Необходимые и достаточные условия локальной оптимизации тонкостенных конструкций максимальной жесткости Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XI 19 8 0

М 4

УДК 629.735.33.0)8.4

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ МАКСИМАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ

Е. К. Липин

Для тонкостенных статически неопределимых конструкций, образованных из элементов трех типов, а именно: панелей обшивки, пенсов и стенок, получены необходимые и достаточные условия локального минимума в задаче минимизации дополнительной энергии деформации при заданном условном значении объема материала конструкции, учитывающем различие в требованиях прочности по элементам.

Показано, что если в оптимальной статически неопределимой конструкции изменить распределение проектных параметров на некоторую величину, то внутренние усилия в элементах этой конструкции будут совпадать с внутренними усилиями оптимальной конструкции. Это означает, что в статически неопределимой конструкции, для которой условия оптимальности удовлетворяются без исключения лишних связей, распределение проектных параметров при оптимизации существенным образом зависит от их начального распределения. Приведенные в работе примеры оптимизации фермы и четырехпоис-ного кессона подтверждают указанную зависимость.

Применение методов поиска экстремума или вариационного исчисления к задаче оптимального проектирования тонкостенных конструкций приводит лишь к условиям стационарности целевой функции [ 1 ]. Поэтому установление достаточности условий оптимальности для задач оптимизации сложных силовых конструкций, к которым относятся тонкостенные конструкции, представляет несомненный интерес.

В задаче оптимального проектирования тонкостенных конструкций максимальной жесткости с ограничениями в виде заданного объема материала конструкции или заданного уровня удельной дополнительной энергии достаточность условий локального экстремума может быть установлена по знаку второго дифференциала от целевой функции в окрестности экстремума.

1. Тонкостенная конструкция и ее проектные параметры. Будем рассматривать конструкции, образованные из элементов трех типов (Н, Т, /7), которые отличаются друг от друга характером напряженного и деформированного состояния. В пределах заданной конструктивно-силовой или расчетной схемы конструкции элементы Н, Т, Г разбиваются на конечное число областей 5, 2 и участков I. Тонкостенные конструкции в 5, 2, / имеют элементы Н, Т, Г с характеристиками:

— элемент Н в 5 — трапециевидная панель обшивки, подкрепленная в одном или двух направлениях ребрами жесткости и работающая в условиях плоского напряженного состояния;

— элемент Т в 2 — трапециевидная стенка, работающая на сдвиг либо в условиях плоского напряженного состояния;

— элемент Р на /—стержень, имитирующий пояс силового элемента и работающий на растяжение — сжатие.

Из набора данных элементов могут быть образованы следующие конструкции:

1. Фермы — элементы /\

2. Кессонные конструкции — элементы Н, Т.

3. Шпангоуты, рамные и балочные конструкции — элементы Т, /\

4. Крыло, оперение и фюзеляж различного конструктивного оформления — элементы Н, Т, Г.

Проектными параметрами, распределение которых в областях 5, 2 и на участках / элементов Н, Т, Р рассмотренных типов конструкций необходимо найти из решения соответствующей задачи оптимального проектирования, будут:

толщины обшивки в областях 5={5„ . . . } — Л = {/*,, А,,

Лз, . . • },

толщины стенок в областях 2= (2,, 2,, 23, . . . } — *= (/!,, £>, • • • )>

площади поясов на участках / = {/,, /2> /3, ...}— /=(/„

/3 ... ], включая площади поясов подкрепляющих ребер панелей, соединенных по длине I элементов А

Как правило, в 5, 2, / расчетной схемы конструкции значения Л, /, f не изменяются и задаются в виде средних значений

/« = 4-| А* t = ±.11* <*2, /= -1- $ Г Л1.

При заданных внешних нагрузках и жесткостных характеристиках материалов внутреннне усилия в элементах Н, Т, Т7 линейно-упругой конструкции зависят только от распределения Л, <,/в5, 2, /

{Л\ .V, .V) = |л)(л, t, /), ЛГ(Л, Л /), .У(Л. /, /)),

где Л/-{А, /V,---}, £=(£„ Л^з-------------}, #={Й„ N.

\г3, ... ) — матрицы-столбцы распределенных эквивалентных и касательных усилий в 2 и сосредоточенных усилий в I.

Рассматривая тонкостенную конструкцию как совокупность конструктивных элементов Н, Т, Г, в которых известны соотношения между силами и перемещениями для каждого отдельного

элемента, исследовать ее поведение можно с помощью известных принципов теории упругости и строительной механики. При получении необходимых и достаточных условий оптимальности расчетную схему конструкции будем представлять в интерпретации метода сил.

Следуя методу сил, внутренние усилия в Я, 2, / можем определить выражениями

{Л-, Л/2, Л/з)=|л/?+л^ + £л^, Л/о+2^з^

*’=:1 е"=1 <*=1

т т

г=1 е=1

где Л',, Л',, Лз—компоненты распределенных нормальных и касательных усилий в 5, связанные с эквивалентными усилиями соотношением

Л' = УН\ + - 2у^, ЛГ2 + 2 (1+ V) Ы\, (1 о)

Л^°= (Л'°р Л", Л", . . . }, N0* {Л7§„ . . . },

^={^р П. "Ъ •••);

N° = (У?, N1,..); М0={М}, Д^, М, • . .}—матрицы-столбцы ком-

понентов распределенных нормальных и касательных усилий в 5, распределенных касательных усилий в 2, сосредоточенных усилии на /, возникающих в статически определимой (основной) системе от заданных внешних нагрузок.

N1- {Мь Л'Ь, Мз. . . • Лг->=№, ЛГЙ, Д^аз, . . .},

^= {^31 * ^32» ^32* • • ■!»

/Vе = (Л^, Л/Ц, N3, . ..); Ne <= [N1, N2, N3, ... 1 — матрицы-столбцы компонентов усилий в 5, 2, /, возникающих от действия единичных ^лишних неизвестных хе=1. В общем случае №, Л'0, /V0, дг<-> д/*1 могут быть функциями, определяющими характер распределения усилий в элементах основной системы от действия внешних нагрузок и единичных лишних неизвестных.

х = [хи X?, х3, . . . , хе, хт} — матрица-столбец лишних

неизвестных.

Лишние неизвестные х находятся но принципу минимума дополнительной энергии деформации [2] из решения системы уравнений совместности деформаций

ди __ дЫ 1 ^ Яп -а V» Н* 1к дм к п /1 о\

дхе 2- £;Л/ дхе ' 2* Он tn дхе 2* Ёkfk дхе *

х п к

I = 1, 2, 3....т,

где функционал дополнительной энергии деформации V для тонкостенной конструкции, состоящей из элементов трех типов Н, Т, /\ имеет выражение

(1.1)

£={£„ Ег, Е3, ...},£ = {£„ Ё,, £„ ...}. С= (0„ 0„ б,,...) -матрицы-столбцы модулей упругости и модулей сдвига для материалов элементов Н, Т, Р в Б, И, I.

Уравнения совместности деформаций (1.3) с учетом выражений

(1.1), (1.2) в матричной форме перепишем в виде

Вх = - о,

где коэффициенты матрицы податливости В и матрицы-столбца свободных членов 3 имеют вид

2. Необходимые условии локальной оптимальности. Требования, предъявляемые к конструкции при проектировании, определяют вид целевой функции и ограничений. Конструкции максимальной жесткости в качестве последних могут иметь функционал энергии деформации с ограничением на объем материала либо выражение объема с ограничением на удельную энергию деформации. Критерием оптимальности в этом случае для конструкций типа пластин, балок и стержней является условие постоянства удельной энергии деформации [1].

Так как для линейно-упругой конструкции энергия деформации равна дополнительной энергии, то в качестве целевой функции при выводе условий оптимальности для конструкции максимальной жесткости примем функционал дополнительной энергии деформации (1.4). В качестве ограничения при минимизации и используем модифицированное условие постоянства объема материала [3], которое позволяет учесть различие в требованиях прочности по элементам конструкции,

?=Ь К 5, + 2Я, ^**Л'*-^0 = 0, (2.1)

/ п /г

где х = {х„ X,, Х„ . . .), х = {х,, х,, х3, . . .), х= (х,, х2, х3, . . .) — матрицы-столбцы параметров, равных отношениям допускаемых значений удельной дополнительной энергии, определяемых требованиями прочности и жесткости для элементов Н,Т, И к предельному значению удельной дополнительной энергии, определенному по энергетическому критерию прочности [4] для одного из материалов проектируемой конструкции; У0 — условное значение объема материала, часть которого У'0 необходимо распределить между элементами Н, Т, Е в соответствии с заданными значениями параметров х, х, х и критерием оптимальности.

Условия оптимальности для распределения объема материала Уо между Н, Т, Р получим как необходимые и достаточные усло-

вия локального минимума функции (1.4) с изопериметрическнм условием (2.1). Для этого составим функцию Лагранжа [5]

I = 0 (А. /, /, х (А, (, /)) + Ь (А, Д (2.2)

где а — множитель Лагранжа.

Функция Ь имеет локальный минимум в рассматриваемой точке, если при любых достаточно малых приращениях проектных параметров приращение функции ДЬ больше нуля. Так как функция (2.2) в окрестности точки А>0, <>0, />0 имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то приращение Д1. = МА-{-ДА, t + ^t, /-^-Д/)— Ь(А, I,/) будет равно

д. V ( дЬ' , д* \ А. . 1 V & & л /.? .

ДЬ = 2и\-л1г + -гг- ДА, + —5-ДА, 4-

^\Эй, йЛ;/ / 2 ЛЛ эл; 7

2 ' '

л I А!.

."«ТЯС ' '

1 РФ) 1 р

/ Л

+ УУ Д/|. А; л. V (М. + А) Д/

+ 2 оИ, д/г п) 1 —И 3£ ■ Ыл)

1 V л <2 , I д*й А* А.

' 2 — л/2 5 2 д^д1,

.1 л Р

+412 Д «.«,+422тЙгЧ*л+

5 Г Л ' 5 Г

у /аР , ) ДтК* , 1 V ^ * х2

дГг ' д/,) ■>'+ 2 О/; -'г '

+4-22-^/, 4/.+ 4 22

2 ‘ХАМ*

г /

Ц д/г <*А;-

Д/ГДА,

1 уУ * л,

2 д/гдл Гг * ’

(2.3)

где

— — /9 —

дк,—*1*1' дts

дй < у дй дх*

д^~ - 7

/ °

*1 ■‘и

^2. — х / • д/л

а;2,

2£уа;

с>дгР дй/

<?£/ _ _ ^а3 у ^ дхе

ы* — 2С,<*’’*'“{ ’*1

д£/ _ ™ ди дхе

д/г «75 ^2 Т _2| Д*- /ЭЛ •

2Ёг/2Г

<>=1

дхе д/г

(2.4)

В силу громоздкости выражений для вторых производных от дополнительной энергии деформации по проектным параметрам последние в данном разделе опущены.

Так как функция I- дифференцируема в точке Л, /, /, то необходимыми условиями существования в ней локального минимума будут условия обращения в нуль первого дифференциала, которые с учетом выражений (1.3), (2.3), (2.4) имеют вид

Л Л

дNl , у Л'„ЙД дЯа .у#»/» дЫк _ п дхе а /:, Л/ дхе Оп tn б»дг„ ' ** Ек/к дх.

1= 1. 2, 3..................../и;

(2.5)

1 дЬ 1 / ди , . д? \ _

5у \ дН/ 1 Л дЛ, / — '

У = 1. 2, 3, .

1 д1 _ 1 / д£7 . д* \

а, д/, — а, \ дГ, + А I ~

5=1, 2, 3, .

I (5Ь _ 1 / дО а? \ _

I, а/, ~ /г \ д/г + л а/, /—

г = 1, 2, 3, .

2£;Л,

-4-*у). = 0,

20, С

ЛГ

а + *Л - 0,

(2.6)

ЛГ» /V* , „

где 2£Л^ ’ ’ 2/?7* пРеДставляют собой выражения удельной

дополнительной энергии деформации, X—значение удельной дополнительной энергии, возникающей в одном из материалов оптимальной конструкции при принятом условном значении объема 1^0-

Уравнения (2.5), (2.6) образуют совместную систему для определения оптимальных значений проектных параметров А, / и соответствующих им лишних неизвестных X (А, /).

В результате решения системы уравнений (2.5), (2.6) можно получить одно из следующих решений:

— все лишние неизвестные х равны нулю (х = 0), а исходная статически неопределимая конструкция оптимальной может быть лишь статически определимой системой, для которой условия (2.6) являются условиями глобального минимума;

— часть или все лишние неизвестные х отличны от нуля (.V Ф 0), а исходная статически неопределимая конструкция оптимальной будет статически неопределимой системой, для которой условия (2.6) могут указать лишь на локальный минимум.

При выполнении в элементах конструкции условий (2.5), (2.6) минимальное значение дополнительной энергии деформации равно

£Дл1п = ^т1п (У. *1 А л ^ ^ *»/*/* | = *чшп У0 .

\ « я к I

3. Достаточность условий локальной оптимизации. При исследовании на локальный экстремум приращения проектных параметров ДА, Д/, Д/ достаточно малы и поэтому знак приращения Д1, определяется знаком членов в выражении (2.3), содержащих наиболее низкие степени ДА, М, Д/.

Для доказательства того, что условия (2.6) в случае оптимальной статически неопределимой конструкции (х ф 0) являются достаточными условиями локального минимума, рассмотрим два состояния конструкции, которые имеют различные распределения проектных параметров А, /, /, достаточно мало отличающихся друг от друга.

За первое состояние конструкции примем ее состояние с распределением проектных параметров А*, V*, /* в окрестности второго состояния конструкции А, г, /, удовлетворяющего необходимым условиям (2.5), (2.6)

А* = А + ДА, £* = £-{- Д^, /*=/-|-Д/,

и усилиями в ее элементах

ЛГ? — /V, (А + АЛ, /+Д/), Л/; = Л'2(Л + ДА, * + А*. /тД/),

А'з-Л^А +ДА, / + Д/, /+Д/);

Л” .-= &(А + ДА, / + Д/, /+- Д/); У* - Л/(Н + ДА, * + Д/. /+Д/),

знаки которых совпадают со знаками усилий второго состояния Лг, (А, t, /), Л/* (А, и /), ;У3(А, *, /): ЛЧА. /, /); Л'(А, /).

Значения проектных параметров второго состояния конструкции определим по формулам (2.6) через усилия первого состояния

дЧ ТУ*, /V*:

х* Яг* лг*

А = . / „---- ' - , /л= — - , (3.1)

| 2£у х] X ± V 20, х* )• ± К2£, х, X

где >. определяются из условия (2.1),

У^^+2±Уйг*в*+?±/1ж'*) •

Знак плюс соответствует усилиям ЛС, Л*, имеющим знак плюс, а знак минус — усилиям Л^, А^*, имеющим знак минус.

Приращения проектных параметров ДА, Д*, Д/ должны удовлетворять условию (2.1), из которого следует

V х, ДА, Я, + V *я Д/„ 9п + £ хЛ Д/*/, = 0.

/ п к

Система уравнений совместности деформаций (1.3) при переходе из первого состояния во второе примет вид

[5* + ДВ]{х* + Дх}=— {8*+Д8}, ДВ = В — В*, Д8 = 8-8*. (3.2)

где А*, В\ х*, х\ 6*, 8 — матрицы податливости, матрицы-столбцы лишних неизвестных и свободных членов для первого и второго состояний конструкций.

Разрешая уравнение (3.2) относительно приращений Ах, получим

Дх = -[В* + ДА]"1 {До + ДВх*} = - В-• (8 + Вх*\, где коэффициенты матрицы столбца {о} имеют выражение

8У+ У,Кс Е'Д I1 Ь'и — Л’2') М« +

2 (1 + V,) N31 Л&] + V Л/я* ЭД + У =%- Л'*’ Л/* . (3.3)

Т л " Т£*л

В случае сложного напряженного элемента Н в 5 требования прочности могут быть сформулированы через соответствующие оптимальной конструкции компоненты напряжений

где о„ о„ з3 связаны с удельной дополнительной энергией равенством

). = [о? + 32 — 2^3, 3» + 2 (1 + V) 331

и имеют такие же знаки, как и усилия Nl, „V,, ЛГ3.

С учетом (3.4) значения проектных параметров Ау будут равны

< лС

Л,= —!- = —2_ = _1 . . (з.5)

/ в, о2 за ' '

Подставляя значения Лу, определенные по формулам (3.5), а значения /г — по формулам (3.1), в выражение (3.3), получим

У. Ьих*— У 1 (°1 — ^ 3*) А и + (з, — ч1 з,) Лз/ + 2(1 + V,) з3 ЛйЬ] 4-

I

+ 5“!г '± 1 2^*^) ^ (± Л'* , 7=1,2,3,..., /п. (3.6)

Г? я ^£*

Выражения (3.6) тождественно равны нулю, так как представляют собой условия совместности деформаций -^-=0 для оптимальной конструкции. Следовательно, приращения лишних неизвестных равны нулю (Дх = 0).

Таким образом, вблизи оптимального проекта статически неопределимая конструкция с отличающимся на достаточно малую величину распределением проектных параметров имеет значения внутренних усилий в элементах Н, Т, Г такие же, как и в оптимальном проекте:

.V*(А + Дй, г+ Д/, / + Д/) - ЛЧА, I, /),

#*(А + ДА, t+^t, /+Д/) = Я(Л. *, /),

~Ы* (А + ДА, Ь + М, /+ Д/) = ЛГ(Л, /, /).

л _

Поэтому частные производные от Л/, Л', Л’ по Л, *, / в выражениях для вторых производных от и вблизи оптимального проекта равны нулю:

а А А*-А к-Я,

~ А* - Ау • дАу ~ А^-Ау ’

= 0 и т. д.

(3.7)

аЛу А* - Ау

Это означает, что в статически неопределимой конструкции, для которой условия оптимальности (2.5), (2.6) удовлетворяются без исключения лишних связей, распределение проектных параметров при оптимизации будет существенным образом зависеть от их начального распределения в элементах конструкции.

Выражение для второго дифференциала с учетом (1.3) и (3.7) будет иметь вид

из которого следует, что второй дифференциал от Ь вблизи оптимального проекта есть строго положительная величина: с12 0 > 0.

Следовательно, необходимые условия минимума функционала дополнительной энергии деформации с ограничением на объем материала конструкции являются и достаточными условиями локального минимума для определения оптимальных значений проектных параметров в конструкции максимальной жесткости, образованной из элементов трех типов.

4. Минимизация объема материала конструкции при заданном уровне удельной дополнительной энергии в ее элементах. Из уравнений равновесия для линейно-упругих систем, проектные параметры которых в матрицу жесткости входят линейным образом, следует, что при заданных внешних нагрузках пропорциональное изменение проектных параметров Л, /, / по всем элементам Н, Т, Р на одну и ту же величину не изменит в них величины внутрен-

Л ~

них усилий №, Л;, N.

Следовательно, для тонкостенной конструкции, удовлетворяющей условиям локальной оптимальности (2.5), (2.6), справедливы равенства

>.А* = [X] Л-, */* = №/*, (4.1)

где X — предельное значение удельной дополнительной энергии деформации, определенное по энергетическому критерию прочности.

Согласно (4.1) конструкция с допускаемым по прочности в ее элементах Н, Т, Р уровнем удельной дополнительной энергии

нг ,,, ЛГ* Л?» п.

2£Л! " * 11 ’ ООП “ *М» 2£/-' ^

может быть получена пропорциональным изменением проектных параметров конструкции максимальной жесткости с удельной дополнительной энергией в ее элементах, равной */., *Х, *>., по следующим формулам:

Л А Л т/Т

(А, и /) = ®(А, *, /), а= К ТХ] '

Покажем, что тонкостенная конструкция, проектные параметры которой удовлетворяют ограничениям по прочности (4.2) и имеют значения

£ N * Я * N ,А 0ч

Л = — ■ ■ ■■, t —----, /=----- -- , (4.3)

К2£х[Х] ± V 20Г[Х[ ±У 2ЕхЩ

будет конструкцией минимального объема материала. Для этого,

используя формулы (4.3), получим выражения объемов материала

для элементов Н, Т, Р в 5, 2, /

\/ _ь ч_______ЛГ‘ \/ = t 2 ==___-д-0.п______

V1 — П1Л1 — /-ШШ— , Vп 1п •£„

Г 2£*• (>-1 " ±У20па[Ц

Л

Л'* /*

± V 2£* ;*[>•!

из которых возведением в квадрат, с учетом (4.2), получим соотношения, связывающие объем материала и дополнительную энергию конструкции в этих элементах

Л/; Б, А т И„ Л N'1 и _ Л

-Ч—1Ч«Л5|. =

2£,А, 26'„ 2£*/„

Следовательно, дополнительная энергия деформации конструкции, удовлетворяющей требованиям прочности общего вида (4.2), будет определяться выражением

у ft.fr Л^„ у **2/*

6ш,”_г 2£'*' 4- *Л ‘Чв.А

- N (£ *1 *1 *1+2 *« £ + £ ** /л |=м у (4.4)

I I п * )

и согласно условию оптимальности (2.5), (2.6) имеет минимальное значение для условного значения объема материала V.

Так как при фиксированных значениях параметров х, х, х зна-

л

чение V пропорционально объему материала конструкции

А А «г-ч» Л «гч Л

г'--=2>л + 1/,,2я + 2л/*>

п к

Л

то согласно (4.4) объем материала V', необходимый для удовлетворения требований прочности (4.2) в ее элементах, будет иметь минимальное значение

л

Л, Л г? .

V . ~ 1/ . _ ячя » тт 'ят— р |

5. Примеры локальной оптимизации ферменной и кессонной конструкций. В п. 3 было показано, что в статически неопределимой конструкции, для которой условия локального минимума удовлетворяются без исключения лишних связей, распределение проектных параметров при оптимизации будет существенным образом зависеть от их начального распределения. Поэтому, выбирая различные начальные значении проектных параметров конструкции и оптимизируя по формулам (3.1), каждый раз будем получать различные оптимальные значения проектных параметров конструкции, удовлетворяющих условиям локального минимума (2.5), (2.6) или

(4.2).

В подтверждение сделанных выводов рассмотрим оптимизацию фермы и четырехпоясного кессона.

Ферма (рис. 1) с лишней связью в виде стержня 2, с геометрическими параметрами 11 = 1п = У2 а, /, =2а и нагрузкой Р имеет следующие значения внутренних усилий:

ЛГ1 = -^(Р_Х), Кг-х; ДГ3 = 1^.(Р_х), х

или

2 1 + К2//Л

— V. —___________Ш*________р л/. _________________!_______,

■ ///*

111

Д-, = Д, =------------------Р, Л^2 =-------------------Р.

’ 1 + К2//Л 1 + К2//Л

Состояние кессона А. см /, см см’ V. СМ3 Состоите кессона А. см см /. сма V. см'

нсх 0.1 0.2 0,001 360.04 ИСХ 0.1 0.2 100 8360

ор( 0,0999 0,1001 0.0013 279.97 ор1 0.031 0.169 1,417 253.88

исх 0.1 0.2 0.1 364 исх 0.1 1 100 5000

ор| 0.0941 0.1059 0,1215 277.75 Ор» 0,0088 0.1912 1.871 245,38

исх 0.1 0.2 1 440 исх 0.001 1 1000 40802

ор! 0,067 0.133 0.675 267,6 ор» 0,00008 0.1999 2,0436 242.08

Задавшись произвольным распределением параметров /<°>, получим, что усилия в данной системе равны усилиям оптимальной системы с одинаковым уровнем напряжении о в ее элементах

/(0)//Г Р , ■ я

' 1 + У2 /(°)/40) - ’ - 14- >2 /(0) 4°> * ’

* 1+К2///2’ 1 + /2

Следовательно, для данной фермы оптимальное распределение параметров /, /», удовлетворяющее условиям оптимальности (4.2), зависит от начальных значений /<°>, Д0), причем эта ферма для всех вариантов начального распределения параметров /(0), Д0) будет иметь одно и то же минимальное значение объема материала для различных оптимальных значений /, /,:

2уТа///, Р , 2д Я _ 2Рд 14-УТ///а а 1 + УТ///, • 3 '

В качестве тонкостенной конструкции, состоящей из элементов трех типов: Н, Т, У7, рассмотрим четырехпоясной кессон (рис. 2), нагруженный в торцевом сечении крутящим моментом МК9—Р-В= = 4• 10а кг*см (6]. Функционал дополнительной энергии для него имеет вид

т. 2Ы*В1 . л С ЛГ* 2Я'-Н1

У — -отит + 4 I —=— а;-Л---,

20Л 1 ) 1Е/

о

где

1 2 \ H I )’ I '» /v 2 U l /’

И, В, / — высота, ширина и длина кессона (Я = 20 см, £ = 50 см, / = 20 см, Р = 8-10* кг); N0 — неизвестное осевое усилие при ; =/;

h = const, / = const, /=/0-±-, Г=£0, G =

В качестве ограничений на удельную дополнительную энергию в элементах кессона принимались значения

т = V2G* (/.] = V 2СЇ [>.) = 2 • 10‘ Н см2,

5 = V 2>?0 х (>.) = 3,9 • 104 Н/см2,

которые получены из условий совместности деформации для оптимальной статически неопределимой системы (см. таблицу)

_ л л I _ _ _

ди 2ЫВ1 дЫ ~

д\0 Gh dN,

Г . . f N <?Л' 2NHI nN

Ч \ Etf дК0°' Gt dN0

, 2В1 дЫ , 2HI dR\ 1

2С*[/] | G d.V0 1 G dNj | + V 2£0x[/.J-4 | -g-

Неизвестное усилие іУ0 для начального распределения Л(0», /<°>, /<°>, удовлетворяющего условию /?//У>Л<0>/<<0’, и оптимального распределения А, /, / в данном примере, как и для фермы, имеет одинаковое значение

■(т-4)

0 H 1 В h 21- h \

I \ H T t + (1 +*)/„//]

ад,0\ *°>,/<о>).

Минимальное значение объема материала кессона

_ 2ЫВ1 2ЫН1 . , Г М>г . Р (В Н)1 Ло Г 4/ д „1

------- 4 | а—---------------------------------^---ч — [3-(1+^)-(Д-Я)]

б

существенным образом зависит от значения усилия Л^0, а следовательно, от начального распределения параметров Л<°>, /(0>, /<0). В рассмотренном примере объем материала кессона будет иметь наименьшее значение из всех локальных минимумов в случае шах М0, которому соответствует исходное распределение проектных параметров /г(0)/г(0> = 0, Л<0,,/(00) = 0. Результаты локальной оптимизации кессона от различных начальных распределений приведены в таблице, откуда следует зависимость оптимального и начального распределений проектных параметров в кессоне.

8—«Ученые записки» .V» 4 ] 13

1. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. Механика. М., „Мир", 1977.

2. Лейбеизон Л. С. Курс теории упругости. М. — Л., Гос-техиздат, 1947.

3. Л и п и н Е. К. Проектирование сложных силовых конструкций максимальной жесткости. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 6, Л» 4, 1975.

4. ГольденблатИ. И., Коп нов В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М., .Машиностроение*, 1968.

5. Моисеев Н. Н., И в а и и л о в Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. .Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1978.

6. К а н С. Н. Строительная механика оболочек. М., .Машиностроение*, 1966.

Рукопись поступила 10/IV 1979