КВАДРАТИЧНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ НА ДВУХМЕРНОМ СИМПЛЕКСЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 5

educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784

Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947

Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7

КВАДРАТИЧНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ НА ДВУХМЕРНОМ СИМПЛЕКСЕ

Мейлиев Х.Ж. (Кар ГУ) Рахмонов Б.А.(магистр Кар ГУ), Суюнов Ж.М. (магистр Кар ГУ)

АННОТАЦИЯ

В данной статье изучаются пространство с мерой. Пусть (E, m)

да

произвольное пространство с мерой. Рассмотрим пространство Q = ^ E , с

i=1

помошию согласованное семейство конечномерных распределений, где E. = E для всех натуральных i. Дано доказательство сингулярности Менделевская мера Р и Бернуллиевская мера Q.

Ключевые слова: Эргодические, пространство , мера, распределений, последовательности, множества, цилиндр, а -алгебра, преобразования, сдвиг, стохастическая, случайных величины, квадратичный оператор, сюрьективност.

АННОТАЦИЯ

Ушбу мацолада улчовли фазо царалади. Фараз цилайлик чеклли улчовли тацсимотлар оиласи ёрдамидаги (E, m) ихтиёрий улчовли фазо булсин.

да

Q = ^ E , фазони цараймиз, бу ерда уамма натурал i сонлар учун E. = E

i=i

дир. Мендель улчови Р ва Бернулли улчови Q сингулярдлиги исботланган.

Kalit so'zlar: Ergodik, fazo, o'lchov, taqsimotlar, ketma-ketliklar, toplamlar, silindr, -algebra, transformatsiyalar, siljish, stokastik, tasodifiy o'zgaruvchilar, kvadratik operator, sur'ektivlik.

Пусть (E, m) произвольное пространство с мерой. Рассмотрим

да

пространство Q = ^ E , где E = E для всех натуральных i. Одной из важных

i=l

проблем как в теории меры, так и в теории вероятностей является задача построения меры P на Q , согласованной с мерой m на E . Для этого достаточно по теореме Колмогорова [1] задать согласованное семейство конечномерных распределений. Так как это конструкция необходима нам для случая конечного множества E. [3].

Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 5

educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784

Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947

Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7

Пусть E = {1,2,...,N} и m({i}) = p - вероятностная мера на E, т.е. p > 0 и

N х

Z P = 1. Пусть Q = ^ E , где E = E для всех натуральных i. Произвольный

i=1 i=1

элемент множества О является бесконечной последовательностью щ = (-щ,Щ,•••) элементов множества Е. Пусть 4 -функция, ставящая в соответствие точке щеО значение юп ее п-й координаты. Функцию 4 називают п-й координатой функцией. Пусть Г -а алгебра, порожденная совокупностью всех конечномерных цилиндров, т.е. множеств вида

{щ: (4 (щ),4+1(щ),-,4+*-1(щ)) е А} ={щ: (щп, wn+l,•••, Щп+к-1) е А}

к

где А -подмножество прямого произведения Ек = ^ Е •

¿=1

Цилиндрическое множество называется тонким, если его основание А является одноточечным подмножеством соответствующего конечного прямого произведения. Очевидно, а -алгебра Г порождается также совокупностью всех "тонких" цилиндров, т.е. множеств вида

{щ : (4(щ) = ¿1,4+1(щ) = i2,•••,£п+к-1(щ) = ¿к} где ¿} -элемент множества Е , п < у < п + к •

В силу этого замечания мера Р на (О, Г) однозначно определяется своими значениями

Рп (¿1, ¿2,..., ¿к ) = Р{Щ : (4 (Щ) = ¿1,4+1(Щ) = ¿2, •••, 4п+к-1 (Щ) = ¿к } (1)

на этих цилиндрах, где п -номер первой фиксированной координаты тонкого цилиндра и к -размерность цилиндра. По теореме Колмогорова [1], если для множества функций р(\,¿2,...,¿к) справедливы следующие условия согласования

Pn (i1, i2,..., h ) > 0

N

Z Pn i2,..., h, i) = Pn (i1, ^ ) (2)

i=1

N

Z Pn (i) = 1

i=1

при всех к, п и ij е Е, 1 < у < к, то существует единственная вероятностная мераР на Г, для которой имеет место (2); кроме того, если

Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 5

educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784

Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947

Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7

N

Pn (A, ik ) = S Pn (i> h> h^ ik ) (3)

n

i=l

при всех к, п и / е Е , 1 < ] < к , то мера Р сохраняется при

преобразовании сдвига.

Таким образом, основную сложность при построении меры Р на Е составляет указание способа задания семейства функций { р(/,/2,..., /к), п и к натуральные}, удовлетворяющих условию (2). Наиболее полно изучены следующие два способа построения семейства функции р (/, /2,..., /к).

1. Схема Бернулли. Пусть т({/}) = р - распределения на Е = {1,2,..., Ы}. Если положить

Р&, /2,..., /к) = Р Р...Р (4)

т.е. р( \,12,...,1к) не зависит от п, то имеют место соотношения (2), (3).

Соответствующая (4) мера называется Бернуллиевской и в этом случае последовательность независимых одинаково распределенных случайных величине.

2. Схема Маркова. Пусть П = (Р )Ы 1 -стохастическая по строкам матрица. Если положить

Р (/1,/2,..., 1к ) = Р1 р...^, (5)

т.е. р( , ,... , ) не зависит от п , то имеют место соотношения (2). Соответствующая (5) мера Р называется Марковской. Если вектор вероятностей Р = (Р,Р,...,Р) удовлетворяет условию РП = Р, то будет иметь место соотношение (3). В этом случае последовательность случайных величин }Г=1 образует стационарную цепь Маркова.

Пусть Е = {1,2,..., Ы} -конечное множество. Для квадратичного оператора V: £Ы-1 ^ БЫ -1 и произвольной точки симплекса X = (х0, х0,..., х0) е БЫ-1 положим х(к+1) = Кх(к) . На одномерных цилиндрических множествах функции Р ( /) определим следующим образом:

Р ( О = xín-1) (6)

для всех натуральных п и /е Е . Так как х(п) е V(n)(SN~1) с , то конструкция становится более простой, если квадратичный оператор V

Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 5

educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784

Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947

Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7

N

сюрьективен, т.е. когда V(n)(SN-1) = SN-1. Очевидно из (6) следует YPn(i) = 1,

i=1

так как х(и"1) е (SN"1).

Таким образом, одно из условий (2) имеет место.

Для произвольных тонких цилиндров, функции p(i,i2,...,4) при к> 1 определим образом

P (L,i,...,i) = хп Y P .• P .• P ......P х(п) • х{п+1)...х{п+к~1) (7)

n\ 0' 1' ' к' i / J г0т1 ,г1 г1т2 ,г2 г2™з i гк-1™к, m т2 тк V /

m1,...,mk =1

По построению функции (6)-(7) зависят от выбора начального распределения х(0) е (SN-1) на E.

Первое условия (2), очевидно, выполняется. Покажем справедливость

второго условия:

N N

(п) _ (п+1) (n+k-1)

^ .t х .. .х

ik-1mk ,ik ikmk+1,i т1 т2 тк+1

i=1 т1,...,тк ,тк+1 =1

V P (i i i i) = хп Y P • P • P P P х(п) • х(п+1) х(

Y Pn VO' '1'...' 'к 5 Ч л1а Y Piom1,i1 P2m3,¡3..... ik-1тк ,ikP гЛ+^^т ...хт

N

хп Y P . • P ......P . х(п) • х(п+1)...х(п+к-1) = P (L,i,...,i, )

io ^ i0m1,i1 i1m2,i2 ik-1mk ,ik5 m1 m2 mk nV 0' ^ ' kJ

^ N N

так как

NN

Y Pm=1 и Т*т:+к)=1

ikmk+1

i=1

Таким образом, существует единственная вероятностная мера Р , определенная функциями (6)-(7), которую естественно назвать мерой, порожденной квадратичным операторам V и начальным распределением

х(0) е ^-1.

Задача изучения свойств мер, порожденных квадратичными операторами, достаточно сложна и требует громоздких вычислений. В этой статей мы ограничимся изучением мер, соответствующих двум квадратичным операторам, которые описывают некоторые модели наследственной передачи, предложенной Элстоном и Стюартом. Передача признака от родителей к потомству описывается тремя показателями вероятности этой передачи.

Рассмотрим теперь модель наследования для диплоидных организмов. В этом случае генотипы определяются парой аллелей А и а, т.е. в этом случае существуют три генотипа АА, Аа и аа . Квадратичный оператор, определяющей модель наследования в этом случае определяются следующими

тк+1=1

Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 5

educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784

Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947

Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7

пеРехоДными вероятностями: PAAAA,AA , PAAAa,AA, PAAaa,AA, PAaAa,AA и.Т.д.-всего 27-

переходных вероятностей. В соответствии с гипотезой о менделевском типе наследования, очевидно,

P — 1 p — 1/2 P — 1/4 P — 0

1AAAA,AA 1, 1 AAAa,AA 11 2, 1 AAaa,AA 11 4, 1 AaAa,AA o,'"

для упрощения записи вместо {AA, Aa, aa} будем рассматривать множество

E = {1,2,3}. Тогда

Pl1,1=1 Pl2,1=P21,1 =1/2 Pl3,1=P31,1=0 P22,1=1/4 P23,1=P32,1 =0 P33,1=0 Pl1,2=0 P12,2=P21,2 =1/2 P13,2=P31,2=1 P22,2=1/2 P23,2=P32,2=1/2 P33,2=0 (8) P11,3=0 P12,3=P21,3 =0 P13,3=P31,3=0 P22,3=1/4 P23,2=P32,2=1/2 P33,3=1 Отметим, что этот менделевский квадратичный оператор не является сюрьективным (см. 6). В этом случае

x^ — (x^ i Xo / 2)

xf — 2(Xo + x0 / 2)(x0 + x0 / 2) (9)

x3 — (x3 i Xo / 2) X( — (xj x2 / 2)

x^ — 2( x\ + x1 / 2)( x1 + x1 / 2) (10)

x3 — (x3 x2 / 2) или, подставляя в (10) выражения (9) и упрощая, получим

x1 — (x1 i xo / 2) x2 — 2(x1 i xo / 2)(x3 i xo / 2)

x3 — (x3 i xo / 2)

Таким образом, для любого начального распределения х ) = (х1, х2, х3)

х(к )= х(1) (11)

для любого к > 1, т.е. со второго шага, наступает стабилизация частот генотипов АА, Аа, аа, что соответствует закону Харди- Вайнберга.

Пусть х(0) = (х0, х0, х0) е Б2 начальное распределение на Е = {1,2,3} и Р(2) -

вероятностная мера, соответствующая менделевскому оператору (8). Такие меры будем называть менделевскими.

Теорема 1.1. Для менделевских мер Р (2) при любом х(0) е Б3 и любых натуральных к и I имеет место следующее равенство:

Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 5

educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784

Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947

Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7

p(o) 4 = j )

P(o)(4 = jo,4k+1 = jl) = = jo)Px(o)(^k+1 = ji) + x<0) M-L (X (12)

где a e M = {1 / 2x1, (x3 +1/ 2x2)(x3 - Xj), -1/2(x3+1/2x2 )(x3 _xi),

-xf, 1/2(x-x)2, 1/2(x+1/2x)(X-X), -(X+1/2X)2}

Доказательство. Доказательство теоремы проведем индукцией по l. {w4(w) = jo,4+1(w) = j1,-,^t+1(w) = jj} Px(o)({w : 4 (w) = jo^kAw) = Ъ-^к+М = ji}) =

N

(k) У P • P .•.....P • x(k) • x(k+1)...x(k+l-1) (12)

^ jom1,j1 j1m2,j2 jl-1ml ,jl m1 m2 ml V 7

:x У Pm , • P„ , •.....P „ • x • x .. .x

om1,j1 j1m2,j2 jl-1ml ,jl m1 m2

m ,...,m=1

N

откуда Px(o) ({w: 4 (w) = j4 (w) = j(}) = x<k) У x^) (13)

m=1

При l = 1 в силу (8), (9), (10) и (13) имеем

3

Px(o) ({w: 4(w) = 1,4+1 (w) = 1}) = xk)УPm^m) = x1(1)(x1(1) +

m=1

+1 / 2x21)) = P,) (4 = 1) P (o) (4+1 = 1) +1/ 2 x^xf

2

Д1)

= Px(o)(4 = 1)Px(o) (4+1 = 1) + 1/2Px(o) x

?

3

Px(o)({w: 4k (w) = 2,4+1 (w) = 2}) = $) У P2ma xm) = xf1 / 2( x1(1) +

2/ i 2m,2 m m=1

+xf + x31)) = Px (o) (4k = 2)Px(o) (4k+1 = 2) +1 / 2xf( x3 - x1)2 =

\2

= Px(o) (4k = 2)Px(o) (4k+1 = 2) +1 / 2Px(o) (4k )(x3 - x^

?

3

Px(o) ({w: 4k (w) = 3,4k+i (w) = 3}) = x3k) У P3m,3 xm) = xf( x31) +

m=1

+1 / 2x21)) = Px(o) (4k = 3) Px(o) (4k+1 = 3) +1 / 2Px(o) (4k = 3)x21).

?

3

Px(o) ({w: 4k(w) = 1,4k+1 (w) = 2}) = x(k)У PPm,2xik) = x11)(x31) +

m=1

+1/2 xf) — x1 x^ I x1 x1 / 2x1 x^f P,o) (4 = 1)Px(o) (4k+1 = 2) + Px(o) (4 = 1)(x3 + 1 / 2x2)(x3 - x1)

3

(k)

Px(o) ({w: 4k(w) = 1,4k+1 (w) = 3}) = x(k)УPPm,3xm

m=1

■ Px(o) (4k = 1)Px(o) (4k+1 = 3) - Px(o) (4k = ()(x3 +1/2x2)

m=1

3 + 1 ' 2x2)

o

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 5 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

3

P(o) ({w: 4(w) = 2,4+1(w) = 3}) = X

y( k) 1,3 Xm

m=1 3

Px(o)(4 = 2)P(0) (4+1 =3) + Px(o) (4 = 2)1 / 2(X3 +1 / 2x2)(Xi -X3).

I > 1

• Предложим, что равенство (12) доказано для натурального и докажем

это равенство для 1 +1. Для этого воспользуемся фундаментальным

уравнением .

N

pis,t+1] _ р[s,t]p[t,t+1]

Pi ,k X Pi ,k1 aß,k X

k ^p a,P—1

В нашем случае это уравнение принимает вид

3

р[k,k+l+1] _ V^ p[k,k+l]p[k+l,k+l+11 [k+l]

i0m,k

a,ß=1

(14)

Px(0) ({w: 4 (w) = ¿0,4+1+1( w) = ¿1}) = X(k) XX pm Г+1] X

m=1

(k) m

3 f 3

Xkpik,k+1 ]p[k+1 ,k+1+1] J

'o x j / j i0m,a aß,i1 Xl

m=1 \a,ß=1

[ k+1 ] ß

x(k } =

m

J

,i k ,k +1 ] x( k )

m ,a m

pi k+1 ,k+1+1]^.[ k +1 ]

aß ,1

ß

з/з Л

^^ Xi0 ^^ P(

a,ß=1 V m=1

3

X P.,,, (4k =¿0,4+1 =a})paß+,k+'+1]X

a,ß=1

В силу (2)

3

Px(0) (4 = ¿0, 4k+1+1 = i1) = X Px(0) ({4 = ¿0, 4+1 =a})Paß,i1

a,ß=1

(k) ß

(1)

(15)

Теперь, как и в случае 1 = 1 надо перебрать все возможные варианты значений '2 и ^ . Мы ограничимся рассмотрим только одного случая.

Остальные случаи доказываются аналогично. Пусть

¿0 =i1=1 и 1 = 2

Pj(0) (4k = 1,4k+2 = 1) = XP(0) (4 = 1,4k+1

a 1

ß=1

P(0) (4 = 1,4k +1 = 1)(p1,1X1 ) + p2,1X2 1 + p3,1X3 )) +

Д1) v2

с(1)ч

Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 5

educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784

Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947

Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7

+P(0) = 1 4к+1 = 2)(P21ДXl( ) + ) + ^ЗД-^З )) +

+Pх(0) (4fc = 1'4k+1 = 3)(^U^í ) + ^2,1 х2 ) + ^Д^ )) =

= Pc(0) (4k = 1,4k+1 = 1)( x1(1) +1 / 2х21)) + Po) (4k = 1,4k+1 = 2)(1 / 2 х(1) +1 / 4 х21)) = (х(1))3 + (х(1))2х(1) / 2 + (х(1))2х(1) / 2+ (х(1))2х(1) / 4 + (х(1))2х(1) / 2 + (х(1))2х(1) / 4 + (х(1))2(х3 + х2 / 2)(х -х) / 2 +

1 /4х1(1)х21)(хз + х2 /2)(хз -х) = Px(o)(4k = 1)P^)(4k+1 = 1) +1 /4^0)(4k = 1)х21)

Теперь предложим, что для некоторых l справедливы следующие равенства:

pm (4k = 1, 4k+1 = 1) = P-(0) (4k = 1) P((o) (4k+1 = 1) +1 / 2^(0) (4k = 1)х2()

Px(0) (4k = 2, 4k+1 = 2) = pw (4k = 2) Px(0) (4k+1 = 2) +1/ 2^(0) (4k = 2)(хз - х()2

Px(0) (4k = 3, 4k+i = 3) = P.(0) (4k = 3) Px(0) (4k+1 = 3)+1/ 2^(0) (4k = 3) х2()

Px(0) (4k = 1, 4k+1 = 2) = P.(0) (4k = 1) Px(0) (4k+1 = 2) +1/ 2^(0) (4k = ()((/ 2х2 + х3)(х3 - х)

P^0) (4k = 1, 4k+1 = 3) = pm (4k = 1) Px(0) (4k+1 = 3) +1/ 2^(0) (4k = ()(-(х2 + 2х3)2) Px(0) (4k = 2, 4k+1 = 3) = P(0) (4k = 2) P(0) (4k+1 = 3) +1/ 2lP (0) (4k = 2)(1 / 2х2 + х3)(х( - х3)

Легко доказывается также как и при переходе от1 = (к 1 =2, что эти равенства верны для 1 +1.

Для 1 +1 как и в случае 1 =1 и 1 = 2 надо перебрать все возможные варианты значений и i( Мы ограничимся рассмотрением только одного случая. Остальные случаи доказываются аналогично. Пусть i = j =1 в силу

(15)

р°) (4k = (, 4k+l+1 = () = р°) (4k = (, 4k+l = 1)(РлХ } + ^(Х ) + РлХ }) + +P(0) (4k = (, 4k+l = ^CP.C*"! ) + '^лХ ) + ^ +

+P(0) (4k = (, 4k+l = 3)(P31. 1х1 ) + P32.1х2 } + P33.1х3 =

= P((o) (4k = (, 4k+i = 1)(xí() + (/ 2*f)+P(0) (4k = (, 4k+i = 2)(1 / 2x(1)+1 / 4xf) =

= х(1) х{к+l) (х +1 / 2х +1/2 х + х) +1 / 2l х(1) (х +1 / 2х2)(х +1/2 х)

(2х( + х2 + х - х) = P(0)(4k = 1) P(0)4k+i+1 = 1) +1 / 2lP(0)(4k = 1)х2() / 2

что и требовалось показать.

614

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

о

R

VOLUME 2 | ISSUE 5 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

REFERENCES

1. Колмогоров А.Н.,Основные понятые теории вероятностей. М,1936,138 с.

2. Гардинер К.В. Стохастические методы вестественных науках. М.: Мир. 1986,. 528 с.

3. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М: Мир,1969, 238 с. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. М., Просвещение, 1968.-308 с.

4. Ахмедов, Б. Б., Хошимов, Х. А. У., & Зокиров, А. И. У. (2022). РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 2(Special Issue 4-2), 942-947.

5. Сарымсаков Т.А., Ганиходжаев Р.Н. Центральная предельнаятеорема для квадратичных цепей.//УзМЖ, 1991.№I, c.57-64.

6. Ахмедов, Б. Б. (2020). УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ БЛОХА. In Научный форум: технические и физико-математические науки (pp. 20-25).

7. Мейлиев Х.Ж., Гуломов О.Х. (Кар ГУ).