Влияние неравновесных процессов на газодинамические параметры в гиперзвуковых установках и в критической точке затупленного тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И

ТОМІ/ 1971

№ 5

УДК 533.6.011.55

ВЛИЯНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ В ГИПЕРЗВУКОВЫХ УСТАНОВКАХ И В КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКЕ ЗАТУПЛЕННОГО ТЕЛА

О. Ю. Полянский

Приведены простые формулы для оценки влияния неравновесных процессов на газодинамические параметры в соплах гиперзву-ковых аэродинамических установок и в критической точке затупленных тел, обтекаемых гиперзвуковым неравновесным потоком. Показано, в частности, что коэффициент давления и температура воздуха в критической точке очень слабо зависят от степени нерав-новесности набегающего потока и скоростей протекания физико-химических процессов в ударном слое, а расстояние отхода ударной волны — довольно сильно. Полученные результаты свидетельствуют также о качественном отличии асимптотического (при М->-оо) поведения газодинамических параметров в соплах при замораживании колебательных степеней свободы и замораживании рекомбинационных процессов.

1. Как известно, в гиперзвуковых аэродинамических установках с высокими энтальпией и энтропией торможения поток может заметно отличаться от равновесного. Общие закономерности и особенности неравновесных течений в настоящее время изучены достаточно подробно. Обычно на протяжении небольшого участка сопла состояние потока изменяется от почти равновесного до почти замороженного. Ниже по потоку от участка замораживания газ ведет себя как совершенный, характеризующийся постоянным показателем адиабаты ^ (замороженный показатель адиабаты) и полной энтальпией, равной /г0(1—да), где й0 — энталь-

пия в форкамере, —энергия, заключенная в замороженных степенях свободы. Параметры и да зависят от физико-химической природы газа, энтальпии и энтропии торможения и геометрических характеристик сопла. Для вычисления и е/ существуют приближенные зависимости, основанные, например, на так называемой энтропийной корреляции [1] — [5].

В ряде случаев интересно знать относительное влияние неравновесных процессов на состояние потока в рабочей части гиперзвуковых аэродинамических установок, характеризуемое, например,

2—Ученые записки № 5

17

величинами р!ре, Т/Те и т. д. (обозначения стандартные; индекс „е“ соответствует состоянию потока при термодинамическом равновесии).

Ниже показано, как, зная т и х^, можно оценить влияние неравновесных процессов на состояние потока. Полученные зависимости позволяют выявить основные параметры, оказывающие влияние на газодинамическую картину течения в гиперзвуковых соплах. Далее будут выведены простые формулы для расчета параметров потока в критической точке затупленных тел, обтекаемых неравновесным потоком, когда набегающий поток заморожен (что типично для экспериментов в аэродинамических установках), а состояние газа в ударном слое близко либо к равновесному, либо к замороженному.

2. Оценим давление, температуру и другие газодинамические параметры в неравновесном (замораживающемся) потоке газа в гиперзвуковом сопле. Будем считать, что известно распределение этих параметров в соответствующем равновесном потоке, т. е. в том же самом сопле и при таких же параметрах в фор-камере, а также известны замороженные энергия и замороженный показатель адиабаты (х = Ср/Сг,), который связан с замороженными концентрациями компонентов газовой смеси соотношением

'р1

Ь/

I

где Ср1 и Сы—молярные теплоемкости, — мольная доля г-го компонента; индекс „/“ означает замороженное состояние.

Проведем непосредственное сравнение параметров неравновесного и равновесного потоков, причем такое сравнение будем проводить в одном и том же сечении сопла (т. е. при одном и том же значении площади поперечного сечения сопла Г), а не при одном и том же значении числа М.

При М^> 1 имеем

и £5; йшах == ]/"2 (Л0 6^) = Не шах 1^1 10 , (1)

где и — скорость потока, и<>Шах = У2Л0, т — е/1к0. Индекс „0“ характеризует условия в форкамере. Обычно в современных гиперзвуковых установках энергетический параметр да<^1; ориентировочно можно считать, что но ^ 0,3.

Так как при не очень малых давлениях в форкамере (например, при /?0>50 апгм) расход газа в сопле слабо зависит от неравновесных процессов, то из условия ри = ре ие имеем

^ 1 ■ (2) Ре » V1-® 2

(Если замораживание развивается в сверхзвуковой части сопла, то равенство ри = ре«г выполняется точно).

Для определения Тир воспользуемся концепцией мгновенного замораживания [6], [7]. Во многих практически интересных случаях происходит очень резкое замораживание физико-химических процессов, при этом энтропия газа изменяется незначительно.

(Метод мгновенного замораживания адекватен предположению постоянства энтропии). Обозначим индексом „1“ параметры течения в сечении (точке) замораживания. Тогда в области ниже по потоку от сечения 1, т. е. при имеем

Р(П

р 1

Pi

Определим параметр хе соотношением

- ... lgPe(F) — lgPe(Fi) е IgP.^-lgPe^l)

Тогда

Р_АП.

Pi

Pein

Pi

Из (3) и (5) с учетом (2) получаем

Дх

P(F) Г Р(П ] */ IW)

Ре(П L ре(П. pi

i+T®

рЛП

Pi

Дх

где

Дх = х,

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

V — V

Если предположить, что сечение F, в котором сравниваются параметры неравновесного (замораживающегося) и равновесного потоков, находится в гиперзвуковой части сопла, где молекулярный вес в равновесном потоке равен своему асимптотическому значению у,» при нормальных условиях, то с учетом (6) из уравнения Клапейрона* получаем

T(F) = V-/P Ре _ 1 ( —1

1 +

W

Ре(П

Pi

(8)

Te{F) (Хоорер Zy \ 2

где г1 = {100/{А/—фактор сжимаемости в замороженном потоке,

Уу= HLe(^1) —V-i — молекулярный вес смеси в замороженном

i

потоке. Отношение чисел М/Ме при Ме^>1 можно определить из соотношения

Дх

да(*/+1)1г - 1Т

М (F) М e(F)

иа„

-. [ U ре Xqq Хрр

У Ue р xf ~ V */

1

Pi

Ре (О J

,(9)

*у V */

где Хоо — значение хе при нормальных условиях (для двухатомных газов Ха, = 1,4). Для практического использования полученных соотношений нужно знать р^ т. е. параметры в сечении замораживания. Результаты точных расчетов показывают, что замораживание физико-химических процессов, с которыми связана основная доля замороженной энергии, в потоке воздуха при Т0 ^ 4000-н-8000° К и р0 = 50 -г- 500 атм в типичных гиперзвуковых соплах с диаметром критического сечения 1 — 10 мм происходит вблизи критического сечения в сверхзвуковой части сопла (ориентировочно 1<М,<3). Из полученных формул видно, что при Т7//7!—104 и выше ошибка в несколько раз в определении р! приводит к относительно небольшой погрешности в определении р)ре и Т/Те.

На основе полученных зависимостей можно проводить экстраполяцию экспериментальных и теоретических данных. Так, напри-

* Рассматриваются термически совершенные газы.

мер, если известны р21реъ Т21ТеЪ и т. д. в некотором сечении 2 в гиперзвуковой части сопла, где температура Те2 относительно невелика и хе2~хоо, то при получаем

а)

б)

в)

P(F) Pt Г P(F) 1 X/_Xo0^ p^lDX^

Pe(F) Ре 2 - P2 _ Pe2 \ F J

T(F) т2 If 2

Te(F) ~Te2\Fj »

x/—xOO

M (F) M2 (F\ 2

Me(F) ~Me2 \P2 j

(10)

Полученные результаты свидетельствуют, в частности, о качественном отличии асимптотического (при F-* оо) поведения р!ре, Т/Те и М/Ме в потоках газа при замораживании колебательных степеней свободы и рекомбинационных процессов. В первом случае х/ = хсо и происходит стабилизация отношений р(ре и т. д., во втором такой стабилизации не будет, и pjpe, TjTe и т. д. будут непрерывно изменяться по мере расширения потока.

3. Замораживание потока в сопле приводит к изменению полей газодинамических параметров в ударном слое около затупленных тел (моделей). Очевидно, наиболее сильные изменения произойдут с полями температуры и плотности; поле давлений более консервативно, но и оно подвержено влиянию неравновесных процессов. Несколько иное положение будет складываться вблизи лобовой поверхности затупленного тела, в частности, в критической точке, где состояние потока будет равновесным независимо от состояния газа в набегающем потоке и в ударном слое.

Ввиду того что энтальпия в критической точке h0 равна энтальпии торможения Л0, для определения ра, То и других величин достаточно знать еще какую-либо одну из этих величин, например, р’0. Остальные определяются из термодинамических соотношений 7о = Т(ft0, ро), ро = р(Л0,Ро) и т. д.

Определим р’о в критической точке для четырех предельных случаев:

— состояние газа перед ударной волной и в ударном слое близко к равновесному (этот случай соответствует условиям w = Q*

*=—------------>0, где т — характерное время релаксации в ударном

А

слое, «оо — скорость набегающего потока, R — радиус кривизны носка тела);

— набегающий поток — равновесный, поток в ударном слое близок к замороженному (w — О, т-> оо);

— набегающий поток заморожен, состояние газа в ударном слое близко к равновесному (w^O, т -»■ 0);

— набегающий поток заморожен, состояние газа в ударном слое близко к замороженному {w ф 0, т-*оо).

Состояние газа в критической точке в этих четырех случаях соответственно будем обозначать индексами „ее*, „ef“, „/е“ и

причем первая буква характеризует состояние набегающего потока, вторая — состояние в ударном слое.

Воспользуемся тем, что

1іт рий о ;

/>otW

: Ро е = Ро При 1 = 0;

: р'о f = р0 при х = оо

(П)

(доказательство этого факта можно найти, например, в работе [8]). Из соотношений для прямого скачка уплотнения

Роо мОЭ = р2 И2; Роа -f- poo Им = />2 4~ Р2 и2 ! ^°° ~Ь Иоо ~ ~ ^0 (12)

и следующего из них соотношения Гюгонио [9]

= _ Р°° ___________^2 g2____________ (13)

— Р2 Н2 + е2 — (Лоо + боо) + Роо/?2

(индекс „2“ указывает состояние непосредственно за фронтом скачка) при условии Мю 1, когда можно пренебречь величинами рсо И ha 00 по сравнению С ри2^ И Л0 соответственно {Наоо — энтальпия активных степеней свободы, haa}—hx—£/), получаем

а) (А)*

! СО lie 00 [ І ------ “Ь О (Mg оо)],

Л

^2 ее

2 ее

[1+0 (е^М^)];

б) (/?г)е/ — Ре оо Меоо (1 ®е/),

~ "і,” 4 1 f 1 + О (е«/ Меоо)];

*oo Т" А

в) ІР2 )fe ~ Р/оо И/со (1 Є/е)>

h

Ife ■

'2 fe

[1 + О (sJ/'M/m)];

^2 /е + gS

/е

г) G°L>)// ~ Р/оо ^03 (1 S//);

s// ■

[і + о [s/71 М7І)]*.

*я-і

(14)

Учитывая, что

Л

и

•2/*-

Р2 fe — Pit

- Л0 (1 є/в ) ~ [ 1 (вув еее) ],

Р/оо М/оо = Ре оо Иеоо (і/" 1 —w)**

1

да

Т

S/e + гее+0 С®2! see> Moo2)

можно получить следующие оценки для е/е:

д In е„

«г, єее да, да

eg

din /?

д In s*

<? In H

)•

* Символ О (аі, а2,..ап) означает порядок наибольшей из величин а1(

а2> • ■ •• аП•

** См. предыдущий раздел; предполагается, что модель во всех четырех случаях располагается в одном и том же сечении сопла А

Если Принять, что =0(р), (РСІ) и =0(1)*

то окончательно получаем

є/е = Єее[ 1 + ® + О (ад2, рда, ееею)]«еев(1 + т).

(15)

Оценим изменение давления на участке от скачка уплотнения до критической точки. Учитывая, что приМоо^>1 число М2потока непосредственно за прямым скачком определяется соотношением

М,

-а] V*е(\-г)[1 + О [Моо2)], из уравнения Бернулли имеем

)] • (16)

' і Poo И 00

Ро = р2-\-----------------2—

1 + т + 0(*2, N&)

Эта формула хорошо известна для совершенного газа. Для реального газа в условиях термодинамического равновесия она следует из соотношения Л2 -)- и1/2 = Но [здесь Л = А(/?,5); 5—энтропия], если учесть, что 52 = 5о,

■Н'о = А (Я 5о) = А (ра^) + (^)5 (р'о

М\ _ 1 _ 1 г - ( дР\

*р)з~ Р ’ [<>Р*)з~ Р2*2 ’ а-(др),’

где аг — квадрат равновесной скорости звука.

Из (14) и (16) получаем

а) (Ро)ее — Реоо иесо £ 1-2” “I-0-1- ® (®ее> Мгоо)

б) (Р°)е/—Реао Чеса І 1 2 I—g^+ О (єг/, Месс)

в) (Ро)/е — Р/оо И/оо

г) (Ро)// == Р/оо И/оо

(17)

где s„ определяются из (14) и (15), а

2 2 ( W

Р/оо й/оо ~ ре 00 «еоо [ 1---------------2"

(18)

Формулы (17а) и (176) согласуются с результатами, полученными в работе [8].

/<31пє\ / д 1п е \

* Результаты вычисления I д [п Л ) и І ^ ^ I для воздуха, например,

зывают, что в диапазоне 100 0,01 атл и Т0 <10 ООО" К

пока-

На основе формул (17) и (18) и выражений для (14) легко определить влияние замораживания потока в аэродинамической установке на газодинамические параметры в критической точке, а также оценить возможные изменения этих параметров в случаях, характеризующихся различными значениями параметра х в ударном слое. (Например, для натурных объектов типичными будут режимы т<1 и х—1, а при испытаниях моделей в гиперзвуковых аэродинамических установках х^>1).

Для отношения коэффициентов давления и' { р = ——

(Ро)тп ' Р» моо/ 2

где индексы „г/'“,..„/пга“ соответствуют различным комбинациям символов е и /|, получаем

{Р°^ = ! _ е‘* + (е°~ ~*тп) + О (в», М“2), (19)

(Ро) в частности,

п г '

Роее

б) ~ 1 _ ~~Хо

(19')

Рое/ (*со+ I)2

Отношение же абсолютных давлений, например, /?<>/<> и будет:

2^*1 ® + 0(вю2,.аю,®3,М"2). (20)

Роее 2 2 8

Аналогичные соотношения получаются и для других сочетаний условий в набегающем потоке и в ударном слое. Из анализа полученных результатов следует, что коэффициент давления в критической точке очень слабо зависит от состояния газа перед головным скачком. Для условий еве = 1/15; то = 0,2; х^ = 1,45; хоо=1,4 замораживание потока в сопле приведет к изменению коэффициента давления в критической точке примерно на \%.

Разница в абсолютных величинах давления р’о может быть значительно больше, порядка 10%. Здесь уместно сделать замечание, касающееся методики экспериментального определения числа М потока по величине отношения ро/рй- В потоке совершенного газа М00=/1 ^х, . В равновесном потоке

М*оо=/2(^, Ро,То) ■ (21>

Для определения числа М в реальном (неравновесном) потоке иногда пользуются зависимостью (21), что неправомерно. Ошибка в определении числа М при этом в ряде случаев может достигать нескольких десятков процентов. Так, при условии Го = 6000° К,

р0 = 100 атм и одной и той же величине р'о/ро, соответствующей Меоо = 20, число М в неравновесном потоке будет почти в полтора раза больше числа М в равновесном потоке [11]. С увеличением Т0 при фиксированном р0 и с уменьшением р0 при фиксированном Т0 отношение Моо/Меоо будет расти (здесь Моо и Меоо вычисляются при одном и том же значении р'о/р0)-

Зная Л0 и р0, легко определить температуру Т0 в критической точке. Выражая T'0fe, Т0е/ и То// через Т'0ее, получим

Для газа, в котором единственным физико-химическим процессом

на температуру в критической точке обычно очень мало: при различных сочетаниях состояния невозмущенного потока и состояния в ударном слое при заданных Л0 и F/F* (или и роо) вариации температуры в критической точке составляют всего лишь несколько десятых долей процента от Тоее-

Плотность в критической точке определяется из уравнения Р = p/zRT, где z — фактор сжимаемости, a R = RyJ\^x>. Для воз-

тической точке неравновесные процессы оказывают такое же относительное влияние, как и на давление. Следует отметить, что знание величин вариаций Т и р в критической точке (в зависимости от вариаций состояния потока — равновесное или неравновесное) не позволяет сделать каких-либо выводов о влиянии неравновесных процессов на поведение Тир вблизи критической точки. Так, градиенты Т и р в критической точке могут быть очень большими, если состояние потока в ударном слое близко к замороженному (при т -» оо grad Т-^оо).

Неравновесные процессы могут оказывать заметное влияние на величину отхода ударной волны А от поверхности затупленного тела. Величина А с высокой точностью пропорциональна отношению Роо/Рэфф, где рЭфф — эффективная плотность газа в ударном слое [12]. В предельных случаях, когда состояние в ударном слое близко к равновесному или замороженному, рэфф соответственно близка к р2е или р2 /, поэтому приближенно справедливы следующие соотношения:

Р0 //' Ро ее

-

Ро ее

является возбуждение колебательных

Поэтому Т0 не зависит от предистории течения. Для воздуха

поэтому

S.

ее

Sfe ее/ eff

1. Bray K.N.C. Simplified sudden-freezing analysis in nonequilibrium nozzle flows. ARS J., v. 31, No 6, 1961.

2. Lordi J. A., Mates R. E. Nonequilibrium effects on high-enthalpy expansions of air. AIAA J., v. 3, No. 10, 1965.

3. Harris C. J. Comment on nonequilibrium effects on high-ent-

halpy expansions of air. AIAA J., v. 4, No. 6, 1966.

4. Harney D. J. Slender bodies aerodynamic testing potential of

high energy wind tunnel. AIAA Paper, No. 68—382, 1968.

5. Ring L. E., Johnson P. W. Correlation and prediction of air nonequilibrium in nozzles. AIAA Paper, No. 68—378, 1968.

6. В г а у К. N. С. Atomic recombination in a hypersonic wind-tunnel nozzle. J. Fluid Mech., v. 6, No. 1, 1959.

7. Ельяшевич М. А., Анисимов С. И. Релаксационные явления при течении газа с большой скоростью. ДАН БССР, т. 5, № 8, 1961.

8. V 1 п о с u г М. On stagnation — point conditions in nonequilibrium inviscid blunt—body flows. J. Fluid Mech., v, 43, p. 1, 1970.

9. X e Й з У. Д., Пробстин P. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.

10. Предводителей А. С. и др. Таблицы термодинамических функций воздуха. М., изд. АН СССР, 1957.

1! Eschenroeder A. Q., Boyer D. W., Hall J. О.^Non-equilibrium expansions of air with coupled chemical reactions. Phys. of Fluids, v. 5, Mo. 6, i965,

12. Стулов В. П. О законе подобия при сверхзвуковом обтекании затупленных тел. МЖГ, 1969, № 4.

Рукопись поступила 12jl 1970