НЕРАВЕНСТВО КОЛЯДЫ ДЛЯ ЧАСТНЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ ФУНКЦИЙ С ЛАКУНАРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ФУРЬЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 4. С. 447-457

Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2022, vol. 22, iss. 4, pp. 447-457

mmi.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-4-447-457, EDN: XVDVNQ

Научная статья УДК 517.5

Неравенство Коляды для частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье

Б. В. Симонов1, И. Э. Симонова10, В. А. Иванюк2

1 Волгоградский государственный технический университет, Россия, 400005, г. Волгоград, пр. В. И. Ленина, д. 28

2Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Россия, 125993, г. Москва, пр. Ленинградский, д. 49

Симонов Борис Витальевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, simonov-b2002@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0003-1922-8956, AuthorlD: 8629 Симонова Ирина Эдуардовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, dvr@vstu.ru, https://orcid.org/0000-0002-4001-7478, AuthorlD: 619095 Иванюк Вера Алексеевна, кандидат экономических наук, доцент департамента анализа данных и машинного обучения, ivaver6@gmail.com, https://orcid.org/0000-0001-6402-3832, AuthorlD: 329957

Аннотация. Хорошо известна проблема оценивания модулей гладкости функций из Lq в терминах модулей гладкости из Lp. Начальным этапом оценивания модулей гладкости стало изучение свойств функций из классов Липшица и получение соответствующих вложений в работах Титчмарша, Харди, Литтлвуда, Никольского. П. Л. Ульянов для модулей непрерывности функций одной переменной доказал неравенство, позже названное его именем — «неравенство Ульянова». Из этого неравенства, как следствие, получается классическое вложение Харди - Литтлвуда для пространств Липшица. Неравенство Ульянова точно в шкале классов Hp. В. И. Коляда показал, что это неравенство может быть усилено. Его усилением является неравенство Коляды. Оно находит применение при исследовании некоторых максимальных функций, измеряющих локальную гладкость. Неравенство Коляды точно в том смысле, что существует функция с любым заданным порядком модуля непрерывности в Lq, для которой эту оценку ни при одном значении S улучшить нельзя. Неравенство Коляды было распространено на модули гладкости высших (натуральных) порядков Ю. В. Нетрусовым и М. Л. Гольдманом. У. Требельз распространил неравенство Коляды на модули гладкости положительного порядка. В настоящей статье изучаются частные модули гладкости функций двух переменных. Получены неравенства, распространяющие неравенство Коляды на частные модули гладкости в смешанной норме для функций с лакунарными коэффициентами Фурье. Построены функции, для которых неравенство Коляды для частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье имеют разные порядки, как функции 5. Тем самым показано, что полученные оценки точны в определенном смысле. В статье также доказаны некоторые специфические свойства частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье в пространствах Лебега со смешанной нормой.

Ключевые слова: частный модуль гладкости, лакунарные коэффициенты Фурье, смешанная норма, неравенство Ульянова, неравенство Коляды

Для цитирования: Симонов Б. В., Симонова И. Э., Иванюк В. А. Неравенство Коляды для частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 4. С. 447-457. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-4-447-457, EDN: XVDVNQ

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)

Article

Kolyada inequality for partial moduli of smoothness of functions with lacunary Fourier coefficients

B. V. Simonov1, I. E. Simonova10, V. A. Ivanyuk2

1 Volgograd State Technical University, 28 Lenin Ave., Volgograd 400005, Russia

2Financial University under the Government of the Russian Federation, 49 Leningradsky Prospekt, Moscow 125993, Russia

Boris V. Simonov, simonov-b2002@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0003-1922-8956, AuthorlD: 8629 Irina E. Simonova, dvr@vstu.ru, https://orcid.org/0000-0002-4001-7478, AuthorlD: 619095 Vera A. Ivanyuk, ivaver6@gmail.com, https://orcid.org/0000-0001-6402-3832, AuthorlD: 329957

Abstract. The problem of estimating the moduli of smoothness of functions from Lq in terms of moduli of smoothness from Lp is well known. The initial stage in estimating the moduli of smoothness was the study of properties of functions from Lipschitz classes and obtaining the corresponding embeddings in the works of Titchmarsh, Hardy, Littlewood, and Nikolsky. P. L. Ulyanov for the moduli of continuity of functions of one variable proved an inequality later named after him — "Ulyanov's inequality". From this inequality, as a corollary, we obtain the classical Hardy - Littlewood embedding for Lipschitz spaces. Ulyanov's inequality is exact in the class scale Hg. Kolyada showed that this inequality could be strengthened. Its strengthening is Kolyada inequality. It finds application in the study of certain maximal functions which measure local smoothness. Kolyada inequality is exact in the sense that there exists a function with any given order of the modulus of continuity in Lp for which this estimate cannot be improved for any value of S. Kolyada inequality was extended to the moduli of smoothness of higher orders (natural) by Yu. V. Netrusov and M. L. Goldman. W. Trebels extended Kolyada inequality to moduli of smoothness of positive order. In this article, we study the partial moduli of the smoothness of functions of two variables. Inequalities are obtained that extend Kolyada inequality to partial moduli of smoothness in the mixed norm for functions with lacunar Fourier coefficients. Functions are constructed for which Kolyada inequality for partial moduli of smoothness of functions with lacunary Fourier coefficients has different orders as functions of S. Thus, it is shown that the obtained estimates are sharp in a certain sense. Some special properties of partial moduli of smoothness of functions with lacunary Fourier series in each variable are also proved. Keywords: partial modulus of smoothness, lacunary Fourier coefficients, mixed norm, Ulyanov's inequality, Kolyada inequality

For citation: Simonov B. V., Simonova I. E., Ivanyuk V. A. Kolyada inequality for partial moduli of smoothness of functions with lacunary Fourier coefficients. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2022, vol. 22, iss. 4, pp. 447-457 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-4-447-457, EDN: XVDVNQ

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)

Введение

Общие соотношения между модулями непрерывности в разных метриках были получены в работах П. Л. Ульянова [1,2]:

(f,S)q « [J (гр+1ал(f,t)py jj , S e (0,1), 1 <p<q< ж.

Обобщения этого неравенства называются неравенствами типа Ульянова. Неравенство Ульянова было усилено В. И. Колядой [3]:

1 1 \ Р / S \ q

р dt\ [ 1+1 , „ чоdt

51-1+1 [J(tр-1 (f,t)qyf j « [J(г1+^ (f,t)py

г I \ ] 4 ^ £

0

8 е (0,1), 1 < р < д < ж.

Данное неравенство Коляды было распространено на модули гладкости более высоких порядков в работах [4-6]. В настоящей работе получено аналогичное неравенство для частных модулей гладкости для функций с лакунарными коэффициентами Фурье в пространствах Лебега со смешанной нормой. Частные модули гладкости и их свойства изучались ранее в ряде работ (см., например, [7, гл. X, XI]). Обозначим через

- ЬР1Р2, 1 < Рг < ж, г = 1, 2 — множество измеримых функций двух переменных /(х1,х2), 2^ — периодических по каждой переменной, для которых

27 / 27 ч Р2 ч 1

Р 2

Р1Р2

( j ( j |fX,x2)\P1dx^ P1dx2\ <ж;

( ) 27

— ^Р1Р2 — множество функций / е ЬР1Р2 таких, что / /(х15х2)dх2 = 0 для почти

0

27

всех х1 и / /(х1 ,х2)dхl = 0 для почти всех х2;

0

( ) (/) — частичные суммы ряда Фурье функции /(хх,х2),

27 27

т.е. 5т 1 (/) = Ц Дх+1 ,х2 )Вт1 (* 1) dt1, (/) = Ц /(хЬх2 +¿2 (¿2 ) ^2 00 27 27

5т 1 ,т2 (/) = ¿Ц /(хх +г 1 ,х2+ь )Бт1 (* 1) От (Ь) dt2 (тг = 0,1, 2,..., г = 1, 2) 0 0 1

где От(£) = ^(т = 0,1, 2 ...) — ядро Дирихле;

— ^(р1 >р2) — производную в смысле Вейля функции f(х1 ,х2) порядка р1(р1 ^ 0) по переменной х1 и порядка р2(р2 ^ 0) по переменной х2 [8, с. 238];

— Ет1Ж(}')Р1 Р2 — частное наилучшее приближение функции / е ЬР1Р2 по переменной х1, т. е. Ет1^ (/)р1 Р2 = 1п£ Ц/-^ 11Р1Р2, где функции Тт1 (х1 ,х2) е Ьр1 Р2

-т 1 <х>

и являются тригонометрическими полиномами порядка не выше, чем т1, по переменной х1;

- Ежт2 (f)pi p2 — частное наилучшее приближение функции f е LP1p2 по переменной Х2,, т. е. Ежт2 (Z)pip2 = inf ||/-Тжт2 ||pip2, где функции Тжт2 (х1 ) е Lpip2

Í ЮШ2

и являются тригонометрическими полиномами порядка не выше, чем т2, по переменной х2.

Для функции f е Lpip2 определим разности с шагом hi и h2 положительных порядков ai и а2 соответственно, по переменным х1 и х2, следующим образом:

ж

д?;(/) = Е(-!Г ("i) /(х1 + («i - "i)hi,х2),

"i =0

ж

Д?22 (/) = Et-!)"2 fó) /(х1 ,х2 + («2 - //2 )h2),

"2 =0

где (") = 1 для = 0, (") = « для и = 1, (") = a(a-i)-ja-"+1) для ^ 2. Далее, обозначим через

- waiо(f, ói)p;p2 — частный модуль гладкости положительного порядка «1 по переменной х1, т. е.

Wai ,0(/, ¿i )p;p2 = sup уд"; (í)\\pip2;

Si

- w0,a2 (f, S2)pip2 — частный модуль гладкости положительного порядка «2 по переменной х2, т. е.

,a2

( ,

2)pip2

sup ||Д"2(/)|| pi p2

Для неотрицательных функционалов F(f, 5i, 52) и G(f, 5i, 52) будем писать, что F(f, 5i, S2) ^ G(f, 5i, S2), если существует положительная постоянная С, не зависящая от f, 51 и 62, и такая, что F(f, 51, ó2) ^ CG(f, 5i, ó2). Если одновременно F(f, Si, 02) < G(f, Si, 02) и G(f, Si, 02) < F(f, Si, 02), то будем писать, что F(f, Si, ^) x xG( f, Si, 62).

Скажем, что f е Apip2, 1 < pi < то, г = 1, 2, если f е Lp^ и имеет ряд Фурье

ж ж

Е Е (2№х!)^2(2^2х2),

^2 =0 =0

где ipi(t) = cost или (t) = sint, i = 1,2. Сформулируем основной результат.

Теорема. Пусть f е Apip2, «i > dij, ói е (0,1), i = 1, 2. Тогда

I. При 1 < pi < qi < то, 0i = ± - i, 1 < p2 < то

/ i 4 ^ / ¿1 4 ^

sa1 Jt-p(a-ei^a;U0a,hwf)'1 «Jt-**<0(f,и^(i)

Mi ' ^ 0 '

II. При 1 < P2 < Q2 < TO, 02 = p2 - ¿, 1 <Pl< TO

/ 1 \ lk f 52 \ ¿

sa2-62(Jt-^(a2-2)wpaa,t2)pi?2^[2 ^Jt-42»2^(f,t2)pip2^-V. (2) 2 2 0 2

Причем в соотношениях (1) и (2) знак ^ нельзя заменить на х.

Неравенство (2) является двойственным по отношению к первому. В дальнейшем формулы для двойственных результатов не приводятся ни в леммах, ни в заключении.

1. Вспомогательные утверждения

Лемма 1. Пусть / е Ь$Р2, 1 < р{ < ж, а^ > 0, щ е М, г = 1,2. Тогда:

1) ^ ,о(/, ^)ир2 ^ ц/ - я,(/)|р1 р2+ц^те

I, ¿) ^ х ||/ - би„2 (/)!ии + «Е2№

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 9.2.1 из [7, с. 215]. □ Лемма 2 ( [10]). Пусть ак ^ 0, Ьп ^ 0, 0 < р < ж. Тогда:

те те /к \р те

1) если ^ аь < ап, то ^ аЛ ^ М х ^ а^;

к=п к=1 п= 1 7 к=1

п те / те \ р те

2) если ^ аь ^ ап, то ^ аЛ £ М х ^ а^Р.

к=1 к=1 п=к к=1

Лемма 3 ([9, с. 43]). Пусть ак ^ 0, 0 < а < @ < ж. Тогда

те 1 те 1

(£0? <(£<)5.

к=1 к=1

Лемма 4 ([10]). Пусть / е ЛР1Р2, 1 < ^ < ж, г = 1, 2. Тогда

*-Р1 Р2>

тете '

- . , . „- ^2 р1 р2 х а

=0 ^2 =0

тете 1

Введем следующие обозначения:

¿1 „ ¿2

с а, 51) = (I *г**<0а, к)р1р2 , с- а, ¿2) = ( | ^<2 а, ^^ ^У2,

о о

1

О (/, «!)= "*( I ,0 (/, ^ " ,

1

О- а, ¿2) = ^ («2<,2 (/, ¿2 )р1<Е " •

2 2

Лемма 5. Пусть / е ЛР1Р2, 1 < р1 < < ж, 01 = Р1 — 1 < р2 < ж, а1 > 01, п1 =0,1, 2,... Тогда:

теп1 1 / те те -1 \ —

1) С1 (/, 2-п1) х 2п1 (*-<»^ Е Е а1 ^22««1)2 + Е 2™*( £ а-.^ 2 Г =

Р2 =0^1 =0 ^ =п1 ^2 =0 7

= сп + С12;

/ п1 / те \ \ 1 / те те \ 1

2) О1( 1„ 2-п1) х 2-п1 (« ) ( Е 2«Р1 («^ ( Е а21 ^ 2 ) и + ( Е Е <^ 2 =

4 ^1=0 4 ^2=0 7 7 =0^1 =п1 +1 7

= ¿11 + ¿12.

В случае, когда / е ЛР1Р2, 1 < р2 < д2 < ж, 02 = 1 — 1, 1 < р1 < ж, а2 > 02,

п2 = 0,1, 2,..верны оценки для С2(2-п2) и О2(2-п2), двойственные к оценкам

С1 а, 2-п1) иО1 (/, 2-п1).

Доказательство. Докажем утверждение 1). Представляя интеграл в формуле для С1(2—П1) через сумму и используя конструктивную характеристику частного модуля гладкости (лемма 1), получаем

,(аг ,0 \|| <11 \ 11

С1(2-"1) х ( £ 21™*2—Цб^.'Ж(/)||£и)

VI =П1

Ж 1

+(£ 2™* \ц -5 «1 (ЛИ* „)п.

иг=пг

Применяя лемму 4, имеем

ж ж V 1

С! (/, 2-П1) х ( £ 2—■*««(£ £< № 22М1°0¥) " +

V =П1 № =0^1 =0

Ж Ж Ж 1

+ (£2-"" (£ £< ж) *) « .

V! =П1 ^2 =0^1 =^1

Применяя оценку из леммы 2, получим

Ж п1 1

С1 (/, 2-П1) х ( 2ишв12—№ 22та1)^) " +

V =П1 ^2 =0^1 =0

ж ж V 1

+ ( £ 2—£ <ж« +

=П1 №2 =0^1 =П1

Ж Ж Ж 1

+ (£2™* (£ £< ,,) " х

=П1 ^2 =0^1 =^1

Ж п1 Ж Ж

2П1 № —«)( £ £ <,,22"№)2 + ( Е 2"^ ( £ )

а1»2 ..... ) + ^

№2=0 №1 =0 ^1=П1 ^2 =0

Доказательство утверждения 2) проводится аналогично. □

Лемма 6 использоваться при доказательстве теоремы не будет, но в ней приведены специфические свойства частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье в пространствах Лебега со смешанной нормой, представляющие отдельный интерес.

Лемма 6. Пусть / е ЛР1Р2, 1 < щ < то, & > а^ > 0, щ = 0,1, 2..., ^ е (0, 2), г = 1, 2. Тогда:

/ \ / П1 Ж ✓ Ж Ж

1) ша1,0и,^г х 2*Ьг(££<ь2'2к1а1) + £ Е <2-2) ;

4 7Р1Р2 4 21 =0 22 =0 7 Чк1=П1+1к2=0 7

^ ^«1,0 1 I, ) х 2«1П1 ( Е 2<2а1№1Е2т —1ж (Лр1Р2) ;

4 УР1Р2 =0 7

3) шаи0(/, ^) х ( Е 2-2*»'1 н^с/)^ и)2;

4 ' Р1Р2 =П1 +1 7

4) шаи0 (I, 51 )Р1 Р2 х 5«1 ( } [*—1,0( ь )Р1 Р2 ]2 2.

^«1,0и, )Р1Р2 х I I^1,01

1

Верны и неравенства для (62)Р1 Р2, являющиеся двойственными по отношению к ша1,0 (51 )Р1Р2.

Доказательство. Сначала докажем утверждение 1). Применяя лемму 1, имеем

I = Ш«1,0 ( I, 211 ) х (})\\Р1Р2 + II/ — ^2П1 те (ЛУР1Р2 •

2 р1 р2 2

Применяя лемму 4, получаем требуемую оценку

.,/п1 те \ 1 / те те \ 1

'х ¿Л ЕЕ <1,2 22Ч + £ £а«1,2 •

\Ш =0«2 =0 / \Ш =п1 +1 «2 =0 /

Доказательство утверждения 2) проводится аналогично.

Докажем утверждение 3). Применяя лемму 4 и 1) из леммы 6, имеем

те 0 те «1 те

тете 2 тете ¡л 1 тете

Л2 = ^ 2-2«1«1 (/) х ^ 2-2«1«^ ^22а"

^ а2

_ __а^2

«1=п1 +1 Р1Р2 «1 =п1 + 1 =1^2 =0

п1 те те «1 те

2"2а1п1£ £ 22«1"1<,2 + Е 2-2«1«1 £ ^«^а^:

= 1^2 =0 «1 =п1 + 1 =п1 + 1^2=0

п1 те тете / 1 \

:2-2«1п1£ + £ х ш« 1 -М

= 1^2 =0 Ц =п1 + 1^2 =0 ^ 7Р1Р2

что и доказывает 3).

Докажем утверждение 4). Для данного числа 51 е (0,1) найдется целое неотрицательное число т1 такое, что 2т1+1 ^ 51 < ^• Применяя свойства частного модуля гладкости, имеем

В2 = ^ / ,0 (I, Ь )Р1 Р2 ]2 ^ х 2-2-1«1 £ 22«1«1^21,0 (I,

I 11 «1=0 V 2 /р1 р2

Применяя формулу 2) из леммы 6, получаем

ТО1 «1

В2 х 2-2™1«1 22«1«12-2«1^1 22^1Е|„1 -1те (Д «1 =0 =0

т1

Т ( 1 \ х 2-2»1«1 £ ^"»Е^ -1те (/)Р1 Р2 х ш« 1 Л /, ^ •

^ =0 ^ 7 Р1Р2

Используя свойства частного модуля гладкости, получаем В х ш«ь0 (/, 51 )Р1Р2. Тем самым 4) доказано. □

2. Доказательство теоремы

Докажем сначала I. Для каждого 51 е (0,1) существует натуральное число п1 такое, что 2-п1 ^ 5\ < 2-п1+1. Поэтому

Л1 = О1 (/, 51) << О1 (/, 2-п1), В1 = С1 (/, 51) >> С1(/, 2-п1).

Применяя оценки из леммы 5, получим, что А1 < с111 + с?12, В1 > с11 + с12. Покажем, что < сц, г = 1, 2.

1. Рассмотрим

п1 Ж .£1.1 ¿и = 2—п1 («1—«1) ^ 2^1 Р1 («1—^) а^ 2 ) Р1.

»1 =0

№2 =0

1.1. Пусть р1 ^ 2. Тогда в соответствии с леммой 3, с учетом того, что 1 = а ^ $ = Р1, имеем

1 2

¿11 = 2—п1 («1—^ '(( £ (2-2(«1^ £ а21 2 ) ПУ <

»1 =0 №2 =0 п1 Ж 1 п1 Ж 1

^ 2—щ^л^ 2-2<«1 — 1) £ а»,,„2) 2 < 2—п <«1— 1 ) ( £ 2-а21 2 = с„.

»1 =0 №2 =0 »1 =0 №2 =0 Итак, (11 < с11 при р1 ^ 2.

/ п1 / Ж ч ЦЦ ч

1.2. Пусть 1 < Рг < 2. Оценим ¿11 = 2—п1 (а1—01 ^ £ 2»1 Р1«^ £ а21 -2-»1

/Ж ч ^

Пусть А^ = 2»1 Р1а1( £ а2 , В»1 = 2-»1Р101, р = р1, * + 1 = 1. Применяя

4 №2 =0 ' 7 * 4

№2 =0 I +

2 ' р + д

п1

неравенство Гельдера к сумме Е А»1В»1, получим

»1 =0

п1 п1 ч 1 п1 ч 1

^АР^ г(£в«)5.

»1 =0

V =0

V =0

Отсюда следует, что

(111 ^ 2—п1 (а1 — 01)

п1

^ ^ I 2»1 Р1«1

V =0

( Еа21 ,№2 ) \№2=0 /

2 х 2Х

Р1\ ^ Л 2 2 \ р1

X

X

п1 Р1

(2—»1Р1^) £-1

V =0

1—

/

Р1

п1 Ж

<< 2—"1(а1—' £ 2»1£ а21

\»1 =0 №2 =0 )

Сц.

Итак, (11 < с11 при 1 < р1 < 2. Тем самым (11 < с11 при 1 < р1 < то.

/ Ж Ж "

2. Рассмотрим (12 = ( Е Е а21

^ №2 =0 №1 =п1 + 1

2.1. Пусть 1 < д1 ^ 2. Тогда, применяя лемму 3, с учетом того, что имеем

= а < $ = 1

оо оо

Ж Ж 91 1

2 МТ4"

(12 = (£ £ <„)' <(£ (£< Л 51 <

№2 =0 №1=п1 +1

Ж

<

№1 =п1 №2 =0

Ж 91 1

,2)2) « = с12,

№1 =п1

т. е. (12 < С12 при 1 < д1 ^ 2.

№2 =0

1

2

2

/Ж ж \ 2

2.2. Пусть q-i > 2. Оценим d12 = £ 2Wl £ ^ • .

V II п ' '

«1=«1+1 «2 =0

оо

Пусть Aw = 22^101 Y, ah , = 2-2^101 ,р = f,1 +1 = 1. Применяя неравенство

«2 =0 ' Р q ОО

Гельдера к сумме Y1 AmBm, получим

«1 =П1 + 1

1

£ AWBW <( £ A^f £ В«.)5.

«1 =Щ +1 «1 =«1 + 1 «1 =«1 + 1

Отсюда следует, что

91

2 |2|Ч1\2/| I 1 £1 -1 I 1 91 \ 2

d12 <({ £ ^Еа^}2}«)^ £ ^J^p)2 ^

«1 =т+1 «2 =0 =т+1

ж ж

«(£ 2™* (£<,«2)= С.

a

=«1 «2=0

Тем самым d12 ^ с12 при ^ > 2. Следовательно, d12 ^ с12 при 1 < q1 < ж. Неравенство (1) доказано.

Покажем, что в соотношении (1) знак ^ нельзя заменить на знак х . Для этого построим функцию Д (х1 ,х2) £ АР1Р2 такую, что левые и правые части неравенства (1) имеют разные порядки, как функции 51. Возьмем функцию

оо

Д(Х1 ,Х2) ~ a™1 cos2m1X1 sinx2,

m1 =0

где am1 = , Л > -2, «1 > #1, #1 = ¿1 - ^, 1 < Р1 < Q1 < ж.

Применяя леммы 4 и 5, получим, что

(ni +1)^1+2

Д £ , ,0 (Д , 2 П1 )Р1Р2 х 2а1й1 х ,0 (Д , 2 П1) 91Р2 •

Но тогда для 51 £ (0,1)

'«1 (hi Й

2 \ ^+1

^«1,0(Д, )Р1 ¿2 х 1 ( ln ) х ^«1,0(Д, )Р2-

Теперь легко проверить, что

/ 2 +2

О1 (Л, 51) х , С (/1,51) х 5«1 -01 Мп -) •

Таким образом, левые и правые части неравенства (1) для функции Д(х1 ,х2) имеют разные порядки, как функции 1.

Доказательство II проводится аналогично доказательству I. Теорема доказана.

Заключение

В работе рассмотрены функции двух переменных с лакунарными коэффициентами Фурье. Для таких функций получены оценки, распространяющие неравенство Коляды для частных модулей на двумерный случай в пространствах со смешанной нормой.

Кроме того, из оценок, приведенных в теореме, вытекают неравенства типа неравенства Ульянова. А именно пусть f £ Лр1-р2, a, > О,, 6, G (0,1), г = 1, 2. Тогда при 1 < р\ < q\ < œ, 0l = — ^2, 1 < р2 < œ выполняется неравенство

х

/ ¿1 ^ \ 41

Mai ,0 ( f, ài) Ç1 -2 < ( J t-101^ ,о ( f, ti )-i -2 \0

В случае, когда 1 < р2 < q2 < то, 02 = — ^, 1 < Pi < œ, верны оценки для

( . f, h) pi g2 , двойственные к оценкам для Ma,0( f,5l)qiP2 . При дополнительных ограничениях на параметры из теоремы следуют неравенства, уточняющие неравенства типа Ульянова. А именно пусть f £ Лр1-р2, a, > 9,, 6, £ (0,1), г = 1, 2. Тогда при 1 <pi < qx < œ, 1 < рi ^ 2, 91 = ^ — 1 < р2 < œ выполняется неравенство

х

/ ¿1 \ 91

-01,0( f, £i)çi-P2 < ( У ^<,0( f^ O-rn

01

В случае, когда 1 < р2 < q2 < œ, 02 = — ^, 1 < Pi < œ, верны оценки для

M0,a2-02 (f, $2)-1 Ç2, двойственные к оценкам -01,0(f,Si)^.

Из теоремы можно получить следующие оценки для частных модулей гладкости производной функции через частные модули гладкости самой функции.

Пусть f £ Лр^, a, > 0г, 6г £ (0,1), i = 1, 2. Тогда при 1 <px<qx< œ, 01 = ^ — 1 < р2 < œ, pi > 0

/ 1 \ ~k f \ 41

^l-01 [ f t-Pl (ai-0i) «1 ( f(pb0) t ) \ / f t-q i(pi (ft) ^ 1 91

l h wa,0U ViWy" < l h +pi,0UUwp^ •

1 1 0 1

В случае, когда 1 < p2 < g2 < œ, 02 = «2 — ^2, 1 < < œ, p2 > 0, верны интегральные оценки для w0,a2 (/(0^2), t2)-io2, двойственные к интегральным оценкам для Ma1,0 (/(P1,0),tl)(

-1 2

1 -2

Список литературы

1. Ульянов П. Л. Вложение некоторых классов функций // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1968. Т. 32, вып. 3. С. 649-686.

2. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Математический сборник. 1970. Т. 81 (123), вып. 1. С. 104-131.

3. Коляда В. И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Труды Математического института Академии наук СССР. 1988. Т. 181. С. 117-136.

4. Нетрусов Ю. В. Теоремы вложения пространств Ир' и Яр'ш'2 // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1987. Т. 159. С. 83-102.

5. Гольдман М. Л. Критерий вложений разных метрик для изотропных пространств Бесова с произвольными модулями непрерывности // Труды Математического института РАН. 1992. Т. 201. С. 186-218.

6. Trebels W. Inequalities for moduli of smoothness versus embeddings of function spaces // Archiv der Mathematik. 2010. Vol. 94. P. 155-164. https://doi.org/10.1007/s00013-009-0078-4

7. Потапов М. К., Симонов Б. В., Тихонов С. Ю. Дробные модули гладкости. Москва : МАКС-Пресс, 2016. 337 с.

8. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Москва : Наука, 1975. 480 с.

9. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. Москва : Изд-во иностранной литературы, 1948. 456 с.

10. Потапов М. К., Симонов Б. В. Свойства смешанных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2014. Вып. 1. С. 6-17.

References

1. Uljanov P. L. The imbedding of certain classes H^. Izvestiya: Mathematics, 1968, vol. 2, iss. 3, pp. 601-637. https://doi.org/10.1070/IM1968v002n03ABEH000650

2. Ul'yanov P. L. Imbedding theorems and relations between best approximations (moduli of continuity) in different metrics. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1970, vol. 10, iss. 1, pp. 103-126. https://doi.org/10.1070/SM1970v010n01ABEH001589

3. Kolyada V. I. On relations between the moduli of continuity in various metrics. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1989, vol. 181, pp. 127-148.

4. Netrusov Yu. V. Imbedding theorems for the spaces and . Zapiski Nauchnykh Seminarov LOMI, 1987, vol. 159, pp. 83-102 (in Russian).

5. Gol'dman M. L. A criterion of imbedding for different metrics for isotropic Besov spaces with general moduli of continuity. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1994, vol. 201, iss. 2, pp. 155-181.

6. Trebels W. Inequalities for moduli of smoothness versus embeddings of function spaces. Archiv der Mathematik, 2010, vol. 94, pp. 155-164. https://doi.org/10.1007/s00013-009-0078-4

7. Potapov M. K., Simonov B. V., Tikhonov S. Yu. Drobnye moduli gladkosti [Fractional Moduli of Smoothness]. Moscow, MAKS-Press, 2016. 337 p. (in Russian).

8. Besov O. V., Ilin V. P., Nikol'skii S. M. Integral Representations of Functions and Imbedding Theorems. New York, Toronto, London, Halsted Press, 1978. 345 p. (Russ. ed.: Moscow, Nauka, 1975. 480 p.).

9. Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities. London, Cambridge University Press, 1934. 336 p. (Russ. ed.: Moscow, IL, 1948. 456 p.).

10. Potapov M. K., Simonov B. V. Properties of mixed moduli of smoothness of functions with lacunary Fourier coefficients. Moscow University Mathematics Bulletin, 2014, vol. 69, pp. 5-15. https://doi.org/https://doi.org/10.3103/S0027132214010021

Поступила в редакцию / Received 28.03.2022 Принята к публикации / Accepted 12.05.2022 Опубликована / Published 30.11.2022