CC BY
9
ОБ АНАЛИЗЕ НЕКОТОРЫХ НЕВОЛЬТЕРРОВСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ Расулов Х.Р.1, Камариддинова Ш.Р.2 Email: [email protected]
Аннотация: в статье дано подробное описание и определение классов невольтерровских квадратичных стохастических операторов (КСО) [8]. С помощью математического редактора MathCAD при различных значениях а, Ъ, с найдены численные решения системы (непрерывный аналог невольтерровских квадратичных стохастических операторов, введенной [8]), проведен сравнительный анализ с аналитическими решениями данной системы. Построены графики численных и аналитических решений системы при различных значениях и начальных значениях .
Ключевые слова: квадратичные стохастические операторы, неподвижные точки, аналитические и численные решения.
ON ANALYSIS OF SOME NON-VOLTERRIAN DYNAMIC SYSTEMS
WITH CONTINUOUS TIME
1 2 Rasulov H.R. , Kamariddinova Sh.R.
1Rasulov Haydar Raupovich - Associate Professor;
2Kamariddinova Shohzoda Rahmat kizi - Master Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS,
BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: the article provides a detailed description and definition of the class of non-Volterra quadratically stochastic operators [8]. Using the mathematical editor MathCAD for various values a,b,c numerical solutions of the system were found (a continuous analogue of Non-Volterra quadratically stochastic operators introduced by [8]), a comparative analysis with analytical solutions of this system. The graphs of the numerical and analytical solutions of the system are plotted for various values a,b,c and initial values x0 ( 0 ) , xx ( 0 ) , x2 ( 0 ) . Keywords: quadratic stochastic operators, fixed points, analytical and numerical solutions.
КСО часто возникает во многих моделях математической генетики [1]-[9]. Квадратичный стохастический оператор, отображающий симплекс 5т " 1 = {х = (хх,. . .,хт) } 6 Ет : х; > О, 1 х = 1 в себя, имеет вид V: х'к = £ 1 Ру.^¿х,, к = 1 ,. . ., ш, где ру^ - коэффициент наследственности и р , д. > О , £т= з.Рул = 1 , ,к = 1 ,. . ,,ш. Заметим, что каждый элемент является распределением вероятности на
В статье [8] для невольтерровского КСО (в статье [8] эти КСО называются F КСО. Заметим, что любой F КСО является невольтерровским) V : х = (х^ . . .,хт) 6 5т " 1 — V (х) = х' = (х' ^ . . ,,х 'т) 6 5т " 1 дается следующая общая формула: х ' к = хк( 1 + £ ™ ^ к¿х; ) , где для и и
Рассмотрим случай ш = 2 , т.е. Е = {О, 1 , 2 } и возьмём М = { 1 } и Т = {2}. Тогда непрерывный аналог невольтерровского КСО [8] имеет вид:
1РасуловХайдар Раупович - доцент; 2Камариддинова Шохзода Рахмат кизи - магистр, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
2
УДК 517.988.52
Следует отметить, что в статье [10] данная динамическая система (1) подробно
проанализирована, то есть, найдены неподвижные точки, установлены их типы, указано, что
траектория (x0(t), x1(t), x2(t)) стремится к неподвижной точке экспоненциально быстро.
Также, найдены аналитические решения системы [10]:
( _t с2 (1 — а) е~1
х0 = 1 + с1е г + ——-----—,
4be 1 - с3ехр (—c2e~t)
с? e~t
* xi = -- (2)
2с 1 — с3ехр (—c2e_t)'
_ С2__е^_
, 2 2Ь1 — с3ехр (— с2е~1У
где с1,с2,с3 = const.
Одна из основных задач для данной системы (1) состоит в изучении эволюции состояния системы. Обычно потомки состояния системы определяются некоторыми законами. Для решения таких задач, возникающих в математической биологии, используются квадратичные операторы, например, изученные в [2] и [8], теория которых в настоящее время развивается.
В этой связи, опишем кратко историю невольтерровских операторов с дискретным временем [2] и [8], что позволит легко проанализировать изученную в данной статье КСО (с непрерывным временем). Известно, что динамика дискретной динамической системы зависит от начальных точек. Если получим начальную точку хоть изнутри или из ребра симплекса, независимо от этого все траектории стремятся к неподвижной точке.
В статье [8] показано, что каждый F - квадратичный стохастический оператор имеет единственную неподвижную точку. Также доказано, что любая траектория F -квадратичного стохастического оператора экспоненциально быстро сходится к этой неподвижной точке.
Здесь тоже основная цель состоит в исследовании поведения траекторий непрерывного аналога невольтерровского квадратично стохастического оператора [8] и сопоставление с численными решениями системы (1).
С помощью математического редактора MathCAD при определенных значениях а, Ь, с найдены численные решения системы. Проведен сравнительный анализ с аналитическими решениями системы (1) (задача Коши).
Отметим, что в последнее время численные эксперименты являются основным инструментом, позволяющим продолжить исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.
Так, например графики численных и аналитических решений системы при значениях а = 0.22, Ь = 0.34, с =0.46 и при начальных значениях х0(0) = 0.36, х1(0) = 0.43, х2(0) = 0.21 выглядят так:
0.8
0.6
AR
ЮО^ Q ^
ChR(l) ' AAA
Ж ж » к Ж
0.2
о
о
2
3
Рис. 1. Графики численных и аналитических решений системы
Здесь ЛБ значения аналитических решений и СИЯ(£:) значения численного решения второго уравнения системы (1). Аналогично проведен сравнительный анализ численных решений системы (1) и с аналитическими решениями первой и третьей системы (2), соответственно. Кроме того установлено, что при £ ^ численные решения системы (1) (х0 (£), хг (£), х2 (£)) стремятся к неподвижной точке.
При анализе численных и аналитических решений системы (1), пришли к результату, что их разность численных и аналитических решений экспоненциально быстро стремится к нулю. Отсюда следует, что численные решения системы (1) тоже стремятся к неподвижной точке при увеличении £.
Заметим, что разные краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений были исследованы в работах [11-15]. Изучение задач этих типов требует от исследователей (студентов) наличия знаний, навыков и компетенций, позволяющих самостоятельно обсуждать математические задачи [16-28].
1. Ганиходжаев Р.Н. Квадратичные стохастические операторы, функции Ляпунова и турниры // Матем. сб., 183:8 (1992). C. 119-140.
2. Ганиходжаев Р.Н. Об одном семействе квадратичных стохастических операторов, действующих в S2 // Докл. АН УзССР, 1989. C. 3-5.
3. Ulam S.M. A collection of mathematical problems, New York-London, Interscience Publ.,
4. Любич Ю.И. Математические структуры в популяционной генетике, Науководумка. Киев, 1983.
5. Jenks R.D. Quadratic differential systems for interactive population models // J. Differential Equations, 5:3 (1969). C. 497-514.
6. Ganikhodzhaev N.N., Rozikov U.A. On quadratic stochastic operators generated by Gibbs distributions // Regul. Chaotic Dyn., 11:4 (2006). C. 467-473.
7. Жамилов У.У, Розиков У.А. О динамике строго невольтерровских квадратичных стохастических операторов на двумерном симплексе // Матем. сб., 200:9 (2009). C. 81-94.
8. Розиков У.А., Жамилов У.У. F-квадратичные стохастические операторы // Математические заметки, 83:4 (2008).
Список литературы /References
1960.
9. Mamurov B.J., Rozikov U.A., Xudayarov S.S. Quadratic Stochastic Progesses of type (о|ц). Markov Processes and Related Fields, 26 (2020), 915-933.
10. Rasulov Kh.R. On a continuous time F-kuadratic dynamical system, Uzbek mathematical journal, №4 (2018). С. 126-130.
11. Расулов Х.Р. и др. О разрешимости задачи Коши для вырождающегося квазилинейного уравнения гиперболического типа // Ученый XXI века, 53:6-1, (2019). С. 16-18.
12. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам, Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019, 2019. С.197-199.
13. Rasulov Kh.R. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2019). С. 35-38.
14. Расулов Х.Р. и др. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020). С. 6-9.
15. Джуракулова Ф.М. О численных решениях непрерывного аналога строго невольтерровского квадратичного стохастического оператора // Вестник науки и образования, 102:24-3 (2020). С. 6-9.
16. Расулов Х.Р. и др. Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики // Наука, техника и образование, 8:72 (2020). С. 29-32.
17.Ахмедов О.С. Метод «диаграммы Венна» на уроках математики // Наука, техника и образование, 8: 72 (2020). С. 40-43.
18. Умарова У.У. Роль современных интерактивных методов в обучении темы «Множество и операции над ними» // Вестник науки и образования 94:16-2 (2020). С. 21-24.
19. Умарова У.У. Использование педагогических технологий в дистанционном обучении moodle // Проблемы педагогики 51:6 (2020). С. 31-34.
20. Тошева Н.А. Междисциплинарные связи в преподавании комплексного анализа // Вестник науки и образования. 94:16 (2020), часть 2. С. 29-32.
21. Хайитова Х.Г. Использование эвристического метода при объяснении темы «Непрерывные линейные операторы» по предмету «Функциональный анализ» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020), часть 2. С. 25-28.
22. Умарова У.У. Применение ТРИЗ технологии к теме «Нормальные формы для формул алгебры высказываний // Наука, техника и образование 72:8 (2020). С. 32-36.
23. Boboeva M.N., Rasulov T.H. The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students // Academy. 55:4 (2020). С. 68-71.
24. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics // International Journal of Scientific & Technology Research. 9:4 (2020). С. 3068-3071.
25. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. Advantages and disadbantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics // Academy. 55:4 (2020). С. 65-68.
26. Марданова Ф.Я. Рекомендации по организации самостоятельной работы в высших учебных заведениях // Вестник науки и образования, 95:17 (2020), Часть 2. С. 83 -86.
27. Бобоева М.Н. Проблемная образовательная технология в изучении систем линейных уравнений с многими неизвестными // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 48.
28. Курбонов Г.Г. Преимущества компьютерных образовательных технологий в обучении теме скалярного произведения векторов // Вестник науки и образования. 94:16 (2020), часть 2. С. 33-36.
