CC BY
6Oriental Renaissance: Innovative, R VOLUME 1 | ISSUE 10
educational, natural and social sciences ( ) ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor SJIF 2021: 5.423
НЕПОДВИЖНЫЙ ТОЧКИ КВАДРАТИЧНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ
ОПЕРАТОРЫ НА S^S1
Х. Ж. Мейлиев (КарГУ), Ш.О.Холбеков(КарИЭИ)
АННОТАЦИЯ
В настоящий работе рассматривается траектории квадратичные стохастический операторы при менделеевском типе наследования двуполой популяции на одно мерным симплексе.
Ключевые слова: Пространство, квадратичные стохастические операторы, траекторий квадратичных операторов, аналитические методы, дифференциация, наследственность, популяция, скрещивание и тогдали.
ABSTRACT
In this paper, we consider the trajectories of quadratic stochastic operators for the Mendeleev type of inheritance of a bisexual population on a one-dimensional simplex.
Keywords: Space, quadratic stochastic operators, trajectories of quadratic operators, analytical methods,differentiation, heredity, population, crossing and then.
ВВЕДЕНИЕ
Понятие квадратичного стохастические оператора, в первые было дано в работе С.Н.Бернштейна [1], посвященной решению одной математической проблемы, связанной с теорией наследственности. Квадратичные операторы как объект исследования появились на рубеже тридцатых годов в работах Улама [2], где была поставлена задача изучения поведения траекторий квадратичных операторов. Невозможность создания достаточно развитых аналитических методов в силу сложных и громоздких рекурренций при изучении траекторий инеобходимость проведения очень большого числа вычислений при изучении конкретных квадратичных операторов не стимулировали интерес к этой задаче. Создание ЭВМ в сороковых годах возродило интерес к проблеме изучения поведения траекторий квадратичных операторов. Улам и его сотрудники провели вычисления на ЭВМ для достаточно большего числа квадратичных операторов.
ОБСУЖДЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ
Квадратичные стохастические операторы появляются в весьма различных областях математики и ее приложений: теории вероятностей, теории
Oriental Renaissance: Innovative, R VOLUME 1 | ISSUE 10
educational, natural and social sciences ( ) ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor SJIF 2021: 5.423
дифференциальных уравнений, теории динамических систем, математической биологии и других.
Определения. Пусть F = {FlrF2,F2 —>Fn) -множество женского типа, = {.'•■■•■_ : . . множество мужских типа. Состоянием популяции
называется пара распределений вероятностей х = {х1гх2>х2хп} - и У = {У1,У2,Уз - >Уъ} - на множествах соответственно F и M.
Пространством состояний данной популяции является 5T:_1 X 5У_1 декартово произведение (п-1) мерного симплекса 5т:-1 на (v-1) мерной симплекс 5V_1.
Дифференциация популяции называется наследственной, если при любом состоянии (x,y) в поколении G однозначно определено состояние (x,y'), возникающее в следующем поколении G путем скрещиваний и отбора.
Отображение W: Sn~1 X :1 - ":1 X Sv~1 отображающие (п-1) * (v-1) мерной декартово произведение на себя определяемое равенством
называется эволюционным операторам. В координатах оно превращается в систему равенств
которые также называется эволюционными. Отображение (3)при любом начальном состоянии однозначно определяет траекторию
Выведем эволюционные уравнения двуполой популяции. Исходными данными для этого являются коэффициенты наследственности .
Величина определяется как вероятность рождения потомка женского типа
Fp 1 < j < п. у матери типа Fp 1 < j < л , и отца типа Mkl 1 < к < v
Аналогично определяется , 1 < i < п, 1 < к < v очевидно,
Ï ■■' Q Vр..' _ ^ Г- ■'■ Q V" — Y (5)
коэффициенты наследственности суммарно учитывает, например, такие
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Scientific Journal Impact Factor
VOLUME 1 | ISSUE 10 ISSN 2181-1784 SJIF 2021: 5.423
факторы, как рекомбинационный процесс, отбор гамет, мутации, дифференциальная рождаемость.
Пусть (х,у)-состояние в поколении О. (х ,у')- возникающее в следующем поколении О в момент его содержания вероятности типов находятся по формуле полной вероятности:
Квадратичный стохастический оператор называется менделеевским, если правила наследования, определенные этим оператором, удовлетворяют законам Менделя [8], т.е. траектории квадратичный стохастический операторы стабилизуется со второго шага.
Пусть п=у=2. Приведём некоторые модели, описываемые квадратичными стохастическими операторами.
откуда следует, что частоты генотипов во всех последующих поколениях будут такими же, как в первом поколении. Сформулируем это свойство в виде следующего теорема.
Теорема 1.Устойчивая (стабильная) частота генотипов достигается за одно поколение.
Это теорема есть третье утверждение закона Харди-Вайнберга, правда, чуть в общем виде.
Из (7) видно что прообраз ((1;0),(0;1)) и ((0;1),(1;,0)) пуст, откуда следует, что оператор не является сюръективным отображением.
Теорема 1.Устойчивая (стабильная) частота генотипов достигается за одно поколение.
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Scientific Journal Impact Factor
о
R
VOLUME 1 | ISSUE 10 ISSN 2181-1784 SJIF 2021: 5.423
REFERENCES
1. Ганиходжаев Р.Н. Квадратичные стохастические операторы, функция Ляпунова и турнира//Мат.Сб.-1992.-83,№°8.-СЛ19-140.
2. Ганиходжаев Н.Н.,Мейлиев Х.Ж. Об одной конструкции квадратичных оператров.//ДАН РУз, 1997.
3. Lyubich Ya.I. Mathematical structures in populationgenettes//Biomathematics -1992. 22//.
4. Розиков У.А., Жамилов У.У. Вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции.//Укр.мат.жур.,2001.м 63.№7//
5. Розиков У.А., Жамилов У.У. Динамике строго невольтеровских квадратичных стохастических операторов на двумерном симплексе.//Мат.сб.-2009.-200,№9.-с.81-94.
