CC BY
26
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 1.
УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-293-311
Моделирование неоднородного анизотропного покрытия упругого цилиндра, обеспечивающего наименьшее отражение
звука1
Л. А. Толоконников, Д. Ю. Ефимов
Толконников Лев Алексеевич — доктор физико-математических наук, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected]
Ефимов Дмитрий Юрьевич — аспирант, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected]
Аннотация
В статье рассматривается математическое моделирование неоднородного анизотропного покрытия упругого цилиндра, обеспечивающего наименьшее отражение при дифракции гармонической цилиндрической звуковой волны. Полагается, что упругий цилиндр является однородным и изотропным, материал покрытия является радиально-неоднородным и трансверсально-изотропным, законы неоднородности материала покрытия описываются непрерывными функциями, тело помещено в безграничную идеальную жидкость.
Получено аналитическое решение прямой задачи дифракции. Определены рассеянное акустическое поле и волновые поля в цилиндре и его покрытии.
Волновые поля в содержащей среде и однородном изотропном цилиндре описываются разложениями по цилиндрическим волновым функциям, а для нахождения полей смещений в неоднородном анизотропном слое построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Получено аналитическое решение обратной задачи дифракции об определении законов неоднородности материала покрытия, обеспечивающих минимальное рассеяние звука в заданном диапазоне частот при фиксированном угле наблюдения, а также в заданном секторе наблюдения при фиксированной частоте. Построены функционалы, выражающие усредненные интенсивности рассеяния звука в заданных диапазоне частот и угловом секторе наблюдения. Минимизация функционалов осуществлена с помощью алгоритма имитации отжига.
Представлены результаты численных расчетов частотных и угловых зависимостей интенсивности рассеянного акустического поля в дальней зоне при оптимальных параболических законах неоднородности.
Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, однородный упругий цилиндр, неоднородное анизотропное покрытие.
Библиография: 34 названий. Для цитирования:
Л. А. Толоконников, Д. Ю. Ефимов. Моделирование неоднородного анизотропного покрытия упругого цилиндра, обеспечивающего наименьшее отражение звука // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 1, с. 293-311.
1 Исследование выполнено за счет гранта российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/ project/18-11-00199/
294
il. A. Tojiokohhhkob, K). EcJmimob
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 1.
UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-293-311
Modeling the inhomogeneous anisotropic coating of an cl^stiic cylinder that provides minimal sound reflection2
L. A. Tolokonnikov, D. Yu. Efimov
Tolokonnikov Lev Alexeevich — doctor of physical and mathematical sciences, Tula State
University (Tula).
e-mail: [email protected]
Efimov Dmitrii Yurevich — postgraduate student, Tula State University (Tula). e-mail: [email protected]
Abstract
The article deals with the mathematical modeling of an inhomogeneous anisotropic coating of the elastic cylinder, providing the least reflection upon diffraction of a harmonic cylindrical sound wave. It is assumed that the elastic cylinder is homogeneous and isotropic, the coating material is radially inhomogeneous and transversely isotropic, the laws inhomogeneities of the coating material are described by continuous functions, the body is placed in a boundless ideal fluid.
An analytical solution of the direct diffraction problem is obtained. The scattered acoustic field and wave fields in the cylinder and its coating are defined.
Wave fields in a containing medium and a homogeneous isotropic cylinder are described by expansions in cylindrical wave functions. A boundary value problem is constructed for a system of ordinary differential equations of the second order for finding displacement fields in an inhomogeneous anisotropic layer.
An analytical solution of the inverse problem of the diffraction about the determination of the inhomogeneity laws of the coating material, ensuring the minimum sound scattering in the specified frequency range at a fixed angle of observation and also at a given observation sector at a fixed frequency is obtained. The functionals expressing the average intensity of sound scattering in given frequency range and angular sector of observation are built. Minimization of the functionals are implemented with the help of the burnout simulation algorithm.
The results of numerical calculations of frequency and angular dependencies of the intensity of the scatter acoustic field in the far zone at the optimal parabolic inhomogeneity laws are presented.
Keywords: diffraction, sound waves, uniform elastic cylinder, inhomogeneous anisotropic coating.
Bibliography: 34 titles. For citation:
L. A. Tolokonnikov, D. Yu. Efimov, 2022, "Modeling the inhomogeneous anisotropic coating of an elastic cylinder that provides minimal sound reflection", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 1, pp. 293-311.
2Supported by the Russian Science Foundation grant No. 18-11-00199, https://rscf.ru/project/18-ll-00199/
1. Введение
Влияние покрытий цилиндрических тел на их звукоотражающие свойства исследовалось в ряде работ. Решены прямая [1] и обратная [2] задачи рассеяния плоской волны на однородном изотропном упругом цилиндре с однородной упругой облицовкой. Дифракция плоской звуковой волны на упругой цилиндрической оболочке с однородным упругим покрытием исследована в [3]. Рассеяние плоской звуковой волны однородным упругим цилиндром, покрытым вязкоупругим слоем и находящимся в вязкой жидкости изучено в [4]. Прямая и обратная задачи дифракции плоской звуковой волны на цилиндре с перфорированным покрытием решены в [5]. В [6, 7] рассматривается задача о нерассеивающем покрытии для цилиндра, делающее его акустически прозрачным. В [8, 9] получены решения задач о рассеянии плоских и цилиндрических звуковых волн жестким цилиндром с непрерывно-неоднородным упругим покрытием. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с непрерывно-неоднородным покрытием рассмотрено в [10], а с дискретно-слоистым покрытием — в [11]. Дифракция цилиндрических и сферических звуковых волн на упругом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием исследована в [12, 13]. Рассеяние звука на термоупругом цилиндре с радиально-неоднородным термоупругим покрытием изучено в работах [14], 15]. При этом в [15] рассмотрены как прямая задача дифракции, так и обратная задача об определении оптимальных законов неоднородности материала покрытия, обеспечивающих наименьшее звукоотражение. В [16, 17] проведено математическое моделирование радиально-неоднородного изотропного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами. В [18] получено приближенное аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на однородном упругом цилиндре, имеющем цилиндрическую полость и радиально-неоднородное изотропное покрытие, на основе которой рассмотрена обратная задача об определении законов неоднородности покрытия, обеспечивающих минимальное звукоотражение. Решены прямая [19] и обратная [20] задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с непрерывно-неоднородным упругим покрытием, находящемся вблизи плоской идеальной поверхности (абсолютно жесткой и акустически мягкой). Дифракция цилиндрической звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным изотропным упругим покрытием, находящемся вблизи поверхности упругого полупространства исследована в [21].
Задачи дифракции звуковых волн на упругом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием в плоских волноводах с акустически мягкими и абсолютно жесткими границами решены в [22, 23]. В [24] исследовано рассеяние звука абсолютно жестким цилиндром с радиально-неоднородным упругим покрытием в плоском волноводе, одна граница которого является абсолютно жесткой, а другая — акустически мягкой.
В [25 ] изучено рассеяние звуковых волн, излучаемых линейным источником, абсолютно жестким цилиндром с непрерывно-неоднородным изотропным покрытием в плоском волноводе, когда одна из границ волновода является идеальной (абсолютно жесткой или акустически мягкой), а другая сколь угодно мало отличается от идеальной. В [26, 27] решены обратные задачи дифракции звука об определении оптимальных квадратичных и кубических законов неоднородности изотропного покрытия упругого цилиндра в плоских волноводах с акустически мягкими и абсолютно жесткими границами, обеспечивающих наименьшее рассеяние звука в заданном сечении волновода.
В настоящей работе рассматривается математическое моделирование радиально-неодно-родного трансверсально-изотропного покрытия упругого цилиндра, обеспечивающего наименьшее отражение звука при дифракции гармонической цилиндрической звуковой волны.
2. Постановка задачи
Рассмотрим однородный изотропный упругий цилиндр бесконечной длины и радиуса г2, материал которого характеризуется плотностью ро и упругими постоянными Ао и ^о- Цилиндр покрыт упругим радиально-неоднородным траневереально-изотопным слоем с внешним радиусом п. Цилиндрическая система координат г, р, z выбрана таким образом, что координатная ось z совпадает с осью вращения цилиндра и является осью цилиндрической анизотропии материала покрытия. Полагаем, что модули упругости \ijki материала покрытия описываются дифференцируемыми функциями радиальной координаты г, а его плотность р — непрерывной функцией координаты г: \ijki = Kjki(r), р = р(0-
Окружающая цилиндрическое тело жидкость является идеальной и характеризуется плотностью р\ и скоростью звука с.
Пусть из внешних) пространства на цилиндр с покрытием падает монохроматическая цилиндрическая волна. Падающая волна излучается бесконечно длинным цилиндрическим источником, на поверхности которого возбуждена одна из мод и ось которого параллельна оси цилиндра. В системе координат г, р, z ось источника имеет координаты (го,ро) (рис. 1). Выберем дополнительную цилиндрическую систему координат R, в, z, связанную с источником так, чтобы полярные оси основной и дополнительной систем координат были одинаково ориентированы. Тогда потенциал скоростей гармонической звуковой волны, излучаемой цилиндрическим источником порядка т, может быть представлен в виде
Фо = АНт (kR) exp [i (тв - wt)],
Где а — амплитуда волны; к = ш/с — волновое число жидкости; ш — круговая частота; Нт (х) — цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка т\ R — расстояние между источником и точкой наблюдения;
R = [г2 + г^ - 2гго cos (р - <^о)]1/2 .
Рис. 1: Геометрия задачи
Структура цилиндрических волн существенно сложнее структуры плоских волн. Простейшая монохроматическая симметричная цилиндрическая волна, излучаемая бесконечно длинным линейным источником, параллельным оси г, описывается с помощью цилиндрической функции Ганкеля первого рода нулевого порядка. Потенциал скоростей такой волны представляется в виде
Ф0 = АН0 (к К) ехр (-гшг).
В дальнейшем временную зависимость ехр(—шЬ) опускаем.
Определим акустическое поле, рассеянное телом, и поля смещений в однородном цилиндре и неоднородном трансверсально-изотропном слое. На основе решения прямой задачи найдем решение обратной задачи дифракции об определении законов неоднородности материала покрытия, обеспечивающих минимальное рассеяние звука в заданном диапазоне частот при фиксированном угле наблюдения, а также в заданном секторе наблюдения при фиксированной частоте.
3. Аналитическое решение прямой задачи
В рассматриваемой постановке задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты г.
Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [28]
ДФ + к2Ф = 0,
где Ф — потенциал скорости полного акустического поля.
При этом скорость частиц V и акустическое давление р в жидкости определяется по формулам
V = grad Ф, р = гр\шФ.
В силу линейности рассматриваемой задачи потенциал Ф представим в виде
Ф = Фо + Ф3,
где Ф5 — потенциал скорости рассеянной волны.
Используя теорему сложения для цилиндрических волновых функций, представим потенциал скорости падающей волны в основной системе координат в виде [29]
те
Фо = А(-1)техр(гт^о) ^ (-1)" ехр[т(р - ^>о)]х
п=-те (кго)Зп(кг), г < го;
3 т-п (кго)Нп(кг), г > Го,
где 3 п (х) — цилиндрическая функция Бесселя порядка п. Учитывая, что [29]
З-п (х) = (-1)п Зп (х) , Н-п (х) = (-1)п Нп (х), из (3.1) для симметричной цилиндрической волны получаем разложение
,т, л ^ I м/ Нп (кго) Зп (кг), г<го;
Фо = А ^ ехр [гп(„ - ^ (кГо) Нп (И , г > ^
п=-те 4
С учетом условий излучения на бесконечности [28] потенциал скорости рассеянной волны Ф5, являющийся решением уравнения Гельмгольца, будем искать в виде
те
Фз = ^ Апнп (кг)ехр[т (<р - ^о)] . (3.2)
(3.1)
п= — оо
Рассмотрим уравнения, описывающие распространение малых возмущений в однородном упругом цилиндре.
Представим вектор смещения частиц в однородном изотропном упругом цилиндре uo в виде
и0 = grad L + rot Ф,
где L и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения. В случае установившегося режима колебаний эти потенциалы являются решениями скалярного и векторного уравнений Гельмгольца [28]
A L + kfL = 0, ДФ + к2тФ = 0,
где к = ш/С[ и кт = ш/ст — волновые числа продольных и поперечных упругих волн; ci = л/( А0 + 2ц0) /р0 и ст = \Jф0/р0 — скорости продольных и поперечных волн.
Так как упругое тело находится в условиях плоской деформации, то U0 ■ ez = 0, где ez —
Ф = Ф (г, ф) ez. Ф
относительно функции Ф ( г, ф)
ДФ + кТФ = 0.
L Ф
те
L = BnJn (кг) exp [iп (ф ф0)], (3.3)
п=-те те
Ф= CnJn (ктг) exp [гп (ф — ф0)]. (3.4)
п=-те u0
L Ф
dL 1 д Ф 1 dL д Ф
и0г = ^—I—т—, и0ш = -т;---тг-.
dr г дф г дф дг
Соотношения между компонентами тензора напряжений U0ij и вектора смещения U0 в однородном изотропном цилиндре имеют вид
00гг = А0
dr г \ дф
ди,0г , 1 (ди0<п , \
+4 ж+и0г)
, п дь,0г дг
А0 + 2^0 (ди0,р \ . ди,0г
&0<р<р = - ^--+ и0г I + А0^—,
г \ дф J дг
(1 ди,0г , ди01р U0lo \
&0rip = ^0--д--1------ 1
д ф д
Выразим компоненты тензора напряжений U0m &0пр через функции L и Ф. Учитывая, что
A L = —k^L, получим
X ,Тг о ((¡TL 1 дТФ 1 дФ\
^0гг = —А0кг L + 2^0 тт-у + ---Тт—
\ дгт г дгдф гт дф )
— Р-0
2 д2Ь
г дгдр
1 дЬ
г2 др
д2Ф(1) 1 д2Ф 19 ф дг2 г2 др2 г дг
У
Уравнения движения упругого неоднородного слоя в случае установившихся колебаний описываются общими уравнениями движения сплошной среды [30], которые в цилиндрической системе координат имеют вид
да„ дг
+ -
1 да,
гр
да,
гр
г др
1 да,
+
(7 гг (7 (
рр
ш2риг,
2
(3.5)
дг
РР , 2 2
+---+ _а — -ш рПр,
г др г
компоненты
где иг, п,р — компоненты вектора смещения и частиц неоднородного слоя; а^ тензора напряжений в неоднородном слое; р — р (г).
Для трансверсально-пзотропного покрытия цилиндра осью упругой симметрии является всякая прямая, проходящая через ось анизотропии и перпендикулярная к ней. При этом поверхностями изотропии являются цилиндрические поверхности, а тензор модулей упругости Л в соответствии с нотацией Фойгта [31] может быть записан в матричной форме
Л
( А 11 А12 А12
А12 А22 А23
А12 А23 А22
0 0 0
0 0 0
\ о о о
0 0 0
2 (А22 — А23) 0 0
0 0 0 0
А55 0
0 0 0 0 0
А55 /
гДе — модули упругости материала покрытия в двухиндекспом обозначении, где г, к — — 1, 2,..., 6. При этом значениям индексов 1, 2, 3, 4, 5, 6 отвечают соответственно пары индексов 11, 22, 33, 23, 13, 12.
В соответствии с обобщенным законом Гука [30] компоненты тензора напряжений ац связаны с компонентами тензора деформаций соотношениями
агг — ХцЕгг + А12 £рр, р — 2^55^г р, ОРР —
где
диг
£гг —
£гр — 2 ( " ' +
1 диг чг др
дир
Пр
), ^ — + .
(3.6)
(3.7)
дг 2 \ г др дг г ) г \ др
и
функциями координаты р с периодом 2— Поэтому функции иг, ир будем искать в виде рядов Фурье
те те
иг — ^ Иы (г) ехр [гп (р - ро)} , ир — ^ И2п (г)ехр[гп (р - ро)}. (3.8)
п=-те п=-те
Подставляя разложения (3.6) в уравнения (3.5) с учетом (3.7) и (3.8), получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций И1п (г) И2п (г) для каждого п
АпиП + В «иП + С «и«
0,
где Ип — ( И1п (г) ,И2п (г))Т] Ап — (а.Пг ¿)2х2> второго порядка с элементами
Вп — (Ьпг^2х2> Сп — (спц)
п 2 2
(3.9)
матрицы
ап11 — XllT2, ап12 — ап21 — ° ап22 — А55Г^
ЬП11 = ХцГ2 + А11 Г, ЬП12 = ЬП21 = in (А12 + А55) г, Ьп22 = А^г2 + А55Г,
Сп11 = Ш2Г2р - П2А55 + А12Г - А22, Сп12 = in (Х22Г - А55 - А22) ,
Сп21 = in (У55Г + А55 + А22) , Сп22 = U12T2р - П2А22 - А55Г - А55.
Здесь штрихи означают дифференцирование по аргументу.
Коэффициенты Ап, Вп, Сп разложений (3.2) — (3.4) и функции U^n, U2n из разложений (3.8) подлежат определению из граничных условий.
Граничные условия на внешней поверхности цилиндрического слоя заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения: при г = r1 - iшиг = vr: arr = -'[), arp = 0.
На внутренней поверхности слоя при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, нормальные и тангенциальные напряжения:
при г = г2 иг = Up = иор, о„ = aorr, arp = a0rp-
Из условия равенства нормальных скоростей при г = г 1 неодим коэффициенты Ап, выраженные через и1п (г)
Аа тпкЗп (к^ 1
) + i ш иы ( г 1) п = кНп (кп) ,
где
атп = (-1)п+т Нт-п (кго) exp (imipo). В случае симметричной падающей волны (т = 0) получаем аоп = Нп (кго) и
, _ АНп(кго)кЗп (кг 1) + wUyn (п)
Ап = кНп {кг 1) , (3.10)
= 2
коэффициенты Вп и Сп, выраженные через U^ (Г2) и U2n (г2):
Вп = Ъп^п (Г2) + Ъпи2п (г2) , Сп = Ъпиы (Г2) + ^4nU2n (г2) ,
где
Ъп = кгГ2З,п (кгГ2) /Ап, ^2п = тЗп (кТГ2) /Ап, Ъп = тЗп (кГ2)/А,п, Ъп = -кГ2З,п (кГ2)/А,п, Ап = [кг1з'п (кГ2) ктЗ'п (ктГ2) - п2Зп (кГ2) Зп (ктГ2)] /Г2.
Из оставшихся неиспользованными граничных условий получаем четыре краевых условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (3.10)
(
ÄnUn + DnUn ) - Gn,
/ r=ri
ÄnU'n + FnUn) - 0,
(3.11)
Г = Г2
где Gn - (gni, 0)T; 13n - (dníj)2x2, Fn - (fníj)2x2 _ матрицы второго порядка;
gni - 2Apiuriamn/ (ккН'п (kr 1)) , dnii - r\i2 + piUJ2r2Hn (kr) / (kH'n (kr)) , dni2 - inrXi2, dn2i - гпгХъъ, dn22 - -ГХ55,
fnii - r2 [7inein + 73ne-2n + Xi2/г] , fni2 - r2 in + 2n + inX^/г] ,
/«,21 = 10Г2 [Ъп&Зп + 73пб4п + тХ55/ (¡ог)] , fn22 = №Г2 [Ъп&3п + Ъп,е4п - А55/ (¡о01 ;
ein = [Ао«27п (кг) - к? г2 (Ао + 2¡о) Ji (кгг) - Хокг^п (кг0] /г2,
е2п = 2цогп [J-п (ктг) - ктгЗ'п (ктг)] /г2, езп = 2iп [J-п (kг) - кпгЗ'п (kг)] /г2,
е4п = [к2г2^п (ктг) - ктГ^п (ктг) + п2Jn (ктГ)] /г2.
Решая краевую задачу (3.9), (3.11) каким-либо методом, определим неизвестные функции Uin (0> U2п (г)- Затем вычислим коэффициенты Ап, Вп, Сп. В результате получим аналитические выражения, описывающие волновые поля вне и внутри цилиндрического тела.
Рассмотрим дальнюю зону акустического поля (кг ^ 1). Используя асимптотическое представление функции Ганкеля при больших значениях аргумента [32]
Нп (кг)
ккг 6 Р (
. I , кп К
г\кг----
2 4
(3.12)
из (3.2) находим
Фя
V iexp
i (iкг- 4)
F (ш,р)
где
^ (ш,р)— —— У] (-)п Ап ехр [гп (<р - <ро) - г^}
* 1п=-те
Отметим, что из полученного решения прямой задачи дифракции цилиндрических волн на упругом цилиндре с неоднородным трансверсально-изотропном покрытием можно получить решение для случая, когда падающая волна является плоской. Для этого следует заменить в (3.10) функцию Нп(кго) ее асимптотическим выражением согласно (3.12), считая, что расстояние между источником и рассеивателем достаточно велико (к г о >> 1) . В результате
получим решение задачи дифракции плоской волны с амплитудой А\ ——ехр[г(А;го--)},
V -кго 4
распространяющейся перпендикулярно оси цилиндра в направлении волнового вектора, образующего угол - - ро с положительным направлением оси х.
4. Аналитическое решение обратной задачи
На основе решения прямой задачи определим такие законы неоднородности материала покрытия, для которых будем иметь наименьшее рассеяние звука в заданном диапазоне частот ш € [^1, ^2} при фиксированном угле наблюдения р — р* и в заданном секторе наблюдения р € [<Р1, при фиксированной частоте ш — ш*.
Будем считать, что функции р, Ац, А12, А22, А55 аппроксимированы многочленами второй
законы неоднородности трансверсально-изотропного упругого материала покрытия:
] (г) — ]*] (г), (4.1)
где
] (г) — ](о) + ](1)г + ]](2)г2. (4.2)
Здесь и далее под символом 7 подразумевается каждая из величин р, Х^, а под символом
*
значение модуля упругости А23 не фиксируется, так как он не присутствует ни в уравнениях (3.9), ни в краевых условиях (3.11).
В качестве меры звукового рассеяния введем величину I(w,p) = IF (w,p)|2 — интенсивность звукового рассеяния. Построим функционалы вида
Ш2
Ф1 [ р, All, Х12, А22, А55] = (^ ) J1 (u, p*) dw, (4.3)
Ш! f2
Ф2 [р, A11, А12, А22, А55] = ( ) JI (w*,p) dp, (4.4)
fi
определенные на классе параболических функций (4.2) и выражающие усредненные интенсивности рассеяния звука в заданных диапазоне частот и угловом секторе наблюдения соответственно.
Для каждого функционала найдем такие значения коэффициентов функций (4.2), при которых он достигает минимального значения.
Для функций (4.2), определенных на отрезке [Г2, Г1 ], введем ограничения
C1V < fj(r) ^С2п, (4.5)
где C^, C2rj — некоторые положительные константы.
Геометрически каждое из неравенств (4.5) задает в прямоугольной системе координат с осью абсцисс г и осью ординат f (г) бесконечное множество кривых, лежащих в прямоугольной области
Q(V°), V(1),V(2)^ = {(г, f): V2 ^r^ п, C\v <f ^C2V} .
В области Q каждая функция f ( г) единственным образом определяется тремя точками Gon (V2,fov),G1V (г, f1v),G2V (Г1, f2v), где Г = (Г2 + п) /2, fqV е [С1п,C2V] (<7 = 0,1,2).
Подставляя значения точек Go,, G^, G2, в выражение (4.2), приходим к системе трех линейных алгебраических уравнений с неизвестными г](°\ г](1\ г](2\ Решая полученную систему, находим
= [fonПГ (г - п) + f1nГ1Г2 (г 1 - Г2) + f2VrГ2 (Г2 - f)} /А,, Г](1) = [for, (r2 - f2) + f1n {Г22 - Г2) + f2n {f2 - r2)] /А,, v{2) = [f°r (г - п) + f1n (г 1 - Г2) + f2r ( 1"2 - г)]/Ац, (4.6)
Ац = ( г 1 - r2) (г1г2 - г]_г - г2г + г2) .
Выбирая из отрезка [ C1,,C2ц] значения ординат f°v, f1,, f2, и вычисляя с помощью соотношений (4.6) значения коэффициентов г](°\ г](1\ г](2\ получаем параболические законы неоднородности материала покрытия. При этом не все параболические законы подлежат рассмотрению. Если выполняется условие
Г2 < -г](1)/ (2г](2^ < п,
то это означает, что абсцисса вершины параболы принадлежит отрезку [г2, п]- В этом случае параболу следует рассматривать только тогда, когда ордината ее вершины принадлежит [ C1 ц, C2 ц]
C1, - V(1)2/ (4V(2)) < C2,. (4.7)
Поиск значений коэффициентов г/0), г?(1), г/2) функций (4.2), удовлетворяющих условиям (4.5) и минимизирующих функцию
Фт (р(0),р(1),р(2),...,л505),л515),л525)) ^ min (т _ 1, 2), (4.8)
осуществим с помощью алгоритма имитации отжига [33].
Введем для ординаты fqv (q _ 0,1, 2) точки Gqv на отрезке [C1ri,C2v] равномерную сетку
f С чщ ) _
JqV _
Civ + lqvh. Здесь lqv — номер узла сетки, h _ (C2v — C1v) /п - шаг сетки, п — количество равных частей, на которые разбит отрезок [ C1v,C2v].
Нахождение оптимального набора коэффициентов г/(0\ г](1\ ^(2) осуществим с помощью процедуры поиска минимума функции пятнадцати переменных (4.8). Алгоритм имитации отжига представляет собой метод решения задачи глобальной оптимизации. Алгоритм основывается на имитации физического процесса, который происходит при кристаллизации вещества, в том числе при отжиге металлов.
На первом этапе из множества допустимых дискретных сочетаний на введенной сетке случайным образом выбирается начальная точка — совокупность пятнадцати значений
f(0) _ (f0p, flp, f2p, ¡0Х55 , ¡1Х55 , /2Л55).
На втором этапе в качестве минимального значения устанавливается текущий уровень энергии Emin _ Фт (/(0)), а также начадьное и конечное значения температуры — Tmax _ Т (1) и Tm;n, которые определяют количество выполняемых итераций в вычислительном процессе.
Понижение температуры определяется законом Т (j) _ Tmax/j(1/w\ где w — число параметров, оптимизирующих значение функции Фт.
1) Сгенерировать новую точку /(j) по правилу
jU) _ fU-1) +t (j) -X, X ~C (0,1),
где C (0,1) — стандартное распределение Коши размерности w.
2) Вычислить новое значение энергии Ej _ Фт (/(j)).
3) Сравнить энергию системы Ej в состоянии /(j) с найденным к текущему моменту минимальным значением Emin. Если Ej < Em\n, то необходимо изменить текущее значение минимума Emin _ Ej, понизить значение температуры и перейти к следующей итерации. Если Ej ^ Emin, то следует перейти к следующему шагу.
4) Сгенерировать случайную величину а, равномерно распределенную на интервале (0,1).
5) Понизить значение температуры системы. Вычислить вероятность принятия нового состояния системы, которая в соответствии с распределением Гиббса равна
Р (AE, Т (j)) _ exp [(Emin — E3) /Т (j)].
Если а < Р (AE,T (j)), то необходимо изменить текущее значение минимума и перейти к следующей итерации.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока выполняется условие Т (j) > Tmin. Так как поставленная задача решается на некотором дискретном множестве значений /0^, /1^, f2rj, то на первый шаг основного цикла накладываются дополнительные условия. В том случае, если найденное значение /(j) выходит за пределы области Q, то /(j) вычисляется заново. Также сгенерированное значение /(j) может не соответствовать узлам введенной сетки. В таком случае /(j) округляется до ближайшего узла.
Найденный таким образом локальный минимум функции Фт и соответствующий ему на-
h
X, а также значений а, Р (АЕ, Т (])), которые за одну полную процедуру поиска могут вычисляться достаточно большое количество раз. Поэтому процедура поиска локального минимума повторяется М раз, а в качестве конечного решения выбирается наилучший найденный результат.
5. Численные исследования
Проведены расчеты параметров в законах неоднородности (4.1), обеспечивающих минимальное рассеяние звука. Полагалось, что магниевый цилиндр (ро = 1, 74 ■ 103 кг/м3, Ао = 3, 8 ■ 1010 Н/м2, ро = 1, 6 ■ 1010 Н/м2) радиуса = 0, 8 м с неоднородным упругим покрытием толщиной 0, 2 м располагается в безграничном пространстве, заполненном водой (р1 = 103 кг/м3, с = 1485 м/с). При расчетах рассматривались два типа характерных модулей упругости неоднородного траневереально-изотропного цилиндрического слоя, а также случай изотропного неоднородного покрытия. Изотропной базой всех материалов был алюминий с характерной плотностью р* = 2, 7 ■ 103 кг/м3. Характерные значения модулей упругости приведены в таблице.
Характерные величины модулей упругости (х!010) Н/м2
Материал А11 Л12 Л22 Л55
Тип 1 5,74 3,28 16,4 2,54
Тип 2 16,4 0,82 5,74 2,95
Изотропный 10,5 5,3 10,5 2,6
Предполагалось, что линейный источник излучает симметричную звуковую волну единичной амплитуды и располагается в точке с координатами г о = 4г1 и ро =
Решение краевой задачи (3.9), (3.11) получено методом сплайн-коллокации [34]. В ограничениях8(4.7)полагалось С1Ч = 0, 5 и С2Ч = 1, 5 для всех функций ^ = р, Ац, А12, А22,
Абб-
При расчетах использовались следующие параметры алгоритма имитации отжига. Шаг сетки полагался к = 0.125. Размерность пространства параметров и> = 15, а в качестве минимального и максимального значений температуры были выбраны значения ТШт = 5 и Ттах = 10, что обеспечило 32768 итераций за одну полную процедуру поиска оптимальных значений. Для каждого типа входных данных эксперимент выполнялся М = 10 раз. Все допустимые законы неоднородности материала покрытия изображены на рис. 2.
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
г
Рис. 2: Допустимые параболические зависимости
Законы неоднородности материала покрытия, обеспечивающие наименьшую интенсивность рассеяния звука цилиндром с покрытием при фиксированном угле р* — - в частотном диапазоне, определяемым изменением волнового размера цилиндра в промежутке 6 ^ кГ1 ^ 8 имеют вид: тип 1
р — 2, 7 ■ 103 (-12, 5г2 + 17, 5г - 4, 5) , Лп — 5, 74 ■ 10ю (-56, 25г2 + 99, 375г - 42, 625) , Л12 — 3, 28 ■ 1010 (-62, 5г2 + 112, 5г - 49, 5) , (5.1)
Л22 — 16, 4 ■ 1010 (-18, 75г2 + 34, 375г - 15) , Л55 — 2, 54 ■ 1010 (25г2 - 45г + 21, 5) ;
тип 2
р — 2, 7 ■ 103 (37, 5г2 - 67, 5г + 31, 5) ,
Лп — 16, 4 ■ 1010 ■ 0, 5, Л12 — 0, 82 ■ 1010 (100г2 - 180г + 81, 5) , (5.2)
Л22 — 5, 74 ■ 1010 (12, 5г2 - 27, 5г + 15, 5) , Л55 — 2, 54 ■ 1010 (-43, 75г2 + 81, 875г - 37) ;
изотропный
р — 2, 7 ■ 103 (6, 25г2 - 13,125г + 8) ,
Ли — 10, 5 ■ 1010 (100г2 - 180г + 81, 5) ,
Л12 — 5, 3 ■ 1010 (6, 25г2 - 11, 875г + 6, 75) , (5.3)
Л22 — 10, 5 ■ 1010 (100г2 - 180г + 81, 5) ,
Л55 — 2, 6 ■ 1010 (25г2 - 50г + 25, 5) .
Для оптимальных законов неоднородности (5.1) — (5.3) значения функционала Ф1 равны 1, 26 ■ 10-2, 10-2 и 1, 23 ■ 10 2 соответственно. Для оценки эффективности покрытий с оптимальными звукоотражающими свойствами было рассчитано значение функционала Ф1 для упругого цилиндра без покрытия, равное 1, 86 ■ 10-2.
Для случая фиксированной частоты ш*, которой соответствует волновой размер цилиндра кг 1 — 6, в угловом секторе -/2 ^ р ^ - получены следующие оптимальные законы неоднородности материала покрытия: тип 1
р — 2, 7 ■ 103 (-100г2 + 180г - 79, 5) , Ац — 5, 74 ■ 1010 (37, 5г2 - 67, 5г + 31, 5) , Л12 — 3, 28 ■ 1010 (-56, 25г2 + 100, 625г - 43, 875) , (5.4)
Л22 — 16, 4 ■ 1010 (-6, 25г2 + 11, 875г - 5) , Л55 — 2, 54 ■ 1010 (100г2 - 180г + 81, 5) ;
тип 2
р — 2, 7 ■ 103 (56, 25г2 - 101, 875г + 46, 875) ,
Ац — 16, 4 ■ 1010 ■ 1, 5, Л12 — 0, 82 ■ 1010 (-12, 5г2 + 26, 25г - 26) , (5.5)
изотропный
А22 — 5, 74 ■ 1010 (87, 5г2 - 157, 5г + 71, 5) , А55 — 2, 54 ■ 1010 (-62, 5г2 + 113, 75г - 50, 375) ;
р — 2, 7 ■ 103 (62, 5г2 - 112, 5г + 51, 5) , Ап — 10, 5 ■ 1010 (25г2 - 47, 5г + 23, 5) , Л12 — 5, 3 ■ 1010 (18, 75г2 - 29, 375г + 12,125) , Л22 — 10, 5 ■ 1010 (37, 5г2 - 67, 5г + 31, 5) , Л55 — 2, 6 ■ 1010 ■ 0, 5.
(5.6)
При этом наименьшие значения функционала Ф2 при найденных оптимальных законах (5.4) — (5.5) для анизотропии типов 1 и 2 равны Ф2 — 0, 69 ■ 10-2 и Ф2 — 0, 51 ■ 10-2, а для изотропного покрытия Ф2 — 0, 56■ 10-2. Для упругого цилиндра без покрытия Ф2 — 1,15 ■ 10-2.
/(03,71)
0.02-
0.01
)
V/ "Л
/((О, л)
0.02
0.01
7
Ъ\
0.02
0.01
Рис. 3: Частотные зависимости интенсивности звукового рассеяния
Для иллюстрации эффективности предложенных покрытий проведены расчеты частотных и угловых зависимостей интенсивности рассеяния звука.
На рис. 3 приведены зависимости интенсивности звукоотражения 1(ш,р) от волнового размера кг 1 при р — - в диапазоне 6 ^ кг 1 ^ 8. Сплошными линиями изображены частотные зависимости для цилиндров, имеющих покрытия с оптимальными законами неоднородности (5.1) (рис. 3а), (5.2) (рис. 36) и (5.3) (рис. 3с).
На рис. 4 приведены угловые зависимости интенсивности звукоотражения I (со, р) при фиксированной частоте ш — 6с/Г1 в угловом секторе -/2 ^ р ^ -. Сплошными линиями показаны
4 а 4
4
Пунктирными линиями обозначены зависимости для цилиндра без покрытия.
3 л
4 у/
С
/ / / / / 1 1 ! \ Л
2-10 а
.-2
3 к
4 /\Х / /
/ / \ / / '• / /' / / / / / 1 1
210
а
Рис. 4: Угловые зависимости интенсивности звукового рассеяния
6. Заключение
В настоящей работе получены аналитические решения прямой и обратной задач дифракции цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с радиальпо-пеодпородным трансверсально-изотропным покрытием. Осуществлено математическое моделирование покрытия, позволяющего достигать минимальное звукоотражение в определенном направлении и заданном диапазоне частот, а также при фиксированной частоте и в заданном угловом секторе наблюдения.
Проведенные численные исследования показали эффективность неоднородных покрытий, материал которых имеет разные типы анизотропии.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Honarvar F., Sinclair A. Scattering of an obliquely incident plane wave from a circular clad rod. // J. Acoust. Soc. Am. 1997. Vol. 102. No. 1. P. 41-48.
2. Fathi-Haftshejani P., Honarvar F. Nondestructive evaluation of clad rods by inversion of acoustic scattering data // J. of Nondestructive Evaluation. 2019. Vol. 38. No. 3 (67). P. 1-9.
3. Косарев О. И. Дифракция звука на упругой цилиндрической оболочке с покрытием // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. Т. 46. № 1. С. 34-37.
4. Hasheminejad S.M., Safari N. Acoustic scattering from viscoelasticallv coated spheres and cylinders in viscous fluids // J. of Sound and Vibration. 2005. Vol. 280. No. 1. P. 101—125.
5. Иванов В. П. Анализ поля дифракции на цилиндре с перфорированным покрытием // Акустический журн. 2006. Т. 52. № 6. С. 791-798.
6. Бобровницкий Ю.И. Нерассеивающее покрытие для цилиндра // Акустический журн. 2008. Т. 54. № 6. С. 879-889.
7. Бобровницкий Ю. И., Морозов К. Д., Томилина Т. М. Периодическая поверхностная структура с экстремальными акустическими свойствами // Акустический журн. 2010. Т. 56. № 2. С. 147-151.
8. Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850857.
9. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.
10. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265-274.
11. Ларин Н.В., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.
12. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22. Вып. 1. С. 460-472.
13. Толоконников Л. А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием // Чебышевскпй сборник. 2018. Т. 19. Вып. 4. С. 215-226.
14. Ларин Н. В. Дифракция плоской звуковой волны на термоупругом цилиндре с непрерывно-неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 6. С. 154-173.
15. Ларин И. В. О влиянии непрерывно-неоднородного покрытия на звукоотражающие свойства термоупругого цилиндра // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 9. Часть 1. С. 395-403.
16. Ларин И. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 54-62.
17. Толоконников Л. А., Ларин И. В., Скобельцын С. А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами // Прикладная механика и техническая физика. 2017. № 4. С. 189-199.
18. Толоконников Л. А. Определение законов неоднородности покрытия упругого цилиндра с цилиндрической полостью, обеспечивающих минимальное звукоотражение // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 4. С. 67-81.
19. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 276-289.
20. Толоконников Л. А., Ларин Н.В. О влиянии неоднородного покрытия упругого цилиндра на рассеяние звука в присутствии плоской поверхности // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2020. Вып. 9. С. 111-118.
21. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства // Прикладная математика и механика. 2021. Т. 85. Вып. 6. С. 779-791.
22. Толоконников Л. А Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 43-53.
23. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 76-83.
24. Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с радиально-неоднородным упругим покрытием в плоском волноводе // Чебышевскпй сборник. 2019. Т. 20. Вып. 1. С. 270-281.
25. Толоконников Л. А, Ларин Н.В. Рассеяние цилиндром с неоднородным покрытием звуковых волн, излучаемых линейным источником, в плоском волноводе // Математическое моделирование. 2021. Т. 33. № 8. С. 97-113.
26. Толоконников Л. А., Ларин Н. В. Математическое моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра, находящегося в плоском волноводе // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 315-323.
27. Толоконников Л. А., Белкин А. Э. Определение законов неоднородности покрытия цилиндра, находящегося в плоском волноводе, для обеспечения минимального отражения звука // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21. № 4. С. 354-368.
28. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
29. Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
30. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
31. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 388 с.
32. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 358 с.
33. Лопатин А.С. Метод отжига // Стохастическая оптимизация в информатике. 2005. Вып. 1. С. 133-149. СПб.: Изд-во СПбГУ.
34. Завьялов Ю.С., Квасов Б. П., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980, 352 с.
REFERENCES
1. Honarvar, F. к Sinclair, А. 1997, "Scattering of an obliquely incident plane wave from a circular clad rod", J. Acoust. Soc. Am., vol. 102, no. 1, pp. U IK.
2. Fathi-Haftshejani, P. к Honarvar, F. 2019, "Nondestructive evaluation of clad rods by inversion of acoustic scattering data", J. of Nondestructive Evaluation, vol. 38, no. 3 (67), pp. 1-9.
3. Kosarev, О. I. 2012, "Diffraction of sound by an elastic cylindrical shell with a coating", Probl. Mashinostr. Nadezh. Mashin, vol. 46, no 1, pp. 34-37, fin Russian].
4. Hasheminejad, S. M. к Safari, N. 2005, "Acoustic scattering from viscoelasticallv coated spheres and cylinders in viscous fluids", J. of Sound and Vibration, vol. 280, no. 1, pp. 101-125.
5. Ivanov, V. P. 2006, "Analysis of the field diffracted by a cylinder with a perforated coating", Acoustical Physics vol. 52, no 6, pp. 683-690.
6. Bobrovnitskii, Yu.I. 2008, "A nonscattering coating for a cylinder", Acoustical Physics, vol. 54, no 6, pp. 758-768.
7. Bobrovnitskii, Yu. I., Morozov, K. D. к Tomilina, Т. M. 2010, "A periodic surface structure with extreme acoustic properties", Acoustical Physics, vol. 56, no 2, pp. 127-131.
8. Romanov, A.G. к Tolokonnikov, L. A. 2011, "The scattering of acoustic waves by a cylinder with a non-uniform elastic coating", J. Appl. Math. Mech., vol. 75, no. 5, pp. 595-600.
9. Tolokonnikov, L.A. 2013, "Diffraction of cylindrical sound waves by an cylinder with a nonuniform elastic coating", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 3, pp. 202-208, fin Russian].
10. Tolokonnikov, L.A. 2013, "Scattering of an obliquely incident plane sound wave by an elastic cylinder with a non-uniform covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2-2, pp. 265-274, fin Russian].
310
il. A. Tojiokohhhkob, K). E(J)hmob
11. Larin, N.V. k Tolokonnikov, L. A. 2015, "The scattering of a plane sound wave bv an elastic cylinder with a discrete-layered covering", J. Appl. Math. Mech., vol. 79. no 2, pp. 164-169.
12. Tolokonnikov, L. A. k Efimov, D. Yu. 2021, " Diffraction of cylindrical sound waves by an elastic cylinder with radially inhomogeneous coating Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 1, pp. 460-472, fin Russian].
13. Tolokonnikov, L. A. 2018, "Diffraction of a spherical sound wave by an elastic cylinder with an non-uniform coating Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 4, pp. 215—226, fin Russian].
14. Larin, N. V. 2017, "Diffraction of a plane acoustic wave on the thermoelastic cylinder with the continuously inhomogeneous covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 6,
pp. 154-173, fin Russian].
15. Larin, N.V. 2017, "Influence of the continuously inhomogeneous coating on the thermoelastic cylinder sound-reflecting properties", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 9-1,
pp. 395-403, fin Russian].
16. Tolokonnikov, L.A., Larin, N.V. k Skobel'tsvn, S.A. 2014, "About definition of linear laws of heterogeneity of the cylindrical elastic layer having the least reflexion in the set direction at sound scattering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 4, pp. 54-62, fin Russian].
17. Tolokonnikov, L. A., Larin, N. V. k Skobel'tsvn, S. A. 2017, "Modeling of inhomogeneous coating of an elastic cylinder with given sound-reflecting properties", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, no. 4, pp. 733-742.
18. Tolokonnikov, L. A. 2017, "Determination of the inhomogeneitv laws for an covering of an elastic cylinder with cylindrical cavity,providing minimum sound reflexion", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki , no 4, pp. 67-81, fin Russian].
19. Tolokonnikov, L.A. 2018, "Diffraction of a plane sound waves by an elastic cylinder with an non-uniform coating situated near to a flat surface", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki , no. 9, pp. 276-289, fin Russian].
20. Tolokonnikov, L.A., Larin, N.V. 2020, "About influence of an inhomogeneous coating of an elastic cylinder on sound scattering in the presense of a flat surface ", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki , no. 9, pp. 111-118, fin Russian].
21. Tolokonnikov, L. A. k Efimov, D. Yu. 2021, "Diffraction of Sound Waves at an Elastic Cylinder with an Inhomogeneous Coating in the Vicinity of the Boundary of an Elastic Half-Space", Mechanics of Solids, vol. 56, no. 8, pp. 1641-1648.
22. Tolokonnikov, L. A. 2015, "Diffraction of sound waves by an elastic cylinder with an non-uniform coating in a plane waveguide with acoustic soft boundaries", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 1, pp. 43-53, fin Russian].
23. Tolokonnikov, L. A. 2015, "Diffraction of sound waves by an elastic cylinder with an non-uniform coating in a plane waveguide with absolutely rigid boundaries", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2, pp. 76-83, fin Russian].
24. Tolokonnikov, L. A. 2019, "Scattering of sound waves by an cylinder with an radial non-uniform elastic coating in a planar waveguide", Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 270-281, fin Russian].
25. Tolokonnikov, L. A., Larin, N. V. 2021, "Scattering by a cylinder with a inhomogeneous coating of sound waves radiated linear source in a flat waveguide ", Mathematical modelling, vol. 33, no. 8, pp. 97-113, fin Russian].
26. Tolokonnikov, L. A. к Larin, N. V. 2018, "Mathematical modelling of an inhomogeneous coating of an elastic coating in a plane waveguide", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 9, pp. 315-323, fin Russian].
27. Tolokonnikov, L. A. к Belkin A. E. 2020, "Determination of the inhomogeneitv laws of a cylinder covering located in a plane waveguide for providing minimum sound reflection", Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 354-368, fin Russian].
28. Shenderov, E.L. 1972, "Wave problems of underwater acoustics", Sudostroenie, Leningrad, 352 p. fin Russian].
29. Ivanov, E.A. 1968, "Diffraction of electromagnetic waves by two bodies", Nauka i tekhnika, Minsk, 584 p., fin Russian].
30. Nowacki, W.1973, "Teoria sprezystosci", PWN, Warszawa.
31. Fedorov, F.I. 1965, "Theory of elastic waves in crystals", Nauka, Moscow, 388 p., fin Russian].
32. Lebedev, N. N. 1963, "Special Functions and their Applications", Fizmatgiz, Moscow, 358 p., fin Russian].
33. Lopatin, A.S. 2005, "Annealing method", Stochastic optimization in computer science, SPtb. Gos. Univ., no. 1, pp. 133-149, fin Russian].
34. Zavvialov, Yu. S., Kvasov, В. I. к Miroshnichenko, V. L. 1980, "Spline function methods", Nauka, Moscow, 352 p.,fin Russian].
Получено 18.11.2021 г.
Принято в печать 27.02.2022 г.
