KO’PHAD VA UNING ILDIZLARI ORASIDAGI MUNOSABAT Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 2

educational, natural and social sciences A ISSN 2181-1784

Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947

Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7

KO'PHAD VA UNING ILDIZLARI ORASIDAGI MUNOSABAT

Djabbarov Odil Djurayevich

TDTU Olmaliq filiali katta o'qituvchisi [email protected] Xujayev Tuymurod Xuddiyevich TDTU Olmaliq filiali katta o'qituvchisi tuymurod. [email protected]

ANNOTATSIYA

Maqolada ko'phad va uning ildizlari orasidagi munosabatlar o'rganilgan bo 'lib, ular uchun umumlashgan Viet teoremasi kiltirilgan. Mavzuga doir misol va masalalar o 'rin olgan. Ko 'phadni Nyuton binomi formulasi bilan ham aliqadorligi o 'rganilgan.

Kalit so'zlar: Ko'phad, Viet teoremasi, Nyuton binomi, ko'phadning ildizi, koeffisient, tenglama,kombinatorika.

АННОТАЦИЯ

В статье исследуется связь между многочленом и его корнями, для которых применяется обобщенная теорема Виета. Есть примеры и вопросы по теме. Многочлены также были связаны с биномиальной формулой Ньютона.

Ключевые слова: многочлен, теорема Виета, бином Ньютона, корень многочлена, коэффициент, уравнение, комбинаторика.

ABSTRACT

The article examines the relationship between a polynomial and its roots, for which the generalized Viet theorem is applied. There are examples and issues on the topic. Polynomials have also been linked to Newton's binomial formula.

Keywords: Polynomial, Viet theorem, Newton's binomial, polynomial root, coefficient, equation, combinatorics.

KIRISH

Bizga ixtiyoriy ratsional koeffisientli n -darajali ko'phad berilgan bo'lsin. Faraz qilaylik u n ta haqiqiy ildizlarga bo'lsin. Bu ildizlarni koeffisientlar bilan qanday bog'langanligini ko'raylik. Quyidagi

o'ng tomonini qavslarini ochib, o'xshash hadlarni mos koeffisentlarini chap tomondagi mos koeffisentlarga tenglashtirib,

X1 + X2 + X2 +----Xn = 1)'

an

1010

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

O

R

VOLUME 2 | ISSUE 2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

^ ••^2I """ 1 ^ji_2.^71 — ( 1 J

1+2^3

12 4

, ao

X1X2.-X„ — ( —1)"—-

munosabatni hosil qilamiz. Bu formula umumlashgan Viet formulasi deyiladi. Masalan, ax2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama uchun:

Agar 1 va -1 sonlar ko'phadning ildizlari bo'lsa, uni x-1 va x+1 ga bo'lib, bo'linma ko'phad uchun teoremani qo'llaymiz.

Misol. 2x4 — 13x2 + 13x — 6 = 0 tenglamani butun ildizlarini ozod hadning bo'luvchilarini ±1,±2J±3J ±6 sonlar ichidan izlaymiz.

P4(l) = 2 -13 + 13-6 = -4, P4(-1)= 2-13-13-6 = -30, P4(2)

32-52 + 26-6 = 0

Misol. xn + + xn~2 +...+x+n = 0 tenglama rasional ildizlarga ega emasligini isbotlang, bu yerda n - tub son.

Isbot. Tenglamaning ildizi n- ning bo'luvchilari ±1 va ±n ekanligini bilib,

f(l) = n+n * 0, f(-l) = n-1 * 0, f(n) = nn+nn~1 + nn~z+...+ n + n * 0 va f(-n) = — n2(nn~2 -nn~3 +nn~2 +...+n-l) ^ 0 . Demak, bundan ko'rinadiki, tenglama rasional ildizlarga ega emas ekan.

Teorema. Agar juft darajali ko'phadning juft o'rindagi hadlar koeffisentlari toq o'rindagi hadlar koeffisentlariga teng bo'lsa, u holda x = — 1 ko'phad ildizi bo'ladi.

Masalan, P3 00 = 3x2 + lx2 - 4x - 8 ko'phad uchun 3-4=7-8. U holda P3C~1) = -3 + 7 + 4-8 = 0 bo'ladi.

MUHOKAMA VA NATIJALAR

a-1

—— butun sonlar bo'ladi.

a+ 1

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

pn 00

anxn + an_ 1xn 1 +

+ a±x + a0

an=t 0

ko'phad

uchun

fln + Vl +

+ a1 + a0

p CD

P(-l) = (-iran + (-ir-1

pCO+JH-I)

an_1 +

- - - bo'ladi va son ko'phadning juft o'rindagi hadlarning koeffisentlari yig'indisini

beradi.

Misol. P300 = 2x3 -4xz + 5x+l ko'phad

P(-l) = 2-4 + 5 + 1 = 4, P(—1) = —2 — 4 — 5 + 1 = —10.

P(l) + P(-1) 4-10 PCO+P(-l) 4+10

uchun

Ulardan

= -3.

.

2 2 2 Haqiqatdan ham, 2 + 5 = 1, —4 + 1 = —3.

F\ 1) esa ko'phadning barcha hadlari koeffisentlari yig'indisini beradi. -v'A'.i = a _ - - - - - ko'phad algebraning asosiy

teoremasiga ko'ra ko'pi bilan n ta haqiqiy ildizga ega. Faraz qilaylik, ko'phad n ta ta ildizlarga ega bo'lsin. U holda ko'phadning ko'rinishi quyidagicha

bo'ladi:

Quyidagi masalalarni ko'raylik:

Agar Pn 00 = anxn + an_1 H-----h a±x + a0 ko'phadning ildizlari

.A':.....bo'lsa, quyidagi ko'phadlarning ildizlari qanday bo'ladi:

X*

i

x2

1

I

Xn

holda

1.

2.

Bu ko'phadlarning ildizlari 1) — xlf —x2,... f —x.n 2)

3)bxllbx2,...,bxn bo'ladi. Buni misollarda ko'ratylik.

Misol. P2 = 2x2 - Sx + 4 ko'phadning ildizlari x± = 1, x2 = 4 ni bilgan

1) P2 00 = 2x2 - Sx + 4 ko'phadni ildizlari xx = —1, x2 = -4 bo'ladi.

2) P2 (x) = 2x2 — Sx + 1 ko'phadni ildizlari x± = —1, x2 = — ^ bo'ladi.

3) b = 3 bo'lgan holda P2 00 = x2 — 15x+ 36 ko'phadning ildizlari x1 = 3, x2 = 12 bo'ladi.

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

Misol. xn + a±xn 1 + a2xn 2 +...+ ar kvadratlarining yig'indisini toping.

Yechish.Viet teoremasiga asosan:

! x+ an ko'phadning ildizlari

^ %2 +

a-

Birinchi munosabatni kvadratga

ko'tarib: (xx + x2 + x2 4-----h x.n~)2 = x12+x22+x22+...+ x.n2 +

2(x1 л: — л:л? — ■■ — x:._-_x:.) ni hosil qilamiz. Bundan

xi2 + x22 +

+ x.n = a1 - 2 a2 ni topamiz.

Agar ko'phadning barcha ildizlari bir-biriga teng bo'lsa, u quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: (x + a)n.

Quyidagi x+a ikkihadni nfc N U {0}darajalarini ko'rib chiqaylik. Ular uchun quyidagicha j adval o' rinli :

- :■ ) ikkihadni koeffisientlaridan tuzilgan jadval Paskal uchburchagi deyiladi. Bu ikkihadning n-chi darajasi Nyuton binomi deyiladi va u ushbu

ko'rinishda bo'ladi: (_x + a)n= bu

yerda (*),... - binom koeffisientlari deb ataladi. Bu formuladan keltirib chiqariladigan ayrim kombinatorik masalalarni ko'rib chiqaylik. Agar formulada 1 )x=l, a=l bo'lsa, 2n=(°) + (*) +...(""+ munosabat kelib chiqadi.

2.),=;, „ = -/ boisa, О - О + 0-0 + -С-1)к0 + -+ C-irC)

= 0 bo'ladi. Bundan esa + („) + ■" = („) + („) + """ kelib chiqadi. jc va a ga

ixtiyoriy butun sonlarni qo'yib, boshqa kombinatorik munosabatlarni keltirib chiqarish mumkin.Shulardan ayrimlari bilan tanishib chiqaylik.

1-masala. Quyidagi munosabatni o'rinli ekanligini isbotlang:

i-зЧЛ)+з2(Л) - з3(Л) з«-чЛ)+34iC)

-1-5ЧЛ) + П2\) - 5ЧД) + (Д.) - s--42y +

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

Isbot. Nyuton binomi formulasiga asosan: (1 — ra (1 — 5)2k ikkihadlar uchun: (1 — 3)4ii = (1 — 5yk munosabatdan masala to'g'riligi kelib chiqadi.

2- masala. Isbotlang: Q + 21(>22Q+...+2"Q=3*\

formuladanfoydalanib,x= 1 dahisoblaymiz: 3" = -I- 21(*)+22(2)+ +2™(£).

3-masala. (°)Z + (*)2 + Q2 +...+Q2=(2"J ekanligini isbotlang. Isbot. (1 -+ + x)n = (1 + xyn formulaga asosan:

v ning koeffisienti quyidagiga teng:

til) Cti)^(TI) i n 11 )+ +UU

Ma'lumki, = („) tenglik o'rinli bo'lganligi sababli, xn ning koeffisienti

Uxolda O2 + Qf + C)2 + .AnS<D kelib chiqadi.

4-masala. Ü + i O + C) yig'indini toping. (*) (fc+i)

Yechish. = -J1±L- formuladan foydalanib, k=0,1,2,... ,n deb

t+i

n+1

olib

CI ( 1 ) f1") CM C_1) (n ) n rn+1l

w _ In+i- ' it' '■n+i' v n - — ^n+i' — vt+ii

71+1

n+1

71+1 n+1

n+1

larni hadma-had qo'shib

ni hosil qilamiz. yig'indini toping.

Yechish. Bu masalani yechish uchun kompleks sonni darajaga ko'tarish formulasidan foydalanamiz. Xususiy xol uchun

(1 + i~)n = S1+ iS2 = [V2(cos^ + i'sin^] = 2i (cos — 4- isin^-j = ni hosil qilamiz. Bu yerdan

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 2 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

kelib chiqadi.

J141 71X SITÏ-X sin-

6-masala. sinx + sin2x-\- —I- simvc =----

Isbot. T = I]£=1 sinkx

va

ni isbotlang.

deb

X

Siïl-2

ni hosil qilamiz. Bundan T =

n+i ira si«-Hin—

2_2_

X

sm—

2

kelib chiqadi.

olib,

XULOSA

Yuqoridagilardan shunday xulosa kelib chiqadiki, ko'phad va uning ildizlari orasidagi munosabat, ya'ni Viet teoremasi juda ko'plab masalalarni yechishda qo'llash mumkin ekan. Bu munosabat Nyuton formulasi bilan ham bog'liq ekan ligini ko'rish mumkin.

REFERENCES

1. Djabbarov. O.Dj., & Iskandarov. S. D. (2021). TEYLOR FORMULASI VA UNING TURLI MATEMATIK MASALALARGA QO'LLANILISHI. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences. 1(3), 773-778.

2. Djabbarov.O.Dj. & Akbaraliyev. A. A. (2021) O'RTA ARIFMETIK VA O'RTA GEOMETRIK TUSHUNCHAGA BOG'LIQ KETMA-KETLIKLAR LIMITI , Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences. 1(1). 94-97.

3. Djabbarov. O. Dj. & Jabborxonova. G. (2021) DARAXT HAJMINI HISOBLASHNING BIR MATEMATIK USULI. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences. 1(1). 249-252.

4. Djabbarov. O.Dj. & Jabborxonova. G. (2021) MATEMATIK O'ZGARMASLARNING TURLI KO'RINISHLARI HAQIDA. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences. 1(2). 237-240

5. Djabbarov. O.Dj. & Abdiashimova. M. (2021) MATEMATIKA FANINI O'RGANISHDA QIZIQARLI MASALALARNING O'RNI HAQIDA. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 1(2). 233-236.