CC BY
27
О НЕКОТОРЫХ ВОЛЬТЕРРОВСКИХ КВАДРАТИЧНЫХ
СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРАХ ДВУПОЛОЙ ПОПУЛЯЦИИ
С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 1 2 Расулов Х.Р. , Яшиева Ф.Ю. Email: [email protected]
1РасуловХайдар Раупович - доцент, 2Яшиева Феруза Юсуф кизи - магистр, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье приведен краткий обзор известных фактов. Проанализированы основополагающие исследования по этому направлению русских, узбекских и зарубежных ученых. Подробно изложено определение вольтерровских квадратичных стохастических операторов (КСО) двуполой популяции (ВКСОДП) [4]. Найдены неподвижные точки непрерывного аналога изученного ВКСОДП и установлен тип неподвижной точки, найдены аналитические и численные решения системы, а также линеаризованной системы. Проведен сравнительный анализ аналитических и численных решений.
Ключевые слова: вольтерровские квадратичные стохастические операторы двуполой популяции, аналитические решения, численные решения, линеаризованная система.
ABOUT SOME WOLTERRIAN SQUARE STOCHASTIC OPERATORS OF TWO- SEXAND POPULATION WITH CONTINUOUS TIME Rasulov Н.К..1, Yashiyeva F.Yu.2
1Rasulov Haydar Raupovich - Associate Professor; 2Yashiyeva Feruza Yusuf kizi - Master Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS,
BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: this article provides a brief overview of the known facts. Thus, the basic research in this direction Russian, Uzbek and foreign scientists is analyzed. The definition of the Volterra quadratic stochastic operators of a bisexual population (VQSOBP) [4]. is presented in detail. Fixed points of a continuous analog of the studied VQSOBP. Are found and the type of a fixed point is found, analytical and numerical solutions of the system, are found. Comparative analysis of analytical and numerical solutions is carried out.
Keywords: volterra quadratic stochastic operators of a bisexual population, analytical solutions, numerical solutions, linearized system.
УДК 517.988.52
Понятие квадратичного стохастического оператора впервые было сформулировано в работе С.Н. Бернштейном в статье «Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследованности» [1]. После этого теория квадратичных стохастических операторов продолжила развиваться и было опубликовано много работ [4-9]. Квадратичные операторы как объект исследования появились на рубеже тридцатых годов прошлого столетия в работе Улама «Нерешённые математические задачи» [2], где была поставлена задача изучения поведения траекторий квадратичных операторов.
Невозможность создания достаточно развитых аналитических методов из-за нелинейности операторов, сложных и трудных рекурренций при изучении траекторий и необходимость проведения очень большого числа вычислений при изучении конкретных квадратичных операторов не стимулировали в некоторое время интерес к этой задаче. Появление ЭВМ в прошлом столетии возродило интерес к проблеме изучения поведения
23
траекторий квадратичных операторов. Улам и его сотрудники в работе «Гиббсовские состояния на счетных множествах» [3] провели вычисления на ЭВМ для достаточно большего числа квадратичных операторов.
Анализ динамики численности двуполой популяции представляется крайне важной задачей не только с теоретических позиций, но и практических. Разные методы управления численностью вредных видов насекомых (метод выпуска стерильных самцов, феромонные ловушки и др. см. в [10-11]) ориентированы именно на создание определенного дисбаланса в половой структуре популяции, что способствует снижению скорости ее размножения и нередко приводит к вырождению. Разработка моделей данного типа представляется также весьма актуальной и для решения отдельных задач эпидемиологии.
В статье узбекских ученых У.А. Розикова и У.У. Джамилова изучались вольтерровские квадратичные стохастические операторы (КСО) двуполой популяции [4], где дано определение КСО двуполой популяции и определено множество всех ВКСОДП.
Так, КСО свободной популяции имеет следующий смысл [4]. Предположим, что свободная популяция состоит из элементов. Тогда множество
называется - мерным
симплексом.
КСО, отображающий симплекс в себя, имеет вид
V\хк =£ у=^,кХ1Х],к, = 1, ..,,т , где р^,к - коэффициент наследственности и р^ кк> О.Ц}=1Ру,к = 1,4, к = 1,...,т.
Так, как известно, что одна из основных задач для данного оператора в математической биологии состоит в изучении асимптотического поведения траекторий. Эта проблема была решена для вольтерровских КСО ([5]), которые определяются приведенными выше равенствами и дополнительным предположением р^,к = 0 ,если к ё { I ,]}.
Вводится понятие КСО двуполой популяции [4]. Пусть (х,у) — состояние в поколении G. В следующем поколении С в момент его зарождения вероятности типов находятся по формуле полной вероятности:
ш =(Х] = 1 Р к^ Х ^ к 1<]<П (1)
\у1=^= гРк,Ы)хук,1<1<У . ()
Определение [4]. Эволюционный оператор (1) назовем ВКСОДП, если рк ^ = если и если
{ 1,к],1 < I <п,1 < к,1 < V.
Рассмотрим случай п = V = 2. В силу пункта 3 теоремы 5 [4] существуют 16 крайних ВКСОДП. Приведем некоторые из этих операторов. Один из них является
Сх1 + х2У 1, Х2У 2,х1 + х2У 1,х2У2).
Непрерывный аналог этого ВКСОДП имеет следующий вид, который является системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
Х1 = Х2У\, Х2 = Х2У2 ~ х2> у1 = х1+ х2уг - у1(
У2 = Х2У2 ~У2-
В настоящей статье найдены неподвижные точки системы (2) и установлены ее тип, найдены аналитические и численные решения системы и проведен сравнительный анализ результатов. Следует отметить, что полученные численные решения полностью соответствует теоретическим результатам работы [4]. Кроме того, подробно исследован непрерывный аналог Ш 2 {х1 Х2,у1,у2 ) , приведенный в [4].
Мотивацию рассмотрения произвольных квадратичных операторов и ВКСОДП можно найти, например, в [5-9]. Следовательно, каждый оператор является интересным примером в теории многомерных нелинейных динамических систем, с разнообразным поведением траекторий. Важно отметить, что циклические и хаотические динамические режимы могут возникать только в тех случаях, когда различия в воздействии
24
саморегуляторных механизмов на особей разных полов достигают определенного критического значения. Если же подобных различий нет, то в системе наблюдается единственное глобально устойчивое равновесие.
Заметим, что разные краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений были исследованы в работах [12-17]. Изучение задач этих типов требуют от исследователей (студентов) наличия знаний, навыков и компетенций, позволяющих самостоятельно обсуждать математические задачи [18-22].
Список литературы /References
1. Бернштейн С.Н. Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследованност» // Ученые записки научно-исследовательской кафедры Украины, 1924. №1. 83-115.
2. Улам С. Нерешённые математические задачи. М.: Наука, 1969. 168 с.
3. Престон К. Гиббсовские состояния на счетных множествах. Мир, 1977.
4. Розиков У.А., Жамилов У.У. Вольтерровские КСО двуполой популяции // Украинский математический журнал. 63:17 (2011). С. 985-998.
5. Ганиходжаев Р.Н. Карта неподвижных точек и функции Ляпунова для одного класса дискретных динамических систем // Матем. Заметки. 56:5 (1994). С. 40-49.
6. Rozikov U.A., Zada A. On l-Volterra quadratic stochastic operators // Dokl.Mat.79 (2009). С. 32-34.
7. Розиков У.А., Жамилов У.У. F-квадратичные стохастические операторы // Математические заметки. 83:4 (2008). С. 606-612.
8. Розиков У.А., Жамилов У.У. О динамике строго невольтерровских квадратичных стохастических операторов на двумерном симплекс // Математический сборник. 200:9 (2009). С. 81-94.
9. Mamurov B.J, Rozikov U.A, Xudayarov S.S. Quadratic Stochastic Progresses of type (о|ц). Markov Processes and Related Fields, 26 (2020), 915-933.
10. Недорезов Л.В. Моделирование массовых размножений лесных насекомых. Новосибирск: Наука, 1986.
11. Недорезов Л.В., Утюпин Ю.В. Дискретно-непрерывная модель динамики численности двуполой популяции // Сиб. мат. журнал. 44:3 (2003).
12. Расулов Х.Р. и др. О разрешимости задачи Коши для вырождающегося квазилинейного уравнения гиперболического типа // Ученый XXI века. 53:6-1, 2019. С.16-18.
13. Rasulov Kh.R. On a continuous time F-quadratic dynamical system // Uzbek mathematical journal, 2018. № 4. С. 126-131.
14. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская осенняя математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам, Сборник материалов международной конференции КР0МШ-2019, 2019. С. 197.
15. Rasulov Kh.R. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2019). С. 35-38
16. Расулов Х.Р. и др. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020). С. 6-9.
17. Джуракулова Ф.М. О численных решениях непрерывного аналога строго невольтерровского квадратичного стохастического оператора // Вестник науки и образования, 102:24-3 (2020), С. 6-9.
18. Расулов Х.Р. и др. Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики // Наука, техника и образование. 8:72 (2020). С. 29-32.
19. Ахмедов О.С. Метод «диаграммы венна» на уроках математики // Наука, техника и образование, 8: 72 (2020). С. 40-43.
20. Умарова У.У. Роль современных интерактивных методов в обучении темы «Множество и операции над ними» // Вестник науки и образования 94:16-2 (2020). С. 21-24.
25
21. Умарова У.У. Использование педагогических технологий в дистанционном обучении moodle // Проблемы педагогики 51:6 (2020). С. 31-34.
22. Умарова У.У. Применение ТРИЗ технологии к теме «Нормальные формы для формул алгебры высказываний // Наука, техника и образование 72:8 (2020). С. 32-36.
23. Boboeva M.N., Rasulov T.H. The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students // Academy. 55:4 (2020). С. 68-71.
24. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics // International Journal of Scientific & Technology Research. 9:4 (2020). С. 3068-3071.
25. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. Advantages and disadbantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics // Academy. 55:4 (2020). С. 65-68.
26. Марданова Ф.Я. Рекомендации по организации самостоятельной работы в высших учебных заведениях // Вестник науки и образования, 95:17 (2020), Часть 2. С. 83-86.
27. Бобоева М.Н. Проблемная образовательная технология в изучении систем линейных уравнений с многими неизвестными // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 48.
28. Тошева Н.А. Междисциплинарные связи в преподавании комплексного анализа // Вестник науки и образования. 94:16 (2020), часть 2. С. 29-32.
29. Хайитова Х.Г. Использование эвристического метода при объяснении темы «Непрерывные линейные операторы» по предмету «Функциональный анализ» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020), часть 2. С. 25-28.
30. Курбонов Г.Г. Преимущества компьютерных образовательных технологий в обучении теме скалярного произведения векторов // Вестник науки и образования. 94:16 (2020), часть 2. С. 33-36.
