TEYLOR FORMULASI VA UNING TURLI MATEMATIK MASALALARGA QO’LLANILISHI Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific Journal Impact Factor

TEYLOR FORMULASI VA UNING TURLI MATEMATIK MASALALARGA QO'LLANILISHI

Djabbarov Odil Djurayevich TDTU Olmaliqfiliali katta o'qituvchisi

[email protected] Iskandarov Saidakbar Doniyorovich TDTU Olmaliq filiali "Mashinasozlik texnologiyalari" yo'nalishi talabasi

[email protected]

Annotasiya: Ushbu maqolada Teylor formulasini matematik masalalarni yechishdagi ahamiyati: elementar funksiyalarni qatorlarga yoyilmasi va uning tabiatini o 'rganish, limitlarni hisoblashda,funksiyani ma 'lum bir qiymatida taqribiy qiymatini topish,integral ostida elementar funksiyalar bilan bog'lab bo'lmaydigan integralni hisoblash,differensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish kabi masalalar o'rganilgan.

Kalit so'zlar: Qatorlar, elementar funksiyalar, limit, funksiya qiymati, integral, tenglama, Makloren formulasi, Nyuton formulasi

Аннотация: Важность формулы Тейлора при решении математических задач в данной статье: изучение распределения элементарных функций в ряду и его природы, вычисление пределов, нахождение приближенного значения функции при заданном значении, вычисление интегралов, которые не могут быть связанными с элементарными функциями под интегралами, изучались такие дифференциальные вопросы, как решение уравнений с использованием строк.

Ключевые слова: строки, элементарные функции, предел, значение функции, интеграл, уравнение, формула Маклорена, формула Ньютона.

Annotation: The importance of Taylor's formula in solving mathematical problems in this article: the study of the distribution of elementary functions in series and its nature, the calculation of limits, finding the approximate value of a function at a given value, calculating integrals that cannot be related to elementary functions under integrals, differential issues such as solving equations using rows were studied.

Keywords: Rows, elementary functions, limit, function value, integral, equation, Macloren's formula, Newton's formula

Ingliz matematigi Bruk Teylor matematika faniga o'zining juda ko'p ilmiy ishlari bilan katta xissa qo'shgan olimlardan biridir. Uning matematika tarixida buyuk kashfiyotlaridan biri, o'zining 29 yoshida, ya'ni 1715 - yilda yaratgan nazariyasi

KIRISH

Scientific Journal Impact Factor

bilan matematika tarixida o'chmas iz qoldirdi. Bu kashfiyot nimadan iborat? Bizga y = f •[:■■:) funksiya berilgan bo'lsin. Mana shu funksiyani shunday

y = :y - - ■■ ko'rinishidagi funksiya bilan yaqinlashtirish kerakki,

uning uchun

bo'lsin. Agar qator hadlarini yetarlicha katta olsak, u shunchalik funksiyaga yaqinlashadi.

B. Teylorning bu kashfiyoti "Methodus incrementorumdirecta et inversa" deb nomlanib, lotin tilida 1715 - yili yozildi. I. Nyuton va G. Leybnits Teylor zamondoshlari bo'lib, ular differensial va integral hisob asoschilari hisoblaydi. Teylor mana shu differensial va integral hisob asosida o'zining kashfiyotini amalga oshirdi.

MUHOKAMA VA NATIJALAR

Keyinchalik Teylor usuli bilan ko'p matematik olimlar: Lagranj, Koshi, Shlemilha, Rosh, Peano va boshqalar ilmiy izlanishlar olib bordilar. Mana shundan so'ngra usul Teylor qatori darajasiga yetdi. Hozirgi vaqtda bu qator oliy matematikaning asosini tashkil qiluvchi tushunchalardan biri bo'lib hisoblanadi. Teylor qatori yordamida har qanday funksiyani tabiatini o'rganishda juda katta yordam beradi. Quyida mana shunday masalalarni ko'rib chiqamiz.

1. Funksiya limitini hisoblash.

Matematik tahlil fanida limitlarni hisoblashning turli usullari mavjud bo'lib , ular bir-biri bilan o'ziga xosligi bilan ajralib turadi.

Aytaylik bizga lim.,

/(X)

5 00

limit berilgan bo'lib, lim^- f(x) = 0,

lim^^ g(x) = 0 bo'lsin. Biz f(x) va g(x) funksiyalarni x = x0 nuqta atrofída qatorga yoyib olamiz:

U holda

agar

Boshqa ko'rinishdagi aniqmasliklarni ochishda ham shu usulni qo'llash mumkin.

2. Nyuton formulasi va uning Teylor formulasi bilan aloqadorligi.

Scientific Journal Impact Factor

Aytaylik bizga /00 = (l + x)m funksiya berilgan bo'lsin, bu yerda msR. Makloren formulasini tadbiq etib ,

f'(x) = m(l + x)

<7Ù

771- 1

f"(x) = m(m-l)(l + x)

m-2

f^(x) = m(m-l)(m- 2) ... (m - n + 1)(1 + x)m~n J = m(m — 1 )(m — 2) ... (m — n + l)(m — n)(l + x)

Cn+l)

00

m—n — 1

larni hosil qilib, bulardan

/'(0) = m,/"(0) = m (m — 1),... ,/W(0) = m(m- l)(m- 2)... (m - ti + 1)

ni hosil qilamiz. U holda bu funksiya uchun Makloren formulasi quyidagicha

. .+

bo'ladi: (1 + *)« = 1 + ^ + ^^ x3+

2:

3:

+■

m(m— l)Cm-2).........(m— ti+1}

bu yerda

fl _ m(m-lXm-2].....(m-n+l](m-nQ %n+1 ^ + 0X^m-n-1

Cn+l)!

Agar meN bo'lsa, u holda (n+1) -chi tartibli xosilalardan boshlab keyingi hadlar nolga teng bo'ladi, ya'ni Nyuton binomini hosil qilamiz:

(l + x)m=l+mx+:

m(m— 1) 2

21

+xz+...+xn, fln=0.

Demak, Nyuton binomi formulasi Teylor formulasining xususiy xoli ekan.

3. F(x,y)=0 tenglamani yechishga tadbiqi.

Bizga F(x,y)=0 ko'rinishdagi oshkormas funksiya berilgan bo'lsin. Agar bu tenglamadan y yoki x o'zgaruvchini topish imkoni bo'lsa masala xal bo'lgan bo'ladi, aksincha o'zgaruvchilarga nisbatan yechish imkoni bo'lmasa, uni yechish uchun Teylor formulasidan foydalanamiz. x0 = 0 dagi Teylor formulasini olaylik:

Buni F(x, y) = 0 tenglamaga olib borib, F(x, a0 + axx + a2x2 + ■■ ■ ) = 0 algebraik tenglamaga kelamiz. Noma'lum koeffisientlar usulidan foydalanib, a0,alra2t koeffisientlarni topamiz va F(x,y) = 0 tenglamaning dastlabki taxminiy yechimini hosil qilamiz. Koeffisientlarning ko'proq topilishi yechimning aniqligini oshirishga olib keladi.

Misol. xy — ex + ey = 0 tenglamani yeching.

Yechish: y = a0 H- a1x+ a2x2 H- ni tenglamaga qo'yamiz:

Scientific Journal Impact Factor

yoki

(-1 +a1)x + (a1-^ + aljx2 + [a2 Noma'lum koeffisientlar usuliga ko'ra:

1 1 A 3

— + a2+a1az +—aljx3 + ■■

= 0

Bu sistemadan , a± = 1, a2 = -l,a3 = 2,... larni topib, y = x — x2 + 2x3 + yechimni hosil qilamiz.

4. f"00 = f(x)dx ni hisoblashga tadbiqi.

Agar f(x) funksiyaga boshlang'ich funksiya topish mumkin bo'lsa, masala hal, aksincha bo'lsa, Teylor formulasidan foydalanishga to'g'ri keladi.

Misol. / ^^ dx ni toping.

Yechish. Ma'lumki,

X*

Bu integral o'ziga xos nomga ega bo'lib, u integral sinus deyiladi. Integral sinus nazariy fizikaning ayrim bo'limlarini o'rganishda uchraydi. 5. F(x,y,y', ...,y(:n}) = 0 differensial tenglamani yechishga tadbiqi. Bizga F(x,y,yT, ...jy^1) = 0 differensial tenglama berilgan bo'lsin. Uning xususiy yechimini topish uchun boshlang'ich shartlar berilgan bo'lishi kerak. Shu shartlarga asosan x = x0 nuqtaatrofida y = a0 + (x — x0) + a2(x — x0)2 -+-

funksiyani ko'raylik. Uni ketma-ket n marta differensiallab, ularni tenglamaga qo'yamiz. Boshlang'ich shartlarga asosan, noma'lum koeffisientlarni topib, yechimni hosil qilamiz.

Misol. y" - xy = 0,y\x=o = 0, y'Uo = 1 tenglamani yeching.

y

Yechish. x = xc

a0 + axx + a2x2 + —I- anxn -+ ■■■

ekanligini e'tiborga olib,

ko'rinishdagi yechimni olishimiz kerak. Noma'lum koeffisientlarni boshlang'ich shartlardan topamiz: a0 = y\x=0 = 0, a1 = y'l^o = 1. Ikki marta

differensiallab

Scientific Journal Impact Factor

Uni tenglamaga qo'yamiz:

2a2 -+ 3 ■ 2a3x + —I-n(n — 1 )anx'n~2 -+ ■■■ = x2 + a2x2 + —I- an_3x'n~2 +

va x ning bir xil darajalari oldidagi koeffisientlarni tenglab, a2 = 0,a3 = 0,... , n(n— = an_3 ekanligini ko'ramiz.

va

umumann(n— l)an = an_2,a2m_1 = a2m = 0 , a3m+1 =

3-4 -6 -7.. .3m£3m+ 1]

Demak , berilgan differensial tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

1 -ïm+l

V = X 4——- x ^ -|---— x ^ ■+■ ■ ■ ■ H--

J 3-4 3-4-6-7 3-4'6'7.,Jm(Îjn+l)

X"

+

6. Funksiya qiymatini taqribiy hisoblashdagi tadbiqi. Bizga y=f(x) funksiya berilgan bo'lsin. O'zining aniqlanish sohasiga tegishli biror x0 nuqtada funksiya qiymatini hisoblash zarur bo'lsin. Bu masalani yechishga Teylor formulasi taqribiy hisoblash imkonini beradi. Buni misolda ko'rib chiqaylik. Misol. VI,004 ni 0,0001 aniqlikda hisoblang.

Yechish. V 1,004 = VI + 0,004 = (1 + 0,004)= deb olamiz. U holda (1 + x)m = 1+^x4- 13 x2 4- ■■ ■ formulaga asosan

deb olib,

VXÔÔ4 = 1 + M^ + 1^(0,004)2 + ... = 1 + 0,002-

[0,004P 2! 4

+

0,0001 aniqlikda bo'lishini hisobga olib, VXÖÖ4 & 1,002 natijani olamiz. Oliy matematika kursida barcha elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyilmasini topish mumkin.

XULOSA

Bu yoyilmalarni o'z ichiga oluvchi quyidagi funksiyani ko'raylik:

F\. b. c.x) funksiya uchta o'zgarmas va bitta o'zgaruvchidan iborat bo'lib, a, b va c larga xohlagan 0 dan farqli sonlarni olsak, aniq bir funksiyani beradi.

1—je

Scientific Journal Impact Factor

je o'zgaruvchiga -x, —x2 va hakazolarni almashtirib , boshqa funksiyalarni hosil qilishimiz mumkin.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: (REFERENCES)

1.T.Azlarov,H.Mansurov. Matematik analiz.1-qism. Toshkent. 1989.

2.Yo.Soatov. Oliy matematika.1-qism. Toshkent. 1992.