где течение близко к равновесному, дифференциальные уравнения кинетики становятся уравнениями с малым коэффициентом при старшей производной [5].

Для того, чтобы преодолеть указанные выше трудности, была использована следующая методика расчета. Интегрирование системы дифференциальных уравнений начиналось от выбранного начального сечения х' = хх в дозвуковой области, где предполагалось, что поток находится в равновесии. По длине сопла задавалось распределение плотности р/ = р?(л:'), получавшееся из расчетов равновесного течения. Заметим, что для равновесного течения исходная система уравнений (1) допускает решение в аналитической форме [6].

Известно, что при течениях в соплах неравновесные процессы оказывают слабое влияние на распределение плотности. Учитывая этот факт, по полученному из решения системы (1) (при условии ТК = Т) распределению плотности вдоль оси сопла проводилось интегрирование системы дифференциальных уравнений. Расчет обратным методом проводился до сечения, где число М, вычисленное по „замороженной" скорости звука, достигало 1,02. Далее, начиная с этого сечения, решалась прямая задача. Интегрирование проводилось при заданном профиле сопла (3). Естественно, профиль сопла в дозвуковой области, получающийся из решения обратной задачи, будет несколько отличен от профиля, задаваемого в виде (3). Однако, как в дальнейшем показали расчеты, это отличие практически ничтожно. Так, например, максимальное изменение критического сечения сопла при режимах течения, когда „замораживание" происходило ниже по течению геометрического критического сечения, не превышало 0,001%.

Для численного интегрирования системы дифференциальных уравнений была применена двухточечная неявная разностная схема [4].

Решение получаемой при этом системы нелинейных алгебраических уравнений проводилось методом Ньютона.

Используя описанную выше методику, были проведены параметрические исследования течений азота и кислорода. Зависимость времени релаксации бралась в виде (6]

здесь Ь' — характеристическая температура, ц-—время релаксации конкретного газа при 7' = 6' и давлении, равном 105 Па (для азота в'= 3353 К, хв = 18• 10—1 Па-с; для кислорода 6'= 2230К, ^в =

(5)

='3,5-10_1 Па-с). Указанные зависимости приведены в работе [6] и подтверждаются экспериментально, см. [7 — 9] и др.

При проведении расчетов начальные условия (Т0 и р0) в фор-камере варьировались в следующих диапазонах: 1 • 106 Па-СуРо^Ю8 Па; 2000 К <; Т0 ■< 4000 К. Профили сопл задавались в виде (3). Во всех расчетных вариантах дозвуковая часть сопла имела один профиль

ТЛ Ро £ н ;Тгш ок

1/ '\ч ч

< 1 ч ч ' Ч. ~0Л5~

1 1 1 \ \ > Л

1 \ ч ^

Ю

х,см

Фиг.

с ср =0,785 рад. Значения <р в сверхзвуковой части сопла изменялись в диапазоне 5о-С<р<30°, а размеры геометрического критического сечения — в диапазоне 0,1 см < г* <10 см.

При исследовании течений в соплах определенное распространение получили различные приближенные подходы и, в частности, метод „мгновенного замораживания" [6, 10, 11]. Указанный метод основан на том, что скорости неравновесных процессов сильно

обычно по закону ехр^—~^ , где А — большая константа зависят от температуры, быстро уменьшаясь с ее падением. В силу этого уравнение кинетики (4), описывающее релаксационный процесс, является при достаточно больших Т уравнением с малым параметром при старшей производной (в области течения, близкого к равновесному). С уменьшением температуры в результате расширения потока в сопле это уравнение становится уравнением с большим коэффициентом при производной (область „замороженного" течения). Между ними существует переходная неравновесная зона. Поэтому приближенно полное решение можно с некоторой точностью строить из двух участков-, равновесного участка и „замороженного". При этом точность метода „мгновенного замораживания" существенным образом зависит от выбора точки стыковки равновесного и замороженного участков. Указанную особенность

наглядно иллюстрируют результаты расчетов, приведенные на фиг. 1, где сплошной линией представлены распределения колебательных температур азота по длине сопла х. Приведенные кривые соответствуют течению в соплах с 1 = 0,175 см-1 и £. = 2,68 см-1.

Здесь же штриховой линией нанесены распределения поступательных температур Т. Из приведенного видно, что при быстром

расширении потока (большое I) замораживание происходит резко. При медленном расширении потока (в соплах с малыми I) замораживание происходит менее резко. В этом случае переходная область от течения равновесного к замороженному течению становится большой. Результаты расчетов не подтвердили вывод работы [12] о том, что при течениях в соплах, где имеет место колебательная релаксация, не происходит окончательного замораживания энергии во внутренних степенях свободы. Указанная особенность ранее отмечалась в работе [10].

Таким образом, например, для двух приведенных режимов трудно однозначно определить критерий замораживания [6]. Вместе с тем если условие „стыковки" равновесного и замороженного решения скорректировать по результатам проведенных точных численных расчетов, то корреляция по параметру Ф становится точной и удобной для практического использования. На фиг. 2 представлены результаты численных расчетов „замороженной“ температуры колебательных степеней свободы азота при течениях в соплах, обработанные по параметру

Ф =

(6)

Этот параметр является безразмерной комбинацией геометрических характеристик сопла (<р, г*), параметров, определяющих условия в форкамере (р0, Т0), а также времени релаксации

то = т(Л)> То) в форкамере.

Приведенные кривые для четырех значений температуры в фор-камере Г0(2000, 3000, 3500, 4000 К) представляют графическое выражение критериальной зависимости, с помощью которой можно определять температуру „замораживания" Тр. При этом нужно по формуле (6) вычислить Ф как функцию геометрических характеристик сопла (г* <р) и параметров торможения, и по зависимостям, приведенным на фиг. 2, найти соответствующее значение Тр/Т0. Штриховой линией приведена зависимость температуры „замораживания" от параметра Ф (для Г0 = 3353К) [1], полученная по методу „мгновенного замораживания". Сравнения показывают, что при малых Ф метод „мгновенного замораживания" дает ошибку примерно 12% в определении ТР.

При течениях в соплах, где имеют место такие энергоемкие неравновесные процессы, как диссоциация и ионизация, справедлив метод энтройпийной корреляции [13]. Согласно этому методу для фиксированной формы и размеров сопла „замороженная" энтальпия является функцией только величины энтропии в форкамере и практически не зависит от значения энтальпии в форкамере.(В случае течения с колебательной релаксацией величина энтальпии в форкамере зависит только от температуры торможения и не зависит от давления).

Проведенные исследования подтверждают справедливость метода энтропийной корреляции для течений с возбуждением колебательных степеней свободы.

Так, в таблице приведены значения „замороженной" температуры колебаний для двух сопл с /,1 = 2,68 см-1 и Ь2 = 0,175 см-1. Давления в форкамере выбирались такими, чтобы энтропия в форкамере 50//? = 25,625 при Т0, указанных в таблице.

Г0 = 3500 К Т0 = 3000 к Т0 = 2500 К

00 <© <м~ II /см Тр = 2868° Тр = 2840° Тр = 2822°

Ь II О СП 1/см ТР = 1980° Тр = 1968° Тр = 1932е

Энтропия в форкамере рассчитывалась по формуле

I - гЬ П - Ш />„ + -Щ*- - 1п< 1 - *-•'"») + Л (7)

в 1

Здесь с—некоторая констянта (в расчетах полагалась равной нулю).

Таким образом, в случае неравновесных течений с колебательной релаксацией в соплах значение энтропии 50//? в форкамере для выбранной формы и размеров сопла достаточно точно определяет величину температуры замораживания. Это объясняется тем фактом, что условия в любом сечении сопла определяются величиной температуры „замораживания" и величиной энтропии. А так как в результате неравновесного расширения (в силу малой энергоемкости колебаний) относительные значения приращений энтропии малы, то энтропия в форкамере и является определяющей величиной.

На фиг. 3 для некоторых значений Ь представлены корреляционные зависимости температуры „замораживания" азота от значений энтропии в форкамере 50//?. Эмпирическим путем аналогично

случаю для течений с диссоциацией [14] двухпараметрическую кор-

реляцию удалось свести к однопараметрической, исполь-

V

зуя параметр где Ь = ; здесь г % в сантиметрах.

/ >и

2 4- 1п Ь,

(8)

Фиг. 4

На фиг. 4 приведены зависимости температуры „заморажива-ния“ для азота и кислорода от параметра 2. Сплошной линией представлены результаты расчетов неравновесного течения азота, штриховой линией — неравновесного течения кислорода*.

Таким образом, вычислив величину параметра £ и используя зависимости, приведенные на фиг. 4, можно определять температуру „замораживания" колебательных степеней свободы кислорода и азота в соплах. Приведенные корреляционные зависимости по параметру (8) позволяют определять температуру замораживания с относительной ошибкой не более 4%.

* В рамках метода „мгновенного замораживания" вопрос о возможности применения корреляционного параметра (8) был также рассмотрен А. В. Чири-хиным.

ЛИТЕРАТУРА

1. А г а ф о н о в В. П., В е р т у ш к и н В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. Под редакцией Г. И. Майкапара. М., .Машиностроение", 1972.

2. Полянский О. Ю. Влияние неравновесных процессов на

газодинамические параметры в гиперзвуковых установках и в критической точке затупленного тела. .Ученые записки ЦАГИ', т. 2,

№ 5, 1971.

3. Погребная Т. В., Полянский О. Ю. К расчету гиперзвуковых неравновесных течений в соплах с возбужденными колебательными степенями свободы. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1973, № 3.

4. Камзолов В. Н., Пирумов У. Г. Расчет неравновесных течений в соплах. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1966, № 2.

5. К р а й к о А. Н. К численному интегрированию уравнений с малым параметром при старшей производной. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 9, № 2, 1969.

6. Phynney R. Nondimentional solutions of flow with vibrational relaxation. AIAA J., vol 2, N 2, 1964.

7. White D. R., Millikan R. C. Vibrational relaxation In air.

A1AA J., vol. 2, N 10, 1964.

8. Лосев С. А. Кинетика релаксационных процессов в ударных

волнах и охлаждающихся потоках газов .Физика горения и взрыва",

1973. № 6.

9. Макаров В. Н., Шаталов О. П. Колебательная дезактивация молекулярного кислорода в охлаждающемся потоке. „Изв.

АН СССР, МЖГ“, 1974, № 2.

10. Меньшикова В. Л., Полянский О. Ю. О применении метода мгновенного замораживания в течениях с колебательной релаксацией. „Ученые записки ЦАГИ", т. 4, № 3, 1973.

11. Чирихин А. В. Метод расчета температуры замораживания течения азота в гиперзвуковом сопле. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 6, 1971.

12. Reddy N. М. and Da urn F. L. Similar solutions in vibrational nonequilibrium nozzle flows. AIAA Paper N 70-804, 1970.

13. Bray K- N. C. Simplified sudden-freesing analysis for nonequilibrium nozzle flows. ARSJ, vol. 31, N 6, 1961.

14. Harney D. J. Slender body aerodynamis testing potential of high energy wind tunnels. AIAA Paper, N 68-378, 1968.

Рукопись поступила 14jlII 1977 г.