CC BY
3
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 4.
УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-368-381
Дифракция сферической звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным анизотропным покрытием1
Л. А. Толоконников, Д. Ю. Ефимов
Толоконников Лев Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: tolokonnikovla@mail.ru
Ефимов Дмитрий Юрьевич — аспирант, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: bogart.efimov@yandex.ru
Аннотация
В статье рассматривается задача дифракции сферической монохроматической звуковой волны на однородном изотропном упругом цилиндре с радиально-неоднородным анизотропным упругим покрытием. Полагается, что тело располагается в свободном пространстве, заполненном идеальной жидкостью. Получено аналитическое решение задачи.
В случае установившихся колебаний распространение малых возмущений в идеальной жидкости описывается скалярным уравнением Гельмгольца. Поле излучения сферического источника записывается в виде разложения в ряд по цилиндрическим волновым функциям. Распространение упругих волн в изотропном упругом цилиндре описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца. Колебания неоднородного анизотропного упругого цилиндрического слоя описываются общими уравнениями движения сплошной среды.
Методом перевала получена асимптотическая формула для дальней зоны поля.
Проведены численные расчеты частотных характеристик рассеянного поля для упругих цилиндров с однородными и неоднородными трансверсально-изотропными покрытиями, а также для случая однородного изотропного покрытия. Выявлено существенное влияние и взаимовлияние неоднородности и анизотропии материала покрытия на акустические свойства рассеивающего цилиндрического тела.
Ключевые слова: дифракция, сферическая звуковая волна, однородный упругий цилиндр, неоднородное анизотропное покрытие.
Библиография: 24 названий. Для цитирования:
Л. А. Толоконников, Д. Ю. Ефимов. Дифракция сферической звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным анизотропным покрытием // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 4, с. 368-381.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/ project/18-11-00199/.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 4.
UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-368-381
Diffraction of a spherical sound wave by an elastic cylinder with an non-uniform anisotropic coating
L. A. Tolokonnikov, D. Yu. Efimov
Tolokonnikov Lev Alexeevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State University (Tula). e-mail: tolokonnikovla@mail.ru
Efimov Dmitrii Yurevich — postgraduate student, Tula State University (Tula). e-mail: bogart.efimov@yandex.ru
Abstract
In paper the problem of the diffraction of a spherical monochromatic sound wave on a homogeneous isotropic elastic cylinder with a radially non-uniform anisotropic elastic coating. It is assumed that the body is located in a free space filled with an ideal liquid. The analytical solution of the problem is obtained.
In the case of steady-state oscillations, the propagation of small perturbations in an ideal fluid is described by the Helmholtz scalar equation. The radiation field of a spherical source is written as a series expansion in cylindrical wave functions. The propagation of elastic waves in an isotropic elastic cylinder is described by the scalar and vector Helmholtz equations. The oscillations of an non-uniform anisotropic elastic cylindrical layer are described by the general equations of motion of a continuous medium.
The asymptotic formula for the far field zone is obtained by the steepest descent method.
Numerical calculations of the frequency characteristics of the scattered field are carried out for elastic cylinders with homogeneous and inhomogeneous transversally isotropic coatings, as well as for the case of a homogeneous isotropic coating. A significant influence and mutual influence of the inhomogeneity and anisotropy of the coating material on the acoustic properties of the scattering cylindrical body is revealed.
Keywords: diffraction, spherical sound wave, uniform elastic cylinder, inhomogeneous anisotropic coating.
Bibliography: 24 titles. For citation:
L. A. Tolokonnikov, D. Yu. Efimov, 2022, "Diffraction of a spherical sound wave by an elastic cylinder with an non-uniform anisotropic coating" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 4, pp. 368381.
1. Введение
Создание покрытий, обеспечивающих требуемые звукоотражающие свойства тел, является актуальной проблемой. Обычно покрытия применяются для повышения звукопоглощения и уменьшения отражения звука в определенном направлении. Значительный интерес представляют рассеиватели, имеющие форму кругового цилиндра, так как многие реальные объекты достаточно хорошо аппроксимируются телами цилиндрической формы. Задачи дифракции
звуковых волн на одиночных цилиндрах с покрытиями, находящихся в безграничной жидкости, рассматривались во многих работах.
Существуют различные виды покрытий, наносимых на твердые тела. В [1] для обеспечения заданного уровня гашения поля дифракции на абсолютно твердом цилиндре использовалось перфорированное покрытие в виде набора резонаторов Гельмгольца, распределенных по окружности цилиндра. В [2] предложена общая схема формирования поглощающих и нерассеивающих покрытий нового типа с повышенной эффективностью - т.е. покрытий с протяженной реакцией. В [3] выявлены условия, при которых совместный выбор импедан-сов однородного покрытия и упругой цилиндрической оболочки позволяет минимизировать рассеянное поле. Изменение звукоотражающих свойств упругих тел можно осуществить с помощью непрерывно-неоднородных покрытий. С помощью непрерывно-неоднородного упругого покрытия можно эффективно изменять характеристики рассеяния тел в определенных направлениях, если подобрать соответствующие законы неоднородности для механических параметров покрытия. Серия работ посвящена изучению влияния неоднородных изотропных покрытий твердых тел цилиндрической формы на их звукоотражающие свойства. Задача о рассеянии плоской звуковой волны жестким цилиндром с непрерывно-неоднородным упругим покрытием решена в [4]. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с непрерывно-неоднородным покрытием рассмотрено в [5], ас дискретно-слоистым покрытием — в [6]. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами осуществлено в [7].
Однако представление первичного акустического поля в виде плоской волны справедливо только тогда, когда расстояние от источника звука до рассеивателя много больше длины звуковой волны. На практике это условие часто не выполняется. В этом случае нельзя не учитывать криволинейность фронта падающей волны. Расходимость падающей волны приводит не только к количественным, но и качественным изменениям дифракционной картины. Наибольший интерес представляет изучение дифракции звуковых волн, излучаемых цилиндрическими и сферическими источниками. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием изучена в [8, 9], при этом в [8] цилиндр полагался абсолютно жестким, в [9] — изотропным упругим. Решение задачи дифракции сферической звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием получено в [10].
Во всех упомянутых выше работах неоднородные покрытия цилиндрических тел рассматривались как изотропные. Анизотропия материала покрытия не учитывалась. Решения задач о рассеянии плоской и цилиндрической звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем получены в [11, 12]. В работах [13, 14] рассматривалась дифракция плоских звуковых волн для абсолютно жесткого и упругого цилиндров с трансверсально-изотропным неоднородным упругим покрытием. В [15] осуществлено математическое моделирование неоднородного анизотропного покрытия упругого цилиндра, обеспечивающего наименьшее отражение звука в случае, когда источником первичного акустического возмущения является цилиндрическая звуковая волна.
В настоящей работе рассматривается задача дифракции сферической звуковой волны на однородном изотропном упругом цилиндре с радиально-неоднородным трансверсально-изотропным упругим покрытием.
2. Постановка задачи
Рассмотрим однородной изотропный упругий цилиндр бесконечной длины и радиуса г2, материал которого характеризуется плотностью ро и упругими постоянными Ао и ^о- Цилиндр покрыт упругим радиально-неоднородным трансверсально-изотропным слоем с внешним радиусом п. Цилиндрическая система координат г,<р,г выбрана таким образом, что коорди-
натная ось г совпадает с осью вращения цилиндра и является осью цилиндрической анизотропии материала покрытия. Полагаем, что модули упругости \ijki материала покрытия описываются дифференцируемыми функциями радиальной координаты г, а его плотность р — непрерывной функцией координаты г: \ijki = А^ы (г) р = р (г).
Окружающая цилиндрическое тело жидкость является идеальной и характеризуется плотностью р! и скоростью звука с. Пусть из внешнего пространства на цилиндр падает гармоническая сферическая звуковая волна, излучаемая точечным источником, цилиндрические координаты которого (го,(ро,%о)- Потенциал скорости падающей волны
ехр (1к |Я - Яо1 -
Фо = А-—-—-, (2.1)
| я — Яо |
где А — амплитуда волны; к = ш/с — волновое число жидкости; Я и Яо -радиус-векторы точки наблюдения и точки, в которой располагается источник; ш — круговая частота; Ь — время. В дальнейшем временной множитель ехр (—шЬ) будем опускать.
Определим акустическое поле, рассеянное телом, и поля смещений в однородном цилиндре и неоднородном трансверсально-изотропном слое.
3. Аналитическое решение задачи
Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [16]:
ДФ + к2Ф = 0,
Где ф — потенциал скорости полного акустического поля. При этом скорость частиц V и акустическое давление р в жидкости определяется по формулам:
V = Ф, р = гр\шФ.
Ф
Ф = Фо + Ф^,
где Ф^ — потенциал скорости рассеянной волны.
Запишем сферическую звуковую волну (2.1) в виде разложения по цилиндрическим волновым функциям [17]
те
Фо = А I Фо (Ь) йЬ,
—те
Фо (Ь) = -е^—го) У ехр [ш (р — ( ^^£ (М , Г < Го; (3.1)
о1 ; 2 ^ ^ (киГо)Нп (кнг), г > го.
п=—те 4
ки = л/к2 — Ь2,
где ,1п (х) — цилиндрическая функция Бесселя первого рода порядка щ Нп (х) — цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка п. Без ограничения общности положим го = 0.
С учетом условий излучения на бесконечности потенциал скорости рассеянной волны Ф^, являющейся решением уравнения Гельмгольца, будем искать в виде [17]
те _
„ те
Ф8 = ¿ьг ^ Ап (Ь)Нп )ехр[т (р — Ы] <1Ь. (3.2)
п= — оо
Рассмотрим уравнения, описывающие распространение малых возмущений в однородном упругом цилиндре. Представим вектор смещения ио частиц однородного изотропного упругого цилиндра в виде
и0 = Р + гс^ Ф,
где Р и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения, которые в случае установившегося режима колебаний являются решениями скалярного и векторного уравнений Гельмгольца [16]:
АР + ^ = 0,
ДФ + к2тФ = 0, (3.3)
где кг = ш/с1 и кт = ш/ст — волновые числа продольных и поперечных упругих волн; С1 = л/(А0 + 2ц0) /р0 и ст = л/^0/р0 — скорости продольных и поперечных волн.
Ф
Ф = кй (Ш • ег) + ктМ • ег,
где IV и М — функции пространственных координат; ех — единичный вектор оси г.
Тогда векторное уравнение (3.3) заменится двумя скалярными уравнениями Гельмгольца относительно функций IV и М
Д^ + ^ = 0, ДМ + кТ-М = 0.
С учетом условия ограниченности функции Р, IV и М будем искать в виде [17]
оо _
/оо
^ Вп (к) Хп (к\г) ехр [т (<р - <р0)] дк,
п=—<х>
— Ж
СЮ
сю
Ж = ! £ ^ (к) (ктг)ехр[т (<р - <р0)] dh, (3.4)
^ п=—оо — ж
М = ^ Оп (ЮЪ (ктг)ехр[т (<р -^¿.Н,
где к\ = — НТ, кт = л/кТ — Нт.
и0
через функции Р, Ш, М следующим образом
дР дТШ кт дМ 1дР 1 дТШ , дМ дР дТШ , Тт1Г
и0г = -7Г- + тт^Т +---, и0<р = + -^—т;--кт—~, и0х = + ^тг + ^Ш.
дг дгдг г д(р г д(р г д<рдг дг дг дг2
Соотношения между компонентами тензора напряжений 00%] и вектора смещения и0 в однородном изотропном цилиндре имеют вид [18]:
\ А- , О ди'0г \ !• , о (1ди0<р . и0г\
00гг = А0ШУ и0 + 2¡10^—, 00шш = А^у и0 + 2ц0\-^\--1--,
дг \г др г )
, , п ди0г (1ди0г , дщ<р щ<р\
00гг = А^У и0 + 2/^0^—, 00г<р = № —~--+ ^Т^--, (3.5)
дг \г д<р дг г )
(дщх , дщЛ (ди0(р 1 дщх \
°0гг = Ц-0 \ —,--1--^— , = 1^0 т;--1---^- ,
\ дг дг ) \ дг г д<р )
где div uo = ^ + + uor
+
du0z dz '
Уравнения движения упругого неоднородного слоя в случае установившихся колебаний описываются общими уравнениями движения сплошной среды, которые в цилиндрической системе координат имеют вид [18]
дагг 1 да. дг
да,
Г1р
дг darz
г др 1да
rip + C>7rZ + агт 71
д
д а
W 2
— = —U1 pUr,
2
г др 1 д а
+ —
ipz
дг г др
. - - ipz . 2 2
д
, даzz . 1 2
+ ^--+-arz = — w puz,
д
(3.6)
где иг, ир, иг — компоненты вектора смещения и частиц неоднородного слоя; ац — компоненты тензора напряжений в неоднородном слое; р = р (г).
Для трансверсально-изотропного покрытия цилиндра осью упругой симметрии является всякая прямая, проходящая через ось анизотропии и перпендикулярная к ней. При этом поверхностями изотропии являются цилиндрические поверхности, а тензор модулей упругости Л в соответствии с нотацией Фойгта [19] может быть записан в матричной форме
Л
(An A12 A12 0 0 0
A12 A22 A23 0 0 0
A12 A23 A22 0 0 0
0 0 0 1 ( A22 — A23) 0 0
0 0 0 0 A55 0
V 0 0 0 0 0 A55
гДе \к — модули упругости материала покрытия в двухиндексном обозначении, где г, к = 1, 2,..., 6. При этом значениям индексов 1, 2, 3, 4, 5, 6 отвечают соответственно пары индексов 11,22,33,23,13,12.
В соответствии с обобщенным законом Гука компоненты тензора напряжений а^ связаны с компонентами тензора деформации eij соотношениями [18]
агг = All £rr + A12 £ipip + Ai2 е^г, 7ipip = А12 £ГГ + A22 £ipip + A23 ,
где
azz = A12 £rr + A23 £ipip + A22 , 7rlp = 2A55 erlp, <7rz = 2A55 £rz, 7ipz = (A22 — A23) £ipz,
£rr —
диг д
-rip
'<P<P
1 " 2
1 ( , диу
= - U + r
' 1 диг _ г др дг
дР) , ди„
&zz —
диг д
и<р
£rz = 2
/ дих диг\ 1 / диу 1 дих \
\ дг дг J ' 2\дг г дер ) '
(3.7)
(3.8)
Отметим, что представленные выражения позволяют легко получить описание волновых полей для случая изотропного неоднородного покрытия цилиндра. Для этого достаточно положить Ац = А + 2р, А12 = А, А22 = А + 2р, А23 = А, А55 = р, где А и р — модули упругости неоднородной изотропной упругой среды.
1
и
функциями координаты <р с период ом 2тг. Поэтому функции и^ и^ и ^ будем искать в виде рядов Фурье по координате (р:
ur —
"Uip —
/оо
eihz ^ Uin (r,h)exp[í n (if -<po)]dh,
/оо
eihz ^ U2n (r,h)exp[i п (f -fo)]dh, (3.9)
uz
/оо
^hz ^ Un (r,h)exp[iп (f -fo)]dh.
Подставляя разложения (3.9) в уравнения (3.6) с учетом (3.7) и (3.8), получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций U\n (г, h), U2n (г, h), U3n (г, h) для каждого п и h:
AnUn + B nUn + CnUn — 0, (3.10)
где Un — (Uin (r,h) ,U2n (r ,h) ,Un (r,h))T-, An — (a.ni j)3xV Bn — (b,ni j)3x3, Cn — (Cni j)3x3 — матрицы третьего порядка с элементами:
anii — Xnr2, an22 — X55r2, an33 — X55r2, anij — 0, i — j, bnii — X^r2 + Aiir, bn12 — bn21 — in (Xi2 + X55) г, Ьп13 — bn3i — ih (X12 + X55) r2,
bn22 — bn33 — X'55r2 + X55 r, bn23 — Ъ,п32 — 0,
Cnii — ш2г2р - X55 (n2 + h2r2) + X'i2T - X22, Cn12 — in (\'ur - X55 - X22) , Cn13 — ih (X'i2r + X12 - X23) r, Cn21 — in (X'55r + X55 + X22) , Cn22 — ш2г2р - n2X22 - X'55r - X55 + h2r2 (X23 - X22) /2, Cn23 — Cn32 — -hn (X22 + X23) r/2, Cn31 — ih + X55 + X23) r, Cn33 — и2г2р - h2X22r2 + n2 (X23 - X22) /2.
Коэффициенты An (h), Bn (h), Cn (h), Dn (h) разложений (3.2), (3.4) и функции U1n (r,h), U2n ( , h) U3n ( , h)
Граничные условия на внешней поверхности цилиндрического слоя заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений [5]: — i
- i шиг — vr, arr — -р, arv — 0, arz — 0. (3.11)
На внутренней поверхности слоя при переходе через границу разде-ла упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, нормальные и тангенциальные напряжения: — 2
ur — Uor, uv — uotp, uz — Uoz, arr — aorr, аГ(р — aor(p, arz — aorz. (3.12)
Из условия равенства нормальных скоростей при г — ri находим коэффициенты An (h), Uin ( i , h)
Л AiHn (khfo) khJ'n (khr i) + 2i wUin (r i, h)
An (h)— 2khHn (khri) . (3Л3)
Из оставшихся граничных условий на внешней поверхности цилиндра при г = Г\ находим три краевых условия, которым должна удовлетворять краевая задача (3.10)
(
-AraU'n + U n
где элементы матриц Wra = (тП1, 0, 0)Т; Ега = ( еп^определяются выражениями:
^ = гАр!шНп (кнго) е = -12 + ш2р1Нп (кнг) п :ккгН'п (кг) ' п г кН'п (кь,г) '
г п А12 ... г п А55 А55 &п12 =-, е„1з = г П -Л12, еП21 =-, еП22 =--,
е-п23 = е 32 = е 33 = 0, епз1 = г К А55.
= 2
ные коэффициенты Вп (К), Сп (К), Оп (К) выраженные через и1п (г2, К), и2п (г2, К), и3п (г2, К):
Кп = [мга]-1ига,
W„, (3.14)
Г=Г\
где Kn = ( Вп (h), Сп (h) , Dn (h)) ; Mn = (mnij)3x3:
тпц = kiJln (k\r2), m„i2 = ihk2J'n (k2r2), mnl3 = inkTJn (k2r2) /r2, mn2i = inJn (kif2) /Г2, mn22 = -hnJra (k2^) /Г2, mn23 = -k2kT J'n ^2),
m„3i = fhJra (kif2), mn32 = Jra (k2^), mn33 = 0.
Из оставшихся трех граничных условий (3.12), состоящих в равенстве напряжений, находим
( —2 АгаиП + FraUra J = Gn Kn, где Fra = (fnpm)3x3, Gn = (jnpm)3x3 — матрицы третьего порядка с элементами:
fnll = А12 (Г2) /Г2, fn12 = in\l2 (Г2) /Г2, fn13 = ih\l2 (Г2) , fn21 = inX55 (Ы /Г2, fn22 = -А55 (Г2) /Г2, fn23 = fn32 = fn33 = 0, /^31 = lhA55 (r2) ,
7„11 = 2pok\Jl (k^) - Ao (k2 + h2) Jn (k^), 7n12 = 2гhpokp" (k2^), 7„i3 = 2гnkTpo {k2r2J'n - Jn ^2)) /r|, 7„21 = 2гпро (k^J^ (kin) - Jra (kin)) /r^
7„22 = 2nhpo {k2T2Jn (k2T2) - Jn (k2V2)) /г 7n23 = -pokr (klrlJ'n (k2f2) - k2V2J'n (k2f2) + n2Jn (k2f2)) /rl, 7n31 = 2ihpohJn (hn), 7n32 = -pok2 (h2 - kf) J^ (k2f2), 7nq33 = -nhpok-Jn (k2T2) /Г2.
Подставляя в последнее соотношение выражение для Kn, получим краевые условия для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на внутренней поверхности покрытия:
AnU'n + ТгаиЛ =0, (3.15)
где Тп = ¥п - Сга[Мга]-1.
Решая краевую задачу (3.10), (3.14), (3.15) каким-либо методом, определяем неизвестные функции и1п (г ,К), и2п (г, К), изп (г,К) из разложений (3.9). Затем вычислим коэффициенты Ап (К), Вп (К), Сп (К), Ип (К). В результате получаем аналитические выражения, описывающие волновые поля вне и внутри цилиндрического тела.
Подробный анализ интеграла (3.2) был проведен в работе [10]. Здесь покажем способ вычисления такого интеграла в частном случае. В дальней зоне акустического поля при кг » 1 интеграл (3.2) может быть вычислен методом перевала [20]
Iд Ь) &«Чч ^я ^д (7о) е^Я » 1, (3.16)
г '
где Г — некоторый контур на комплексной плоскости 7; ф — угол, определяющий направление линии наибыстрейшего убыва-ния функции И,е /(7), проходящей через точку пе-ревала 70, определяемую как точку резкого максимума функции /(-у), т.е. /'(70) = 0 /"(70) = 0.
Заменим цилиндрическую функцию Ганкеля в (3.2) ее асимптотической формулой при больших значениях аргумента [21]
Нп (khr) & exp [i (khr — жп/2 — ж/А)}
Kkhr
а также выполним замену h = k sin 7. Получим:
Ф s = е ш/4 I \ ——2-exp ikr (-sin7 + cos7^)
j V ж kr cos 7 L \r )
x ^ (—i)пАп (k sin 7) exp [гп (p — po)}k cos^d^,
п=-<х
Где г — контур Зоммерфельда на комплексной плоскости 7 (пределы интегрирования от —ж/2 + iж до ж/2 — i<x).
Тогда точка перевала 70 определяется как
7о = arctan j ,
а угол наискорейшего спуска может быть найден из уравнения [22]
2 ф + arg f" (70) = ж + 2ж1, 1 е Z.
Для рассматриваемого случая ф = —ж/А.
В результате в соответствии с формулой (3.16) будем иметь
2
Ф s ~ - exp
гkг sin70 + cos7oj k cos70x x (—i)п+1Ап (k sin 70)exp[iп (p — p0)}.
x
п=
4. Численные исследования
Были проведены расчеты частотной зависимости безразмерной амплитуды звукового рассеяния /А| от волнового размера тела кг\ в фиксированной точке наблюдения с цилиндрическими координатами (г,(р,г) = (100,^, 0). Полагалось, что магниевый цилиндр (ро = 1, 74 ■ 103 кг/м3, Ао = 3, 8 ■ 10^ Н/м2, ро = 1,6 ■ 1010 Н/м2) радиуса = 0,8 м с неоднородным упругим покрытием толщиной 0.2 располагается в безграничном пространстве, заполненном водой (р1 = 103 кг/м3, с = 1485 м/с). При расчетах использовались следующие характерные значения модулей упругости, приведенные в таблице.
Характерные величины модулей упругости (х!010) Н/м2
Материал Аи А12 А22 А23 А55
Тип 1 5,74 3,28 16,4 3,28 2,54
Тип 2 16,4 0,82 5,74 0,82 2,95
Изотропный 10,5 5,3 10,5 5,3 2,6
Изотропной базой материалов был алюминий с характерной плотностью р1 = 2, 7 ■ 103 3
Краевая задача (3.10), (3.14), (3.15) решалась методом сплайн-коллокации [23], а в качестве порядка усечения бесконечных рядов использовалась величина N = 2 [кг\\ + 1, где [.] — целая часть числа. Интеграл (3.2) вычислялся с использованием квадратурной формулы Гаусса [24].
Предполагалось, что точечный источник излучает звуковую волну единичной амплитуды и располагается в точке с координатами го = 4г1 и ^о =
т-г
4 6 8 10 12
Ъ\
Рис. 1: Зависимость амплитуды рассеяния звука от волнового размера цилиндра с покрытием
На рис. представлены частотные зависимости амплитуды звукового рассеяния /Л| в диапазоне частот, соответствующем изменению волнового размера в диапазоне 4 ^ кг1 ^ 12 для цилиндра с неоднородным покрытием, механические характеристики которого менялись по законам
= А^, р = р1 ■ / (г), / (г) =0.75
/ г - Г2 V \П - Г2)
+ 1
Г2 ^ Г ^ Г]_.
При этом штриховая и пунктирная линии соответствуют материалам с анизотропией типов 1 и 2 соответственно, сплошной линией построена кривая для изотропного случая, а штрих-пунктирной для случая изотропного однородного покрытия, где полагалось р = р1.
Таким образом из рис. можно видеть как значительное влияние неоднородности материала покрытия на рассеянное акустическое поле, так и существенное взаимовлияние неоднородности и анизотропии материала покрытия.
5. Заключение
На основе полученного аналитического решения задачи проведены численные расчеты, которые выявили возможность изменять звукоотражающие свойства упругих цилиндрических тел с помощью взаимовлияния неоднородности и анизотропии упругих покрытий.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов В. П. Анализ поля дифракции на цилиндре с перфорированным покрытием // Акустический журн. 2006. Т. 52. № 6. С. 791-798.
2. Бобровницкий Ю.И. Нерассеивающее покрытие для цилиндра // Акустический журн. 2008. Т. 54. № 6. С. 879-889.
3. Косарев О. И. Дифракция звука на упругой цилиндрической оболочке с покрытием // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. Т. 46. № 1. С. 34-37.
4. Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.
5. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265-274.
6. Ларин Н.В., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.
7. Толоконников Л. А., Ларин Н.В., Скобельцын С. А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами // Прикладная механика и техническая физика. 2017. № 4. С. 189-199.
8. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.
9. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22. Вып. 1. С. 460-472.
10. Толоконников Л. А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19. Вып. 4. С. 215-226.
11. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотроп-ным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журн. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.
12. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 9-11.
13. Ларин Н. В., Белкин А. Э. Рассеяние звука на твёрдом цилиндре с упругим анизотропным неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2021. Вып. 11. С. 107-117.
14. Скобельцын С. А. Задача о дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с трансверсально-изотропным неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2021. Вып. 11. С. 230-239.
15. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Моделирование неоднородного анизотропного покрытия упругого цилиндра, обеспечивающего наименьшее отражение звука // Чебышевский сборник. 2022. Т. 23. Вып. 1. С. 293-311.
16. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
17. Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
18. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
19. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 388 с.
20. Ильин A.M., Данилин А. Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 248 с.
21. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 358 с.
22. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах. М.: Мир, 1983. 136 с.
23. Завьялов Ю.С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980, 352 с.
24. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с. REFERENCES
1. Ivanov, V. P. 2006, "Analysis of the field diffracted by a cylinder with a perforated coating", Acoustical Physics vol. 52, no 6, pp. 683-690.
2. Bobrovnitskii, Yu.I. 2008, "A nonscattering coating for a cylinder", Acoustical Physics, vol. 54, no 6, pp. 758-768.
3. Kosarev, О. I. 2012, "Diffraction of sound by an elastic cylindrical shell with a coating", Probl. Mashinostr. Nadezh. Mashin, vol. 46, no 1, pp. 34-37, fin Russian].
4. Romanov, A.G. k, Tolokonnikov, L. A. 2011, "The scattering of acoustic waves by a cylinder with a non-uniform elastic coating", J. Appl. Math. Mech., vol. 75, no. 5, pp. 595-600.
5. Tolokonnikov, L.A. 2013, "Scattering of an obliquely incident plane sound wave by an elastic cylinder with a non-uniform covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2-2,
pp. 265-274, fin Russian].
380
il. A. Tojiokohhhkob, K). E(J)hmob
6. Larin, N.V. k Tolokonnikov, L. A. 2015, "The scattering of a plane sound wave by an elastic cylinder with a discrete-layered covering", J. Appl. Math. Mech., vol. 79. no 2, pp. 164-169.
7. Tolokonnikov, L. A., Larin, N. V. k Skobel'tsvn, S. A. 2017, "Modeling of inhomogeneous coating of an elastic cylinder with given sound-reflecting properties", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, no. 4, pp. 733-742.
8. Tolokonnikov, L.A. 2013, "Diffraction of cylindrical sound waves by an cylinder with a nonuniform elastic coating", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 3, pp. 202-208, fin Russian].
9. Tolokonnikov, L. A. k Efimov, D. Yu. 2021, " Diffraction of cylindrical sound waves by an elastic cylinder with radially inhomogeneous coating Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 1, pp. 460-472, fin Russian].
10. Tolokonnikov, L.A. 2018, "Diffraction of a spherical sound wave by an elastic cylinder with an non-uniform coating Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 4, pp. 215-226, fin Russian].
11. Skobel'tsyn, S.A. k Tolokonnikov, L.A. 1995, "Scattering of sound waves by a transversely isotropic inhomogeneous cylinder layer", Acoustical Physics, vol. 41, no 1, pp. 114-117.
12. Tolokonnikov L.A. 1998, "Difraktciia tcilindricheskikh voln na neodnorodnoi transversalnoizo-tropnoi tcilindricheskoi obolochke", Oboronnaia tekhnika, no. 4-5. pp. 9-11, fin Russian].
13. Larin, N.V. k Belkin, A.E. 2021, "Sound scattering on a solid cylinder with an elastic anisotropic inhomogeneous coating ", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 11, pp. 107-117, fin Russian].
14. Skobel'tsyn, S.A. 2021, "Diffraction problem of plane sound wave by elastic cylinder with transverselv-isotropic inhomogeneous coating", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 11, pp. 230-239, fin Russian].
15. Tolokonnikov, L.A. k Efimov D.Yu. 2022, "Modeling the inhomogeneous anisotropic coating of an elastic cylinder that provides minimal sound reflection", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 1, pp. 293-311, fin Russian].
16. Shenderov, E.L. 1972, "Wave problems of underwater acoustics", Sudostroenie, Leningrad, 352 p. fin Russian].
17. Ivanov, E. A. 1968, "Diffraction of electromagnetic waves by two bodies", Nauka i tekhnika, Minsk, 584 p., fin Russian].
18. Nowacki, W. 1973, "Teoria sprezystosci", PWN, Warszawa.
19. Fedorov, F.I. 1965, "Theory of elastic waves in crystals", Nauka, Moscow, 388 p., fin Russian].
20. Ilvin, A.M. k Danilin, A. R. 2009, "Asymptotic Methods in Analysis", Fizmatlit, Moscow, 248 p, fin Russian].
21. Lebedev, N. N. 1963, "Special Functions and their Applications", Fizmatgiz, Moscow, 358 p., fin Russian].
22. Bhatnagar, P. L. 1979, Nonlinear Waves in One-dimensional Dispersive Systems, Oxford University Press, 142 p.
23. Zavvialov, Yu. S., Kvasov, В. I. к Miroshnichenko, V. L. 1980, "Spline function methods", Nauka, Moscow, 352 p., fin Russian].
24. Samarskii, A. A. к Gulin, A. V. 1989, "Numerical methods", Moscow, Nauka, 432 p., fin Russian].
Получено: 21.09.2022 Принято в печать: 8.12.2022
