CC BY
92
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м XX
19 89
№ 4
УДК 629.7.015.4,023
ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКЦИИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Разработан алгоритм минимизации массы материала силовых конструкций, моделируемых дискретной расчетной схемой метода конечных элементов, при ограничениях на обобщенные перемещения, напряжения и минимальные толщины в конструктивных элементах при нескольких случаях нагружения. Изменение проектных переменных в итерационном процессе осуществляется по рекуррентному алгоритму расчета равнопрочных конструкций, объединенному с формулой, полученной из условия оптимальности в задаче с ограничениями на обобщенные перемещения. При этом на каждом шаге определяется одно активное ограничение на перемещение, в котором действительное перемещение имеет максимальное отклонение от допустимого. Сравнения с известными оптимальными решениями подтверждают достоверность полученных результатов, что обосновывает эффективность разработанного алгоритма оптимизации.
Постановка задачи. Рассматривается задача минимизации массы материала конструкции, жесткостные характеристики которой моделируются расчетной схемой метода конечных элементов. Решением данной задачи является оптимальное распределение проектных переменных, таких, как толщина обшивки и площадь поперечного сечения конструктивных элементов, удовлетворяющих заданным ограничениям. Ограничения включают: допустимые по условиям прочности напряжения, предельные по условиям жесткости перемещения при заданных нагрузках и конструктивно-технологические ограничения проектных переменных.
В этом случае задача оптимизации конструкции по условиям прочности и жесткости формулируется следующим образом:
Е. К. Липин, В. В. Чедрик
Найти
п
тШМ = £ р
(1)
при ограничениях
(2)
Ят,<Яг У=1»/, т=\,р,
(3)
I' г = 1,
№
Здесь U — проектная переменная; рг- — плотность материала; h — длина либо площадь в плане i-ro элемента; ahm — эквивалентное напряжение в k-м элементе при действии т-го расчетного случая; Gh — допускаемое по условиям прочности эквивалентное напряжение в k-м элементе; р — количество расчетных случаев нагружения; q^ — допустимое по условиям жесткости обобщенное перемещение, f — количество заданных ограничений по жесткости.
Для ограничения по жесткости (3) и т-м случае нагружения обобщенное перемещение qjm рассматривается как линейная комбинация узловых перемещений конечно-элементной расчетной схемы конструкции ит:
Я}т = ъ]-ит, j—Tj, (5)
где bj— заданный вектор, определяющий относительные перемещения узлов. Выражение (4) устанавливает конструктивно-технологические ограничения на значения проектных переменных элементов t0%.
Применив теорему Куна—Таккера [1], получим необходимые условия локального минимума' задачи нелинейного программирования
p,/i + 2 2 2 AMd-^-h=o, i^TTJr, (б)
£=1 т=1 ' /=1 т=1 1
^«О»*« —e*) = 0, k=\,n, т=1, р, (7)
Ajm(4jm — gj) = 0, j=TTf, т==ТГр, (8)
! — *<) = О, ï" = ТГп, (9)
Ркт>0, Х^О, к=\,п, т=\,р, }=\,/, ¿—\, п. (10)
В уравнении (6) множители Лангранжа щ-т, Арп, Я, должны быть положительными при активных ограничениях и равны нулю для пассивных ограничений.
В общем случае функции ограничений невыпуклые, поэтому условия теоремы Куна—Таккера (6) — (10) при линейной целевой функции (1) гарантируют только локальный минимум. Непосредственное решение системы (6) —(9) затруднительно из-за сложности вычисления градиентов напряжений, нелинейности системы и отсутствия гарантии сходимости при применении итерационных методов.
Метод решения. В работах [3—5] для некоторых частных случаев предложено рассматривать ограничения на напряжения в виде ограничений на линейную комбинацию узловых перемещений типа уравнений (5). При этом удается получить алгоритм оптимизации со многими ограничениями на перемещения. Однако этот алгоритм является неэффективным при оптимизации конструкций с большим числом ограничений и степеней свободы ее расчетной схемы. Поэтому на практике широко используется инженерный принцип рациональности конструкции в форме критерия равнопрочности, согласно которому проектные переменные назначаются пропорциональными отношению действующих напряжений в экстремальном случае нагружения к допускаемым по условиям прочности.
С учетом конструктивных ограничений (4) формула для пересчета проектных переменных по алгоритму равнопрочности имеет вид [2, 5]
/ max \aim\ \ tt = шах -, toi . (11)
Если наложены ограничения на обобщенные перемещения, то для допустимой конструкции, удовлетворяющей ограничениям (2) — (4), минимальные значения проектных переменных можно определять вектором 1, полученным из соотношения (11). Для статически определимой упругой системы, у которой усилия в элементах не зависят от распределения материала, вектор t содержит минимально необходимые значения проектных переменных для удовлетворения требованиям прочности и конструктивным ограничениям.
Явное выражение от проектных переменных для обобщенных перемещений в виде линейной комбинации узловых перемещений (3) можно получить, используя теорему о виртуальной работе. Для этого к конструкции приложим нагрузку, определяющуюся тождественно вектором Ь¡. Тогда в соответствии с основным уравнением метода конечных элементов имеем:
к= У =177, (12)
I
где К — матрица жесткости конструкции, и— виртуальные перемещения.
Транспонируя уравнение (12) и подставляя его в (5), получим соотношение
Я)т = «7 Кит,
в котором может быть выделен вклад от каждого конечного элемента:
(13)
п _ п Q..
<Jjm = X В"» = 2
i=I ¡=1
Qljm = *<i Щт)
Здесь 0_цт — коэффициенты обобщенной жесткости, которые для статически определимой системы принимают неизменные значения.
В общем случае, когда потоки внутренних усилий зависят от распределения проектных переменных ti, два основных фактора затрудняют оптимизацию. Во-первых, неизвестно, какие проектные переменные в оптимуме будут определяться условиями жесткости, а какие условиями прочности и конструктивными ограничениями. В соответствии с этим разделим все переменные на две группы:
> г = 1, п — активные переменные
и
= г = п-\-1, п — пассивные переменные. Во-вторых, неизвестны активные ограничения по перемещениям.
Если указать способ, по которому может быть выделена подсистема активных переменных и активных ограничений по обобщенным перемещениям, то задачу оптимизации запишем так:
Найти
шт (14)
1=1
при ограничениях ^ "¿г = — У = 1 > Л гДе ^—количество ак-¿=1 1
тивных ограничений на обобщенные перемещения при определенных случаях нагружения (индекс т опущен); — вклад пассивных проектных переменных в жесткость <7/, п — количество активных переменных.
Применяя метод множителей Лагранжа к задаче (14) с ограничениями— равенствами, в которых на текущей итерации коэффициенты обобщенной жесткости <Эг3- будем считать независимыми от проектных переменных, получим систему нелинейных уравнений
(15)
/=1
Он
(16)
г= 1
Преобразование уравнений (15) приводит к критерию оптимальности
(17)
/=1 г' ' 1 /=1
Таким образом, в оптимальной конструкции линейная комбинация отношений плотностей виртуальной энергии деформации Е^ к плотностям материала рг равна единице во всех активных элементах.
Разрешая уравнения (15) и (16) относительно проектных переменных ¿г, получим систему нелинейных уравнений для определения множителей Лагранжа;
п
I
ЯцУнк
]/ 2 А¡Он
= / = 1,У- (18)
г=1 * /=1
Очевидно, что в общем случае она может быть решена только итерационным способом. С другой стороны, для большинства практических задач по оптимизации конструкций можно выделить одно определяющее ограничение на обобщенное перемещение. Кроме того, в итерационной процедуре оптимизации несколько активных ограничений почти никогда не реализуются из-за того, что она обычно оканчивается по достижении каким-нибудь из активных ограничений заданной точности. В особых случаях (например, из-за симметрии) могут в точности реа-лизовываться два или больше активных ограничений, но тогда они могут рассматриваться как единственное ограничение. В данной работе определяющим на итерации ограничением по обобщенному перемещению считается то, в котором действительное перемещение имеет
максимальное отклонение от допустимого. Для определяющего ограничения из (21) найдем множитель Лагранжа:
п
2 Учани
(19)
91 — 9]
Подставляя (19) в уравнение (15) при Л — 1, получим формулу для п активных проектных переменных:
Значения пассивных проектных переменных будут определяться как минимальные для обеспечения требований прочности и конструктивных ограничений.
В некоторых работах зарубежных авторов [4, 8, 9] при оптимизации с ограничениями на перемещения для определения проектных переменных используется рекуррентное соотношение, основанное на уравнении (20), причем ограничения на допустимые напряжения считаются пассивными. Для задачи со многими нагружениями и ограничениями на обобщенные перемещения используется метод огибающей, на основании которого проектные переменные определяются как максимальные среди полученных раздельно по всем случаям нагружения и ограничениями на перемещения. Очевидно, что это приводит к некоторому избытку массы для удовлетворения всех ограничений.
В данной работе для снижения массы по сравнению с методом огибающей предлагается организовать внутренний итерационный цикл определения групп активных и пассивных проектных переменных при фиксированных усилиях в элементах. После определения размеров поперечных сечений элементов Л\ по формуле (20), они сравниваются с
для выбранной начальной группы активных элементов. Если то проектная переменная входит в активную группу, при íi<.l^ — в пассивную. Затем уже для полученной группы активных проектных переменных определяются как среднее арифметическое из предыдущего распределения и полученного по формуле (20). Это делается для обеспечения устойчивости внутреннего итерационного процесса. Процедура вычисления активных проектных переменных продолжается до сходимости по множителю Лагранжа:
Здесь а — счетчик внутренних итераций, гА •—заданная погрешность.
Алгоритм оптимизации. Разработанная итерационная процедура оптимизации конструкций включает следующие основные шаги:
1) для начального распределения проектных переменных производится с помощью метода конечных элементов расчет узловых перемещений и напряжений в элементах конструкции для всех заданных случаев нагружения;
2) по формуле (11) для полученного напряженно-деформированного состояния определяется вектор проектных переменных учитывающий требования прочности и конструктивные ограничения;
п
(20)
(Л»+»-А«)/А«<ед.
(21)
3) по формуле (5) вычисляются обобщеные перемещения, выделяется определяющее ограничение на перемещение;
4) на основании обращенной на первом шаге матрицы жесткости определяются узловые перемещения от виртуальной нагрузки, соответствующей определяющему ограничению на обобщенное перемещение;
5) рассчитываются коэффициенты обобщенной жесткости <3,1 в соответствии с уравнениями (13) для случая нагружения, при котором реализуется определяющее ограничение на обобщенное перемещение и проектные переменные разделяются на две группы: 1) активные— если (?г1>0; 2) пассивные — если (2г1<0;
6) вычисляются значения активных проектных переменных и множитель Лалранжа по формулам (19), (20);
7) осуществляется новое разделение проектных переменных (активные— если ti>ti, все остальные пассивные) и определяется множитель Лагранжа по формуле (19) для оценки сходимости по критерию (21). Новый вектор активных переменных определяется как среднее арифметическое из предыдущего вектора и рассчитанного по формуле (20). Если не достигнута сходимость, то переходим на начало шага 7, иначе — к шагу 8;
8) рассчитывается напряженно-деформированное состояние и проверяются все наложенные ограничения на напряжения и перемещения, при нарушении которых делается переход на начало оптимизационного цикла (шаг 2).
На каждой итерации основного цикла производится масштабирование по максимальной невязке для получения допустимой конструкции. Вычисляется её масса, запоминаются проектные переменные конструкции с наименьшей массой. Критерием остановки процесса оптимизации может быть принята заданная невязка по массе конструкций на соседних итерациях, невязка по напряжениям и перемещениям либо максимальное количество итераций.
Описанный алогритм оптимизации реализован в виде программы, написанной на языке Фортран-77 и опробован на примерах-тестах, описанных в литературе [3—12].
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
1. Десятистержневая консольная ферма (рис. 1). Данные об упругих и массовых характеристиках, геометрических размерах фермы принимались равными ±25000 фунт/дюйм2. Задавалось предельное перемещение свободных узловых точек 1 и 2 в вертикальном направлении равным ±2,0 дюйм. На площади поперечного сечения элементов было наложено конструктивное ограничение — 0,1 дюйм2. Рассматривалось по отдельности два случая нагружения: 1) Р1=100 000, Рг = = 0, 2) Р1 = 150 000, Р2=50 000 фунт.
В первом случае сначала было наложено единственное ограничение на вертикальное перемещение узла 2. При этом итерационный алгоритм привел к "массе, равной 5216 фунт, причем на 15-й итерации масса допустимой конструкции была меньшей и составляла 5169,3 фунт. В обеих конструкциях реализовалось предельное перемещение в узле 2, а перемещение узла 1 было соответственно 2,0444 и 2,0137 дюйм. Для ограничения на перемещение в узле /, вместо узла 2, ферма имела массу, равную 4713,7 фунт. При этом перемещение в узле 2 равнялось 2,90 дюйм, а активными были ограничения на напряжение в шестом элементе, перемещение узла 1 и толщина пятого элемента. Оптимальная ферма с массой 5091,3 фунт была получена на 18-й итерации.
Рис. 1. Модуль упругости 10'фунт/дюйм2; плотность материала 0,1 фунт/дюйм3; минимальная площадь 0,1 дюйм2; допустимое напряжение ±25 • 103 фунт/дюйм2; ограничение на перемещение 2,0 дюйм
В табл. 1 приведены распределения площадей и масса ферм, полученных с помощью разработанного алгоритма и методик зарубежных авторов.
Результаты оптимизации для второго случая нагружения приводятся в табл. 2. Оптимальная конструкция фермы с массой, равной 4804,7 фунт, получена на восьмой итерации. При этом перемещение в узле 2 равнялось предельному, перемещение узла 1 в направлении У было на 17,4% меньше максимальной величины, а напряжение в элементе 5 составляло 98,57% от допустимого напряжения. Площади поперечных сечений элементов 2, 5, 10 получили конструктивные ограничения.
, Таблица 1
Распределение площадей поперечных сечений, случай 1, в дюйм2
Номера элементов фермы Шмит и Фарши [6] Ванкайя [7] Гелатли и Берке [8] Добс и Нельсон [10] Рицци [11] Хан, Вилмерт, Торнтон [12] Данный метод
1 33,432 30,416 31,35 30,5 30,731 30,98 31,008
2 0.1 0,128 0,1 0,1 0,1 0,1 0,10431
3 24,260 23,408 20,03 23,29 23,934 24,169 24,361
4 14,26 14.905 15,6 15,428 14,733 14,805 14,724
5 0,1 0,101 0,14 0,1 0.1 0,1 0,15132
6 ' 0,1 0,101 0,24 0,21 0,1 0,406 0,45570
7 8,388 8,696 8,35 7,649 8,542 7,547 7,9795
8 20,74 21,084 22,21 20,98 20,954 21,046 21,029
9 19,69 21,077 22,06 21,818 21,836 20,937 20,823
10 0,1 0,186 0,1 0,1 0,1 0,1 0,10431
Масса, фунт 5089,0 5084,9 5112,0 5080,0 5076,66 5066,98 5091,27
Таблица 2
Распределение площадей поперечных сечений, случай 1, в дюйм2
Номера элементов фермы Шмит и Фарши [6] Венкайя [7] Гелатли и Берке [8] Добс и Нельсон [10] Рицци [11] Хан, Вилмерт, Торнтон [12] Данный метод
1 24,289 25,19 _ 25,813 25,533 24,716 24,662
2 0,1 0,363 — 0,1 0,1 0,1 0,1
3 23,346 25,419 27,233 25,291 26,541 26,352
4 13,654 14,327 16,653 14,374 13,219 13,239
5 0,1 0,417 — 0,1 0,1 0,108 0,1000
6 1,969 3,144 — 2,024 1,9697 4,835 5,1589
7 12,67 12,083 — 12,776 12.389 12,664 12.828
8 12,544 14,612 — 14.218 12,825 13,775 13,559
9 21,971 20,261 — 22,137 20,328 18,438 18,663
10 0,1 0,513 — 0.1 0.1 0,1 0,1
Масса, фунт 4691,84 4895,6 5059,7 4676,92 4792,52 4804,67
Полученные решения находятся в хорошем соответствии с результатами зарубежных авторов.
2. Четырехстержневая пространственная ферма (рис. 2). Характеристики материала принимались такими же, как и в предыдущем примере. Рассматривались два случая:
1) нагрузка — Рх= 10 ООО, Ру = 20 000, Рг = —60 ООО фунт, и ограничение на перемещение узла 5 в 1-м направлении, равное ±0,3 дюйм;
Рис. 2. Модуль упругости 107фунт/дюйм2; плотность материала 0,1 фунт/дюйм3; минимальная площадь 0; допустимое напряжение ±25-103 фунт/дюйм2
ТаблицаЗ
Распределение площадей поперечных сечений, 4-х стержневая ферма, в дюйм2
Номера элементов Шмит и Фарши [6] Венкайя [7] Хан, Вильмерт, Торнтон [12] Данный метод
фермы случай 1 случай 2 случай 1 случай 2 случай 1 случай 2 случай 1 случай 2
; 2 3 4 0,0 3,765 0,769 2,514 3,21 2,614 2,159 0,0 0,277 4,1527 0,746 2,477 3,147 2,147 2,162 0,0 0.0 3,651 0,769 2,759 3,419 2,511 2,159 0,0 4,6002-10~6 3,7948 0,76954 2,4976 3,1738 2,6583 2,1593 1,1301-ю-5
Масса, фунт 117,89 128,53 126,43 128,561 121,5 130,625 117,94 128,5
2) нагрузка — Рх = 40 ООО, PY= 100000, Pz = —30 ООО фунт и три ограничения на перемещения: ±0,3 в Х-ы направлении, ±0,5 — в У-м направлении, ±0,4 дюйм в направлении Z. Минимальная площадь поперечных сечений элементов принималась равной нулю.
Результаты оптимизации приведены в табл. 3, где для сравнения приводятся проектные переменные и массы, полученные зарубежными авторами. Как видно, масса конструкции, полученная разработанным методом, близка к наименьшей, найденной Шмитом и Фарши на основе методов математического программирования, причем во втором случае она даже несколько меньше. В обоих случаях в оптимальной конструкции реализовались по три активных ограничения. Для первого случая: ограничение на перемещение верхнего узла, напряжение в третьем стержне и конструктивное ограничение в первом стержне. Для второго случая: ограничение на перемещение узла 5 в У-м направлении, напряжение в третьем стержне и нулевая площадь поперечного счения в четвертом стержне.
3. Стреловидный кессон крыла (рис. 3). Рассматривался пример оптимизации тонкостенной конструкции по условиям прочности и жесткости с применением расчетной схемы метода конечных элементов, содержащей 240 неизвестных перемещений. Обшивка и стенки в расчетной модели представлялись мембранными элементами, а пояса продольного и поперечного силового набора — стержневыми элементами, работающими на растяжение-сжатие. Задача оптимизации имела 290 проектных переменных. Кессон нагружался давлением и сосредоточенными силовыми факторами по торцу. Было принято: сг = 400Н/мм2 для всех элементов; ¿0 = 0,6мм для мембранных элементов; 4=20 мм2 для стержней; ограничения на вертикальные перемещения узлов 41 и 45 соответственно равны 120 и 240 мм. Алгоритм уже на 31-й итерации привел к конструкции с массой 180,1кг и перемещениями рассматриваемых узлов соответственно 120 и 231 мм. На дальнейших итерациях наблюдался колебательный процесс сходимости, когда друг за другом изменялись активные ограничения на перемещения. При этом изменения массы конструкции были незначительными, что по-видимому свидетельствует о близости к оптимуму, в котором должны быть реализованы два активных ограничения на перемещения. Для получения такой конструкции следует решать систему нелинейных уравнений (15), (16), что может существенно усложнить алгоритм оптимизации.
Рис. 3
Приведенные решения модельных задач и сравнение с известными оптимальными решениями подтверждают достоверность полученных результатов с использованием разработанного алгоритма оптимизации и обосновывают его эффективность.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.
2. Липин Е. К., Фролов В. М. Чедрик В. В., Ш а н ы-г и н А. Н. Алгоритм оптимизации силовых конструкций по условиям прочности с компенсацией нарушенных ограничений. — Ученые записки ЦАГИ, 1988, т. 19, № 1.
3. Khot ;N. S. Algorithms based on optimality criteria to design minimum weight structures. — Engineering Optimization, 1981, vol. 5, N 2.
4. Khot N. S., Berke L. Structural optimization using optimality criteria methods. — In: New directions in optimum structural design. John Willey & Sons, 1984.
5. F leur у С. An efficient optimality criteria approach to the minimum weight design of elastic structures. — Computers & Structures, 1980, vol. 11, N 3.
6. Schmit L. A., F a r s h i B. Some approximation concepts for structural synthesis. — AIAA J., 1974, vol. 12.
7. V e n k a y y a V. В. Design of optimum structures. — Computers & Structures, 1971, vol. 1, N 1—2.
8. G e 11 a t e y R. A., Berke L. Optimal structural design, AFFDL-TR-70-165, 1971.
9. В e r k e L., К h о t N. S. Use of optimality criteria methods for large scale systems. — AGiARD-LS-70, 1974.
10. Dobbs M. W., Nelson R. B. Application of optimality criteria to automated structural design. — AIiAA J., 1976, vol. 14.
11. Rizzi P. Optimization of multiconstrained .structures based on optimality criteria.—AIAA/ASME/SAE 17-th structures, structural dynamics and material conference, 1976.
12. Khan M. R., Willmert K. D., Thornton W. A. An optimality criterion method for large-scale structures. — AIAA J., 1979, vol. 17, N 7.
Рукопись поступила 20/III 1988 г.
