Неосесимметричная задача дифракции цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи границы упругого полупространства Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК

Том 25. Выпуск 2.

УДК 539.3:534.26

DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-269-285

Неосесимметричная задача дифракции цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи границы упругого

полупространства1

1

Н. Н. Добровольский, Д. Ю. Ефимов, Л. А. Толоконников

Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Ефимов Дмитрий Юрьевич — аспирант, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: bogart.efimov@yandex.ru

Толоконников Лев Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: tolokonnikovla@mail.ru

В статье рассматривается задача дифракции цилиндрической звуковой волны на однородном изотропном упругом цилиндре с раднально-неоднородным упругим покрытием, расположенном вблизи границы полупространств в случае, когда линейный источник находится в плоскости, параллельной поверхности полупространства, и не является параллельным оси цилиндра. Полагается, что цилиндр находится в полупространстве, заполненном идеальной однородной жидкостью, граничащем с однородным упругим полупространством.

Для представления рассеянного поля в идеальной жидкости используется представление в виде интеграла Гельмгольца-Кирхгофа. Колебания неоднородного изотропного упругого тела описываются уравнениями линейной теории упругости. Для нахождения поля смещений в неоднородном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

На основе решения прямой задачи рассмотрена обратная задача об определении законов неоднородности покрытия, обеспечивающих наименьшее звукоотражение в заданном частотном диапазоне. Построен функционал, выражающий усредненную интенсивность рассеяния звука в заданном диапазоне частот. Построенный функционал записывается в виде двойного интеграла, оценить который аналитически не представляется возможным. Полученный интеграл рассчитан численно по квадратурной формуле на основе паралле-пипедальной сетки Коробова.

Представлены численные расчеты угловых характеристик рассеянного поля. Выявлено существенное влияние непрерывно-неоднородных покрытий на дифракционную картину рассеянного поля.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, однородный упругий цилиндр, неоднородное упругое покрытие, параллелепипедальные сетки Коробова.

Библиография: 26 названий.

1 Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства просвещения РФ соглашение № 07300033-24-01 от 09.02.2024 тема научного исследования «Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике»

Аннотация

Для цитирования:

Н. Н. Добровольский, Д. Ю. Ефимов, Л. А. Толоконников. Неосесимметричная задача дифракции цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи границы упругого полупространства // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 2, с. 269-285.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 2.

UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-269-285

A non-axisymmetric diffraction problem of cylindrical sound waves on an elastic cylinder with an inhomogeneous coating located near the boundary of an elastic half-space

N. N. Dobrovol'skii, D. Yu. Efimov, L. A. Tolokonnikov

Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Efimov Dmitrii Yurevich — postgraduate student, Tula State University (Tula). e-mail: bogart.efimov@yandex.ru,

Tolokonnikov Lev Alexeevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State University (Tula). e-mail: tolokonnikovla@mail.ru

Abstract

The article considers the problem of diffraction of a cylindrical sound wave on a homogeneous isotropic elastic cylinder with a radially inhomogeneous elastic coating located near the boundary of half-spaces in the case when the linear source is in a plane parallel to the surface of the half-space and is not parallel to the axis of the cylinder. It is assumed that the cylinder is located in a half-space filled with an ideal homogeneous liquid bordering on a homogeneous elastic half-space.

To represent the scattered field in an ideal liquid, a representation in the form of the Helmholtz-Kirchhoff integral is used. The oscillations of an inhomogeneous isotropic elastic body are described by the equations of the linear theory of elasticity. To find the displacement field in an inhomogeneous coating, a boundary value problem for a system of second-order ordinary differential equations is constructed.

Based on the solution of the direct problem, the inverse problem of determining the laws of coating heterogeneity that provide the least sound reflection in a given frequency range is considered. A functional is constructed expressing the average intensity of sound scattering in a given frequency range. The constructed functional is written in the form of a double integral, which cannot be evaluated analytically. The resulting integral is calculated numerically using a quadrature formula based on a parallelepipedal Korobov grid.

Numerical calculations of the angular characteristics of the scattered field are presented. A significant effect of continuously inhomogeneous coatings on the diffraction pattern of the scattered field has been revealed.

Keywords: diffraction, sound waves, uniform elastic cylinder, inhomogeneous elastic coating, parallelepipedal Korobov grids.

Bibliography: 26 titles.

For citation:

N. N. Dobrovol'skii, D. Yu. Efimov, L. A. Tolokonnikov, 2024. "A non-axisvmmetric diffraction problem of cylindrical sound waves on an elastic cylinder with an inhomogeneous coating located near the boundary of an elastic half-space" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 2, pp. 269-285.

1. Введение

Исследованию дифракции звука на бесконечных идеальных и упругих цилиндрах посвящено большое количество работ. Среди них в ряде работ рассматривались цилиндрические рассеиватели с покрытиями, позволяющими изменять звукоотражающие характеристики тела. Существуют различные виды покрытий, наносимых на твердые тела. Например, перфорированные покрытия [1], покрытия с протяженной реакцией [2], однородные упругого покрытия [3]. Покрытие в виде дискретной системы коаксиальных однородных упругих слоев было изучено в [4]. Значительный интерес представляют упругие непрерывно-неоднородные покрытия, позволяющие эффективно изменять звукоотражающие характеристики рассеяния тел. Дифракция звуковых волн на абсолютно жестком и однородном изотропном упругом сплошных цилиндрах с изотропными непрерывно-неоднородными покрытиями исследовалась в [5, 6].

В упомянутых выше работах в качестве источника первичного волнового возмущения использовалась плоская звуковая волна. Однако звуковую волну можно считать плоской, если расстояние от источника звука до рассеивателя значительно больше длины волны. На практике приходится учитывать криволинейность фронта падающей волны. Поэтому изучение дифракции звуковых волн, излучаемых цилиндрическими и сферическими источниками, представляет значительный интерес.

Рассеяние цилиндрической волны на упругом цилиндре рассматривалось в [7], а задача дифракции цилиндрических звуковых волн упругим цилиндром с непрерывно-неоднородным покрытием решена в [8]. В работах [7, 8], как и в большинстве известных работ по теории дифракции, где в качестве источника волнового возмущения выбирается линейный источник звуковых колебаний, полагается, что ось источника параллельна оси вращения цилиндрического рассеивателя, что значительно упрощает задачу. Дифракция звуковых волн, излучаемых произвольно расположенным линейным источником, на абсолютно жестком и однородном изотропном упругом с непрерывно-неоднородным покрытием сплошных цилиндрах рассматривалась в [9, 10].

Во всех перечисленных ранее работах полагалось, что цилиндрические тела располагаются в безграничном пространстве. Однако в реальности тела находятся в присутствии ограничивающих поверхностей, влияние которых на рассеянное акустическое поле является значительным. В работах [11, 12] методом мнимых источников решались задачи рассеяния плоской звуковой волны упругим цилиндром с радиально-неоднородным покрытием, расположенном вблизи идеальной (абсолютно жесткой или акустически мягкой) поверхности. В [1] рассматривался случай нормального падения, а в [12] - случай наклонного падения. В [13] с использованием интегрального уравнения Гельмгольца-Кирхгофа получено решение задачи дифракции звука на однородном изотропном упругом цилиндре, находящемся вблизи упругого или импедансного полупространства. Используя тот же подход, в [14] была рассмотрена задача дифракции цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства. При этом в [13, 14] источником первичного возмущения волновой системы являлся линейный источник звука, ось которого была параллельна оси цилиндрического рассеивателя.

В настоящей работе рассматривается задача дифракции цилиндрической звуковой волны на бесконечном однородном изотропном упругом цилиндре с непрерывно-неоднородным

изотропным упругим покрытием, расположенном вблизи границы однородного изотропного полупространства в случае, когда линейный источник находится в плоскости, параллельной поверхности полупространства и не является параллельным оси цилиндра.

2. Постановка задачи

Рассмотрим бесконечный однородный изотропный упругий цилиндр радиуса Ло, материал которого характеризуется плотностью ро и упругими постоянными Ао и ро- Цилиндр имеет покрытие в виде радиально-неоднородного изотропного упругого слоя с внешним радиусом Ль Свяжем с цилиндром прямоугольную декартову х, у, г и цилиндрическую г, г системы координат так, чтобы их координатные осп г совпадали с осью вращения цилиндра. Полагаем, что модули упругости А и р материала покрытия описываются дифференцируемыми функциями радиальной координаты г, а его плотность р - непрерывной функцией координаты г. Цилиндр с покрытием находится в идеальной жидкости с плотностью р* и скоростью звука с, граничащей с однородным изотропным упругим полупространством с плотностью р\ и упругими постоян ными А1 и р1. Ось цилиндра параллельна границе упругого полупространства и отстоит от неё на расстоянии I. В системе координат х, у, г граница упругого полупространства определяется уравнением у = —I, I > 0.

Пусть из жидкого полупространства на цилиндр с покрытием падает гармоническая цилиндрическая волна, излучаемая бесконечно длинным линейным источником, расположенным в плоскости, параллельной поверхности упругого полупространства, ось которого не является параллельной оси цилиндра.

Начало О координатных систем х, у, г и г, ф, г выберем на оси г так, чтобы из точки О выходил общий перпендикуляр к оси г и линейному источнику. Длину этого перпендикуляра обозначим через А. Ось у направим так, чтобы указанный перпендикуляр лежал на этой осп. Будем считать, что линейный источник пересекает положительную часть оси у в точке у = (1, ¿> 0. Осуществим параллельный перенос вдоль осп у до точки О прямой, на которой лежит линейный источник. Пусть полученная прямая будет общей осью г1 прямоугольной х1, у1, и цилиндрической г1, , г1 систем координат с началом в точке О. При этом ось у1 совместим с осью у. Обозначим через а угол между осями г и (рис. 1).

/

у

а

У

Рис. 1: Геометрия задачи.

Потенциал скорости падающей цилиндрической волны в системе координат х\, у\, запишется в виде

Фо = АНо (к Я) ехр (-ш£), Я = ^х\ + (у1 + й)2, (1)

где А - амплитуда волны; Но (%) — цилиндрическая функция Ганкеля первого рода нулевого порядка; к = ш/с - волновое число жидкости; ш - круговая частота; Ь - время. В дальнейшем временной множитель ехр(-будем опускать.

Определим акустическое поле в жидком полупространстве и поля смещений в однородном цилиндре и неоднородном упругом слое.

3. Аналитическое решение

Потенциал скорости полного акустического поля в жидком полупространстве будем искать в виде [13]

Ф = Фо + Фй1 + Ф^2, (2)

где ^ потенциал скорости волны, отраженной от границы полупространства, Ф^2 _ потенциал скорости рассеянной цилиндром волны (с учетом многократного переотражения между цилиндром и упругим полупространством).

Скорость частиц V и акустическое давление р в содержащей жидкости определяются формулами

V = Ф, р = гр*ш Ф.

Полное звуковое поле в жидком полупространстве удовлетворяет интегральному уравнению Гельмгольца-Кирхгофа [13, 14]

Ф(Я0 = AG (ri, rd) +

«(RbR) _ ^G(r )

on on

dQ. (3)

Здесь G (ri, rd) и G (Ri, R2) _ двумерная и трехмерная функции Грина для уравнения Гельм-гольца; R1 = (х1,у1, z\), r1 = (х1,у1, 0), r¿ = (0, d, 0); Q = Q1+ Q2, Q1 - поверхность упругого полупространства, Q2 _ внешняя поверхность покрытия цилиндра. При интегрировании по поверхности Qi точкa R2 находится на поверхности полупространства и дифференцирование выполняется по внешней нормали к поверхности Qi, а в интеграле по поверхности Q2 точк a R2 находится на поверхности цилиндра и дифференцирование происходит по внешней нормали Q2

Qi

множественные переотражения между цилиндрическим рассеивателем и упругой границей, воспользуемся подходом, предложенным в [13]. Будем использовать функцию Грина вида

G (Ri, R2) = Go (Ri, R2) + Gi (Ri, R2), (4)

где Gi (Ri, R2) ^ некоторая функция, представляющая акустическое поле, полученное при отражении первичной волны Go (Ri, R2) от поверхности Qi. Таким образом функция Грина (4)

Qi

функцией Грина полупространства.

Перепишем интегральное уравнение (3) в цилиндрической системе координат r,p,z. При этом сравнивая выражения (2) и (3) с учетом (4) заметим, что Фо = AGo (ri, r¿), Ф51 = = AG i (ri, rd).

Прямоугольные координаты x, y, z и xi, yi, Zi связаны между собой соотношениями

ж1 = х cos а + z sin а, у = yi, zi = —х sin а + z cos а. (5)

Воспользуемся интегральным соотношением [15]

оо

#о (к^х2 + (У1 + d)2^ = 1 J 1 exp [г (£ei + ■q\yi + d\)] d£, (6)

— oo

где ц = д/к2 — £2.

С учетом (1), (5) и (6) получаем для потенциала скорости падающей волны следующее выражение в цилиндрической системе координат г, р, z:

о

A Í 1

Фо = — -exp[¿{ (г cos р cos а + z sin а) + щ\r sin р + d\] d£. (7)

к J V

— о

При \£\ > к величина r¡ становится мнимой. Выбор знака корня л/к2 — из условия Im у ^ 0 обеспечивает ограниченность поля падающей волны Фо при r ^ Таким образом, t¡ = л/к2 — £2 при —к ^ £ ^ к и r¡ = гл/^2 — h2 при \£\ > к.

Заметим, что па поверхности цилиндра г sin р + d > 0. Будем иметь

о

A f exp(idri)

фо = -J —¡¡—av^z sin o.)exp \vr (( cos „ cos a + , sin „Ы. (8)

—о

Заменим в выражении, стоящем в (8), величины £ и ц величинами ft и 7 с помощью соотношений £ cos а = ft sin 7, ц = —ft cos 7. Тогда вместо (8) получим

о

A f exp(idri)

Фо = — -exp(í^z sin a)exp[—грг sm(^> — 7)] d£, (9)

—о

где ft = \/к2 — £2sin2a, 7 = arctg(—£ cos а/ц).

Подынтегральное выражение в (9) имеет вид плоской волны, падающей наклонно на цилиндр. При этом (£ sin а)2 + ft2 = к2. Используя известное разложение [16]

о

exp[±if3r sin(^> — 7)] = ^ (±1)raJra (ftr)exp[in (р — 7)], (10)

где Jn (х) - цилиндрическая функция Бесселя порядка п, получим разложение падающей цилиндрической звуковой волны по цилиндрическим волновым функциям

о

Фо = А Г exp (idr¡) exp (^ sin а) V (—1)га Jn (ftr)exp[in (<р — 7)] d(. (11)

ni TI

—о

Потенциал Ф^1 описывает волну, отраженную от плоскости. Он удовлетворяет уравнению Гельмгольца и граничным условиям на поверхности границы раздела жидкой и упругой среды, заключающимся в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений: при yi = —I:

д (Фо + Ф^1)

—шиУ1 =---, аУ1У1 = —шр* (Фо + Фй1), аХ1У1 = 0.

vyi

где иУ1 и &У1У1, оХ1У1 - нормальная компонента вектора смещения и компоненты тензора напряжений в упругом полупространстве в прямоугольной системе координат хх, ух, х\. Потенциал Ф^х в прямоугольной системе координат XI, ух, будет иметь вид

оо

A f di:

Ф51 = - Al (£)exp[¿(£xi + r¡(d - yi))] —,

■ J Г]

—оо

где Ах (£) = ехр (г21 г) АИХ (£). Коэффициент А1 (£) находится при решении задачи об отраже-

тикальной компонентами волнового вектора кх, в системе координат с началом отсчета, лежащим на границе упругого полупространства и приведен в работе [17]. В цилиндрической системе координат г, р, х потенциал Ф^х с учетом (10) примет вид

(эо _

Ф si = - I Ах (О exp('dv) exp (i£z sin a) V Jn (fir)exp[¿n (p + 7)]d£. (12)

ni r ^

Поле, рассеянное упругим цилиндром с радиально-неоднородным упругим покрытием, в соответствии с (2), (3) будем искать в виде интеграла Гельмгольца-Кирхгофа [18]

Ф<?2 (R) = J J

П2

'ф(Н2)«°<2£2> - (R,R)

on on

dÜ2. (13)

Здесь К - точка наблюдения в цилиндрической системе координат (г, р, г).

Трехмерная функция Грина (4) согласно [19] в цилиндрической системе координат имеет

вид

оо

Go (R, R2) = 8k Gо (h)dh,

—э

э

G1 (h) = Pih(z—Z2) ^ Pín(ip—ip2) ¡ Jn (kh,r) Hn (khГ2), r < Г2; GO (h) 6 ^ 6 l Jn (khV2) Hn (khr) , Г > Г2,

n=—00 4

Jn (khr2) Hn (khr) , Г > Г2, kh = \/k2 - h2. (14)

э

n 00

Gi (R, R2) = — / eíh(z—z2) Jn (khr)exp(¿np)x

—э

э

\m

'm

X (-l)mJm (khГ2) exp (—гт<р2) Qn+m (h) dh,

m=-rx

gs (h) = 1 J A2 (в, h) exp [г (2khl cos 9 + s0)| d6. (15)

r

где Hn (x) - цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка щ Г - контур Зоммер-фельда на комплексной плоскости в (пределы интегрирования от —ж/2 + гж до ж/2 — гж). A2 ( , h)

A2 ( , h)

женин плоской волны, направление распространения которой задается волновым вектором

n=

k2 = (khÍ/k, —khr]/k, h) — (kh sin в, —kh cos 9, h), в системе координат с началом отсчета, лежащим на границе упругого полупространства и приведен в работе [19].

Различные подходы к вычислению интегральных коэффициентов gs (h), входящих в (15), обсуждались в работах [14, 19].

Теперь воспользуемся результатами работы [10].

Согласно [10] компоненты вектора смещения в неоднородном упругом покрытии представляются в виде рядов Фурье

Uín -

— Ж

e*z sin а Е и1я (r,t)exp[iq (р - 7)j di,

— ж 4

/оо

e*z sin а £ U2q (r,0exp[iq (р - 7)] -оо 4

/оо

sin« £ U3q (r,0exp[iq (v - 7)] (Ц, (16)

^ q= — <x

— ж ^

где функции U\q (t,Í), U2q (г, i), (г, i) для каждого q и i являются решением следующей системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Ag U' + B, и; + C, И = 0, (17)

где И = (U\q (г, £), U2q (г, Í) , U3q (г, Í))T; Aq, Bq, CCq - матрицы третьего порядка с элементами, приведенными в [10].

Граничные условия на внешней поверхности покрытия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц неоднородной упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений при г = R\:

—шиг = vr, arr = —р, arp = 0, arz = 0, (18)

где ur и vr - нормальные компоненты векторов смещения и скорости; arr, arp, arz - компоненты тензора напряжений в упругом неоднородном покрытии.

Используя обобщенный закон Гука [20] с учетом (16), будем иметь

Е

сггг — i

J q= — (

— (Ж

(Г,

(А + 2/л) U[д (г, О + ^ (Uig (г, О + iqU2q (г, Í) + iirU3q (г, £) sin а)

фд (ip,z,0 di,

rip

_ q= — (

>, (r.í)+m, (,í) —

Фд (p,Z,Í)dÍ,

-Ж

Ж

<Jrz —

/ Ё ^ К (r, O + ^ (r, z) sin «] Ф, (<P, z, i) di,

—oo

q= — (

(19)

где Фд (<p, z, i) = exp {i [£zsina + q (<p — 7)]}.

Подставим в правую часть уравнения (2) формулы (11)-(13) и устремим точку наблюдения на поверхность Подставим в левую часть (3) полное акустическое поле, выраженное через нормальное напряжение на поверхности цилиндра с помощью второго граничного условия (18). Далее подставим функцию Грина (4) в виде суммы (14) и (15) в подынтегральное

выражение из (13), где следует воспользоваться нижней строкой формулы (14). При этом дифференцирование по нормали будем выполнять по переменной Г2- После проведения указанных операций следует положить г = Г2 = Кг- Далее воспользуемся первыми двумя граничными условиями (18). Подставим в подынтегральное выражение потенциал полного акустического поля и его нормальную производную на поверхности цилиндра, выраженные через компоненты вектора смещения при помощи условий равенства на ней нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости и равенстве нормального напряжения и акустического давления. С учетом выражений (16) осуществим интегрирование по поверхности цилиндра ((10-2 = К\(1р>2(1х2, р2 € [0, , г2 € (-те, го)). Осуществляя интегрирование по переменной г2 будем пользоваться следующими свойствами [21]

те

У ехр [ г (Н — £ 8ш а) г2] 1 г2 = 2тт5 (Н — £ 8т а),

—те

ь

У / (Н) 5 (Н — £ 8ша) 1Н = / (£ 8т а), Н € [а, Ь],

где 5 (х) - дельта-функция Дирака.

В результате получаем краевое условие для нахождения частного решения системы (17) при г = Кг

(Кг, О + Р^Иг, (Кг, О + РЧ1Ы (К, о + Р^щ, (Кг, £) +

те

+ ^ пи[п (К, О + Р^Ихп (К, О + Рэп^2п (К, О + Р4п^3п (К, £)] Р5дп = X, (О

д = —го,...го, д€ Z, £ = —го, ...го, £€ М,

(20)

где

Рг, =-[А (Кг)+2/х (Кг)] ,

р*ш

Р (Л =

А (Кг) 2 ^ №)

+ ш р*

Р4 = —

Кг

£ А ( Кг) вта

р*ш

рг}Л (/ЗКг)\

Р3 = —

дА ( Кг) Кгр*ш ''

г<г) (/ЗЛг) = Н (№), г<2> (№) = (рлг)

-V«) = —7

2ЛеХР(Ич) [(—1)' + А| (Оехр(й,„)].

т2г]рКгН (рКг)

= Кг

из третьего и четвертого граничных условий (18) с учетом (19)

гдиг, ( Кг, О + Кг^ (Кг, С) — ^ (Кг, С) = 0, и', (Кг, 0 + %Игд (Кг, £) вта = 0.

(21)

На внутренней поверхности покрытия при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, нормальные и тангенциальные напряжения

п= —те

при г = Ко:

иг = йог, и<р = Щр, иг = йог, &гг = &0гг, &гр = &0г р, ®гх = ®0гх, (22)

где иог, и,ор, иог и аот &огр &0гг — компоненты вектора смещения и компоненты тензора напряжений в однородном упругом цилиндре.

В результате преобразований, аналогичных приведенным в [10], из (22) получаем еще три условия, которым должна удовлетворять система (16) при г = Ко

(

^ + TgUg) = 0. (23)

о 1 ^Ч^Ч

' / r=Ro

T

Решений краевой задачи (17), (20), (21), (23) может быть найдено методом сплайн-коллокации [22] для q = —N, —N + 1,..., 0,1,...N — 1,N, где в качестве порядка усечения выбирается величина N = 2 [kRi] + 1, где [.] - целая часть числа. Используя найденные на поверхности рассеивателя значения функций U\q (Ri, £), Uoq (Ri, £), U3q (Ri, £), а также первые два граничные условия (18), получаем аналитическое описание потенциала скорости полного акустического поля и нормальной составляющей скорости на поверхности цилиндра.

Полное рассеянное поле определим выражением

Ф s = Ф Si + Ф S2, (24)

где Фsl определяется формулой (10), а Фs2 интегральным выражением (11).

Подставим в (13) первые два граничных условия (18), а также функцию Грина в виде (4), в которой первое слагаемой определяется нижней строчкой формулы (14), а второе слагаемое формулой (15). Интегрируя по поверхности цилиндра, получаем

' R Г ж

Ф S2 (R) = J exp (г£ г sin а) £ [WigU'ig (Ri, £) + W2qUiq (Ri, £) +

2

—oo

q= — ж

+WagUog (Ri, O + W4qU3q (Ri, O] x

ж

Hq (fr) exp (iqíp) + (—1)q ^ Jn (fr)exp(¿mp) gn+q (£sina)

'n '

n=

exp (—гqj)d£, (25)

где

W = *[A (Ri)+2^(Ri)] ff (//Ri), Woq = lR^3J'q (f Ri) + iuJq (f Ri)

р*Ш Rip*W

= -К^Ч №), ^ = - ^ (К ^ ^ №).

К\р*ш 4 4 р*ш 4

4. О решении обратной задачи

На основе прямой задачи можно определить такие законы неоднородности материала покрытия, для которых будем иметь наименьшее усредненное рассеяние звука в заданном диапазоне частот ) е [)1, )2] в фиксированной точке наблюдения (г,р, г) = (г*,р*, г*).

Будем считать, что функции р, А, у аппроксимированы многочленами второй степени

законы неоднородности трансверсально-изотропного упругого материала покрытия:

СМ = С° ■ С( г), (26)

X

где

с» = с(0) + C(1V + с(2)л (27)

где ("0 - характерная величина материала покрытия. Здесь и далее иод символом г] подразумевается каждая из величин р, А, ß.

В качестве меры звукового рассеяния введем величину I (ш) = (ш) /А]2 - интенсивность звукового рассеяния. Построим функционал вида

Ш2

Ф[p,A,ß] = )J I(u)du, (28)

Ш!

определенный на классе квадратичных функций (26) и выражающий усредненную интенсивность рассеяния звука в заданном диапазоне частот.

Для построенного функционала найдем такие значения коэффициентов функций (27), при которых он достигает минимального значения. Для функций (27), определенных на отрезке [ Ro,Ri], введем ограничения

CiC < СМ , (29)

где Сц, С2С; - некоторые положительные константы.

Геометрически каждое из неравенств (29) задает в прямоугольной системе координат с осью абсцисс г и осью ординат f (г) бесконечное множество кривых, лежащих в прямоугольной области

g( С(0), С(1), С(2)) = {(г, /): Ro ^r^Ri, Ск ^f^C2C} .

В области G каждая функцпя f (г) единственным об-разом определяется тремя точками

GoC (Ro, foc), GK (r, fiC), G2C (Ri, /2с) где r = (Ro + Ri) /2, fqC e [CK, C2C] (q = 0,1, 2).

G0 G1 G2

нейных алгебраических уравнений с неизвестными £(o), £(i), ((2). Решая полученную систему, находим

C(o) = [focRir (г - Ri) + ficRiRo (п - Ro) + f2CrRo (Ro - f)] /Ас, C(i) = [Zoe (Ri - r2) + hс (Ro - r2) + /2 С (r2 - Ro)] /Ас, C(2) = [foС (r - Ri) + /ic (Ri - Ro) + f2C (Ro - f)] /Ас,

А c = ( Ri - Ro) (RiRo - Rif - Rof + f2) . (30)

Выбирая из отрезка [ Ci£, C2C] значения ординат foc;, fi£, /2^ и вычисляя с помощью соотношений (30) значения коэффициентов £(o), £(i), ((2), получаем квадратичные законы неоднородности материала покрытия. При этом не все параболические законы подлежат рассмотрению. Если выполняется условие

Ro < -с(i)/ (2с(2)) < Ri,

то это означает, что абсцисса вершины параболы принадлежит отрезку [ Ro, Ri]. В этом случае параболу следует рассматривать только в том случае, если ордината ее вершины принадлежит отрезку [ Ci£, С2С], то есть, когда выполняется условие

Cic < C(o) - C(i)2/ (4С(2)) ^C2C. (o), (i), (2)

(29) и минимизирующих функцию

$(p(o),p(i),p(2),A(o) ,A(i),A(2),ß(o),ß(i),ß(2)) ^ min, (31)

может быть осуществлен с помощью алгоритма имитации отжига аналогично тому, как показано в [23].

Введем для ординаты ( ц = 0,1, 2) точки Сд^ на отрезке [Сг^ ,С2С, ] равномерную сетку

/(дС) = Сц + 1дс к. Здесь - номер узла сетки, Н = (С2^ — Сг^) /и- шаг сетки, п - количество

[ Сг , С2 ]

Алгоритм имитации отжига относится к алгоритмам типа случайного поиска и сводит

задачу поиска минимального значения к некоторому перебору значений Ф на сетке /(дС) 5 чт0 приводит к необходимости вычисления большого числа интегралов вида

Ф

те

У У Р (£,ш)К£Кш. (32)

Аналитическая запись подынтегральной функции Р (£, ш) не приводится для краткости записи и достаточно очевидна исходя из формул (12), (25), (28).

Оценить интеграл (32) аналитически не представляется возможным, и он подлежит только

менен прием обрезания бесконечных пределов [24]. Подынтегральная функция Р (£, ш) определяется дискретным набором значений, вычисляемых в заданных точках (£*,ш*) при решении краевой задачи (17), (20), (21), (23). Вычислительный процесс решения построенной краевой задачи является достаточно трудоемким, что приводит к необходимости выбора наиболее оптимального метода численного интегрирования для интегралов (32): имеющего достаточно высокую точность и требующего как можно меньшего числа узлов (£*,ш*). В качестве такого метода может быть использована квадратурная формула на основе параллепипедальной сетки Коробова [25, 26].

5. Численные исследования

На основе полученного решения были проведены расчеты угловых характеристик рассеянного акустического поля |Ф^ (р) /А| в дальней зоне при г* = 100 в плоскости г* = 0.

Полагалось, что алюминиевый цилиндр (ро = 2.7 ■ 103 кг/м3, Ао = 5.3 ■ 10го Н/м2, ^о = 2.6 ■ 10го Н/м2) радиуса Ко = 0.8 с неоднородным упругим покрытием толщиной 0.2 располагается в полупространстве, заполненном водой (р* = 103 кг/м3, с = 1485 м/с) и от-

= 1 Кг

рактеризуется параметрами: рг = 7.85 ■ 103 кг/м3, Аг = 1.2 ■ 10гг Н/м2, ^г = 7.9 ■ 10го Н/м2 (сталь). Рассматривалось как однородное полимерное покрытие с характерной плотностью

ро = 1.07 ■ 103 кг/м3 и характерными модулями упругости Ао = 3.9 ■ 109 Н/м2, ^Р = 9.8 ■ 108 2

нялпсь по законам:

Р = Р° ■ Кг), А = Ао, » = /,

где

/ ( г) = ( Кг — г) / ( Кг — Ко) + 0.5, Ко < г < Кг.

Полагалось, что линейный источник отстоит от центра основной координатной системы ( = 1 Кг

соответствующей волновому размеру тела кКг = 5.

На рис. 2-3 представлены диаграммы направленности рассеянного поля в области р € [0, ж]. На лучах диаграмм отложены значения безразмерной амплитуды рассеяния, вычисленной для соответствующих значений угла р. Штриховые линии соответствуют цилиндру с однородным покрытием, сплошные линии - цилиндру с неоднородным покрытием.

На рис. 2 и 3 приведены кривые, рассчитанные для случаев, когда а = 0и а = ^/4 соответственно.

тг/2

''К / ч ?Г \ л/4

/\ \г \ / \ \ \ 1 VT \ / / __ ^ 1 / / 'У \

/ W \ \ \ \

/ /\

/ К 1 , / \ чУ \ / / ^ / \ / \У ^ \ . 1 \ \ \

2-Ю"2

Рис. 2: Диаграммы направленности рассеянного поля, а = 0.

/ \ / \ I \ л/2 / \

Рис. 3: Диаграммы направленности рассеянного поля, а = п/4.

Проведены расчеты параметров в законах неоднородности (27), обеспечивающих минимальное рассеяние звука при угле поворота источника а = п/4.

В ограничениях (29) полагалось = 0.5, С2£ = 1.5 для всех функций £ = р, \,р.

При расчетах использовались следующие параметры алгоритма имитации отжига [23] -шаг сетки h = 0.125, размерность пространства параметров - w = 9, диапазон изменения температуры кристаллизации процесса [Tmin,Tmax] = [5.9,10]. Для квадратурной формулы на основе параллепипедальной сетки Коробова при вычислении интегралов (32) задавались параметры [26]: а = 196, N = 513.

Законы неоднородности материала покрытия, обеспечивающие наименьшую интенсив-

иость рассеяния звука цилиндром с покрытием в фиксированной точке наблюдения (r*,p*, z*) = (100, ^/2, 0) в частотном диапазоне, определяемым изменением волнового размера цилиндра в промежутке 4 ^ kRi ^ 5 имеют вид

р = 1.07 ■ 103 ■ 0.5, А = 3.9 ■ 109 (-12.5г2 + 27.5т - 13.5) , V = 9.8 ■ 108 ■ (-18.75Г2 + 34.375г - 15) . (33)

Для оптимальных законов неоднородности (33) значение функционала Ф = 14.93 ■ 10-3. Для оценки эффективности покрытия оптимальными звукоотражающими свойствами было рассчитано значение функционала Ф для упругого цилиндра без покрытия, равное 20.8 ■ 10-3.

6. Заключение

В настоящей работе получено строгое аналитическое решение задачи дифракции цилиндрической звуковой волны на бесконечном однородном изотропном упругом цилиндре с непрерывно-неоднородным изотропным упругим покрытием, расположенном вблизи границы однородного изотропного полупространства в случае, когда линейный источник находится в плоскости, параллельной поверхности полупространства и не является параллельным оси цилиндра.

На основе полученного аналитического решения проведены численные расчеты, показывающие возможность изменять звукоотражающие свойства упругих цилиндрических тел с помощью непрерывно-неоднородных покрытий.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов В. П. Анализ поля дифракции на цилиндре с перфорированным покрытием // Акустический журн. 2006. Т. 52. № 6. С. 791-798.

2. Бобровницкий Ю.И. Нерассеивающее покрытие для цилиндра // Акустический журн. 2008. Т. 54. № 6. С. 879-889.

3. Косарев О. И. Дифракция звука на упругой цилиндрической оболочке с покрытием // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. Т. 46. № 1. С. 34-37.

4. Ларин Н.В., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.

5. Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

6. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265-274.

7. Lee F. A. Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder // Acústica. 1963. Vol. 13, № 3. P. 26-31.

8. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упру-

гом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22. Вып. 1. С. 460-472.

9. Корсуиский C.B. Неосесимметричная задача дифракции цилиндрических звуковых волн на абсолютно жестком цилиндре // Акустический журн. 1988. Т. 34. № 3. С. 481-484.

10. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Рассеяние упругим цилиндром с неоднородным покрытием звуковых волн, излучаемых произвольно расположенным линейным источником // Математическое моделирование. 2024. Т. 36. №1. С. 71-84.

11. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 276-289.

12. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием, находящимся вблизи плоской поверхности // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21. Вып. 4. С. 369-381.

13. Шендеров Е. Л. Дифракция звука на упругом цилиндре, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства // Акустический журн. 2002. Т. 48. № 2. С. 266-276.

14. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства // Прикладная математика и механика. 2021. Т. 85. Вып. 6. С. 779-791.

15. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т. 2. М.: Мир, 1978. 557 с.

16. Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

17. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.

18. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

19. Ефимов Д. Ю. Дифракция звука от точечного источника на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи упругой границы // Чебышевский сборник. 2023. Т. 24. Вып. 5. С. 289-306.

20. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

21. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

22. Завьялов Ю.С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980, 352 с.

23. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Моделирование неоднородного анизотропного покрытия упругого цилиндра, обеспечивающего наименьшее отражение звука // Чебышевский сборник. 2022. Т. 23. Вып. 1. С. 293-311.

24. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Физматлит, 1978. 512 с.

25. Коробов H. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288 с.

26. Добровольский Н.Н., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А., Ларин Н.В. О применении теоретико-числовых сеток в задачах акустики // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22. Вып. 3. С. 368-382.

REFERENCES

1. Ivanov, V. P. 2006. "Analysis of the field diffracted by a cylinder with a perforated coating", Acoustical Physics vol. 52, no 6, pp. 683-690.

2. Bobrovnitskii, Yu.I. 2008. "A nonscattering coating for a cylinder", Acoustical Physics, vol. 54, no 6, pp. 758-768.

3. Kosarev, O. I. 2012. "Diffraction of sound by an elastic cylindrical shell with a coating", Probl. Mashinostr. Nadezh. Mashin, vol. 46, no 1, pp. 34-37, fin Russian].

4. Larin, N.V. k Tolokonnikov, L.A. 2015. "The scattering of a plane sound wave by an elastic cylinder with a discrete-layered covering", J. Appl. Math. Mech., vol. 79. no 2, pp. 164-169.

5. Romanov, A.G. k Tolokonnikov, L.A. 2011. "The scattering of acoustic waves by a cylinder with a non-uniform elastic coating", J. Appl. Math. Mech., vol. 75, no. 5, pp. 595-600.

6. Tolokonnikov, L.A. 2013. "Scattering of an obliquely incident plane sound wave by an elastic cylinder with a non-uniform covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2-2,

pp. 265-274, fin Russian].

7. Lee F. A. 1963. "Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder", Acustica, vol. 13, no. 3. pp. 26-31.

8. Tolokonnikov, L.A. k Efimov, D.Yu. 2021. " Diffraction of cylindrical sound waves by an elastic cylinder with radially inhomogeneous coating", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 1, pp. 460-472, fin Russian].

9. Korsunskii, S.V. 1988. "The non-axisvmmetric diffraction problem of cylindrical sound waves on an absolutely rigid cylinder", Akust. Zhurnal, vol. 34, no. 3, pp. 481-484, fin Russian].

10. Tolokonnikov, L.A. k Efimov, D.Yu. 2024. "Scattering by an elastic cylinder with an inhomogeneous coating of sound waves emitted by an arbitrarily located linear source", Mathematical modeling, vol. 36, no. 1, pp. 71-84, fin Russian].

11. Tolokonnikov, L.A. 2018. "Diffraction of a plane sound waves by an elastic cylinder with an non-uniform coating situated near to a flat surface", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki , no. 9, pp. 276-289, fin Russian].

12. Tolokonnikov, L.A. k Efimov D.Yu. 2020. "Scattering of a plane sound waves by an elastic cylinder with an non-uniform coating situated near to a flat surface", Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 369-381, fin Russian].

13. Shenderov, E. L. 2002. "Diffraction of sound by an elastic cylinder near the surface of an elastic halfspace", Acoustical Physics, vol. 48, no. 2, pp. 225-234.

14. Tolokonnikov, L.A. k Efimov, D.Yu. 2021. "Diffraction of sound waves at an elastic cylinder with an inhomogeneous coating in the vicinity of the boundary of an elastic half-space", Mechanics of Solids, vol. 56, no. 8, pp. 1657-1667.

15. Felsen, L.B., Marcuvitz, N. 1973. "Radiation and scattering of waves", Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.

16. Ivanov, E. A. 1968. "Diffraction of electromagnetic waves by two bodies", Nauka i tekhnika, Minsk, 584 p., fin Russian].

17. Brekhovskikh, L.M. 1973. "Waves in Layered Media", Nauka, Moscow, 344 p., fin Russian].

18. Shenderov, E.L. 1972, "Wave problems of underwater acoustics", Sudostroenie, Leningrad, 352 p. fin Russian].

19. Efimov, D.Yu. 2023, "Diffraction of sound from a point source on an elastic cylinder with an inhomogeneous coating located near the elastic boundary", Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 289-306, fin Russian].

20. Nowacki, WT. 1973. "Teoria sprezvstosci", PWN, Warszawa.

21. Kurant, R. 1964. "Partial Differential Equations", Mir, Moscow, 830 p., fin Russian].

22. Zavvialov, Yu. S., Kvasov, B. I. k, Miroshnichenko, V. L. 1980. "Spline function methods", Nauka, Moscow, 352 p., fin Russian].

23. Tolokonnikov, L. A. k, Efimov D.Yu. 2022. "Modeling the inhomogeneous anisotropic coating of an elastic cylinder that provides minimal sound reflection", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 1, pp. 293-311, fin Russian].

24. Kalitkin, N.N. 1978. "Numerical methods", Fizmatgiz, Moscow, 512 p., fin Russian].

25. Korobov, N.M. 2004. "Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize fNumber-theoretic methods in approximate analysis]", 2nd ed., MTSNMO, Moscow, Russia.

26. Dobrovol'skii, N.N., Skobel'tsvn, S. A., Tolokonnikov, L. A., Larin, N.V. 2021. "About application of number-theoretic grids in problems of acoustics", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 3, pp. 368-382, fin Russian].

Получено: 04.02.2024 Принято в печать: 28.06.2024