Некоторые свойства статически неопределимых равнопрочных ферм Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIV

198 3

№ 5

УДК 624.04:519..

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАВНОПРОЧНЫХ ФЕРМ

Ь\ К. Липин

Для статически неопределимой системы, в которой условия совместности деформаций и равнопрочности не противоречат друг другу, показано, что внутренние усилия в ее элементах не изменяются при переходе к равнопрочному состоянию от системы с произвольным распределением проектных параметров. Обосновано существование нескольких вариантов распределений проектных параметров в статически неопределимых системах, удовлетворяющих критерию равнопрочности, и показано, что объем материала таких систем не больше объема основной статически определимой системы минимального объема. Указанные свойства иллюстрируются на примере ферменной конструкции, имеющей три избыточные связи.

Результаты расчетов контролируются сравнением с решением методом линейного программирования, а также расчетом усилий в элементах фермы по методу конечных элементов.

1. Свойства статически неопределимых равнопрочных систем.

На примере ферменной конструкции при одном типе нагружения и без учета возможной потери устойчивости ее элементов рассмотрим особенности решения задачи оптимизации проектных параметров в статически неопределимой системе из условия минимума объема материала

<=1

при ограничениях на напряжения в ее элементах

где /;, — площадь поперечного сечения и длина г'-го элемента

т

системы соответственно; 1,У1 — N° + У, А7;*/, N° — усилие в г'-м эле-

I-1

менте основной (статически определимой) системы; Ы{ — усилие в г-м элементе при действии единичного усилия Х/ = 1 в у'-м элементе

системы;-■ Х} — неизвестное усилие в у'-й избыточной связи, которое зависит от распределения проектных параметров / в элементах системы и определяется из решения системы уравнений совместности деформации; т—-число избыточных связей; «-—число элементов системы.

Согласно [1] статически неопределимая система будет равнопрочной если условия совместности деформации для

нее будут удовлетворены в виде:

д и д V Л / /; - V д V1 ( ^ '

д ~ д XI 2и 2Я,л ' ЕЛ д Х11‘ ~ 2л \ £/<

1 = 1 / = 1 /—1

При наличии в системе растянутых (г = 1, 2, 3 , . . . , г) и сжатых (г = г+1, г + 2 , . . . , л) элементов условия совместности деформации для равнопрочной статически неопределимой системы будут определяться выражения-ми:

£м/г- £л^ = 0, У=1,2,3,...,да. (1)

1 = 1 г=г+1

Объем материала равнопрочной статически неопределимой системы будет

= V м/,.

\г=1 1 — Г+:

= М±ы!1,- £ л/Р/Л+^^М/,- X Мг,

I I

=1 1

тп

X.

\/ = 1 /=г+1 / У=1 \/=1 Ь—П-1

Выражение для I/ с учетом равенств (1) преобразуется к виду

[2]:

у=тИ^1‘~ £ м°/г) • (2)

\?=1 1=г+1 }

Отсюда следует, что объем материала равнопрочной статически неопределимой системы меньше или равен объему материала равнопрочной основной (статически определимой) системы. Меньшее значение объема материала объясняется возможным несовпадением знаков усилий в элементах статически неопределимой равнопрочной системы со знаками усилий в этих же элементах основной системы.

Так как распределение усилий в элементах статически неопределимой системы не зависит от выбора основной системы, то, выбрав в качестве основной системы статически определимую систему минимального объема, согласно (2) получим, что объем материала статически неопределимой равнопрочной системы будет не больше объема статически определимой основной системы минимального объема.

Отличительной особенностью статически неопределимой системы, удовлетворяющей равенствам (1), является то, что усилия в ее элементах с произвольным распределением проектных пара-

метров /<°> > 0 не изменяются при переходе в равнопрочное состояние, определяемое формулами

/=1^1, /V (/(0)) = N (/).

Это следует из "выражения для приращений усилий в избыточных связях

Д^=--[£04-ДЯ]-1 {Д8 +Д£^<°>}=—Я"1 {3+ ВХт\,

где [В\, 8 — матрица податливости и матрица-столбец свободных членов уравнений совместности деформаций для системы, проект-

I Л^0'11

ные параметры которой определены по формуле f=—-—1; Х(°>—

матрица-столбец неизвестных усилий для системы с распределением проектных параметров /<°). Коэффициенты матрицы столбца {8 + 4-ВХ^У] выражаются формулами [2]

ьчх''=т £ыи‘- £Л'<•

у=1 \;=1 1=т+1 /

и по условиям совместности деформации для равнопрочной статически неопределимой системы (1) равны нулю. Поэтому при переходе системы с произвольным распределением проектных параметров к равнопрочному состоянию приращения усилий в избыточных связях будут равны нулю Д^=0. Отсюда же следует,что в зависимости от исходного распределения проектных параметров в статически неопределимой системе, удовлетворяющей условиям (1), может быть реализовано несколько вариантов распределений проектных параметров, удовлетворяющих критерию равнопрочности.

2. Оптимизация ферменной конструкции. В качестве примера рассмотрена ферменная конструкция, имеющая три избыточных связи (рис. 1). В качестве избыточных связей были приняты усилия Хх, Х2, Х3 соответственно в элементах (1—7), (2 — 6), (3—5). Усилия в основной системе для внешних сил Р1( Р2, Р3, приложенных в узлах 1, 2, 3, и единичные состояния „Х1 = 1 „ЛТ2=1“,

„Х3 — 1 “ приведены на рис. 1. Суммарные усилия в элементах системы М-у = N1-/ + Л'}-/ Хх + /V--/ +

+ ^-,Х3 будут:

N2-3 = Л+Т^; М-4 = 2 Р, + Ро + Щ-

М-2 =

М-б=— (ЗЛ + 2/>,+ Рэ) г - 2 N2-8 = 1/2 Рх — Хх\ N2-6=—^у> N3-7:

М-7=-^, ;

= /2 (Р! + Р2)-Х

4-6

"|/2 (Р, + Я2 + Р*з) — ^ ^3-5 =— ^з-

Энергия деформации и условия совместности деформации для рассмотренной системы имеют вид:

/2

и =

^-2 + ^_з

•Л-2

^6-7'

2-3

^3—4 /з-4

+

I Л-7 / 2Е "1_

1 ди /М-2

1 . ~дХг ~ \Л—2

2 . ди СО 1 СМ

\ \Л-3

ди /А^З—4

и. ~д~Х?, ~ \ Л—4

1-7

ЛГ;

2-8

А-7 _|_ ЛГі

2-8

*1-8 . ^-7 , *3—6 . *7-8 ,

н I 00 1 |<Г Л-7 Л-6 Л-5 Л-8

, *2-6 Л-6 *3-7 + 7^ /з-7 , *4^6 ' Л-6 , *3-5' /3-5 . \/2а У 2£ ’

/VI—8 , ІУ2—7 . #7-8 \/2 /М-7 , №-8\,/о д.

Л-8 /2—7 Л-8 У 2

, №-7 , А^з-б . №-7 \ У"2 + —----------г ---------г '

А

2-7

/з-б /|(

6-7

/1—7

N2-6 /2—6

Л-8

ІУз-7

/з-7

1/2=0;

ЛУЗ-4 . №-6 УУ4-5 , А^5—б\ К2 _ /

\ Л-4 ^3-6 Л-5 Л-6 і 2 \

^ + ^'1/2= 0. /4-6 /3-5 ,

Систему уравнений совместности деформаций относительно неизвестных усилий Хи Х2, Х3 перепишем в виде:

1

1.

2 \Л-2 Л-8 Л-7 Л-

V 2

+

2/.

2-7

2. — Л’! +

2Л-7

+

1

Л-7, +

/2

2

1_

Л-з

1

Л

2_і_ (-Рі + Р-г) і

/і-8 ' Л-7

1 I 1 \ ■

Т 1-7 1 1 00 1 к'

Я, ■ і 2Я,

1 00 + 7 /2-8

+ т^- + Хя =

Л-7 Л—6 /2 2

+

М + |/2(-Л- +

2/з-в

(Л + Я2 -ь Рз) , (2Р, + Я2)

------------------ -і--------------

Д-7

Л-7/ -^- + Л-З

\Л-б

(Л + Л)

/г

3-6

+

Л—7 2(Л+Ра) .

Л-7 ’

+

} (3)

3.

2Л-

3-6

■*.+

1

Л-5

_1_

2

ХЯ

Л-4 Л-6 Л-5 Л-6

/2 '

У2

(2Р, + Я2)

Л-6

(Я) + А + Я3) ,

+

Л-4

/г

3-6

(ЗЛ + 2Р2+Р3)

/і

5-6

2(Рі + Яг + Р3) Л-6

В качестве исходных данных были приняты следующие величины:

а=\, Е= 1, Р, = 1, А = Р5 = 2, о=1.

Для определения знаков внутренних усилий системы исходное распределение проектных параметров во всех ее элементах было принято равным /№) =1. В результате решения системы уравнений (3), принимающей в этом случае вид

4,8284 ЛІ0) + 0,5 Х?} = 3,7677;

0,5 ^0) + 4,8284 ХІ01 + 0,5 А'Г = 3,4743;

0,5 А'™ 4- 4,8284 А"з0) = 8,5342,

получено Л'[0) = 0,7322, А'2°) = 0,4658, Хз0) = 1,7198, а соответствующие суммарные усилия в элементах системы приведены в таблице.

г - У '<-/ Аор) м°>. 1-і 1-і дтМКЭ 1 —У /,°Р‘ л/т Л7»Р‘ ‘4-і

1-2 1 0,518 0,518 0,518 0,518 0,590 0,590 0,590 і

2-3 1 1,329 1,329 1,329 1,329 1,345 1,345 1 ,345 і

3-4 1 2,716 2,716 2,716 2,715 2,175 2,175 2,175 і

1-8 1 0,482 -0,482 -0,482 -0,482 0,410 —0,410 -0,410 — і

2-7 1 0,347 0,347 0,347 . 0,347 0,435 0,435 0,435 і

3-6 1 0,954 -0,954 —0,954 -0,955 1,479 -1,479 — 1,479 — і

4—5 1 1,216 1,216 1,216 1,215 0,675 0,675 0,675 і

7-8 1 0,482 -0,482 -0,482 0,482 0,410 —0,410 -0,410 —і

6—7 1 1,171 — 1,171 — 1,171 -1,170 1,155 — 1,155 -1,155 — і

5-6 1 2,784 —2,784 -2,784 —2,784 3,325 -3,325 -3,325 — і

1—7 1,414 0,732 -0,732 —0,732 —0,732 0,834 -0,834 -0,834 —і

2-8 1,414 0,682 0,682 0,682 0,682 0,580 0,580 0,580 і

2-6 1,414 0,466 -0,466 —0,466 -0,466 0,489 —0,489 -0,489 — і

3—7 1,414 0,24! 0,241 0,241 0,241 0,219 0,219 0,219 і

4-6 1,414 1,816 1,816 1,816 1,816 2,580 2,580 2,580 і

3-5 1,414 1,720 — 1,720 — 1,720 — 1,719 0,955 -0,955 —0,955 —і

По таблице находим знаки усилий М-у'.

Л^>-> 0 для (I - у) = 1-6, 2—3, 3—4, 2-7, 4-5, 2—8, 3-7, 4-6;

М(_}<0 для (г — у) =1—8, 3-6, 7-8, 6—7, 5-6, 1-7, 2-6, 3—5.

Запишем условия совместности деформаций для равнопрочной системы, знаки усилий АЛг_/ которой совпадают со знаками N@1:

~ = (\ - 1 + 1 - 1) 1 + 1) 1/2 = 0;

^. = (Н_1 _1_1)£2 _(_! + 1) 1/2 = 0;

^ = (1-1 + 1-1)^-(+1-1)1/2=0.

В результате получим, что условия совместности деформаций и равнопрочности для рассмотренной системы не вступают в противоречие и удовлетворяются одновременно. Оптимальные значения проектных параметров, определяемые по формуле /,■_,==

I /у(°> !

=—--------, приведены в таолице.

Из уравнений совместности деформаций (3)

8,4847 А", + 1,4405 X, = 6,8833;

1,4405 А', + 11,6644 Х2 + 0,5238 А3 = 7,388;

0,5238 А2 + 2,8999 А3 = 5,2302

I 1

ДЛЯ /г_у= ——-----------------------получим значения неизвестных усилий X, —

= 0,7322, Х2 =0,4658, А3 = 1,7198, которые равны неизвестным усилиям в системе для /Д-=1.

Ферменная конструкция с распределением проектных парамет-

I М°^. |

ров //^=1 и рассчитывалась методом конечных

элементов [3]. В таблице приведены результаты сравнения по усилиям, из которых следует достоверность полученных результатов оптимизации, так как усилия, полученные по методу сил и методу перемещений в интерпретации МКЭ, практически совпадают. Приняв новое исходное распределение значения в виде

(0) = /(0) _ _!_ /(0) = _!_ /(0) = _1_ /■(О) — А-

/1—2 2 ’ ^2~3 2 ’ _4 6 ’ 2 ’ 2-7 4 ’

= -1- / (0) = — ^(0) — -1- /(°) = — /<о) —

/з-б д ’ ■'4_5 8 ’ 7-8— 4 ’ 2 ’ -^-б'— у ’

ло) — т/ 2 У7 (0) = /<о) _ , /<°> = 1^.

/1—7— ' /2—8 2 ’ / 2—6 3 •/3-7 4 >

(4)

/40) = 1/2 /<°> = —-

/4-6 ' /3-0 6

из уравнений совместности деформаций (3), принимающих вид

9А(,0) + 2Х(20) = 6 /2;

2Х1(0) + 12 А2(0) + Хз0) =61/6;

^4-18^0, = ^р1

получим, что усилия в избыточных связях будут равны Х[0> = = 0,8342, Х10> = 0,4885, Х$0) = 0,9550.

! N1% |

Для оптимального распределения значений /. . =----------------из

уравнений совместности деформаций получены значения неизвестных усилий А;., равные неизвестным усилиям для в виде (4). Результаты расчетов приведены в таблице.

На данном примере показано, что в статически неопределимой равнопрочной системе возможны различные оптимальные распределения проектных параметров, удовлетворяющие критерию рав-нопрочности. При этом объем материала равнопрочной системы в обоих случаях получен равным V— 20, несмотря на то, что объемы материала системы для исходных распределений проектных параметров были различными (И0) = 8,4853, и 9,958). Объем

материала равнопрочной основной системы (статически определимой) (рис. 1) был равен 1^о = 1 Н—+ 4 Н—|—[- 1 -}- 1 ^^—1_

5+1+2=21. Объем же материала равнопрочной статически неопределимой системы, определенной по формуле (2) через усилия основной системы,—

V — — [(М(Л + А^2-3 + Л^з_4 + Л^4-5 + Л^2—7 + А/4—6 V2 +

4- Л^З-7 т/2 + Л72-8 У~2)— (Л/?_8 + Л/з-6 + Л^7_8 4- N5—7 + А/б—б)] —

0 + 1 +

0 г

5/2

Ц- У2 + /2 /2 ) -

1

= 20.

2 1 ~ 2 1 2

5 . 3

2 2

Отсюда следует, что объем материала равнопрочной статически неопределимой системы меньше объема материала принятой

4 ; 1

5^2. / / ° / 3/2 \/г \ 2 3/2 \ г/ / 0 / о

3/2 3/2 0

\ *][2 \2 \ 2 VI/ 2/ / ° \Г2 \. • 7

4 \ / 1 1 \

Основная система щ1п Уд=20

Задача линейного програмиробания

варианты основных систем, ттУ0

3/2 3/2

Рис. 2

в расчетной схеме метода сил основной статически определенной равнопрочной системы (1/<1/0)- Однако среди основных систем может существовать статически определимая система меньшего объема. В работе [4] доказано, что стержневая система в постановке задачи линейного программирования может быть оптимальной только в случае ее статической определимости. Поэтому для отыскания основной системы минимального объема для рассмотренной фермы были привлечены методика и программа решения задачи оптимизации в постановке линейного программирования, изложенные в работе [5]. В качестве оптимальной основной системы получена система (рис. 2), которая образована из исходной статически неопределимой системы удалением избыточных связей в виде стержней 2—8, 2—6, 4—6. Объем материала оптимальной основной системы равен (1/0 = 20) объему материала равнопрочной статически неопределимой системы. Отметим, что основные системы с объемом материала К0 = 20, примеры которых приведены на рис. 2, могут быть получены из исходной статически неопределимой системы удалением и других избыточных связей.

Таким образом, статически неопределимая равнопрочная система обладает следующими свойствами:

— внутренние усилия в элементах системы с произвольным распределением проектных параметров /(0) > 0 не изменяются при переходе в равнопрочное состояние;

— возможно несколько вариантов распределений проектных параметров в ее элементах, удовлетворяющих критерию равно-прочности;

— объем материала такой системы будет не больше объема материала основной статически определимой системы минимального объема.

ЛИТЕРАТУРА

1. Радциг Ю. А. Статически неопределимые фермы наименьшего объема. — Труды КАИ, 1960, вып. 51.

2. Л и п и н Е. К. Одношаговый метод оптимизации статически неопределимых систем минимального объема. — Ученые записки ЦАГИ.

1979, т. X, № 1.

3. И в а н о в Ю. И., Мазур В. В. Специализированная система программирования расчетов на прочность методом конечных элементов. — Труды ЦАГИ, 1976, вып. 1731.

4. Dorn W. S., Goraery R. Е. and Greenberg H. J. Automatic design of optimal structures.—Journal de Mecanique, 1964, vol. 3. N 1.

5. Сорокин А. П. Выбор оптимальных силовых схем конструкции с помощью метода линейного программирования. — Труды ЦАГИ 1974, вып. 1557.

Рукопись поступила 16 IV 1982 г.