О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ ОДНОГО КВАДРАТИЧНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В S Текст научной статьи по специальности «Математика»

17. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Об эффекте Ефимова в модели теории возму-щений существенного спектра // Функц. и его прил., 37:1 (2003). C. 81-84.

18. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов // Мат. заметки, 73:4 (2003). C. 556-564.

19. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56 (2015), 053507.

20. Расулов Т.Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами // ТМФ, 186:2 (2016). C. 293-310.

21. Ёдгоров Г.Р., Муминов М.Э. О спектре одного модельного оператора в теории возмущений существенного спектра // ТМФ, 144:3 (2005). С. 544-554.

22. Ёдгоров Г.Р., Исмаил Ф., Муминов З.Э. Описание местоположения и структуры существенного спектра одного модельного оператора в подпространстве фоковского пространства // Матем. сб., 205:12 (2014). С. 85-98.

23. Тошева Н.А. Уравнения Вайнберга для собственных вектор-функций семейства 3х3-операторных матриц // Наука, техника и образование. 72:8 (2020). С. 9-13.

24. Dilmurodov E.B. Discrete eigenvalues of a 2x2 operator matrix // ArXiv:2011.09650. С. 1-12.

О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ ОДНОГО КВАДРАТИЧНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В S2 Мамуров Б.Ж.1, Шарипова М.Ш.2, Сохибов Д.Б.3

'Мамуров Бобохон Жураевич - кандидат физико-математических наук, доцент; 2Шарипова Мубина Шодмоновна — магистр; 3Сохибов Дилшод Бекназарович — магистр, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: одна из основных задач при исследовании динамической системы состоит в изучении эволюции состояния системы. Квадратичные и кубические стохастические операторы используются для решения задач, возникающих в математической генетике, физике и химии. Решение ряд задач прикладного характера приводит к необходимости изучения асимптотического поведения траекторий нелинейных стохастических операторов. В данной работе с целью дальнейшего рассмотрения выпуклых комбинаций с другими квадратичными операторами изучается существование неподвижных точек одного квадратичного стохастического оператора.

Ключевые слова: симплекс, квадратичные стохастические операторы, неподвижные точки.

УДК 517.98

Понятие квадратичных стохастических операторов восходит к работам Харди Г.Х., Вайнберга В., Бернштейна С.Н., посвященным задачам математической генетики.

Ряд задач для прикладного характера приводят к необходимости изучения асимптотического поведения траекторий квадратичных стохастических операторов. Квадратичный стохастический оператор часто возникает во многих моделей математической генетики, физика и химии.

Квадратичные операторы привлекают внимание специалистов в различных областях математики и ее приложений (см., например, [1]-[3]).

Мы будем придерживаться определения и обозначения работы [1].

Пусть Е = {1,2,..., "}. Множество Я*-1 =|х = (*!,...,Хи)е Rn : х > 0,= 1 называется (" — 1) -мерным симплексом.

Каждый элемент Х £ Я" 1 является вероятностной мерой на Е и его можно интерпретировать как состояние биологической (физической и т.п.) системы, состоящей из п элементов.

Квадратичный стохастический оператор имеет вид:

<,кХ,Х],

V : Х'к = Е Рг3кХХ,

и а=1

где р у, к коэффициент наследственности и

п

Р Ц,к ^ 0 Р],к = Рак , Е Р ],к = 1 .

к=1

Очевидно, условия положенные на коэффициенты р£у,й обеспечивает сохранение симплекса

5п-1.

В математической генетике оператор V называется эволюционным оператором популяции. Популяция определяется как замкнутое относительно размножения сообщества организмов. В популяции различаются последовательные поколения , , . Предполагается, что между особями различных поколений никогда не происходит скрещиваний.

Каждая особь, входящая в популяцию, принадлежит некоторой из п разновидностей: 1 ,2 ,..., п. Состояние популяции это набор х = (х1,х2 . ..,хп) е 5П - 1 вероятностей разновидностей. Коэффициенты наследственности это вероятность рождения особи принадлежащей той разновидности при скрещивании особей из ой и той разновидностей.

Если в некотором поколении популяции находится в состояния х, то в следующем поколении она находится в состояния х = Кх.

Условие р у, к = ру£,й означает, что разновидности не связаны с полом.

В данной работе с целю дальнейшего рассмотрения выпуклых комбинации с другим квадратичным операторами, изучается существование неподвижных точках одного квадратичного стохастического оператора.

рассмотрим квадратичный стохастический оператор:

V:

— ~ Х^ "I" ~ Х^ ^ Хд "I" 2 х1 Х2 г х2 = ^ х2 +1 х2 +1 х2 + 2 Х2Х3 , (1) х3 — ~ X"I- ~ Х2 "I- ~ X2 "I- 2 XХд.

Система (1) преобразуем

(Х1 ~ х2 = 2х2(х1 — х3),

х2 — х- = 2х3( х2-х1) , (2)

х\ — х\ = 2х1(х3 — х2).

Возможно, следующие:

1) Пусть х-!^ < х2 < х3, тогда х- — х- < 0 и х2 — х! > 0 второе уравнение системы (2) не выполняется;

2) Пусть х! > х2 > х3, тогда х- — х- > 0 и х2 — х! < 0 второе уравнение системы (2) не выполняется;

3) Пусть х3 > х-!^ > х2, тогда х- — х- > 0 и х! — х3 < 0 первое уравнение системы (2) не выполняется;

4) Пусть х3 > х2 > хь тогда х- — х- < 0 и х2 — х! > 0 второе уравнение системы (2) не выполняется;

5) Пусть х-^ > х3 > х2, тогда х- — х- < 0 и х3 — х 2 > 0 третье уравнение системы (2) не имеет места;

6) Пусть х-^ = х2 = х3, тогда все три уравнения системы (2) выполняются.

Значит, система (2) имеет место только при х! = х 2 = х3.

Из равенства х! + х2 + х3 = 1 , имеем 3 х! = 1 , х! =1 и х2 = х3 = 1

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема. Квадратичный стохастический оператор (1) имеет единственную неподвижную точку X* = (Х*,Х2 Д3) = (1,;1,;1) .

Заметим, что некоторые квадратичные стохастические операторы с дискретным временем исследованы в работах [4 - 12]. Квадратичные стохастические операторы с непрерывным временем приводятся к нелинейным дифференциальным уравнениям. Так, в работах [13 - 19]

исследованы аналогичные квадратичные стохастические операторы с непрерывным временем и

краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений.

Изучение задач этих типов требуют от исследователей (студентов) наличия знаний, навыков

и компетенций, позволяющих самостоятельно обсуждать математические задачи [20 - 41].

Список литературы

1. Жамилов У.У., Розиков У.А. О динамике строго невольтерровских квадратичных стохастических операторов на двумерном симплексе // Матем. сб., 200:9 (2009). С. 81-94.

2. Розиков У.А., Жамилов У.У. F - квадратичные стохастические операторы // Матем. заметки, 83:4 (2008). С. 606-612.

3. Ганиходжаев Р.Н. Квадратичные стохастические операторы, функции Ляпунова и турниры // Матем. сб., 183:8 (1992). С. 119-140.

4. Mamurov B.J., Rozikov U.A. On cubic stochastic operators and processes // Journal of Physics: Conference Series. 697 (2016), 012017, doi 10.1088/1742-6596/697/1/012017.

5. Mamurov B.J., Rozikov U.A., Xudayarov S.S. // Quadratic stochastic processes of type (CT|^) //

arXiv: 2004.01702 [math.D.s]. С. 1-14.

6. Мамуров Б.Ж. Неравномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для симметрично зависимых случайных величин // Молодой учёный, 1971:11 (2018). С. 3-5.

7. Mamurov B.J. A central limit theorem for quadratic chains with finite genotypes // Scientific reports of Bukhara State University. 1:5 (2018). С. 18-21.

8. Мамуров Б.Ж., Бобокулова С.Б. Теорема сходимости для последовательности симметрично зависимых случайных величин // Academy, 55:4 (2020). С. 13-16.

9. Mamurov B.J., Rozikov U.A., Xudayarov S.S. Quadratic Stochastic Processes of Type //

Markov Processes Relat.Fields. 26 (2020). С. 915-933.

10. Мамуров Б.Ж. Эволюционные уравнения для конечномерных однородных кубических стохастических процессов // Bulletin of Institute of Mathematics, 6 (2019). С. 35-39.

11. Мамуров Б.Ж., Абдуллаев Ж. Регрессионный анализ как средство изучения зависимости между переменными. European science. 58:2 (2021). С. 7-10.

12. Мамуров Б.Ж., Сохибов Д.Б. О неподвижных точек одного квадратичного стохастического оператора // Наука, техника и образование. 77:2-2 (2021). С. 10-15.

13. РасуловХ.Р., Камариддинова Ш.Р. Об анализе некоторых невольтерровских динамических систем с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021). С. 27-30.

14. РасуловХ.Р., Джуракулова Ф. Об одной динамической системе с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021). С. 19-22.

15. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020). С. 6-9.

16. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021). С. 23-26.

17. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции, 2019. С. 197-199.

18. Расулов Х.Р. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа // «Комплексный анализ, математическая Физика и нелинейные уравнения» Международная научная конференция Сборник тезисов Башкортостан РФ, 2019. С. 65-66.

19. Rasulov Kh.R. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // J. of Global Research in Math. Archives. 6:10 (2019). С. 35-38.

20. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики // Наука, техника и образование. 72:8 (2020). С. 29-32.

21. Мамуров Б.Ж., Жураева Н.О. О роли элементов истории математики в преподавании математики // Abstracts of X International Scientific and Practical Conference Liverpool, may, 2020. С. 701-702.

22. Мамуров Б.Ж., Жураева Н.О. О первом уроке по теории вероятностей // Вестник науки и образования. 96:18-2 (2020). С. 5-7.

23. Бобоева М.Н. Проблемная образовательная технология в изучении систем линейных уравнений с многими неизвестными // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 48-51.

24. Ахмедов О.С. Метод «диаграммы венна» на уроках математики // Наука, техника и образование, 72:8 (2020). С. 40-43.

25. Boboeva M.N., Rasulov T.H. The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students // Academy. 55:4 (2020). С. 68-71.

26. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Роль математики в биологических науках // Проблемы педагогики. № 53:2 (2021). С. 7-10.

27. Бобокулова С.Б., Бобоева М.Н. Использование игровых элементов при введении первичных понятий математики // Вестник науки и образования. 99:21-2 (2020). С. 85-88.

28. Бобоева М.Н., Шукурова М. Ф. Обучение теме «множества неотрицательных целых чисел» с технологией «Бумеранг» // Проблемы педагогики. 51:6 (2020). С. 81-83.

29. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. Advantages and disadvantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics // Academy. 55:4 (2020). С. 65-68.

30. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics // International Journal of Scientific & Technology Research. 9:4 (2020). С. 3068-3071.

31. Расулов Т.Х. Инновационные технологии изучения темы линейные интегральные уравнения // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 74-76.

32. Расулов Т.Х., Нуриддинов Ж.З. Об одном методе решения линейных интегральных уравнений. Молодой учёный, 90:10 (2015). С.16-20.

33. Марданова Ф.Я. Нестандартные методы обучения высшей математике // Проблемы педагогики. 53:2 (2021). С. 19-22.

34. Бобоева М.Н. Обучение теме «Множества неотрицательных целых чисел» // Проблемы педагогики. 53:2 (2021). С. 23-26.

35. Boboyeva M., Qutliyeva Z. Formation of elementary mathematical concepts in preschool children // J. Global Research in Math. Archives. 6:11 (2019). С. 10-12.

36. Курбонов Г.Г. Информационные технологии в преподавании аналитической геометрии // Проблемы педагогики. 53:2 (2021). С. 11-14.

37. Марданова Ф.Я. Нестандартные методы обучения высшей математике // Проблемы педагогики. 53:2 (2021). С. 19-22.

38. Бобоева М.Н. Обучение теме «Множества неотрицательных целых чисел» кластерным методом // Проблемы педагогики. 53:2 (2021). С. 23-26.

39. Сайлиева Г.Р. Использование метода «Математический рынок» в организации практических занятий по «Дискретной математике» // Проблемы педагогики. 53:2 (2021). С. 27-30.

40. Тошева Н.А. Использование метода мозгового штурма на уроке комплексного анализа и его преимущества // Проблемы педагогики. 53:2 (2021). С. 31-34.

41. Хайитова Х.Г. Преимущества использования метода анализа при изучении темы «Непрерывные функции» по предмету «Математический анализ» // Проблемы педагогики. 53:2 (2021). С. 35-38.