CC BY
6Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
О
R
VOLUME 2 | ISSUE 5/2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ КВАДРАТИЧНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКЕЕ ОПЕРАТОРЫ НА ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ S^S1.
Х. Ж. Мейлиев
В настоящий работе рассматривается траектории квадратичные стохастический операторы при менделеевском типе наследования двуполой популяции на одно мерным симплексе.
Ключевые слова: Теория, методов, симплекса.
In this paper, we consider trajectories of quadratic stochastic operators under the Mendeleev type of inheritance of a bisexual population on a one-dimensional simplex.
Keywords: Theory, methods, simplex.
ВВЕДЕНИЕ
Понятие квадратичного стохастические оператора, в первые было дано в работе С.Н.Бернштейна [1], посвященной решению одной математической проблемы, связанной с теорией наследственности. Квадратичные операторы как объект исследования появились на рубеже тридцатых годов в работах Улама [2], где была поставлена задача изучения поведения траекторий квадратичных операторов. Невозможность создания достаточно развитых аналитических методов в силу сложных и громоздких рекурренций при изучении траекторий инеобходимость проведения очень большого числа вычислений при изучении конкретных квадратичных операторов не стимулировали интерес к этой задаче. Создание ЭВМ в сороковых годах возродило интерес к проблеме изучения поведения траекторий квадратичных операторов. Улам и его сотрудники провели вычисления на ЭВМ для достаточно большего числа квадратичных операторов.
ОБСУЖДЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ
Квадратичные стохастические операторы появляются в весьма различных областях математики и ее приложений: теории вероятностей, теории
(КарГУ). М.М.Гуломова
( КарЭИИ)
АННОТАЦИЯ
ABSTRACT
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 5/2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
дифференциальных уравнений, теории динамических систем, математической биологии и других.
Теория квадратичных стохастических операторов развивалась в течение более 85 лет и было опубликовано минного работ.
Квадратичный стохастический оператор (КСО) свободой популяции имеет следующий смысл:
Рассмотрим некоторою биологическую популяцию, т.е. замкнутое относительно размножения сообщество организмов. Предположим, что каждая особь, входящая в популяцию, принадлежит некоторой единственной из п разновидностей 1,2,3,...,п. Шкала разновидностей (признаков, фенотипов, генотипов) должна быть такой, чтобы разновидности родителей I и у однозначно определяли вероятность каждой разновидности к для непосредственного потомка первого поколения. Обозначим эту вероятность («Коэффициент наследованности») чериз рк .Очевидно что в этом случае
выполнены условия:
Предположим, что популяция настолько велика, что можно пренебречь флюктуациями частот. Тогда ее состояния можно описывать набором х = (х1,х2,х3 вероятностей разновидностей, т.е. хл есть доля
разновидности I в популяции.
При так называемой панмиксии или случайном скрещивании при фиксированном состоянии х = (х1,х2,х3х„) родительские пари \ и у образуются с вероятностью х^ и, следовательно,
x
= Е (1)
i, J =1
будет полной вероятностью к среди непосредственных потомков.
Множество Sn 1 = {x = (xj,x2,...,xn): x > 0, i=1,2,...,n, ^x = 1}
i=i
(2)
называется n -1 -мерным симплексом и, так как ^ xk = 1 и xk > 0, то
к=1
отображение (2) называется квадратичным стохастическим оператором, переводит симплекс в себя.
где Р к -коэффициент наследованности удовлетворяют условия:
n
n
n
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 5/2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
0, X Р,1 , у*-
(3)
Среди математических моделей генетики важную роль играют модели, порожденные квадратичными операторами.
Траектория , t =1,2,...для х^0> Е 5"-1 под действием КСО
(2) определяется следующим образом:
Одна из основных задач для данного оператора в математической биологии состоит в изучении асимптотического оведения траекторий. Это проблема была полностью решена для вольтеровских КСО которые определяются равенствами (1) ,(3) и дополнительным предположением
В настоящий работе мы рассматриваем квадратичные стохастический операторы двуполой популяции на одно мерным симплексе.
Определения. Пусть Р = {^^^з -множество женского типа,
= {.'•■■-_..'■■■•: 7 . . / множество мужских типа. Состоянием популяции называется пара распределений вероятностей
х = {х1гх2,х3 ..., хп} - и У = &\,Уг>Уъ ■■■>}%} ~ на множествах соответственно F и M.
Пространством состояний данной популяции является 5т:_1 X декартово произведение (п-1) мерного симплекса 5т:-1 на (V-!) мерной симплекс 517-1.
Дифференциация популяции называется наследственной, если при любом состоянии (х,у) в поколении О однозначно определено состояние (х,у'), возникающее в следующем поколении О путем скрещиваний и отбора.
Отображение ХУ-.З11'1 Х5У_1 5*"1 отображающие (п-1)* (у-1)
мерной декартово произведение на себя определяемое равенством
n
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 5/2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
называется эволюционным операторам. В координатах оно превращается в систему равенств
(V) ^ ^
которые также называется эволюционными. Отображение (7) при любом начальном состоянии однозначно определяет траекторию
Множество предельных точек траектории, начинающейся в точке ОЛу°) называется ее предельном множеством и обозначается через
Выведем эволюционные уравнения двуполой популяции. Исходными данными для этого являются коэффициенты наследственности Р']: !, Р'^У .
Величина Р^: определяется как вероятность рождения потомка женского типа
¥}, 1 < ; < п. у матери типа 1 < ] < п , и отца типа Мк1 1 < к < V
Аналогично определяется Р^1?, 1 < I < п, 1 < к < V очевидно,
коэффициенты наследственности суммарно учитывает, например, такие факторы, как рекомбинационный процесс, отбор гамет, мутации, дифференциальная рождаемость.
Пусть (х, у)-состояние в поколении О. (х ,у')~ возникающее в следующем поколении О в момент его содержания вероятности типов находятся по формуле полной вероятности:
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 5/2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
Квадратичный стохастический оператор называется менделеевским, если правила наследования, определенные этим оператором, удовлетворяют законам Менделя [8], т.е. траектории квадратичный стохастический операторы стабилизуется со второго шага.
Пусть п=у=2. Приведём некоторые модели, описываемые квадратичными стохастическими операторами.
1.В модели наследственной передачи, предложенной Элстоном и Стьюартом в 1971 году [8], передача признака от родителей к потомству описывается тремя показателями вероятности этой передачи:
-от женского типа родителя с генотипом АА ребёнку передаётся ..... ></>
аллель А, от женского типа родителя с генотипом а А ребёнку передаётся 'V1
аллель А, Р^-от женского типа родителя с генотипом А а ребёнку передаётся
аллель А, Р '^-от женского типа родителя с генотипом АА ребёнку передаётся аллель А и тогда Р^ = 1 — Р';_''.
Пусть х±уг , х±у2 , х2у1 и хгу2 частоты генотипов АА, Аа, аА и аа соответственно. Тогда квадратичный стохастический оператор определяет, как изменяются частоты генотипов от поколения к поколению по формуле (10):
Обозначим для кратности генотипы АА, Аа, аА и аа через 11, 12, 21, и 22 соответственно.
Или по уширению
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 5/2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
W: \
11,1
xlVl + P^l
Х1У2
+ Р21,1Х2У1+Р22,±хгУг>
x'2 = Р?12х1У1 + R
11,2
1 Cmj
1 ' J 12,2 (m)
+
Р^2х2У1+Р
у1 = рш*±У± + р1
12.
+ p.
Cm)
1Х1У2 1 21,1 А2
С/) 2 2,2
2 >
У± 2 , 1
(12)
US
Cm),
+ Д
12,2 ^дУ? + ^21,2*2У1~*~*22,2*23^
11,2 хгУг
В соответствии с гипотезой о менделеевском типе наследования вероятности определены следующим образом:
(13)
рф 11,1 = 1 рф _ 12,1 1 р<7) 2 1,1 = 0 Р^ и 2 2,1 = 0
poo 11,2 = 0 рЮ _ 12,2 0 рФ 2 1,2 = 1 Р^ -1 2 2,2 = 1
р&п) Г11Д = 1 pirn) 12,1 ~ 0 рСт) 2 1,1 ■1 ~ 1 2 2,1 = 0
ptm) 11,2 = 0 р Cm) 12,2 — 1 рСт) 2 1,2 л рСт) и г22 2 - = 1
Подставляя величины (13) в (12), получим
х =
W:
Хп =
+ *дУ2
Л
*2У1 +
ХгУ2,
У
чУ2
*дУ± + *2Уи
от.юда, т.к.
V- +
*1У2 +
окончательно
имеем
Т.е. частоты генотипов неизменяются от поколения к поколению, что составляет первое утверждение в законе Харди-Вайнберга.
Теорема 1.Закон Харди-Вайнберга не изменяются от поколения к поколению справедлив только при менделеевском типе наследования.
Доказательство. Введём
следующие
обозначения:
тогда Харди-Вайнберга
записывается следующим образом:
Г х = аху + bx( 1 — у) + с(1 — х)у + d(l — х)(1 — у) Iу = a1xy + b1x(l-y) + c1(_l-x)y + d1(l-x)(il-y)
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 5/2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
Г x = (a — b — с + d)xy + (b — d)i+ (c — d)y -+- d И tу = {аг —b1 — c1 + d1)xy+ (bi - d^x + (c± - d1)y+d1
Решив эту системы, получим а=1,Ь=1 с=0Д=0, а1=1,Ь1=0, с1=1,й1=0, откуда и следует утверждение теорема.
2.При менделеевском типе наследования квадратичный стохастической
операторы ^ ] . определяется следующим образом:
Р. Р
Р,
ид
if) = 11,2
Ьп) _ 11,1
p(vi) _ 11,2 ~
1
0
1 о
р</> _ 12,1 v2 p(/> 2 1 =v2 II о H- 0
II О " v2 pCf) 2 1,2 = v2 II о ™ = 1
II CLT v2 p Cm) 21,1 =v2 II 0
Kl II v2 p Cm) 2 1,2 =v2 p Cm) 2 2,2 — 1
(15)
Частоты генотипов от поколения к поколению изменяются найдипо формуле (12). Подставляя в (12) выше указанные вероятности, получим
Или
окончательно
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 5/2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
Чтобы определить частоты генотипов в следующем поколении, в (16) необходимо подставить х[,х'2,у^и т.т. в место и у2 соответственно,
т. е. получим уравнения
Или, подставляя в (17) выражения (16), окончательно имеем
откуда следует, что частоты генотипов во всех последующих поколениях будут такими же, как в первом поколении. Сформулируем это свойство в виде следующего теорема.
Теорема 2.Устойчивая (стабильная) частота генотипов достигается за одно поколение.
Это теорема есть третье утверждение закона Харди-Вайнберга, правда, чуть в общем виде.
Из (16) видно что прообраз ((1;0),(0;1)) и ((0;1),(1;,0)) пуст, откуда следует, что оператор не является сюръективным отображением.
REFERENCES
1. Бернштейн С.Н. Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследственности. Уч. Зап. Н.И. квфедр. Украины, отд.матем.Д924,вып.1с 83-115.,
2. Ганиходжаев Р.Н. Квадратичные стохастические операторы, функция Ляпунова и турнира//Мат.Сб.-1992.-83,№8.-С.119-140.
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
О
R
VOLUME 2 | ISSUE 5/2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
3. Ганиходжаев Р.Н. Карта неподвижных точек функции Ляпунова для одного класса дискретных динамических систем//Мат. Заметки.-1994.-56.-С.1125-1131.
4. Ганиходжаев Н.Н.,Мейлиев Х.Ж. Об одной конструкции квадратичных оператров.//ДАН РУз, 1997.
5. LyubichYa.I. Mathematical structures in populationgenettes//Biomathematics -1992. 22//.
6. У.А.Розиков, У.У. Жамилов. Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции.//Укр.мат.жур.,2001.м 63.№7//
7. Розиков У.А.Жамилов У.У.О динамике строго невольтеровских квадратичных стохастических операторов на двумерном симплексе.//Мат.сб.-2009.-200,№9.-с.81-94.
8. Генетика и наследственность.//Сб.статей. М.,1987.300 с.
