Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Нелинейная динамика. 2011. Т. 7. № 2. С. 227-238. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru

УДК: 517.938 М8С 2010: 37Е30

Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности каскадов Морса—Смейла на 3-многообразиях

О. В. Починка

В работе рассматривается класс МБ(М3) диффеоморфизмов (каскадов) Морса-Смейла, заданных на связных замкнутых ориентируемых 3-многообразиях М3. Для диффеоморфизма f £ МБ(М'3) вводится понятие схемы Sf, которая содержит информацию

о периодических данных каскада и топологии вложения сепаратрис седловых точек. Устанавливается, что необходимым и достаточным условием топологической сопряженности диффеоморфизмов £ М>в(М3) является эквивалентность схем Sf .

Ключевые слова: диффеоморфизм (каскад) Морса-Смейла, топологическая сопряженность, пространство орбит

1. Введение и формулировка результатов

В 1937 году А. А. Андронов и Л. С. Понтрягин [2] ввели понятие грубой системы (системы дифференциальных уравнений в ограниченной части плоскости, не меняющей своих качественных свойств при малых изменениях правых частей) и указали необходимые и достаточные условия для того, чтобы система была грубой. Наиболее непосредственное обобщение этих условий выделяет класс динамических систем (как потоков, так и каскадов) Морса-Смейла.

Определение 1. Динамическая система на замкнутом многообразии Мп, п > 1, называется системой Морса-Смейла, если

1) неблуждающее множество системы гиперболично и состоит из конечного числа неподвижных точек и периодических орбит,

Получено 12 мая 2011 года После доработки 2 июня 2011 года

Работа поддержана грантом Правительства Российской Федерации 11.G34.31.0039.

Починка Ольга Витальевна [email protected]

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского 603950, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23

2) инвариантные многообразия неподвижных точек и периодических орбит пересекаются трансверсально.

Своим названием эти системы обязаны С. Смейлу [24], который в 1961 году рассмотрел класс потоков со свойствами 1), 2) и доказал для них выполнение соотношений, аналогичных неравенствам Морса. Хорошо известно, что динамические системы Морса-Смейла на многообразиях любой размерности действительно являются грубыми (структурно устойчивыми), но не являются типичными, за исключением потоков Морса-Смейла на поверхностях и систем Морса-Смейла на окружности.

Одним из первых вопросов, возникающих при изучении динамической системы, является вопрос о поведении ее траекторий и возможности качественно (с точностью до топологической эквивалентности (сопряженности)) отличать это поведение от поведения траекторий другой системы. Решение этих задач составляет топологическую классификацию динамических систем и заключается, во-первых, в выделении информации о системе, однозначно определяющей ее класс топологической эквивалентности (сопряженности) и называемой полным топологическим инвариантом, и, во-вторых, в реализации — построении по выделенной информации стандартного представителя в каждом классе топологической эквивалентности (сопряженности). Возможность реализации позволяет моделировать системы с заданными свойствами. Приведем некоторые классификационные результаты для динамических систем Морса-Смейла.

Класс эквивалентности потока Морса-Смейла на окружности однозначно определяется числом его неподвижных точек. Для каскадов на окружности полный топологический инвариант получен А. Г. Майером [17] в 1939 году и состоит из числа периодических орбит и числа вращения Пуанкаре. В 1955 году Е. А. Леонтович и А. Г. Майер [16] в качестве полного топологического инварианта ввели схему потока с конечным числом особых траекторий на двумерной сфере. В 1971 году М. Пейкшото [21] формализовал понятие схемы Леонтович-Майера и доказал, что для потока на произвольной поверхности полным топологическим инвариантом является класс изоморфности ориентируемого графа, вершины которого находятся во взаимно однозначном соответствии с состояниями равновесия и замкнутыми траекториями, а ребра соответствуют некоторым компонентам связности инвариантных многообразий состояний равновесия и замкнутых траекторий, при этом изоморф-ность графов включает в себя сохранение выделенных специальным образом подграфов1. Инварианта, подобного графу Пейкшото и оснащенного некоторой дополнительной информацией, оказалось достаточно для описания полного топологического инварианта диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом гетероклинических орбит (А. Н. Безденежных. В.З.Гринес [3-5, 12]). Для потоков с конечным числом особых траекторий на 3-многообразиях в качестве полного топологического инварианта вновь использовались конструкции, подобные схеме Леонтович-Майера и фазовой диаграмме С. Смейла (С. Ю. Пилюгин, Я. Л. Уманский [22, 25]). Классификационные результаты на языке графов Пейкшото и диаграмм Смейла имеются и в размерности п > 3: для потоков на сфере 8п, в предположении, что эти потоки не имеют замкнутых траекторий и гетероклинических пересечений (С. Ю. Пилюгин [22]); для градиентноподобных диффеоморфизмов на Мп, все седло-вые точки которого имеют индекса Морса, равный единице (В.З.Гринес, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев [13, 14]).

ХВ работе [18] А. А. Ошемкова и В.В.Шарко была замечена неточность инварианта Пейкшото, связанная с тем, что изоморфизм графов не различает неэквивалентного расслоения на траектории областей, ограниченных двумя периодическими орбитами.

Таким образом, для всех упомянутых выше динамических систем основным моментом для выделения класса топологической сопряженности (эквивалентности) являлось указание асимптотического направления инвариантных многообразий неподвижных точек и периодических орбит. Благодаря работам [6, 23] стало ясно, что каскады Морса-Смейла на 3-многообразиях не вписываются в эту концепцию. Причиной столь неожиданного эффекта оказалась возможность «дикого» поведения сепаратрис седловых точек, а именно: замыкание сепаратрисы может отличаться от самой сепаратрисы всего одной точкой, но не являться при этом даже топологическим подмногообразием. Впервые диффеоморфизм с «дикими» сепаратрисами был построен Д. Пикстоном в 1977 году [23]. Он использовал кривую Артина-Фокса для реализации инвариантных многообразий седловой неподвижной точки. Как показали Х. Бонатти и В.З. Гринес, в классе диффеоморфизмов Морса-Смейла трехмерной сферы с неблуждающим множеством, состоящим из четырех неподвижных точек (седла, одного источника и двух стоков), существует счетное множество топологически несопряженных. При этом полным топологическим инвариантом является тип вложения сепаратрис седловой неподвижной точки.

Эффективным инструментом, позволяющим различать тип вложения сепаратрисы, является переход к пространству орбит части блуждающего множества, содержащего эту сепаратрису. При этом структура пространства блуждающих орбит является необходимой информацией в топологическом инварианте наряду с информацией об асимптотическом направлении инвариантных многообразий седловых периодических точек. Этой идеей связан цикл работ по топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях, не имеющих либо гетероклинических точек, либо гетероклинических кривых (Х. Бонатти, В.З. Гринес, В. С. Медведев, Е. Пеку, О. В. Починка [6-10]). Настоящая работа показывает, что такой подход позволяет полностью решить задачу топологической классификации произвольных каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях.

Обозначим через MS(M3) класс сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на гладких замкнутых ориентируемых 3-многообразиях M3. Как уже было отмечено выше, замыкание инвариантного многообразия седловой точки диффеоморфизма f £ MS(M3) не является в общем случае топологическим подмногообразием фазового пространства. Это явление может иметь как чисто топологическую, так и динамическую природу. Последний случай соответствует ситуации, когда сепаратриса седловой точки участвует в гетероклинических пересечениях.

Напомним, что непустое пересечение W^1 П W'U2 инвариантных многообразий различных седловых точек 0\,02 называется гетероклиническим. При этом компонента связности такого пересечения называется гетероклинической кривой в случае, когда dim W^1 = = dim WU2, и гетероклинической точкой в случае, когда dim W£1 = dim WU2. Диффеоморфизм, не имеющий гетероклинических точек, называется градиентноподобным, по аналогии с потоками Морса-Смейла без замкнутых траекторий. Наличие гетероклинических пересечений приводит к сложному асимтотическому поведению инвариантных многообразий, участвующих в этих пересечениях и нетривиальной динамике ограничения системы на замыкание множества гетероклинических пересечений. В работе [1] В. С. Афраймович и Л. П. Шильников доказали, что на многообразиях размерности, большей двух, ограничение потока Морса-Смейла на замыкание множества гетероклинических траекторий сопряжено с надстройкой над марковской цепью.

Несмотря на разнообразие гетероклинических пересечений, динамика любого каскада f £ MS(M3) допускает следующее представление в виде «источник-сток». Для q £ £ {0,1, 2, 3} обозначим через Qq множество периодических точек диффеоморфизма f с ин-

дексом Морса д. Положим Af = По и WQ1, Rf = П3 и 2 и Vf = М3 \ (Af и Rf). Методом построения фильтрации доказывается, что множество Af (Rf) является аттрактором (репеллером)2 диффеоморфизма р. При этом множество Vf состоит из блуждающих точек, которые под действием диффеоморфизма f (р_1) движутся к аттрактору (репеллеру).

Обозначим через Vf = Vf /f пространство орбит действия f на Vf и через рг : Vf — Vf — естественную проекцию. Тогда р} является накрытием и пространство орбит Vf является простым многообразием3 (см. [11] и [15]). При этом накрытие р] индуцирует эпиморфизм П]: Пl(Vf) — Ъ, ставящий в соответствие гомотопическому классу [с] € П1(() замкнутой кривой с С Vf целое число п, такое, что поднятие кривой с на Vf соединяет точку х с точкой f п(х). Положим Wf = р} Ш1 \ Af) и Щ = р} Ш2 \ Щ).

Определение 2. Набор Sf = (V, Wf, ) назовем схемой диффеоморфизма f €

€ MS(M3).

Определение 3. Схемы Sf и диффеоморфизмов f, р' € MS(M3) назовем эквива-

лентными, если существует гомеоморфизм (V: V — V' со следующими свойствами:

1) П] = П]/ (*, где ( : ) — п1(Vf/) — индуцированный гомоморфизм,

2) ) = Wf/ и (Щ) = Щ/.

Теорема 1. Диффеоморфизмы Морса-Смейла р,р' € MS(M3) топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их схемы эквивалентны.

2. Необходимые сведения

В этой части мы приводим без доказательства необходимые для топологической классификации свойства диффеоморфизмов р € MS(M3).

Пусть р € MS(M3). Согласно определению 1, неблуждающее множество Qf диффеоморфизма р состоит из конечного числа периодических точек. Для любой точки р € тройка чисел (тр,др,ир) называется периодическими данными точки р (орбиты Ор), где тр — период точки р, др — число отрицательных собственных значений матрицы Якоби

(индекс Морса) и ир — тип ориентации точки р, т. е. ир = +1 (—1), если отобра-

р

жение ртрсохраняет (меняет) ориентацию. Точка р называется седлом, если 0 < др < 3, и называется узлом в противном случае, при этом р называется стоком (источником), если др = 0 (др = 3). Поскольку диффеоморфизм р сохраняет ориентацию, то для узловых точек тип ориентации всегда равен +1, тогда как для седловых точек допустимы оба типа ориентации. Периодические данные точки р однозначно определяют ее класс эквивалентности относительно локальной топологической сопряженности в следующем смысле: отображение ртр в некоторой окрестности точки р топологически сопряжено линейному

2Компактное множество A С М” называется аттрактором диффеоморфизма р: Мп — М”, если существует окрестность и множества A, такая, что р(и) С и и A = П рп(и). Множество

п£М

Щ С М” называется репеллером для р, если оно является аттрактором для р-1.

3Гладкое связное замкнутое ориентируемое 3-многообразие называется простым, если оно го-меоморфно 82 х 81 или неприводимо (любая гладко вложенная 2-сфера ограничивает в нем 3-шар).

диффеоморфизму (iqp,up : R3 ^ R3, заданному формулой

( ,X1 Х2 ХзЛ

( о > O’ О Цр — ’ ^р — ’

aqp,Vp (x1, x2, Хз) *

2 ’ 2 ’ 2

(i/p • 2xi, Vp 0~* , 9р = 1, Vp е {-1, +1},

Vp ' х2 Хз N

Ур ■ А'Л\, - , “2“

• Хз

'^р • Z,XI,Z,X2, —2

^р ^ 3

(z/p • 2жь2ж2, —Ц—), qp = 2, Up £ {—1, +1},

^ (2X1, 2X2, 2x3), qp = 3, Vp =+1.

Поскольку инвариантные многообразия Wp, Wp являются гладкими подмногообразиями м3, то локально сопрягающий гомеоморфизм продолжается на fmp-инвариантную окрестность точки p следующим образом.

Для t £ (0,1] положим N1 = {(x1 ,x2,x3) £ R3: xf(x2 + x2) < t}, N2 = {(x1 ,x2,x3) £ £ R3: (x2 + x2)x2 < t} и N1 = Nq, q £ {1, 2}. Определим в окрестности N\ (N2) пару транс-версальных C 1,1-слоений Fp, Ff (Fp, Ff) следующим образом: Fp = (J {(x1,x2,x3) £

(с2,сэ)€К2

£ N1: (x2,x3) = (C2,C3)}, Ff = U {(x1,x2,x3) £ N1: x1 = C1} (Fp = U {(x1,x2,x3) £

ciGR C3GR

£N2: x3 = C3}, Ff = IJ {(x1,x2,x3) £N2 :(x1,x2) = (c1,02)}).

(ci,C2)€R2

Определение 4. Пусть p — седловая точка диффеоморфизма f. Окрестность Np точки p назовем адаптированной, если она оснащена парой fmp-инвариантных трансвер-сальных C 1,0-слоений Fp, Fpf, таких, что существует гомеоморфизм ц,р: Np ^ Nqp со следующими свойствами:

1) цр сопрягает диффеоморфизм fmp |^p с диффеоморфизмом aqpVp\Nqp,

2) цр переводит слои слоений Fpp, Fpf в слои слоений Fqp, Ffp.

mp — 1

Окрестность Nop = (J f k(N), оснащенную парой f-инвариантных трансверсальных

k=0

mp — 1 mp — 1

слоений Fp = (J fk(Fp), Ff = (J fk(Ff) и отображением /iap, составленным из го-k=0 p k=0

меоморфизмов црf—k: fk (N) ^ Nqp, k = 0, . . . ,тр — 1, будем называть адаптированной

окрестностью орбиты Ор.

mp) — 1

Для t £ (0,1] положим N = n-l(Nt) и NO = и f k(Nр).

k=0

Введем порядок на множестве периодических орбит диффеоморфизма f £ MS(M3), позволяющий последовательно выделять инвариантные подмножества, состоящие из блуждающих орбит диффеоморфизма f. Пространства орбит этих многообразий содержат информацию о вложении сепаратрис периодических точек в несущее многообразие, которую удается индуктивно использовать при построении согласованной системы окрестностей и доказательстве классификационной теоремы 1.

Известно, что на множестве периодических орбит диффеоморфизма f £ MS(M3) от-р < Or

порядка. Так как пересечение Wf П WPr является трансверсальным, то существует нуме-

ношение C. Смейла -< (Ор -< Or Wf П W'Pr = 0) является отношением частичного

г $ р п

рация периодических орбит, удовлетворяющая следующему определению.

Определение 5. Нумерацию периодических орбит О1, .. ., О^ диффеоморфизма р назовем динамической, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) если да. < да^, то г < ],

2) если Ог -<Оз, то г < ].

Везде далее мы будем предполагать, что орбиты диффеоморфизма р динамически упорядочены. Для каждой периодической орбиты Ог обозначим через (тг,д%,щ) ее периодические данные и положим Ш ? = Ш?., ШЦ = ШЦ.. Для любой седловой орбиты Ог,г = ко + + 1, . ..,к2, положим Nг = N0., N1 = N0., БЦ = Б'Ц,, Б? = Б'Ц, и цг = ца.. Для любой точки ж € N будем обозначать через БЦХ (Б?х) единственный слой слоения БЦ (Б?), проходящий через точку ж. Определим проекции пЦ: N ^ Ш? (п?: N ^ ШЦ) вдоль слоев слоения БЦ (Б?) следующим образом: пЦ(ж) = БЦХ П Ш? (п?(х) = Б?х П ШЦ).

Ключевым техническим моментом при доказательстве классификационной теоремы 1 является существование согласованной системы окрестностей в смысле следующего определения.

Определение 6. Набор Nf адаптированных окрестностей N^+1, ...,^2 седловых орбит диффеоморфизма р назовем согласованной системой окрестностей4, если для г < ] выполняются следующие условия:

1) если Ш? п = 0, то N П N3 = 0,

2) если Ш? П = 0, то

a) (Б?х П N) С Б?х и (БЦ П N) С Б^ для ж € N П N3),

b) п?(пЦ(х)) = пЦ(п?(ж)) для точек ж € (Мг П N3), в которых определены обе части равенства.

г kf

Для г = 1, . ..,kf — 1 положим Аг = и , Щ =0 Ш?, У = М3 \ (Аг и Щ). По-

3=1 3=г+1

ложим У = Уг/р и обозначим через р.: У ^ У естественную проекцию. Тогда для любого г = 1, .. . ,kf — 1 множество Ац является аттрактором, множество Щ является репеллером диффеоморфизма р, проекция р.: У ^ У является накрытием и пространство У является гладким замкнутым ориентируемым 3-многообразием. Для д = 0,1, 2, 3 обозначим через кд число всех периодических орбит с индексом Морса, меньшим или равным д. Для ] = ко + + 1, . ..,к2 положим = р. (Ш? П У) и = р. (ШЦ П У).

3. Доказательство классификационной теоремы 1

Докажем, что диффеоморфизмы р,р! € МБ(М3) топологически сопряжены тогда и только тогда, когда схемы Sf и Б у эквивалентны.

Доказательство.

Необходимость. Пусть диффеоморфизмы р,р! € МБ(М3) топологически сопряжены посредством гомеоморфизма Н: М3 М3. Положим ф = . Тогда гомеоморфизм

4 Согласованная система окрестностей является модификацией допустимой системы трубчатых семейств, построенной в работах [19] и [20]. При этом, в случае непустого пересечения многообразий

и по множеству размерности нуль, условие 2Ь) определения 6 выполняется автоматически для любых адаптированных окрестностей N и N, удовлетворяющих условию 2а), в отличие от случая ё1ш (Ш/ П Ш“) > 0. Условие 2Ь) является техническим дополнением к определению допустимой системы трубчатых семейств, данному Ж. Палисом и С. Смейлом, и существенно используется при построении сопрягающего гомеоморфизма в теореме 1.

ф: Уf — Уf, сопрягает диффеоморфизмы ру и р'\у^,. Учитывая, что естественные проекции р^ и р^| являются накрытиями, а сопрягающий гомеоморфизм переводит инвариантные многообразия периодических точек диффеоморфизма р в инвариантные многообразия периодических точек диффеоморфизма р' с сохранением размерности и устойчивости, получаем, что отображением ф = р^, фр_1 : Уf — Vfl является искомым гомеоморфизмом, осуществляющим эквивалентность схем Sf и Sf,.

Достаточность. Пусть схемы Sf и Sfl диффеоморфизмов р, р' € МБ(М3) эквивалентны посредством гомеоморфизма ф: у у,. Построение гомеоморфизма Н: М3 —-

М3,

сопрягающего диффеоморфизмы р, р', разобьем на шаги.

Ш!аг 1. Пусть ф:Vf — Vf, — гомеоморфизм, осуществляющий эквивалентность схем Sf и Sf,. Из условия 1) определения эквивалентности схем следует, что существует поднятие ф: Уf — Уf, гомеоморфизма ф, являющееся гомеоморфизмом, сопрягающим диффеоморфизмы ру и р'у,.

Из условия 2) определения эквивалентности схем следует, что для любой седловой орбиты Ог, г = ко + 1, . . . ,к1, существует седловая орбита диффеоморфизма р' (которую мы будем обозначать через О'), такая, что ф(Ш? \ Af) = Ш'? \ Afl. Более того, тг = т' и щ = V'. Обозначим через Рц (Р') множество всех периодических и гетероклинических точек на многообразии Ш ? (Ш/?). Поскольку множество Рц (Р') является счетным, то гомеоморфизм ф\у?\р.: Ш? \ Рц — Ш'? \ Р' продолжается до гомеоморфизма, переводящего многообразие Ш ? в многообразие Ш/?, причем такое продолжение единственное и сопрягает диффеоморфизмы рУ? и р'У,з.

Аналогично строится продолжение гомеоморфизма ф на ШЦ, г = к1 + 1, . ..,к1, так что гомеоморфизм ф единственным образом продолжается на множество ШЦ 1 и ШЦ2 до гомеоморфизма (который снова обозначим через ф), сопрягающего диффеоморфизмы руиуз иу«

и рЦI иУ^1 иУ«2.

Ш!аг 2. Пусть г = ко + 1, . . . ,к1. Пусть N (Щ) — окрестность седловой орбиты Ог (О'), принадлежащая согласованной системе окрестностей Nf (Nf,). Зафиксируем некоторую компоненту связности № окрестности N и обозначим через № компоненту связности окрестности N1, такую, что ф(М°)П№ = 0. Последовательно для каждого г = ко + 1, . ..,к построим гомеоморфизм фЦ : ШЦ — Ш'и, сопрягающий диффеоморфизмы рУ и и р'\у,и.

Для г = ко + 1 пусть ^°0+1: №0+1 — М (Мк0+1: N1°+ — N1) — отображение, сопрягающее ограничение диффеоморфизма ртк0+1 (р'тк0+1) на №0+1 (N0+1) с диффеоморфизмом а^ко+1 N. Положим ^+1 = (Р°к0+1)-1 МС+1 = (^fcо+l)"1(NS^), Шк0+1 =

= Шк?0+1 П <+1, Шк0°+1 = Шк0+1 П <+1, Ш£+1 = Шк0+1 П №0+1 и фЦо+1 = = (^к°0+1)-1 ^0+1: <+1 — КЦ+Г Определим гомеоморфизм фЦ0+1 : Шк0+1 — Шк0+1

формулой: ф10+1(ж) = р'к(фик°+1(р_к(ж))), где ж € ШЦ0+1 и к €{0, ..., тк0+1 — 1}, такое, что

Р_к(ж) € Шк0+1.

Опишем построение гомеоморфизма фЦ, г > ко + 1, при условии, что гомеоморфизмы фк уже построены для всех ] = ко + 1, . ..,г — 1.

Множество ШЦ1'_1 является гладким подмногообразием многообразия ф_1, каждая

___ г — 1 ___

компонента связности которого является окружностью. Положим Ш?_ 1 = и Ш?г_1,

?

УУ

3=к0+1

г_ 1

N3^ —1 = р. _1 (N3 п У _1) и N г _ 1 = и N3' _ 1. Множество 1 компактно и пересечение

3=к0+1

1 п Ш?_ 1 состоит из не более чем счетного (возможно, пустого) множества точек, являющихся проекцией гетероклинических орбит, принадлежащих неустойчивому многообразию ШЦ. Тогда существует конечное число попарно непересекающихся отрезков 1\, .. . ,Ц

на ШЦ?_1, таких, что и Э (Ш?_ 1 П ШЦ?_1), а отрезок Ц, I = 1, . . .,г?, принадлежит пе-

1=1

ресечению N3? ?_1 П ШЦ_1 при некотором ] £ {ко + 1, . . . ,г — 1} (зависящем от I), содержит единственную точку Н\ из пересечения Ш??_1 п ШЦ_1 и п'?(Р'зи^н\)) Э ^(п?(I?))), где I? —

поднятие на У?_1 отрезка I?, проходящее через точку Н\ £ р__\(Л|).

Определим топологическое вложение (Ц? : I?? — ) соотношением П?(ЦI = (п?.

Положим Ц? = р[ ^Ц1Р_\. Обозначим через Ц: 1 — 1 гомеоморфизм, совпадающий с Ц? на ЦЦ, I =1, . . .,г?, и через (Ц: ШЦ \0? — \0[ — его поднятие, совпадающее

с (Ц? на I?, I = 1, . . .,г?. Тогда гомеоморфизм (Ц 1 продолжается на О? отображением ( и дает искомый гомеоморфизм.

Обозначим через (Цг : — ШЦ отображение, составленное из гомеоморфизмов

(Ц0+1, ...,(1. Для каждого г = к1 + 1, ...,к2 аналогичным образом определим гомеоморфизм : Ш? — Ш/5, сопрягающий диффеоморфизмы / |и / '\щ'.?. Обозначим через (п2: Шл2 — 2 отображение, составленное из гомеоморфизмов (^+1, . . . ,(%2.

к\

Шаг 3. Для ] = к0 + 1, . . .,к1 положим Ш? = рг(Ш?), N) = рг(N3) и I11 = и N 3.

3=ко+1

.------. — ^ ^2 ^

Для ] = к1 + 1, . . . ,к2 положим Ши = р{ (Ши), N3 = р{ (N3) и I12 = и ^У?',к1. Множе-

3=к1 + 1

ства 'Ш'и и Ш? являются компактными и пересекаются по не более чем счетному множеству окружностей, являющихся проекцией всех гетероклинических кривых диффеоморфизма /. Тогда существует конечное число окружностей Ц1, . . . ,ЦГ из множества П ШЦ и их трубчатых окрестностей Н1, . . . ,НГ со следующими свойствами:

1) для кривой Ц, принадлежащей пересечению ПШи при некоторых *1, %2, зависящих

от I, окрестность Щ принадлежит пересечению ]Ц?1 П N2 и гиЬ Н Э (Ш^ П ШЦ), где Н =

= Щ и ... и Нг,

2) у кривой Ц существует трубчатая окрестность Т С гиЬ Н?, такая, что (Щ \ гШ Т) П ПЩПШЦ) = 0, на множестве Т = р_1(Т{) корректно определены топологические вложения (т„1: Т — ] п Щ2), (т,2: Т — ] п ]?2) соотношениями (3.1), (3.2):

(Ц < = п'?1 Фтг,1, К пЦ = , (п?2 пи = п'й п,цФт1Л (3.1)

(Ц1 п?1 = пЬ ФТ1,2, (?2 п\ = ^^,2, (п1 п?2 = пкп^ Фтг,2 (3.2)

и ФтЬг(Т) с гиг ((Н), где = р_1(Тц) и щ = р_1(ННг).

Из свойства 2Ь) согласованной системы окрестностей следует, что фт, 1 (х) = фт, 2 (х) для любой точки х £ Т?. Положим фт = фт, 1 = фт, 2. В силу инвариантности согласованных

слоений и того, что гомеоморфизмы (, (Ц , (\ сопрягают соответствующие ограничения

диффеоморфизмов f и /1, гомеоморфизм фт : Т — фт (Т) сопрягает диффеоморфизмы f \т

и /'\фт (тг). Тогда отображение гЦт. = р^,фТ1 (р^\^)-1: Т? — ((Н^ является топологическим вложен ием.

Положим Т = Т и ... иТг и обозначим через : Т — (Н) топологическое вложение,

составленное из отображений ф~ , . . . ,ф~ . Поскольку топологическое вложение ф~ обла-

Т1 Тг Т

дает свойством фт(ТП) с Ш?, фт(ТПШи) С Ши для любых г = ко + 1, . . .,к1, ^ = к1 + + 1, .. .,к2, то существует топологическое вложение (н, совпадающее с отображением фт на Т, совпадающее с Т на дН и такое, что (НПШ/) = <Т(НПШ/), (Й (НПШ/ = <Т(НПШи).

_ Т Т _ [ <Т(х), х е (Т/ \ Н),

Определим гомеоморфизм (о: V/ — V/, формулой (То(х) = < ^ Обозна-

[<р~ , х е Н.

чим через (о : V/ — V/' поднятие гомеоморфизма (То, совпадающее с ( вне Н = р-1(Н).

Ш!аг 4. Модифицируем гомеоморфизм (о до гомеоморфизма (ок: 'Т/ — V/,, осуществляющего эквивалентность схем Б/, Б/,, совпадающего с (о вне некоторой окрестности множества Ш?1 и на множестве Т. При этом (ок обладает поднятием (о,к1: V/ — V/', которое переводит согласованные двумерные устойчивые слоения диффеоморфизма / в окрестности Шк1 в согласованные двумерные устойчивые слоения диффеоморфизма /' в окрестности так, что гомеоморфизм (о,к1 непрерывно продолжается на множество гомеоморфизмом (и1.

о-т^

Выберем значение Тк1 е (0,1] так, чтобы на множестве 1 было корректно определено топологическое вложение ф°1: №^к1 — NЮ соотношениями (оп^1 = п'^ф°1, =

= ф°1 и ф°1 (Ы^1 \ШЦо) С (о(№1 \ШЦо). Определим топологическое вложение ф к 1: Ы^1 — — N'к1 формулой фк 1 (х) = (/')к(ф°1 (/-к(х))), где к е{0, .. .,тк1 - 1} такое, что /-к(х) е е Ы^1. Положим Ы^1 = Р} (ЫТ1) и определим топологическое вложение фк1: Ы^1 — 1

формулой фк1 = р}, фк 1Р-1. Поскольку отображение фк1 совпадает с гомеоморфизмом (о на Ш^1 иТ и ф^(Ы^1 П ) С для каждого ] = ко + 1, . ..,к1, то существует топологическое вложение (о,к 1: ^Тк1 — Т/,, совпадающее фк 1 на Ы^1 , совпадающее с (о на д^Ук1 и Т

и такое, что (о,к 1 №1 П Ш/) = (ро(N/^C1 П Ш/).

Для г = ко + 2, . . .,к1 покажем, как модифицировать гомеоморфизм (о,г до гомеоморфизма (о,г-1: Т/ — Т/,, осуществляющего эквивалентность схем Б/, Б/,, совпадающего

^ ^1 ,____________________________________________, Т ^

с <То,г вне некоторой окрестности множества У Ш? и на множестве Т. При этом <То,г-1 об-

3=1-1

ладает поднятием (о,1 : V/ — V/,, которое переводит согласованные двумерные устойчивые

к1

слоения диффеоморфизма / в окрестности У в согласованные двумерные устойчи-

3=1-1

к1

вые слоения диффеоморфизма /' в окрестности и Ш'и так, что гомеоморфизм (о,-

3=1-1

к1

непрерывно продолжается на множество У Ши гомеоморфизмом .

1 ^ 1 3=1-1

к1 к1

Обозначим через ф1: V/и и V/,и и гомеоморфизм, совпадающий с (о,1 на V/

3=1 3=1

к1 Т _1 Т Т

и совпадающий с на У Ш'и. Положим фг,г-1 = Р^^фф-^ : У-1 — ^Т1-1. Как выше, вы-

3=1

берем значение Тг-1 е (0,1] так, чтобы на множестве Ы^1 было корректно определено то-

пологическое вложение ф-1 : N^1 — N|01, переводящее слои слоения FU_ 1 в слои слоения F'U i в силу отображения фi и переводящее слои слоения F S_ 1 в слои слоения F't 1 в силУ отобРажения <р?-1. Положим -1 = р-!iN—), Ti-1 = Pi_!(T) и Wf-1 = Pi_!(W1).

Определим топологическое вложение 1pi-1 : NTi1i_ 1 — 1 i_ 1 формулой 1pi-1 =

= pi_ 1 'ф-1р~_11. Поскольку отображение ipi-l совпадает с гомеоморфизмом фi,i-l на Wf_ 1 U U Ti-1 и ^Vi-1 (NV7-11i-1 П Ws) С W s для каждого j = k0 + 1, ... ,i — 1, то существует топологическое вложение фi—l,i—l: TVi-1)i-1 — V(_ 1, совпадающее с ipi-l на N^1, совпадающее с ф^-1 на dNi-1 U Ti-1 и такое, что ф*-М-1(^-1 П Wf-1) = ^i,i-l(Ni-l П Wf-1).

Обозначим через фi-l,i-l поднятие на V-1 гомеоморфизма фi-l,i-l, совпадающее с отоб-

ki ki

ражением фi на dNi-1, и через ф^-1: Vf U |J WU — Vf U |J W'u — гомеоморфизм, сов-

j=i-1 j=i-1

ki

падающий с фi на (Vf U (J WU) \ Ni-1, совпадающий с ф^-1 на N-l \ WU и совпадающий

j=i 1

с фУ на WU. Положим фо,- = ф-1\у{ и фо,- = Pf,Poi-lP-1.

Таким образом, искомый гомеоморфизм Vl совпадает с гомеоморфизмом фо,к0+1.

Ш!аг 5. Повторяя рассуждения шага 4 с заменой и на s, s на и, фо на ф1, Q на ^2; построим гомеоморфизм ф2: Vf — Vf ? такой, что отображение ф2 = р , ф2Р-1: Vf — Vf осуществляет эквивалентность схем Sf и Sf>, а отображение ф2 по непрерывности продолжается на WQ гомеоморфизмом ф^ и на Wq — гомеоморфизмом ф^2. Кроме того, гомеоморфизм ф2 продолжается до искомого гомеоморфизма h: M3 — M3 следующим образом: для любой точки и Е Q0 (а Е Q3) h(u) = и' Е Q (h(a) = а' Е Q3), где ф2(W® \и) = W^ \и' (P2(WU \ а) = WU \ а'). о

Автор благодарит В.З.Гринеса за плодотворные обсуждения и внимательное прочтение рукописи.

Список литературы

[1] Афраймович В. С., Шильников Л. П. Об особых множествах систем Морса-Смейла // Тр. Моск. мат. о-ва, 1973, т. 28, с. 181-214.

[2] Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // Докл. АН СССР, 1937, т. 14, вып. 5, с. 247250.

[3] Безденежных А. Н., Гринес В. З. Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях: Ч. 1 // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. темат. сб. научн. трудов / Е. А. Леонтович-Андронова. Горький: ГГУ, 1984. C. 22-38.

[4] Безденежных А. Н., Гринес В. З. Реализация градиентноподобных диффеоморфизмов двумерных многообразий // Дифференциальные и интегральные уравнения: Сб. научн. трудов / Н. Ф. Отроков. Горький: ГГУ, 1985. C. 33-37.

[5] Безденежных А. Н., Гринес В. З. Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях: Ч. 2 // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. темат. сб. научн. трудов / Е. А. Леонтович-Андронова. Горький: ГГУ, 1987. C. 24-32.

[6] Bonatti Ch., Grines V. Knots as 1орок^1са1 invariant for gradient-like diffeomorphisms of the sphere S3 // J. Dynam. Control Systems, 2000, vol. 6, no. 4, рр. 579-602.

[7] Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Pecou E. Topological classification of gradient-like diffeomorphisms on 3-manifolds // Topology, 2004, no. 43, рр. 369-391.

[8] Бонатти Х., Гринес В.З., Починка О. В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях // Докл. РАН, 2004, т. 396, вып. 4, с. 439-442.

[9] Бонатти Х., Гринес В. З., Починка О. В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях // Тр. МИАН, 2005, т. 250, с. 5-53.

[10] Bonatti Ch., Grines V., Pochinka O. Classification of Morse-Smale diffeomorphisms with the chain of saddles on 3-manifolds // Foliations 2005. Hackensack (NJ): World Sci., 2006. P. 121-147.

[11] Bonatti Ch., Paoluzzi L. 3-manifolds which are orbit spaces of diffeomorphisms // Topology, 2008, vol. 47, pp. 71-100.

[12] Гринес В. З. Топологическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических траекторий на поверхностях // Матем. заметки, 1993, т. 54, №3, c. 3-17.

[13] Гринес В. З., Гуревич Е. Я. О диффеоморфизмах Морса-Смейла на многообразиях размерности, большей трех // Докл. РАН, 2007, т. 416, вып. 1, c. 15-17.

[14] Гринес В. З., Гуревич E. Я., Медведев В. С. Граф Пейкшото диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности, большей трех // Тр. МИАН, 2008, т. 261, с. 61-86.

[15] Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С., Починка О. В. Глобальные аттрактор и репеллер диффеоморфизмов Морса-Смейла // Тр. МИАН, 2010, т. 271, с. 111-133.

[16] Леонтович Е.А., Майер А. Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории // Докл. АН СССР, 1955, т. 103, вып. 4, c. 557-560.

[17] Майер А. Г. Грубое преобразование окружности в окружность // Ученые записки Горьк. ун-та, 1939, вып. 12, c. 215-229.

[18] Ошемков А. А., Шарко В. В. О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях // Матем. сб., 1998, т. 189, №8, с. 93-140.

[19] Palis J. On Morse-Smale dynamical systems // Topology, 1969, vol. 8, no. 4, pp. 385-404.

[20] Palis J., Smale S. Structural stability theorems // Global Analysis: Proc. Sympos. Pure Math. (Berkeley, Calif., 1968): Vol. 14. Providence, R.I.: AMS, 1970. P. 223-231 [Пали Дж., Смейл С. Теоремы структурной устойчивости // Математика, 1969, т. 13, №2, с. 145-155].

[21] Peixoto M. On the classification of flows on two-manifolds // Dynamical systems: Proc. Symp. (Univ. of Bahia, Salvador, Brasil, 1971). New York-London: Acad. Press, 1973. P. 389-419.

[22] Пилюгин С.Ю. Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса-Смейла без периодических траекторий на сферах // Дифференциальные уравнения, 1978, т. 14, №2, с. 245-254.

[23] Pixton D. Wild unstable manifolds // Topology, 1977, vol. 16, no. 2, pp. 167-172.

[24] С. Смейл С. Неравенства Морса для динамических систем // Математика, 1967, т. 11, №4, c. 79-87.

[25] Уманский Я. Л. Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности трехмерных динамических систем Морса-Смейла с конечным числом особых траекторий // Матем. сб., 1990, т. 181, №2, c. 212-239.

Necessary and sufficient conditions for topological classification of Morse-Smale cascades on 3-manifolds

Olga V. Pochinka

Research Institute of Applied Mathematics and Cybernetics, Nizhny Novgorod State University Ul’yanova st. 10, Nizhny Novgorod, 603605, Russia [email protected]

In this paper class MS(M3) of Morse-Smale diffeomorphisms (cascades) given on connected closed orientable 3-manifolds are considered. For a diffeomorphism f £ MS(M3) it is introduced a notion scheme Sf, which contains an information on the periodic data of the cascade and a topology of embedding of the sepsrstrices of the saddle points. It is established that necessary and sufficient condition for topological conjugacy of diffeomorphisms f,f! £ MS(M3) is the equivalence of the schemes Sf ,Sf/.

MSC 2010: 37E30

Keywords: Morse-Smale diffeomorphism (cascade), topological conjugacy, space orbit Received May 12, 2011, accepted June 2, 2011

Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2011, vol. 7, no. 2, pp. 227-238 (Russian)