CC BY
17
ОБ ОДНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ С НЕПРЕРЫВНЫМ
ВРЕМЕНЕМ 1 2 Расулов Х.Р. , Джуракулова Ф.М. Email: [email protected]
1РасуловХайдар Раупович - доцент;
2Джуракулова Фарангис Мурат кизи - магистр, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: данная статья является продолжением работы о численных решениях непрерывного аналога строго невольтерровского квадратичного стохастического оператора. В статье приведен краткий обзор известных фактов, то есть краткое содержание работы ученых, и показано основное отличие исследуемой задачи от ранее изученных. Приведен общий вид квадратично-стохастического оператора, введенной и изученной в работе Розикова У.А. [9] и ее непрерывный аналог (частный случай). Сопоставлены полученные численные решения с теоретическими результатами работы [9].
Ключевые слова: квадратичные стохастические операторы, динамические системы, численные решения, метод Эйлера.
ONE DYNAMIC SYSTEM WITH CONTINUOUS TIME Rasulov Н.К.1, Dzhurakulova F^.2
1Rasulov Haydar Raupovich - Associate Professor;
2Dzhurakulova Farangis Murat kizi - Master Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS,
BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: this article is a continuation of the work on numerical solutions of a continuous analogue of a strictly non-Volterra quadratic stochastic operator. The article provides a brief overview of the known facts, that is, a summary of the work of scientists and shows the main difference between the studied problem and the previously studied ones. The general form of the quadratically stochastic operator introduced and studied by U.A. Rozikov is presented. [9] and its continuous analogue (special case). The obtained numerical solutions are compared with the theoretical results of work [9]. Keywords: quadratic stochastic operators, dynamical systems, numerical solutions, Euler's method.
УДК 517.988.52
Одной из основных задач при исследовании динамической системы является изучение эволюции состояния системы. Обычно «потомки» состояния системы определяются некоторым законом. Для описания этих законов, возникающих в математической генетике, используются квадратичные стохастические операторы.
К необходимости изучения эргодических и асимптотических свойств итераций нелинейных пре образований приводят ряд задач из различных областей. Например, физические задачи, имеющие дело с взаимодействием между размножающимися и диффундирующими частицами; биологические задачи о динамике популяции замкнутой генетической системы; экономические задачи об устойчивости в моделях коллективного поведения и т.п. ([1], [2], [3], [5]).
Например, эволюционный оператор популяции в биологии является квадратичным стохастическим оператором. При такой интерпретации задача нахождения предельного распределения индивидуумов различных типов в процессе эволюции замкнутой биологической системы равносильна изучению асимптотических свойств итераций
квадратичного стохастического оператора. Кроме того, тоерия квадратичнных стохастических операторов представляет значительный интерес и в чисто математическом плане обилием нетривиальных и нестандартных задач, а также нерешенных проблем.
По-видимому, задача изучения поведения траекторий (т.е. последовательности итераций) квадратичных стохастических операторов впервые встречается в работах С.Улама и его сотрудников [3], [6], [7]. В этих работах при помощи ЭВМ проведен численный анализ траекторий для различных типов квадратичных стохастических операторов, заданных на двумерном симплексе 52. Позднее в работах Г. Кестена [8] и С.С. Валландера [4], были даны доказательства части обнаруженных С.Уламом и его сотрудниками закономерностей. Оценке липшидевых констант для квадратичных стохастических операторов в симплексе 5И, были посвящены работы [8], [10], [11].
Известно, что рассмотрение эволюции требует привлечения времени. В зависимости от задачи может рассматриваться или непрерывное время (когда интересуют состояния системы в каждый момент), или дискретное (когда интересуют состояния системы в отдельные изолированные моменты времени). Поведение системы зависит от параметров, точные значения которых часто неизвестны. Решить задачу численно для всех возможных значений параметров принципиально невозможно. Поэтому необходимы методы, которые позволят анализировать поведение решений динамической системы без применения компьютера. Наиболее полезная сторона качественной теории динамических систем, то есть динамических систем с непрерывным временем, состоит в том, что многие важные свойства решений можно предсказать заранее, не имея решений уравнений в явном виде.
Так, в статье [9] исследован строго невольтерровский оператор, который имеет вид:
!х1 = ах|+сх| + 2х2х3
х2 = ах^+с?х| + 2ххх3 (1)
х3 = Ьх2+/?х| + 2ххх2
где
а,р,а,Ь,с,й >0,а + [3 = а + Ь = с + (1 = 1
В работе [9] на доказана единственность неподвижной точки. Доказано, что эта неподвижная точка непритягивающая. Дано описание ю-предельного множества траектории для некоторых подклассов таких операторов. Показано, что в отличие от вольтерровских операторов строго невольтерровские операторы имеют циклические траектории. Для двух конкретных операторов доказано, что существует циклическая траектория с периодом 3, и всякая траектория, начинающаяся на границе симплекса, сходится к этой циклической траектории, а траектории с начальной точкой (не неподвижной), лежащей внутри симплекса, расходятся; ю-предельное множество такой траектории бесконечно и лежит на границе симплекса. Также изучены подклассы строго невольтерровских операторов, траектории которых в пределе стремятся к циклической траектории с периодом 2.
В настоящей работе мы изучаем частный случай непрерывного аналога квадратичного стохастического оператора (1), то есть системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В нашем случае рассматриваемая система (при а = 0,/3 = 0, а = 0, Ь = 0) (1) имеет вид
х^ — сх3 + 2х2х3> Х2 = йх' + 2ххх3, (2) х3 = (хх + х2)2, которая в нашем случае принимает вид:
х^ — сх3 + 2 х2 х3 х^,
х2 = (1x1 + 2ххх3 - х2, (3)
х3 = (хх + х2)2 — х3.
Для исследования системы (3) применен явный метод Эйлера для численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши).
Заметим, что метод Эйлера основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера. При различных значениях с и d получены численные решения (2) с помощью программирования на языке С++.
Следует отметить, что полученные численные решения полностью соответствует теоретическим результатам работы [9]. Также, заметим, что разные краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений были исследованы в работах [12-17]. В работах [18-21] исследованы решетчатые модели. Изучение задач этого типа требует от исследователей (студентов) наличия знаний, навыков и компетенций, позволяющих самостоятельно обсуждать математические задачи [22-31].
Список литературы /References
1. Добрушина В.И. Взаимодействующие Марковские процессы в биологии // Сб. статей под ред. и др. Пущино, 1977. С. 205.
2. Беллмана Р. Математические проблемы в биологии // Сб. статей под ред. М. Мир, 1966. С. 63-77.
3. Улам С. Нерешенные математические задачи // М. Наука, 1964. С. 168.
4. Валландер С.С. О предельном поведении последовательности итераций некоторых квадратичных преобразований // ДАН СССР. 202, 1972. С. 515-517.
5. Аркина В.И. Вероятностные проблемы управления в экономике // Сб. статей под ред. М. Наука, 1977. С. 238.
6. MenzelM.T., Stein P.R., Ulam S.M. Quadratic transformations 1 // Rep. LA 2305, Los Alamos, sc. Lab., N.M.
7. Stein P.R., Ulam S.M. Non-linear transformation studies on electronic computers // Rozpr. Mat. 39 (1964).
8. Kwesten H. Quadratic transformations: A model for population grouth. 1 // Adv. Appl. Prob., 2 (1970). С. 1-82.
9. Розиков У.А., Жамилов У.У. О динамике строго невольтерровских квадратичных стохастических операторов на двумерном симплексе // Мат. сборник, 200:9 (2009). C. 8194.
10. Валландер С.С. Замечание к работам Р.Л. Добрушина и Г. Кестена // Теория вероятн. и ее примен., ХУШ, 2 (1973).
11. Крапивин А.А., Любич Ю.И. Оценки липшецевых констант для полиномиальных операторов в симплексе // ДАН СССР, 234:3 (1977). С. 528-531.
12. Расулов Х.Р. и др. О разрешимости задачи Коши для вырождающегося квазилинейного уравнения гиперболического типа // Ученый XXI века, 53:6 (2019). С. 16-18.
13. Rasulov Kh.R. On a continuous time F-quadratic dynamical system // Uzbek mathematical journal, 2018. № 4. С. 126-131.
14. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции КРОМШ, 2019. C. 197-199.
15. Rasulov Kh.R. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10, 2019.
16. Расулов Х.Р. и др. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования. 97:19-1 (2020). С. 6-9.
17. Джуракулова Ф.М. О численных решениях непрерывного аналога строго невольтерровского квадратичного стохастического оператора // Вестник науки и образования. 102:24-3 (2020). С. 6-9.
18. Бахронов Б.И. О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением // Наука, техника и образование. 72:8 (2020). C. 13-16.
19. Бахронов Б.И. Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением // Вестник науки и образования. 94:16-2 (2020). C. 9-13.
20. Bahronov B.I., Rasulov T.H. Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation // European science, 2020.
21. Rasulov T.H., Bahronov B.I. Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 9:6 (2019). С. 15-17.
22. Boboeva M.N., Rasulov T.H. The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students // Academy. 55:4 (2020). С. 68-71.
23. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics // International Journal of Scientific & Technology Research. 9:4 (2020). С. 3068-3071.
24. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. Advantages and disadbantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics // Academy. 55:4 (2020). С. 65-68.
25. Марданова Ф.Я. Рекомендации по организации самостоятельной работы в высших учебных заведениях // Вестник науки и образования, 95:17 (2020). Часть 2. С. 83 -86.
26. Бобоева М.Н. Проблемная образовательная технология в изучении систем линейных уравнений с многими неизвестными // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 4851.
27. Умарова У.У. Применение триз технологии к теме «Нормальные формы для формул алгебры высказываний» // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 32-35.
28. Умарова У.У. Роль современных интерактивных методов в изучении темы «Множества и операции над ними» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 21-24.
29. Тошева Н.А. Междисциплинарные связи в преподавании комплексного анализа // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 29-32.
30. Хайитова Х.Г. Использование эвристического метода при объяснении темы «Непрерывные линейные операторы» по предмету «Функциональный анализ» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 25-28.
31. Курбонов Г.Г. Преимущества компьютерных образовательных технологий в обучении теме скалярного произведения векторов // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 33-36.
