Одношаговый метод оптимизации статически неопределимых систем минимального объема Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ

Т о м X 1 97 9 № I

УДК 629.735.33.015.4

ОДНОШАГОВЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МИНИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА

Е. К. Липин

Предложен одношаговый метод определения проектных параметров в статически неопределимых системах минимального объема. Метод основан на определении в системе „паразитных” связей при наличии которых в системе не могут быть реализованы одновременно условия оптимальности и совместности деформаций.

Доказано, что в системе без „паразитных" связей усилия не зависят от распределения материала в ее элементах, а поэтому оптимальные параметры в них определяются за один шаг. Идея метода иллюстрируется на примерах ферменной конструкции.

В рамках предложенного подхода обосновано существование трех классов равнопрочных упругих систем и получены признаки их принадлежности к этим классам.

На основании проведенных рассмотрений сформулированы три теоремы оптимального проектирования упругих систем, позволяющие построить одношаговый оптимизационный процесс.

1. Необходимые условия оптимальности. Задачу минимизации объема материала статически неопределимых, например, стержневых систем

П

У = Л1/,Ж 0-1)

(=1

с ограничениями по прочности в виде неравенств

м ^ п

о - у > 0,

где М={А\, IV,.......^./-(/„/г........../,), 1={1и —

матрицы-столбцы внутренних усилий, площадей поперечных сечений стержней и их длин; о — допускаемое напряжение по прочности,

сформулируем как классическую вариационную задачу на условный экстремум, введя новые переменные а > 0, которые заменяют ограничивающие неравенства равенствами [\\

= О-2)

Для рассматриваемой вариационной задачи составим функционал Лагранжа [1]

ЕМ6/ — %—

г=1 гг 1=1 1( ' '

условие минимума которого запишем в виде

Предположив, что при произвольных вариациях §/, 2а условия экстремума функционала Ь будут иметь вид

получим вместе с уравнением (1.2) совместную систему для определения /, X, а, из которой следует, что

которое согласно принципу Кастильяно тождественно равно нулю, так как представляет собой условие совместности деформации равнопрочной системы. Принимая во внимание, что допускаемое напряжение о является заданной величиной условия совместности деформации

будет также и условием минимума объема материала (1.1) для оптимального решения, лежащего в точке пересечения поверхностей ограничёний.

Согласно (1.3), в оптимальной стержневой системе распределение площадей / должно быть таким, чтобы в ее элементах уровень напряжений был бы равен допускаемому по прочности напряжению о.

Оптимальные значения площадей поперечных сечений / элементов стержневой системы, в соответствии с (1.3), будут определяться

Однако внутренние усилия N в статически неопределимых упругих системах из-за наличия лишних связей зависят от распределения материала в ее элементах А^(/), а поэтому из уравнений (1.4) не могут быть получены значения / в явном виде.

2. Условия, определяющие наличие в системе „паразитных* связей. Для определения оптимальных значений / получим из

(1.3)

Последнее слагаемое вариации функционала ЬЬ

П

после подстановки в него решения (1.3) будет иметь вид

П

1= 1 I,

п

1=1 I

/=№

(1.4)

уравнений совместности деформаций условия, при которых статически неопределимая стержневая система имеет элементы с уровнем напряжений, равным заданному напряжению о.

Усилия в статически неопределимых стержневых системах выражаются через известные и неизвестные силовые факторы:

-{■ х2 А2 +... + хт ЛГт, (2.1)

где Л™ = {М°, N2,..., } — матрица-столбец усилий, возникающих

от внешних заданных сил в элементах основной (статически определимой) системы, х = {хг, х2, х3,..., хт\ — матрица-столбец усилий в избыточных связях (лишние неизвестные), Л/1 = {Л/1, N2,..., N1} , № = {М, N1 ...,N1},..., ЛГ={ЛС, Л^,'..., .ЛС}— матрицы-столбцы усилий в элементах системы, возникающих соответственно от единичных усилий.

Для получения уравнений совместности деформаций запишем энергию деформации как функцию усилий №, х и площадей /

т \ 2

< + 2 «**, I,

и = £ -------‘"ел -------= и <л'°. *■ Л-

1=1

Из условия минимума и получим следующую систему уравнений совместности деформации

- . ^ + 2

= -------к^Е7~--=0, у = 1, 2, 3,..., т. (2.2)

у 1=1

Система уравнений совместности деформаций (2.2) для оптимальной статически неопределимой системы с учетом (1.3), (2.1) будет иметь вид

Е М/,-0; /=1,2,3(2.3)

7 / = 1 /=г+1

где 1= 1, 2, 3,..., г — номера растянутых элементов, г = г-[- 1, г + 2, г + 3,..., п — номера сжатых элементов; усилия растяжения ./V приняты со знаком плюс, а усилия сжатия/V —со знаком минус. Из (2.3) следует, что в оптимальной статически неопределимой системе, удовлетворяющей условиям экстремума (1.3), условия совместности деформаций будут выполняться лишь при следующих равенствах

^N{1,- V М/, = 0

1=1 ( = Т-\-\

или _ (2.4)

“ 2 М1Ь /= 1, 2, 3..........т.

/=1 г-/-+1

Полученные уравнения (2.4) представляют собой канонические уравнения метода сил в оптимальной стержневой системе, что было показано в работе [2].

Следовательно, для того чтобы статически неопределимая система удовлетворяла условиям совместности деформаций (2.3)

и одновременно уровень напряжений в ее элементах был бы равен допускаемому (1.3), необходимо и достаточно, чтобы разности сумм от произведений усилий по ее растянутым и сжатым элементам, возникающих от единичных усилий в избыточных связях хи х2, х3,..., хт, на соответствующие длины стержней были равны нулю. В противном случае условия совместности деформаций (2.2) вступают в противоречие с условиями оптимальности (1.3).

Для разрешения этого противоречия необходимо удалить из статически неопределимой системы те избыточные связи хр, для которых разность сумм (2.4) от единичных усилий хр—\ не равна нулю

£МЧ- £ (2.5)

,1 = 1 1=г+1

Условия (2.5) служат для определения тех избыточных связей, назовем их „паразитными", наличие которых в статически неопределимых системах приводит к противоречию условий оптимальности (1.3) и совместности деформации (2.2). После того, как из системы удалены „паразитные" связи, может быть определено распределение площадей {/} в ее элементах с заданным уровнем допускаемых напряжений.

3. О независимости усилий от распределения материала в элементах системы без „паразитных" связей. Докажем, что в статически неопределимой системе с исключенными „паразитными" связями значения усилий в избыточных связях х не зависят от распределения материала в элементах системы. Для решения данной задачи необходимо из системы уравнений совместности деформаций (2.2), имеющих в матричной форме вид

— 8, (3.1)

где коэффициенты матрицы податливости В и матрицы-столбца свободных членов 8 имеют выражения

^ М Ь ■ в

2-1 Е/1 ’ °* — 1а Е/1

;=1 г=1

определить значения лишних неизвестных х, оставшихся после исключения „паразитных11 связей.

Рассмотрим два состояния упругой системы. Первое состояние соответствует некоторому произвольному распределению площадей /° с усилиями в избыточных связях л;0. В качестве второго состояния системы примем ее состояние с распределением площадей /, определенных по формулам (1.4)

/=

N0 + £ Ы> х[

(3.2)

Система уравнений совместности деформаций (3.1) при переходе из первого состояния во второе принимает вид

[5° + ДВ] {л;0 + Дх} = — {8° + Д8), (3.3)

где В0, 8° — матрица податливости и матрица-столбец свободных

членов первого состояния системы; ДВ, Д8, Ах — матрица прира-

щений коэффициентов матрицы податливости В, матрица-столбец приращений коэффициентов свободных членов 8 и матрица-стол-

бец приращений усилий в избыточных связях х, обусловленные изменением площадей /по формулам (3.2).

Разрешая уравнение (3.3) относительно приращений усйлий в избыточных связях Ах, с учетом (3.1), получим

Дх = — [£0 + ДЯр{д8 +АВх0}, (3.4)

где коэффициенты матриц-столбцов Д8 и ДВ имеют выражения

II " а А^N^11 " ЛГ?ЛГ(* /г

Д8ь =

к Е / т \ / т \ ^ О

'•=1 2 Щ х°1 1=г+1 е{к9 + 2 х°1 1=1 ‘

г '*?1 2

(т

Ъ К!*“

1=1 г=ь1

Е^ + ^М'х0^

(3.5)

2ш4 ”7 т Д 2ш* “ Р>0

,'=,+|£^? + |] /=1 1

Коэффициенты матрицы-столбца Д8 • Д5х° с учетом (3.5) будут иметь вид

+ !>*;*?==£- ' 1=1 У -

/=1

(т /=1

г=/'+1 £(Д/? + 2Мд!/

+£ ■%. ' ]• ' (3-6) Выражение, стоящее в скобках в уравнении (3.6) представляет собой условие совместности деформаций для системы, находящейся в первом состоянии, и поэтому оно тождественно равно нулю

- №N4-

V—1-^4-V ^/=1-____<— =0

2- ей ^2* ей '

^ ЕП 1Й.

Следовательно, коэффициенты (3.6) матрицы-столбца . Д8 —{- АВх°

будут определяться выражениями

ТП Г п

' I ^(3-7>

; М1 г * =1.........г =г г I :

6—.Ученые записки № 1 81

которые для статически неопределимой системы с исключенными „паразитными" связями, согласно (2.4), равны нулю.

В силу того, что у матрицы податливости В° + АВ = В детерминант отличен от нуля и матрица-столбец Д8 + &Вх° имеет нуле-вые коэффициенты (3.7), матричное уравнение (3.4) будет иметь нулевое решение относительно приращений усилий в избыточных связях Ах = 0. Следовательно, усилия в системе без „паразитных" связей не зависят от распределения материала в ее элементах.

4. Одношаговый метод оптимизации упругих систем и условия оптимальности в постановке задачи, как задачи нелинейного программирования. Задача оптимального распределения материала в элементах статически неопределимых систем решается за один шаг, если в ней определены по условиям (2.4) и исключены из нее „паразитные" связи, в отличие от существующих методов минимизации целевой функции. Для этого вначале из уравнений (3.1) в системе с произвольным распределением площадей {/°} определяются растянутые и сжатые элементы и по условиям (2.4) находятся „паразитные" связи. Затем для произвольного распределения площадей {/") в системе с исключенными паразитными связями из уравнений совместности деформаций (3.1) определяются значения усилий в избыточных связях х, по которым согласно формулам (2.1) находятся усилия N и по формулам (1.4) рассчитываются оптимальные значения площадей / в элементах системы.

Объем материала системы с оптимальным распределением материала в ее элементах будет

V-

■Е-2

N,1,

»=1 I,

,0

1=1

Е

1=г+1

N111

.*'=1 Т 0 ;

о

£*?/,- ^ М1,

1=1 »=/■+!

п

/г- £ М /,

<=г+1

1=1

+... (4.1)

Так как в статически неопределимой системе с исключенными „паразитными" связями имеют место равенства (2.4), то выражение для объема материала (4.1) преобразуется к виду

V-

2л?ля/,

»=1 1 = Г+1

]■

(4.2)

Отсюда следует, что для определения объема материала оптимальной конструкции достаточно определить усилия в основной системе (статически определимой) и затем воспользоваться формулой (4.2).

Следует отметить, что площади поперечных сечений, определенные по усилиям в основной системе, в общем случае будут отличаться от соответствующих площадей в оптимальной статически неопределимой системе.

Если сформулированную задачу рассмотреть, как задачу нелинейного программирования, то ее решение должно удовлетворять условиям теоремы Куна—Таккера [3]. Теорема Куна—Таккера гласит: если / является решением задачи нелинейного программиро-

вания (1.1), то существуют неотрицательные множители X такие, что

= ??Д/) при /=/,

/=і

(4.3)

Ху = 0 при ?;•(/)> О,

где уУ — градиент целевой функции V, у?/ — вектор нормали к поверхности ограничения, х — число действующих ограничений (при /=/ эти ограничения обращаются в равенства).

Согласно (1.3), в точке пересечения ограничений все ограничения действующие, следовательно, х = п и ?у(/) = 0. Тогда условие (4.3) примет вид

1 4-

х,377+Х2й/7 +

д'Ц

где і = 1, 2, 3,..., п.

Для оптимального решения производные ^

М|__2_

1.

будут

(4.4)

д'Ц _ дП

/?-Л’

О,

если

если

] = 1, І Ф і•

так как усилия в упругой системе без „паразитных* связей не зависят от распределения материала в ее элементах. Следовательно, система уравнений (4.4) примет вид

_1_

Л

О

0 0.

1

/2

.0

0.... о

_____о

0 0.. .0-^0.

п

о 0. о 0.

о

. о

/«

*1 1 '

^2 1

і

• . і

из которой следует, что все множители X положительны

*-4-[тГ(,»а

Таким образом, согласно теореме Куна — Таккера равнопрочная конструкция совпадает с конструкцией минимального веса, а условия оптимальности (1.3) будут необходимыми и достаточными условиями минимума объема (1.1).

5. Пример оптимизации одношаговым методом. В качестве иллюстрации предложенного метода оптимизации статически неопределимых систем рассмотрим задачу минимизации фермы, имеющей одну избыточную связь (фиг. 1). Ферма состоит из шести стержней, закреплена статически определимым образом и нагружена в узловой точке соединяющей стержни 1, 2, 5 силой Р. Мат-

рицы-столбцы усилий №, Л/1, N для принятой избыточной связи в стержне 5 имеют следующие коэффициенты:

№ = Р

/2

0 2

-1 /2

2

—1 0 , Ы' = УТ 2

0 КГ

2 2

. /2 . — 1 — 1

ЛГ= № + х№.

Усилие в избыточной связи из решения (2.2) и суммарные усилия в элементах фермы с одинаковыми площадями поперечных сечений стержней /° будут

х° =

I?» Л + и ) р 1+У2 г

Ь' = 1 <=5 J

4-2/2

М, N2, лг3, м,, ЛА6, Л^6}=я{4-. -4-.

_1_

2 ’ 2

Для рассматриваемой фермы условия (2.4) выполняются

У 2

а-

/2

а

1/2а)-(

V 2

а -Ь

V 2

а-

•У2а) = 0.

2 ~ , 2 г--у \ 2 “ 1 2

Следовательно, ферма не имеет „паразитных" связей и оптимальное решение может быть найдено за один шаг. Оптимальные значения площадей поперечных сечений стержней, согласно (3.2), будут

А 1/2

и 1/2

/з _ р 1/2

Л а 1/2

Л (2 + /2)/(2 + 2/2)

/б V (1 + V 2)1(2 —(— 1/^ 2)

Усилие в избыточной связи с оптимальным распределением /будет равно х0, т. е. не зависит от распределения /

4 (2 + У2) 4 V 2 + '

+ /2

8 + 2/2

2 + 2/2 V +

2 + /2

Р =

1 + уТ

2 + УТ

2 + /2 ^ 1 + /2

Объем материала оптимальной конструкции, определенный по формуле (4.1) имеет значение

К

4 Ра

которое равно объему материала основной системы фермы (4.2)

Ра . Ра

1/=^ +

+ — —У2 а-. /2 0

4 Ра

6. Классификация оптимальных упругих систем. Рассмотрим статически неопределимые системы, для которых не выполняются условия (2.4), т. е. системы имеют „паразитные" связи. Из системы уравнений совместности деформаций получим способы преобразования такой системы с целью удовлетворения в ее элементах условий оптимальности (1.3). Пронумеруем элементы с избыточными связями таким образом, чтобы индекс избыточной связи х) совпадал с индексом элемента системы (1уг /Д который является носителем связи х}. В этом случае система уравнений совместности деформаций (2.2) может быть переписана в следующем виде:

Ш

^?+2 ь

х] ь

ЕЛ '

■2

1=т+1

ЕА

= 0, у = 1,2,3,

т.

(6.1)

Из системы (6.1) получим значения напряжений з = л:// в избыточных связях при условии, что в элементах системы 1 = т+ 1, т + 2,...,х удовлетворяются условия оптимальности (1.3)

\я]\ = а

МI, -

< =т +1

2 ^ 1<

1=г+Х )

у = 1, 2, 3т. (6.2)

Отсюда следует, что величина напряжений в избыточных связях зависит от отношений разности сумм произведений усилий по растянутым и сжатым элементам основной системы, на соответствующие длины стержней, возникающих от единичных усилий х = 1 к длинам элементов избыточных связей. В общем случае эти отношения в статически неопределимой системе с элементами основной системы, удовлетворяющими условиям оптимальности, могут принимать значения:

77 Е М/,- £ N11,

тт( 2 М/,- 2 М1,

\1=т+\ /=/■+1

Т 2 N11,- 2 N{1,

\’1=т + 1

1 = г+1

+ 1

= 1. I «у I= >1, Ы>°; = 0, |^| = 0; <1, |°,|<°>

(6.3)

(6.4)

(6.5)

(6.6)

где /= 1, 2, 3т.

Условие (6.3) означает, что статически неопределимая система не имеет „паразитных" связей и во всех ее элементах могут быть удовлетворены одновременно условия оптимальности (1.3) и совместности деформаций (2.2), что нельзя сказать про условия (6.4),

(6.6). Эти условия могут быть использованы как признаки, определяющие „паразитные* связи в статически неопределимой системе, наличие которых приводит к противоречию условию оптимальности (1.3) и совместности деформаций (2.2). Так, в случае (6.4) при удовлетворении условий оптимальности (1.3) во всех элементах, кроме „паразитных1* по условиям совместности деформаций, напряжения в „паразитных* связях (6.2) превышают заданные допускаемые напряжения а. В случае (6.5) из (6.1) при 0 следует, что в „паразитной* связи усилие тождественно равно нулю, х} = 0, и тем самым эта связь исключается из системы. Особый интерес представляет условие (6.6), так как в этом случае ограничение по прочности в „паразитной* связи удовлетворяется и притом в виде строгого неравенства.

Докажем, что усилия в данных связях в процессе пересчета их площадей поперечных сечений принимают нулевые значения, а поэтому эти „паразитные* связи исключаются из системы. Из (6.1) определим усилие в „паразитной* связи для произвольного в нулевом приближении значения площади поперечного сечения /9 и при условии, что в элементах основной системы напряжения равны допускаемым а

В первом приближении площадь /}. по условию оптимальности

(1.3) и соответствующее ей значения усилия л:' будут I х°1 Л а

у- IX М‘‘-£

/-г+1

п

1

I;

£ л/Ц- £ М/,

‘='•+1

2 м/,- 2 ^ •

г=л+1 /

и=т+1

\1 = т+1 £= г+1

Следовательно, усилие в „паразитной* связи в &-м приближении будет

тг( Е М/,- 2 *х

\(=г/П+1 1 = Г +1 /

х-тГ Е М/,- £ м/Л - (6.7)

1 \1=т+1 <=г+1 /

Из (6.7) следует, что усилия в „паразитных* связях, удовлетворяющие условию (6.6), в итерационном процессе уменьшаются и в пределе равны нулю:

Ит х) — 0,

к-+оэ 1

так как

тт( 2 М1‘- 2 ^'Л <>•

\/=т+1 i-r+1 ./

Следовательно, „паразитные* связи, удовлетворяющие условиям

(6.6), должны быть удалены из системы, как и в случае (6.5).

Выбрав в системе, удовлетворяющей условию (6.4), в качестве избыточных связей элементы основной системы, получим, что усилия в них, согласно (6.7), в процессе пересчета площадей поперечных сечений обращаются в нуль. Следовательно, как и в случае (6.6), „паразитные* связи в виде элементов основной системы должны быть исключены из упругой системы.

Таким образом, статически неопределимые системы, удовлетворяющие условиям (6.4), (6.5), (6.6), имеют „паразитные* связи, которые в процессе оптимизации исключаются при удовлетворении в элементах системы условий оптимальности (1.3) и совместности деформаций (2.2).

В качестве примера рассмотрим ферму, составленную из трех стержней (фиг. 2) и имеющую одну „паразитную* связь. Изменением длины второго стержня из данной системы могут быть получены системы, удовлетворяющие условиям (6.3) — (6.6)

1.

2.

3.

4.

Л = /3 = 1/"2 а, /2 = 2 а, [ * Е ^ ^

I *2 1, 3

775>‘Ч.

= Та

^/2а-2

1\ — — ")/ 2 а, 1% а,

I \ ■— /3 55=5 ")/" 2 €ЬЛ -— & у

II = У2.а, 12> 2а,

/2а-2

= 2>1;

гЕ^/|

1, 2

2 1.3

1-/2 а-1-/2а|=0;

.Оснодная система”

„Единичное состояние ”

Фиг. 2

Согласно [4], в точке окончательной сходимости оптимизационного процесса площадь поперечного сечения стержня 2 в случаях

3, 4, принимает значение, равное нулю, а в случае 2 равны нулю площади поперечных сечений стержней 1, 3. Исходя из условий (6.5), (6.6), можно указать на существование трех классов оптимальных стержневых систем, удовлетворяющих условиям (1.3) и (2.2) одновременно.

К первому классу отнесем оптимальные (равнопрочные) статически неопределимые системы, все избыточные связи которых удовлетворяют условиям (6.3)

Второй класс образуют оптимальные статически определимые системы, все избыточные связи которых в исходном состоянии систем удовлетворяют условиям (6.4) — (6.6)

Третий класс составляют оптимальные статически неопределимые системы, в которых часть избыточных связей удовлетворяет условиям (6.3), а другая часть — условиям (6.4) — (6.6).

Во всех трех классах систем оптимальные значения площадей поперечных сечений элементов определяются за один шаг.

7. Формулировка основных теорем оптимального проектирования упругих систем. На основании изложенного сформулируем три теоремы оптимального проектирования стержневых систем, доказательство которых приведено выше.

Теорема 1. Оптимальная статически неопределимая стержневая система, имеющая т избыточных связей, будет равнопрочной,

Г

п

ЕМ/, - 2 N11,=о

/=г+1

или

если разности сумм ^N{1, — £ ^11 от произведений усилий по

1=1 1=г+1

ее растянутым и сжатым элементам, возникающих от единичных усилий в избыточных связях хх, х2, х3, . . . , X], . . . , хт на соответствующие длины стержней, равны нулю.

Теорема 2. Объем материала равнопрочной статически неопределимой стержневой системы, избыточные связи которой удов-

Т п

летворяют условиям 2 М к ~ 2 N{11 = 0, 1=1, 2, 3, . . . , т,

1=1 1=г+1

равен объему равнопрочной основной (статически определимой) системы, в которой растянутые и сжатые элементы те же, что и в статически неопределимой системе.

Теорема 3. Система с избыточными связями, в которой условия равнопрочности и совместности деформаций вступают в про-( ^

тиворечие (Х.А'Н— 2 N{1^ 0, у=1, 2, .. , т

\/=1 1=Г+1

равнопрочной тогда и только тогда, когда она является статически определимой системой.

С помощью данных теорем может быть построен одношаговый оптимизационный процесс оптимального проектирования статически неопределимых упругих систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Летов А. М. Динамика полета и управления. М., .Наука*,

1969.

2. Радциг Ю. А. Статически неопределимые фермы наименьшего объема. Труды КАИ, вып. 51, 1960.

3. Т а б а к Д., К у о Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М., „Наука", 1975.

4. Бирюк В. И., Липин Е. К., Ф р о л о в В. М. Методы проектирования конструкций самолетов. М., .Машиностроение', 1977.

может быть

Рукопись поступила 30\Х1 1977 г.