ЭРГОДИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕР, ПОРОЖДЕННЫХ ОДНИМ КЛАССОМ КВАДРАТИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ Мухитдинов Р.Т.1, Абдуллаева М.А.2
'Мухитдинов Рамазан Тухтаевич — доцент, кафедра математики и естественных наук, Бухарский филиал Ташкентский институт инженеров ирригации и сельского хозяйства;
2Абдуллаева Мухайехон Абдувохид кизи — магистр, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей статье дано определение класса одного из квадратичных операторов (квадратичные операторы, для которых правила наследования согласуются с законами Менделя. Г. Мендель - чешско-австрийский биолог-ботаник, основоположник учения о наследственности). Изучены эргодические свойства соответствующих квадратичных мер, то есть для менделевских операторов. Также для этого класса операторов дается подробная конструкция мер. Изучены способы построения семейства функций Рп (£ 1, £ 2 , £ 3 ,. . . .,£ к) (схемы Бернульи и Маркова).
Ключевые слова: квадратичные операторы, эргодические свойства, семейства функций.
УДК 517.988.52
Определим класс менделевских операторов и для этого класса операторов дадим конструкция мер, названных менделевскими. Пусть (Е, т) произвольное пространства с мерой. Рассмотрим пространство П = П !.Е£, где Е; = Е для всех натуральных £. Одной из важных проблем как в теории меры, так и в теории вероятностей является задача построения меры Р на О , согласованной с мерой т на Е.
Для этого достаточно по теореме Колмогорова [1] задать согласованное семейство конечномерных распределений. Эта конструкция необходима для дальнейшего изложения, приведем ее для случая конечного множества .
Пусть Е = { 1 , 2 ,......,п} и т ( { £ } ) = р ; - вероятностная мера на Е, т.е. р ; > 0 и П ¡^ 1р; = 1
Пусть П = П ¡^ 1 Е;, где Е; = Е. Произвольный элемент множества О является бесконечной последовательностью IV = (и/1,и'2 ,и/з ,. . ..) элементов множества Е. Пусть -функция, ставящая в соответствие точке и<ёП значения и/п её п " и координаты. Функцию называют координатной функцией. Пусть алгебра, порожденная совокупностью всех
конечномерных цилиндров, т.е. множеств вида
....... (иО) е А}
....... (иО) е А}
где А- подмножества прямого произведения Е к = Пк= 1 Е . Эта <г —алгебра Т порождается совокупностью всех "тонких" цилиндров, т.е. множеств вида
= ¿1,£„+1(и0 = ¿2........= (к }
где элементы множества , т.е. цилиндрическое множества называется
тонким, если его основание А является одноточечным подмножеством соответствующего конечного прямого произведения. В силу
этого замечания мера Р на ( П, Т) однозначно определяется своими значениями
Рп(к.к.к......к) = = ¿1,^+1 (и/) = ¿2........= ¿к}
на этих цилиндрах, где номер первой фиксированной координаты тонького цилиндра и к - размерность цилиндра. По теореме Колморова [1], если для множества функций справедливы следуюшие условия согласования ,
X1 Рп ( £ 1, £ 2, £ з,. . .., £ к, 0 = Рп ( £ 1 , £ 2 , £ 3 ,.. .., £к) и X 1 Рп ( £ ) = 1 при всех к,п и £ ; е Е, 1 < I < к, то существует единственная вероятностная мера Р на Т, для которой имеет место. Кроме того, если при всех и то мера
сохраняется при преобразовании сдвига.
Таким образом, основную сложность при построении меры Р на Т составляет указание способа задания семейства функций { Рп ( £ 1, £ 2, £ з,. . .., £ к) }, п и к натуральные}.
Cхема Бернулли. Пусть т ({ £ }) = р ; распределения на Е = { 1 , 2 ,...... Если положить
, т.е. не зависит от
Соответствующая мера Р называется бернуллиевский и в этом случае последовательность
случайных величин {^к} образует цепь Бернулли, т.е. последовательность независимых одинаково распределенных случайних величин.
Схема Маркова. Пусть П = (ру) 1 стохастическая по строкам матрица. Если положить Рп (£1,12 , £ з , ■ ■ ■■ Л к) = Р ¡! ' Р 1г12 ' ■ ■ Р 1к_г ,к т.е. Рп ( £ 1, ( 2 Л з, ■ ■ ■■,£ ^ не зависит от п, то имеют место соотношения. Соответствующая мера Р называется марковской. Для произвольных тонких цилиндров функции Рп(£ 1, £ 2, £ з, ■ . . ■, £ к) при к > 1 определим следующим образом: Рп(£ 1, £ 2, £ з, ■ . . ■, £ к) =
_ „(") V Р ■ Р ■ ■ Р Y(n) Y(n+1) Y(-n+k~1~)
л1г rHm1,i2 hm2>h ■■■ rlk-imk-1,lk лт2 — лтк_г
т1...тк-1=1
По построению функции зависят не только от п, к, a также зависят от выбора начального распределения x(O) е SN-1 на Е (где SN-1 - N-мерный симплекс). Покажем справедливость второго условия:
Pn0-1> h-h- ■■■• ¡-к" 0 =J:['Em1,.,m|[,i=l')iim1;2 ' Pil ml,3.. .Pik—\тк—\, ikPikmk, ixml пхт2п+1.. ,хткп+к=
rW \ p . p p r(n) (n+l) (n+fc-1)
^ Pi1m1,i2 ' Pi2m2,i3 ~Р1к-гтк_г,1,
m1,....,mk_1,i=l
= Рп( ii. i2. i.......iк) . так как S f= i Рkmk,i = 1 и Si=i k) = 1 .
Таким образом, существует единственная мера Р, которую естественно назвать мерой, порожденной квадратичным оператором V и начальным распределением x(O) £ SN-1.
Задача изучения свойства мер, порожденных квадратичными операторами, достаточно сложна и требует громоздких вычислений [3-9]. В этой работе мы ограничимся изучением мер, соответствующих двум квадратичным оператором, которые описывают некоторые модели наследственной передачи.
В модели наследственной передачи, предложенной Элстоном и Стьюартом [2], передача признака от родителей к потомству описывается тремя показателями вероятности этой передачи:
Раа,а — от родителя с генотипом АА ребенку передается
аллель А, РАА а = 1 - РААА Рла,л — °т родителя с генотипом Аа ребенку передается
аллель к,РАаа = 1 -РАаЛ Раа,л — °т родителя с генотипом аа ребенку передается аллель А, РааА = 1-РааЛ В соответствии с гипотезой о менделевском типе наследования вероятности определены
следуюЩим °браз°м: рААЛ = 1 рАа,А = 1 раа,А = 0 , рлл,а = 0 рАа, а = 1 раа, а = 1. Это подробно
изучено в работе [1].
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Для менделевских мер Рх при любом х £ [ 0 , 1 ] и любых натуральных к и l имеет место следующее равенство:
Рх(h = i, h+î = j) = Рх(h = i) ■ Рх(h+î = j) + (" ^'У1^ .
Следствие. Менделевские меры эргодичны относительно сдвига Т (определение сдвига
[3]).
Отметим, что квадратичные операторы используются при исследовании закономерностей, имеющие дело с взаимодействием между размножающимися и диффундирующими частицами; биологические задачи о динамике популяции замкнутой генетической системы; экономические задачи об устойчивости в моделях коллективного поведения и т.п.
При изучение квадратичных операторов время играет важную роль в изучении закономерности. В зависимости от задачи изучаются операторы с непрерывным временем или с дискретным временем. Обычно, квадратичные операторы с непрерывным временем приводятся к нелинейным дифференциальным уравнениям. Так, в работах [10-21] исследованы аналогичные квадратичные операторы с непрерывным временем и краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений.
Из курса функционального анализа известно, что линейный оператор, определенный в
двумерном симплексе 5*2 (случай N=3), записывается в виде матрицы второго порядка. Проблема обобщения основных свойств матрицы на операторные матрицы, в свою очередь, является важным вопросом теории операторов. Задачи, связанные со спектральными свойствами операторных матриц, глубоко изучается многими учеными. В частности, в работах [22 - 34] исследованы ряд результатов, связанных с существенными и дискретными спектрами таких операторных матриц.
Список литературы
1. КолмогоровА.Н. Основные понятия теории вероятностей. М., 1936.
2. Ганиходжаев Р.Н, Сарымсаков А.Т. О не растягивающих квадратичных стохастических операторах / / ДАН УзССР, 1988. № 1. С. 7.
3. Мухитдинов Р.Т. Описание класса сюръективных операторов, определенных на одномерном симплексе. Деп.в ГФНТ ГКНТ РУз. № 2384-Уз95. 10 с.
4. Мухитдинов Р.Т., Ганиходжаев Н.Н., Жамилов У.У. Не эргодические квадратичные операторы двуполой популяции. Украинский математический журнал, 2013. Том 65. С. 1152-1160.
5. Mukhitdinov R.T., Ganikhodjaev N.N., Saburov M. Reprinted from the Bulletin of the Korean Mathematical Society. V. 5, 4, № 2, 2017. C. 607-618.
6. Мамуров Б.Ж., Бобокулова С.Б. Теорема сходимости для последовательности симметрично зависимых случайных величин // Academy. 55:4 (2020). С. 13-16.
7. Mamurov B.J., Rozikov U.A. On cubic stochastic operators and processes // Journal of Physics: Conferense Series. 697 (2016), 012017, doi 10.1088/1742-6596/697/1/012017.
8. Mamurov B.J., Rozikov U.A. andXudayarov S.S. Quadratic Stochastic Processes of Type (ст^ ). //
Markov Processes Relat. Fields 26, 915-933 (2020).
9. Мамуров Б.Ж., Жураева Н.О. О первом уроке по теории вероятностей // Вестник науки и образования. 96:18-2 (2020). С. 5-7.
10. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. Об одном квадратично стохастическом операторе с непрерывным временем // «The XXI Century Skills for Professional Activity» International Scientific-Practical Conference, Tashkent, mart 2021 у.С. 145-146.
11. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019, 2019. С. 197-199.
12. Расулов Х.Р. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа // «Комплексный анализ, математическая Физика и нелинейные уравнения» Международная научная конференция Сборник тезисов Башкортостан РФ (оз. Банное, 18 - 22 марта 2019 г.). С. 65-66
13. Rasulov Kh.R. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2019). С. 35-38.
14. РасуловХ.Р., Джуракулова Ф.М. Об одной динамической системе с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021). С. 19-22.
15. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020). С. 6-9.
16. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021). С. 23-26.
17. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики // Наука, техника и образование, 72:8 (2020). С. 29-32.
18. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об анализе некоторых невольтерровских динамических систем с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021). С.27-30.
19. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Роль математики в биологических науках // Проблемы педагогики № 53:2 (2021), С. 7-10.
20. Джуракулова Ф.М. О численных решениях непрерывного аналога строго невольтерровского квадратичного стохастического оператора // Вестник науки и образования, 102:24-3 (2020). С. 6-9.
21. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об одной динамической системе с непрерывным временем // «The XXI Century Skills for Professional Activity» International Scientific-Practical Conference, Tashkent, mart 2021 y. С.115-116.
22. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:6 (2019). С. 616-622.
23. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. On the spectrum of an Hamiltonian in Fock space. Discrete spectrum asymptotics // J.Stat.Phys. 127:2 (2007). С. 191-220.
24. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1 (2016). С. 48-61.
25. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2 (2016). С. 156-174.
26. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1 (2014). С. 1-22.
27. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56 (2015), 053507.
28. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:5 (2014). С. 619-625.
29. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // ТМФ. 161:2 (2009). С. 164-175.
30. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал, 52:2 (2011). С. 400-415.
31. Muminov M.I., Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. Topol., 17:1 (2011). С. 47-57.
32. Rasulov T.H. Investigations of the essential spectrum of a Hamiltonian in Fock space // Appl. Math. Inf. Sci. 4:3 (2010). С. 395-412.
33. Расулов Т.Х. Исследование существенного спектра одного матричного оператор // ТМФ, 164:1 (2010). С. 62-77.
34. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology, 25:1 (2019). С. 273-281.