CC BY
8
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 3.
УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-3-207-223
Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным анизотропным покрытием в присутствии
плоскости1
Л. А. Толоконников, Д. Ю. Ефимов
Толоконников Лев Алексеевич — доктор физико-математических наук, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: tolokonnikovla@mail.ru
Ефимов Дмитрий Юрьевич — магистрант, Тульский государственный университет (г. Тула).
e-mail: bogart.efimov@yandex.ru
Аннотация
В статье рассматриваются прямая и обратная задачи рассеяния гармонической плоской звуковой волны на однородном изотропном упругом цилиндре с неоднородным анизотропным упругим покрытием в присутствии подстилающей плоской поверхности. Полагается, что материал покрытия цилиндра является радпально-неоднородным и трансверсально-изотропным, законы неоднородности материала покрытия описываются непрерывными функциями радиальной координаты, тело помещено в идеальную жидкость, подстилающая поверхность является идеальной (абсолютно жесткой или акустически мягкой).
Получено аналитическое решение прямой задачи дифракции. Определены рассеянное акустическое поле и волновые поля в цилиндре и его покрытии.
На основе решения прямой задачи проведено математическое моделирование неоднородного анизотропного покрытия упругого цилиндра, обеспечивающего наименьшее отражение звука. Определены законы неоднородности материала покрытия, обеспечивающие минимальное рассеяние звука в заданном диапазоне частот при фиксированном угле наблюдения, а также в заданном секторе наблюдения при фиксированной частоте. Построены функционалы, выражающие усредненные интенсивности рассеяния звука, и осуществлена их минимизация с помощью алгоритма имитации отжига.
Представлены результаты численных расчетов частотных зависимостей интенсивности рассеянного акустического поля при оптимальных параболических законах неоднородности для разных типов трансверсально-изотропных покрытий.
Ключевые слова: звуковые волны, рассеяние, однородный упругий цилиндр, неоднородное анизотропное покрытие.
Библиография: 18 названий. Для цитирования:
Л. А. Толоконников, Д. Ю. Ефимов. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным анизотропным покрытием в присутствии плоскости // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 3, с. 207-223.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/project/18-ll-00199/
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 3.
UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-3-207-223
Scattering of a plane sound wave by elastic a cylinder with an inhomogeneous anisotropic coating in the presence of a plane
L.A. Tolokonnikov, D.Yu. Efimov
Tolokonnikov Lev Alexeevich — doctor of physical and mathematical Sciences, Tula State
University (Tula).
e-mail: tolokonnikovla@mail.ru
Efimov Dmitrii Yurevich — undergraduate student, Tula State University (Tula). e-mail: bogart.efimov@yandex.ru
Abstract
In the article the direct and inverse problems of scattering of a harmonic plane sound wave by a homogeneous isotropic cylinder with inhomogeneous anisotropic elastic coating in the presence of the underlying flat surface are considered. It is assumed that the coating material of cylinder is radially inhomogeneous and transverse-isotropic, the inhomogeneity laws of the coating material described by continuous radial coordinate functions, the body is placed in an ideal fluid, underlying surface is perfect (absolutely hard or acoustically soft).
An analytical solution of the direct diffraction problem is obtained. The scattered acoustic field and wave fields in the cylinder and its coating are defined.
Based on the solution of the direct problem a mathematical modeling of an inhomogeneous anisotropic coating of a elastic cylinder providing the least sound reflection done.
The inhomogeneity laws of the coating material ensuring the minimum sound scattering in the given frequency range at a fixed angle of observation and also in the given angular sector of observation at a fixed frequency are obtained. The functionals expressing the average intensity of sound scattering are built. Minimization of the functionals are implemented with the help of the burnout simulation algorithm.
The results of numerical calculations of frequency dependencies of intensity of the scatter acoustic field at the optimal parabolic inhomogeneity laws are presented for different types of transverse-isotropic coatings.
Keywords: sound waves, scattering, homogeneous elastic cylinder, inhomogeneous anisotropic coating.
Bibliography: 18 titles. For citation:
L. A. Tolokonnikov, D. Yu. Efimov, 2022, "Scattering of a plane sound wave by elastic a cylinder with an inhomogeneous anisotropic coating in the presence of a plane" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 3, pp. 207-223.
1. Введение
Исследованию рассеяния звука цилиндрическими телами с упругими покрытиями посвящен ряд работ. Например, рассеяние плоских волн цилиндром, имеющим упругое покрытие и находящимся в безграничном пространстве, изучено в [1-5]. В [6] решена обратная задача об определении оптимальных законов неоднородности материала покрытия цилиндра, обеспечивающих наименьшее звукоотражение плоской волны. Прямые и обратные задачи рассеяния
звука цилиндрами с неоднородными покрытиями в присутствии ограничивающих поверхностей рассмотрены в [7-11]. Во всех упомянутых выше работах покрытия цилиндрических тел рассматривались как изотропные. Анизотропия материала покрытия не учитывалась. Лишь в работе [12] осуществлено математическое моделирование неоднородного анизотропного покрытия упругого цилиндра, обеспечивающего наименьшее отражение звука в случае, когда тело находится в свободном пространстве.
В настоящей работе рассматриваются прямая и обратная задачи рассеяния плоской звуковой волны на однородном изотропном упругом цилиндре с радиально-неоднородным трансверсально-изотропным упругим покрытием в присутствии идеальной (абсолютно жесткой или акустически мягкой) подстилающей плоской поверхности.
2. Постановка задачи
Рассмотрим изотропный упругий цилиндр бесконечной длины радиусом го, материал которого характеризуется плотностью ро и упругими постоянными Ао и ро- Цилиндр имеет покрытие в виде радиально-неоднородного трансверсально-изотропного упругого слоя с внешним радиусом г\. Тело находится в полупространстве, заполненном идеальной однородной жидкостью с плотностью pi и скоростью звука с. Плоская подстилающая поверхность Г является абсолютно жесткой или акустически мягкой. Ось цилиндра параллельна плоскости Г и отстоит от неё на расстоянии d.
Введем прямоугольную декартову систему координат х, у, z так, чтобы координатная ось z совпадала с осью вращения цилиндра. В системе координат х, у, z граница полупространства Г определяется уравнением у = —d. С прямоугольной системой координат свяжем цилиндрическую систему координат г, р, z (рис. 1). Материал покрытия характеризуется модулями упругости Xijki, которые описываются дифференцируемыми функциями радиальной координаты г, и плотностью р, которая является непрерывной функцией координаты г. Ось z является осью цилиндрической анизотропии материала покрытия.
Пусть из внешнего пространства на цилиндр перпендикулярно его оси падает плоская монохроматическая звуковая волна, потенциал скорости которой
Ф0 = A exp [i(k ■ r) — iwt],
где А — амплитуда волны; k = {кх, ку, 0} — волновой вектор падающей волны; r = {х, у, 0} — радиус-вектор; х = г cos <р; у = г sin <р; кх = к cos ф0\ ку = к sin ф0\ р0 — угол, образованный вектором k с положительным направлением оси х\ ш — круговая частота; t — время. В дальнейшем временной множитель exp (—iwt) будем опускать.
Определим акустическое поле, рассеянное цилиндром с неоднородным трансверсально-изотропным покрытием в присутствии идеальной плоскости. Осуществим моделирование покрытия, обеспечивающего требуемое звукоотражение.
3. Приближенное аналитическое решение прямой задачи
Рассматриваемая задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты z.
Распространение звуковых волн в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [13]
ДФ + й2Ф = 0, (1)
где Ф — потенциал скорости полного акустического поля.
А У
у = -<л Г
Рис. 1: Геометрия задачи
Скорость частиц V и акустическое давление р в жидкости определяются по формулам
V = grad Ф, р = гр\иФ.
В случае установившегося режима колебаний распространение упругих волн в однородном изотропном упругом цилиндре описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмголь-ца [13]
АЬ + кТ Ь = 0, ДФ + к2т Ф = 0,
где Ь и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения ио;
и0 = grad Ь + го1 Ф;
к\ = и/ц л кт = и/ст — волновые числа продольных и поперечных упругих волн; с\ = д/(А0 + 2р0) /р0 и ст = д/р0/ро — скорости продольных и поперечных волн.
Так как Ф = Ф (г, е^, где ег — единичный вектор оси г, то от векторного уравнения от-Ф
Ф (г, Ф)
ДФ + кТ Ф = 0.
Учитывая условия ограниченности, функции Ь и Ф будем искать в виде
го
Ь = впЗп (к1 Г) ехр [т (р - (£0)], (2)
П= — ГО
го
Ф= г) ехр [т (ф - ^0)] , (3)
п=-го
где Зп (х) — цилиндрическая функция Бесселя порядка п.
Компоненты вектора смещения ио, записанные через функции Ь и Ф, в цилиндрической системе координат имеют вид
дЬ 1д Ф
ПОг = "ТТ" + "ТТ",
дг г др 1 дЬ д Ф
г др дг
Соотношения между компонентами тензора напряжений ао^ и вектора смещения ио в однородном изотропном цилиндре имеют вид [14]
UQtp =
G0rr = Aq
dUQr + 1
dr г
aq + 2 jq
ди
■Qip
dip
du,QV dp
+ UQr
+ 2jq
duQr д
+ UQr + Aq
duQr dr ''
VQrif = Jq
' 1 dUQr + du,QV
j dp
d
UQip
r
Используя соотношения приведенные выше, выразим компоненты тензора напряжений а0гг, vQrv через функции L, Ф
X ,2г о l'd2L 1 д2Ф VQrr = —aq ki L + 2jq ( +—
i дФ\
d 2 d d p 2 d p
JQ (2 d2L
VQrip = — I 2-
d d p
1 dL\ _
r dp ) JQ
'д2Ф d2
1 d Ф d
1 д2Ф
2 d p2
) •
Распространение упругих волн в неоднородном анизотропном покрытии цилиндра описывается общими уравнениями движения упругой среды, которые для установившегося режима движения в цилиндрической системе координат имеют вид [14]
да„ d
да.
+ -
1 да,
г<р
Пр
г dp 1 да,
+
атт а t
2
ш2р Ur,
2
(4)
дг
- - юю , 2 2
+---г + _а = —шр Up,
г dp г
где иг, и^ и а^ — компоненты вектора смещения и и тензора напряжении в покрытии цилиндра.
Для трансверсально-изотропной упругой среды число независимых модулей упругости равно пяти (Ац, А12, А22, А23, А55). При такой анизотропии поверхностями изотропии являются концентрические цилиндрические поверхности.
Компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора деформаций е^ соотношениями обобщенного закона Гука [14]
агг = A11 £rr + A12 £ipip, а^р = A12 €rr + A22 £ipip, аГ1р = 2A55 (5)
Здесь использовано двухиндексное обозначение модулей упругости Aik (i,k = 1, 2, • • •, 6). При этом значениям индексов 1, 2, 3, 4, 5, 6 отвечают соответственно пары индексов 11, 22, 33, 23, 13, 12.
Компоненты тензора деформаций связаны с компонентами вектора смещений соотношениями
Err —
dUr
дг '
1 dU
Ur
¡pip = I
r r dp
' 1 dUr dUu
+ — Ut
j dp dr r
(6)
Получим приближенное решение прямой задачи, пренебрегая отражением от плоскости Г волн, рассеянных телом, но учитывая рассеяние цилиндром волны, образующейся при отражении падающей плоской волны от плоскости.
В силу линейной постановки задачи потенциал скорости полного акустического поля Ф представим в виде
Ф = Фо + Ф1 + Ф,1 + Ф,2, (7)
где Ф1 — потенциал скорости волны, возникающей при отражении падающей плоской волны от плоскости Г Ф«1 — потенциал скорости волны, возникающей при рассеянии цилиндром падающей плоской волны; Ф^2 — потенциал скорости волны, возникающей при рассеянии цилиндром отраженной от плоскости волны.
Г
дует считать, что d ^ Г1. Ф1
Г
нулю нормальной скорости частиц жидкости
д
ОУ (Фо + Ф1)|«=-^ = 0, (8)
Г
(Фо + Фх)|у=_^ = 0, (9)
Г Ф1
Ф1 = А1 exp[¿(k! ■ r)], (10)
где А1 — амплитуда волны; k1 = {к1Х, к1У, 0} — волновой вектор отраженной от плоскости волны; к,1х = к cos ^>1; к1У = к sin ^>1; — угол, образованный вектором k1 с положительным направлением оси х. Согласно закону Снеллиуса [15] к1х = кх и = 2п — (ро. Подставляя (10) в граничные условия (8) и (9), находим
А1 = ±А exp (i2kd sin ^0), (11)
где знаки «+» и» «-» относятся к случаям жесткой и мягкой подстилающих поверхностей соответственно.
В цилиндрической системе координат падающая плоская волна представляется разложением [16]
те
Фо = А ^ in Jn(kr) exp [in(tp — ро)]. (12).
Потенциалы Ф.,1 и Ф^2 являются решениями уравнения Гельмгольца (1)и должны удовлетворять граничным условиям на внешней стороне покрытия, а также условиям изучения на бесконечности [13].
Чтобы найти Ф51 необходимо определить поле смещений в неоднородном покрытии, воз-
Фо
Фs2 необходимо определить поле смещений, возникающее в покрытии в результате падения
Ф1
Граничные условия на внешней поверхности покрытия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой неоднородной анизотропной среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений.
На внешней поверхности покрытия (при г = Г\) потепциал должен удовлетворять граничным условиям
д
-шиг = — (Фо + Ф^1), агг = -гр1^(Фо + Ф3{), orip = 0, (13)
а потенциал Ф^2 — условиям
д
-iwur = — (Ф1 + Ф^2), Orr = -¿Р1^(Ф1 + Ф^2), (УгV = 0. (14)
На внутренней поверхности слоя при переходе через границу раздела упругих сред (при г = Го) должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, нормальные и тангенциальные напряжения:
Ur = U0r, Utp = U0ip, &rr = &0rr, &r<p = &0r<p. (15)
В случае радиальной неоднородности и трансверсально-изотропности материала покрытия цилиндра волновые поля в жидкости и в покрытии симметричны относительно плоскости р = ^0, V0 + к и описываются периодическими функциями координаты р. Поэтому компоненты вектора смещений будем искать в виде рядов Фурье
иг (г,р) = 52 иы (г) exp[m(^> - ^0)],
(16)
оо v '
(г, р) = 52 Ü2n (г) exp[in(<p - Р0)].
Введем новые неизвестные функции U\n(г) и U2n(r) по формулам
(!ы (г) = AUm (г), Ü2n (г) = AU2n (г).
Введение новых функций позволит найти вектор смещения неоднородного упругого покрытия u, независящий от амплитуды падающей звуковой волны.
Подставляя выражения (16) в уравнения (4), получим с учетом (5) и (6) следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций U\n(r) и U2n(r) для каждого п:
ÄnU + B nU'n + CnUn = 0, (17)
где Un = (U in (г) ,U2n (r))T; Ап = (anij )2x2, Bn = (bnij )2x2, Cn = (cnij )2x2 _ матрицы второго порядка с элементами
ßraii = Ацг^ ani2 = an2i = ° an22 = A55r^
bnii = A'nr2 + Xiir, bni2 = bn2i = in (Ai2 + A55) г, Ьп22 = А;55Г2 + Л55Г,
Cnii = Ш2рг2 - n2\55 + Х^Г - A22, Cni2 = in (Х^Г - X55 - X22) ,
Cn2i = in (А55Г + Л55 + A22) , СП22 = Ш2рГ2 - П2Х22 - Х^Г - Л55.
Здесь штрихи означают дифференцирование по аргументу.
С учетом условий излучения на бесконечности потенциал Ф^1 будем искать в виде
оо
Фв1 = Y^ АпНп (kr)exp[in (р - р0)\, (18)
п=—оо
п=—оо
где Нга(х) - цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка п. Подставляя (12), (16) и (18) в первое граничное условие (13), находим
= _ А [ггакЗ^(кг 1) + щЦ1п(г 1)] Ага = кН'п (кг 1) • (19)
Подставляя (12), (16) и (18) во второе и третье условия (13), получаем два краевых условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений
АгаИ + Егаи Л = Вп, (20)
V ^ / Г=Г1
где элементы матриц Ега = ()2Х2 и Оп = (с1Пг)2х1 определяются следующими выражениями:
А12 ш2р1Нп(кг) тА 12 гпА55 А55
&п11 =--1--, ТТ. п \—, е„12 =-, еП21 =-, еП22 =--,
г кН'п (кг) г г г
а _ 2гпшр1 а _ о п :ккгН!п (кг)' п
При получении выражения для йп1 было использовано выражение для вронскиана [16 ]
2
,]п(х)Н'п(х) - ,]'п(х)Нп(х) = — •
жх
Из условий непрерывности составляющих вектора смещений при г = Го находим неизвестные коэффициенты Вп, Сга разложений (2) и (3), выраженные через величины ^1га(Го),
и2 п (г о)
Из оставшихся неиспользованными граничных условий (15) находим еще два краевых условия для системы дифференциальных уравнений (17)
А-пи'п + Е^и „) = 0, (21)
/ г=го
где элементы матрицы Рга = (/п^)2Х2 определяются по формулам
fn.11 = [Ъпе-1 п + 73гае-2п + А12/г], 1п12 = [72™е ы + 74«е2п + тАи/г], /га21 = Ро [71гае3га + 73габ4га + тА55/ (рог)\ , /га22 = Ро [72п^3га + 74гав4га - А55/ (рог)\ ,
еы = [Аоп2.].п (кгг) - к2г2 (Ао + 2ро) З^ (кгг) - АокгЗ'п (кгг)] ,
с2га = 2ро%п [Iга (ктг) - ктгЗ^ (кт0] , е3га = 2гп [З,п (кгг) - к^гЗ'га (кгг) , С 4га = \кгТ<2Зга (кгг) - кгГЗ'га (ктг) + п2Зга (ктг)] , 71га = кгГЗ'га (ктГ) /Дга, 72га = %пЗп (ктг) /Дга, 73га = %пЗп (кгг) /Дга, 74га = -к^З'^ (кгг) /Дга,
Дга = г [кгг2З'га (кгг) ктЗ^ (ктг) - п2Зга (кгг) Зга (ктг)] •
Таким образом, для нахождения функций ^1га(г) и и2П(т) следует решить краевую задачу (17), (20), (21). Эта краевая задача может быть решена разными методами, например, методом сведения ее к задачам с начальными условиями или методом сплайн-коллокации.
Ага
потенциал скорости Ф51 определяется выражением (18).
Аналогично можно найти потенциал Ф82- Однако для его определения можно воспользоваться результатом, полученным для Ф.^. Для этого достаточно в качестве волны, падающей
на цилиндр, рассматривать плоскую волну с потенциалом Ф1. При этом азимутальный угол падения волны с потенциалом Ф1 равен = — ро, а амплитуда этой волны А1 определятся выражением (11). Поэтому в выражении (19) для коэффициента Ап следует сделать замену А на А1, а в разложении (18) заменить ро на —ро-
Потенциал скорости рассеянного поля Ф5 имеет вид
Ф5 = Ф1 + Фв1 + Ф32
или
оо
Ф, (ш, ф) = ^ [Ага Нп(кг)е-гп^ + ¿1 (^пЗп(кг) + Нп(кг)) егп^] егп
4. Решение обратной задачи
Используя полученное решение прямой задачи, определим законы неоднородности материала покрытия, для которых будем иметь наименьшее звукоотражение в заданном диапазоне частот ш € [^1, Ш2] при фиксированном угле наблюдения р = заданном угловом секторе
наблюдения р € [^>1, ^>2] при фиксированной частоте ш = ш*.
Будем считать, что функции р, Ац, А12, А22, А55 аппроксимированы многочленами второй степени относительно переменной г
ц (г) = Г1*т] (г), (22)
где
г?(г) = ^(0) + Г](1)Г + Г](2)Г2. (23)
Здесь и далее под символом ц подразумевается каждая из величин р, , а под символом г]* — соответствующие характерные величины для механических свойств материала покрытия. Модуль упругости Л23 не рассматривается, так как он не присутствует в математической модели задачи.
Введем в качестве меры рассеяния звука величину интенсивности звукового рассеяния I (ш, р) = |Ф8 (ш, р) / А^2 и построим функционалы Ф1 и Ф2 вида
Ш2
Ф1 [р, Л11, Л12, Л22, А55] = (^ — ^) УI (ш, V*) йш, (24)
Ш1
V 2
Ф2 [р, Л11, Л12, Л22, А55] = 1 (ш*,^) ^, (25)
VI
определенные на классе параболических функций (23) и выражающие усредненные интенсивности рассеяния звука в заданных диапазоне частот и угловом секторе наблюдения соответственно.
Для каждого функционала найдем такие значения коэффициентов г](г) (г = 0,1, 2) в (23), при которых он достигает минимального значения.
Для функций (23), определенных на отрезке [го, Г1], введем ограничения
С1„ < ](г) < С^, (26)
где С1^, С2г] — некоторые положительные константы.
осью ординат Г (г) бесконечное множество парабол, лежащих в прямоугольной области п(^(о\ г1(1),^2)) = {(г, /): го ^г^ п, С1п } •
В области О каждая парабола Г ( г) единственным образом определяется тремя точками Оог! (Го, /от)), О^ (Г, /1г,), 02г1 (П, /2г,), где Г = (Го + п) /2, ¡ЯТ) е [С1Г,, С2п] (я = 0,1, 2).
Подставляя координаты точек ОоО2^ в (23), приходим к системе трех линейных алгебраических уравнений, из которой находим
~П(0) = [¡от)ПГ (Г - п) + ¡1ппго (г 1 - го) + Нг,гго (го - г)] /Дг,
Г](1) = [/оV И - Г2) + /1г, (г2о - г2) + ¡2, {г2 - г20)] / Д, (27)
Л(2) = [¡от] (Г - п) + ¡1п (г 1 - Го) + ¡2г] (го - Г)] /Дг,
где
Дч = ( г 1 - го) (г1го - г1г - гоГ + Г2) •
Выбирая из отрезка [ С1г!, С2г]] значения ординат /о^ /2г] и вычисляя с помощью соотношений (27) значения коэффициентов г](о\ г)(1\ г](2\ получаем параболические законы неоднородности материала покрытия. При этом не все параболические законы являются допустимыми.
Если выполняется условие
го < -г](1)/ (2г](2)) < П,
[ о, 1 ]
чае параболу следует рассматривать только тогда, когда ордината ее вершины принадлежит отрезку [ С,С2г1 ], то есть при выполнении условия
(2Г
С1, < г](о) - г](1)2/ (4г?(2)) ^•
Нахождение значений коэффициентов г](о\ г](1\ г](2"> функций (23), удовлетворяющих условиям (26) и минимизирующих функцию пятнадцати переменных
Фт (p(0),p(1),p(2),•••,А505),А515),А525)) ^ Ш1П (ш = 1, 2),
осуществим с помощью алгоритма имитации отжига [17].
Введем для ординаты ( д = 0,1, 2) точки 0я-п на отрезке [С1г],С2г]] равномерную сетКУ ) = С1г1 + 1Яг1 Ъ. Здесь — номер узла сетки, Ъ = (С2г1 - С1г1) /п — шаг сетки, п — количество равных частей, на которые разбит отрезок [ С,Сщ]•
Алгоритм имитации отжига относится к алгоритмам типа случайного поиска и представляет собой метод решения задачи глобальной оптимизации [17]. На первом этапе из множества допустимых дискретных сочетаний на введенной сетке случайным образом выбирается начальная точка — совокупность пятнадцати значений
/ ^ = (fоp, flp, f2p, •••, ¡ох55, ¡1Х55 , /2X55 ),
а также устанавливаются параметры Ттах и Ттщ — наибольшая и наименьшая температура системы. Алгоритм основывается на имитации физического процесса, который происходит при кристаллизации вещества. На каждом последующем шаге итерационного процесса происходит генерация нового допустимого решения и понижение температуры в соответствии с правилами
1(з) = !(з-1) +т (¿) -X, X ~ С (0,1) ,
т а) = ттах/1(1/™),
где С (0,1) — стандартное распределение Коши размерности w^, ] — номер шага. Решение /^ принимается как оптимальное, если Фт (/^) меньше наименьшего значения Ф^1^, найденного к текущему моменту. Преимуществом метода отжига является возможность избежать «ловушки» в локальных минимумах функции. Это достигается за счет не только принятия изменений параметров, уменьшающих значение функции Фт, но и некоторых изменений, увеличивающих ее. Решение /^ может быть принято оптимальным, если
а <Р
Ф^1п) - Фт (/(Л) ,Т (з)
где а € (0,1) — случайная равномерно распределенная величина; Р — функция плотности вероятности распределения Гиббса [17]. Алгоритм продолжает свою работу до тех пор, пока
т Ц) >ттщ.
Найденный таким образом локальный минимум функции Фт и соответствующий ему набор коэффициентов зависит от выбора начальной точки, от значения шага Н, вектора X, а также значений а, Р, которые за одну полную процедуру поиска могут вычисляться достаточно большое количество раз. Поэтому процедура поиска локального минимума повторяется М раз, а в качестве конечного решения выбирается наилучший найденный результат.
Применение метода отжига для минимизации функционалов вида (24) и (25) подробно описано в [12].
5. Численные исследования
Были проведены расчеты параметров неоднородности покрытия цилиндра, обеспечивающих наименьшее рассеяние звука в дальней зоне акустического поля при г/го = 100.
Полагалось, что магниевый цилиндр (ро = 1,74 ■ 103 кг/м3, Ао = 3,8 ■ 1010 Н/м2, /ло = 1, 6■ 1010 Н/м2) радиуса го = 1 м с неоднородным упругим покрытием толщиной 0, 2 м располагается в полупространстве, заполненном водой (р1 = 103 кг/м3, с = 1485 м/с). Расстояние от оси цилиндра до границы полупространства й = 20го- При расчетах рассматривались два типа материала неоднородного трансверсально-изотропного цилиндрического слоя, а также случай изотропного неоднородного покрытия. Изотропной базой всех материалов был выбран алюминий с характерной плотностью р* = 2, 7 ■ 103 кг/м3. Характерные значения модулей упругости приведены в таблице.
Характерные величины модулей упругости (хЮ1^) Н/м2
Материал А11 Л12 Л22 Л55
Тип 1 5,74 3,28 16,4 2,54
Тип 2 16,4 0,82 5,74 2,95
Изотропный 10,5 5,3 10,5 2,6
Полагалось, что плоская звуковая волна единичной амплитуды падает на цилиндр с покрытием в присутствии абсолютно жесткой плоскости под углом ро-
Решение краевой задачи (17), (20), (21) получено методом сплайн-коллокации [18]. В ограничениях (26) полагалось С^ = 0, 5, = 1, 5. При применении алгоритма отжига шаг сетки выбирался равным Н = 0.125, размерность пространства параметров и> = 15. Для каждого типа покрытия цилиндра эксперимент по поиску оптимальных значений параметров неоднородности проводился М = 10 раз, а каждый эксперимент обеспечивал 32768 итераций за одну полную процедуру поиска оптимальных значений при 5 ^ Т (]) ^ 10.
Законы неоднородности материала покрытия, обеспечивающие наименьшую интенсивность рассеяния звука цилиндром с покрытием при фиксированном угле р* = 2к/3 и ро = -к/3 в частотном диапазоне, определяемым изменением волнового размера цилиндра в промежутке 5 ^ к го ^ 7 имеют следующий вид: тип 1
р = 2, 7 ■ 103 ■ 1, 5, Аи = 5, 74 ■ 1010 (-100г2 + 220г - 119, 5) , А12 = 3, 28 ■ 10ю (-87, 5г2 + 192, 5г - 104, 5) , (28)
А22 = 16, 4 ■ 1010 (-100г2 + 220г - 119, 5) , А55 = 2, 54 ■ 1010 (12, 5г2 - 28, 75г + 17, 75) ;
тип 2
р = 2, 7 ■ 103 ■ 1, 5, Аи = 16, 4 ■ 1010 (-37, 5г2 + 82, 5г - 44, 5) ,
А12 = 0, 82 ■ 1010 (-100г2 + 220г - 119, 5) , (29)
А22 = 5, 74 ■ 1010 (12, 5г2 - 22, 5г + 10, 5) , А55 = 2, 54 ■ 1010 (62, 5г2 - 140г + 79) ;
изотропный
р = 2, 7 ■ 103 ■ (-12, 5г2 + 23, 75г - 9, 75) ,
Ац = 10, 5 ■ 1010 ■ 0, 5,
А12 = 5, 3 ■ 1010 (50г2 - 110г + 61, 5) , (30)
А22 = 10, 5 ■ 1010 (25г2 - 55г + 30, 75) ,
А55 = 2, 6 ■ 1010 (68, 75г2 - 153,125г + 85, 875) •
Значения функционала Ф1, соответствующие оптимальным законам (28) и (29) для анизотропного неоднородного покрытия, равны Ф1 =0, 66 ■ 10-2 и Ф1 =0, 59 ■ 10-2. Для изотропного случая с законами неоднородности (30) получили значение Ф1 = 0, 57 ■ 10-2.
Для оценки эффективности покрытий с оптимальными звукоотражающими свойствами было рассчитано значение функционала для упругого цилиндра без покрытия, которое составило Ф1 = 1,14 ■ 10-2.
Для случая фиксированной частоты, которой соответствует волновой размер цилиндра к Го = 6, в угловом секторе ж/2 ^ р ^ ■к ^^и ^^^е падения плоской волны ро = -^/6 получены следующие оптимальные законы неоднородности материала покрытия: тип 1
р = 2, 7 ■ 103 ■ 1, 5, Ац = 5, 74 ■ 1010 (-6, 25г2 + 15, 625г - 8, 25) ,
А12 = 3, 28 ■ 1010 (-62, 5г2 + 137, 5г - 74, 5) , (31)
А22 = 16, 4 ■ 1010 ■ 0, 5, А55 = 2, 54 ■ 1010 (50г2 - 108, 75г + 60) ;
тип 2
р = 2, 7 ■ 103 ■ 1, 5, Ац = 16, 4 ■ 1010 (-6, 25г2 + 15, 625г - 8, 25) ,
А12 = 0, 82 ■ 1010 (-62, 5г2 + 137, 5г - 74, 5) , (32)
А22 = 5, 74 ■ 1010 ■ 0, 5, Л55 = 2, 54 ■ 1010 (50г2 - 108, 75г + 60) ;
изотропный
р = 2, 7 ■ 103 ■ 1, 5, Ац = 10, 5 ■ 1010 (-12, 5г2 + 22, 5г - 8, 5) , Л12 = 5, 3 ■ 1010 (-25г2 + 60г - 34, 5) , (33)
Л22 = 10, 5 ■ 1010 ■ 0, 5, Л55 = 2, 6 ■ 1010 (-62, 5г2 + 135г - 71, 5) .
Наименьшие значения функционала Ф2 при оптимальных законах (31) и (32) для покрытий из материалов типов 1 и 2 равны Ф2 = 0, 54-10-2 и Ф2 = 0, 27-10-2, а для изотропного покрытия при оптимальных законах (33) Ф2 = 0, 4 ■ 10-2. Значение функционала для упругого цилиндра без покрытия составило Ф2 = 0, 85 ■ 10-2.
На рис. 2, 3, 4 приведены зависимости интенсивности звукоотражения I (w,^>) от волнового размера ЙГ0 при р = 2-^/3 в диапазоне 5 ^ fcr0 ^ 7. Сплошными линиями изображены частотные зависимости для цилиндров, имеющих покрытия с оптимальными законами неоднородности (28) (рис. 2), (29) (рис. 3) и (30) (рис. 4). Пунктирными линиями обозначены зависимости для цилиндра без покрытия.
/(со,2л/ 3)
■■ h i' »■'Г. 1
л II X U V ft i ff V 1 j \j . "i ] :
5 6 7
кг0
Рис. 2: Частотные зависимости интенсивности звукового рассеяния для цилиндра с покрытием тина 1
Чтобы выявить влияние свойств подстилающей поверхности Г на рассеянное акустическое поле, была осуществлена процедура минимизации функционала Ф1 в частотном диапазоне, соответствующем изменению волнового размера в промежутке 5 ^ йго ^ 7 при фиксированном значении угла р* = 2^/3 и азимутальном угле падающей волны ^о = —^/3 в случае акустически мягкой границы полупространства для цилиндра с неоднородным трансверсально-изотропным покрытием типа 1. Минимальному значению Ф1 = 0, 63 ■ 10-2 соответствует покрытие со следующими параметрами
р = 2, 7 ■ 103 ■ 1, 5,
/(ю,2л/ 3)
5 6 7
кг0
Рис. 3: Частотные зависимости интенсивности звукового рассеяния для цилиндра с покрытием тина 2
Лц = 5, 74 ■ 1010 (-100г2 + 220г - 119, 5) ,
Л12 = 3, 28 ■ 1010 (-100г2 + 220г - 119, 5) , (34)
Л22 = 16, 4 ■ 1010 (-25г2 + 56, 25г - 30, 75) , Л55 = 2, 54 ■ 1010 ■ 1, 5.
При этом значение функционала для цилиндра без покрытия составило Ф1 = 1,12 ■ 10-2.
5 6 7
кг0
Рис. 4: х1астотные зависимости интенсивности звуковохч) рассеяния для цилиндра с изотропным покрытием
На рис. 5 приведены частотные характеристики для цилиндра с оптимальным покрытием (34) (сплошная линия) и без покрытия (пунктирная линия) при р = 2^/3 в случае акустически мягкой границы Г.
/(го, 2л/3)
Рис. 5: Частотные зависимости интенсивности звуковох'о рассеяния в случае акустически мягкой поверхности Г
6. Заключение
В настоящей работе получены аналитические решения прямой и обратной задач дифракции плоских звуковых волн на однородном изотропном упругом цилиндре с радиально-неоднородным трансверсально-изотропным покрытием в присутствии плоской подстилающей поверхности. Осуществлено математическое моделирование покрытия, позволяющих) обеспечивать минимальное звукоотражение в заданных диапазоне частот и угловом секторе наблюдения.
Результаты расчетов показали, что с помощью неоднородных покрытий возможно существенно изменять дифракционную картину и достигать требуемое звукоотражение тел.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Honarvar F., Sinclair A. Scattering of an obliquely incident plane wave from a circular clad rod. /7 .J. Ac-oust. Soc. Am. 1997. Vol. 102. No. 1. P. 41 48.
2. Косарев О.И. Дифракция звука на упругой цилиндрической оболочке с покрытием /7 Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. Т. 46. № 1. С. 34 37.
3. Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием /7 Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850 857.
4. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием /7 Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265 274.
5. Ларин И. В., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием /7 Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242 250.
6. Толоконников Л. А., Ларин Н.В., Скобельцын С. А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами // Прикладная механика и техническая физика. 2017. № 4. С. 189-199.
7. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 276-289.
8. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства // Прикладная математика и механика. 2021. Т. 85. Вып. 6. С. 779-791.
9. Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с радиально-неоднородным упругим покрытием в плоском волноводе // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20. Вып. 1. С. 270-281.
10. Толоконников Л. А, Ларин Н.В. Рассеяние цилиндром с неоднородным покрытием звуковых волн, излучаемых линейным источником, в плоском волноводе // Математическое моделирование. 2021. Т. 33. № 8. С. 97-113.
11. Толоконников Л. А., Белкин А. Э. Определение законов неоднородности покрытия цилиндра, находящегося в плоском волноводе, для обеспечения минимального отражения звука // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21. № 4. С. 354-368.
12. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Моделирование неоднородного анизотропного покрытия упругого цилиндра, обеспечивающего наименьшее отражение звука // Чебышевский сборник. 2022. Т. 23. № 1. С. 293-311.
13. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
14. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
15. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.
16. Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
17. Лопатин А.С. Метод отжига // Стохастическая оптимизация в информатике. 2005. Вып. 1. С. 133-149. СПб.: Изд-во СПбГУ.
18. Завьялов Ю.С., Квасов Б. П., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980, 352 с.
REFERENCES
1. Honarvar, F. к, Sinclair, А. 1997, "Scattering of an obliquely incident plane wave from a circular clad rod", J. Acoust. Soc. Am., vol. 102, no. 1, pp. U IK.
2. Kosarev, О. I. 2012, "Diffraction of sound by an elastic cylindrical shell with a coating", Probl. Mashinostr. Nadezh. Mashin, vol. 46, no 1, pp. 34-37, fin Russian].
3. Romanov, A.G. k, Tolokonnikov, L. A. 2011, "The scattering of acoustic waves by a cylinder with a non-uniform elastic coating", J. Appl. Math. Mech., vol. 75, no. 5, pp. 595-600.
4. Tolokonnikov, L.A. 2013, "Scattering of an obliquely incident plane sound wave by an elastic cylinder with a non-uniform covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2-2,
pp. 265-274, fin Russian].
5. Larin, N.V. к Tolokonnikov, L.A. 2015, "The scattering of a plane sound wave by an elastic cylinder with a discrete-layered covering", J. Appl. Math. Mech., vol. 79. no 2, pp. 164-169.
6. Tolokonnikov, L. A., Larin, N. V. к Skobel'tsvn, S. A. 2017, "Modeling of inhomogeneous coating of an elastic cylinder with given sound-reflecting properties", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, no. 4, pp. 733-742.
7. Tolokonnikov, L. A. 2018, "Diffraction of a plane sound waves by an elastic cylinder with an non-uniform coating situated near to a flat surface", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki , no. 9, pp. 276-289, fin Russian].
8. Tolokonnikov, L. А. к Efimov, D. Yu. 2021, "Diffraction of Sound Waves at an Elastic Cylinder with an Inhomogeneous Coating in the Vicinity of the Boundary of an Elastic Half-Space", Mechanics of Solids, vol. 56, no. 8, pp. 1641-1648.
9. Tolokonnikov, L. A. 2019, "Scattering of sound waves by an cylinder with an radial non-uniform elastic coating in a planar waveguide", Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 270-281, fin Russian].
10. Tolokonnikov, L. A., Larin, N. V. 2021, "Scattering by a cylinder with a inhomogeneous coating of sound waves radiated linear source in a flat waveguide ", Mathematical modelling, vol. 33, no. 8, pp. 97-113, fin Russian].
11. Tolokonnikov, L. А. к Belkin A. E. 2020, "Determination of the inhomogeneitv laws of a cylinder covering located in a plane waveguide for providing minimum sound reflection", Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 354-368, fin Russian].
12. Tolokonnikov, L.A. к Efimov, D.Yu. 2022, "Modeling the inhomogeneous anisotropic coating of an elastic cylinder that provides minimal sound reflection", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 1, pp. 293-311, fin Russian].
13. Shenderov, E.L. 1972, "Wave problems of underwater acoustics", Sudostroenie, Leningrad, 352 p. fin Russian].
14. Nowacki, W.1973, "Teoria sprezystosci", PWN, Warszawa.
15. Brekhovskikh, L.M. 1973, "Waves in Layered Media", Nauka, Moscow, 344 p., fin Russian].
16. Ivanov, E.A. 1968, "Diffraction of electromagnetic waves by two bodies", Nauka i tekhnika, Minsk, 584 p., fin Russian].
17. Lopatin, A.S. 2005, "Annealing method", Stochastic optimization in computer science, SPtb. Gos. Univ., no. 1, pp. 133-149, fin Russian].
18. Zavvialov, Yu. S., Kvasov, В. I. к Miroshnichenko, V. L. 1980, "Spline function methods", Nauka, Moscow, 352 p.,fin Russian].
Получено 26.08.2022 Принято в печать 14.09.2022
