Решение задач деформационной теории пластичности методом последовательных нагружений с коррекцией погрешности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И То м XIV 19 83

№ 5

УДК 539,3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ НАГРУЖЕНИЙ С КОРРЕКЦИЕЙ ПОГРЕШНОСТИ

Ю. М. Темис

В работе получены общие соотношения для решения задач деформационной теории пластичности методом последовательных нагружений с коррекцией погрешности. Предложено корректировать погрешность включением в разрешающие уравнения на шаге по параметру невязок полных уравнений системы в конце предыдущего шага. Приведен пример расчета нелинейной системы. Получены уравнения для метода конечных элементов.

Метод последовательных нагружений применяется для решения широкого класса нелинейных задач упругости и пластичности 11, 2]. Этот метод является частным случаем метода продолжения по параметру, предложенного в работе [3] для решения нелинейных уравнений. Однако, как показывает практика, применение метода последовательных нагружений в его первоначальной постановке приводит к накоплению существенных погрешностей [4, 5]. Исключение этих погрешностей возможно, если для решения нелинейной задачи применяется модифицированный метод последовательных нагружений, позволяющий корректировать погрешности, накапливаемые от шага к шагу [5]. Вопрос сходимости модифицированного метода последовательных нагружений, получившего в литературе название „самокорректирующийся шаговый метод", исследовался в работе [6].

В работах [1, 7] сформулированы соотношения метода последовательных нагружений для решения задач деформационной теории пластичности. Однако в многомерных задачах, особенно задачах МКЭ, существенным фактором, влияющим на точность решения, являются накапливаемые погрешности. С целью повышения точности решения задач в настоящей работе получены зависимости метода последовательных нагружений с коррекцией погрешностей для деформационной теории пластичности и выведены соответствующие уравнения шагового метода для задач МКЭ.

1. Решение нелинейной упругопластической задачи удовлетворяет следующему вариационному соотношению [8].

ЕаТ , 0„

£ /* 5 1 0„ ,■ -

Сг;тл (1_|_[1)фс ут1”п} 3 Ч/ '™»

3(1 — 2(л) °У°ял ’

здесь Е— модуль упругости, р. — коэффициент Пуассона, §у — компоненты тензора деформаций, аТ — температурная деформация, Т — температура в точке тела, Р,п — вектор объемных сил, заданных в теле 2; Рт8 — вектор поверхностных сил, заданных на поверхности «и — компоненты вектора перемещений, связанные с компонентами тензора деформаций зависимостями Коши.

і — -9“ {Пт, п Чп, т)і

(1.3)

где фс — параметр пластичности, определяемый следующей зависимостью [1, 8|:

6 = ____ЪА__.-----г1---• л 44

■с 2(1 + (х) Ф(е,, Т, х) ’

здесь ог = Ф (в;, Т, х) — уравнение кривой деформирования в координатах з;, ег, х— {хт} — координаты точки тела, ^ — интенсивность 2 у 2

~3 &тп &тпI I ^ тп ~ &тп гатп’ * ~тп °тт 3» =

(3 2 5тп 5ШП)^ , Зтп стп ®ягл 3 V 3 Зтп °тп> ®тп СИМВОЛ КрО-некера.

Параметр пластичности фс определяет отношение модуля упругости В к секущему модулю Ес кривой деформирования <з0(г0)

деформаций,

(рис. 1), которая получается при испытании образцов на растяжение.

При выводе вариационного соотношения (1.1) принималось, что напряжения и деформации связаны зависимостями деформационной теории пластичности

= Ситп(Втп ~ *П,пп)-

6— «Ученые записки ЦАГИ» № 5 81

Таким образом, вариационное соотношение (1.1) является обобщением принципа возможных перемещений Лагранжа на случай упругопластического тела. Из (1.1) следуют уравнения равновесия и естественные (силовые) граничные условия на поверхности 5/г. В случае задания на части поверхности тела кинематических граничных условий

ит$ — и°тХ — 0 (1.5)

эти условия должны быть учтены при получении решения задачи. Один из возможных способов учета условий типа (1.5) рассмотрен в работе [8].

2. Для решения нелинейного уравнения (1.1) применим метод последовательных нагружений с коррекцией погрешности. Представим нагрузку, действующую на упругопластическое тело, в виде

{Fms)q = q{Fms}■, \*Тьтп)Ч = д\а-ТЬтп)-Аналогично представим кинематические граничные условия

<5 1 <7(2-1)

здесь <7 — параметр нагружения, изменяющийся от нуля до единицы.

Решение упругопластической задачи, соответствующей параметру нагружения <7, удовлетворяет вариационному соотношению

[Т{и, д)ои]:

п п ^ I Е& Т > л , р %

I]тп овтп Я ( ) .... 2ч °""г т °Мя

сИ2 —

— <7 J РтЗ ЪитБ ^5 — 0. (2.2)

5/т

При д = 0 из (2.2) с учетом кинематических граничных условий следует тривиальное решение {ит|=0. При д=\ вариационное соотношение (2.2) и кинематические условия (2.1) совпадают с (1.1) и (1.5). Таким образом, при <7=1 решение задачи (2.2) совпадает с решением задачи (1.1). Если известно решение упругопластической задачи при д — ди то решение при д — <72(<73><71, == <7г —

— <71^1) можно получить, используя соотношения метода последовательных нагружений с коррекцией погрешности [6]. При этом вектор перемещений {м?2} представляется в виде \) +

+ {Ди?}, где вектор приращений перемещений {Аич) определяется из следующего линейного уравнения [6]:

(ГнДй9, Ъи)--= — (/(Тд, Ьи) — $Т(ич1> 9,). (2.3)

Здесь р — весовой множитель, Ти(и, д) — линейный оператор, являющийся производной Фреше по и оператора 'Г(и, д) в точке {и} = {«?1}; Т(1(и, д) — линейный оператор, являющийся производной Фреше по д в точке {и} = {и?1}.

Для задач деформационной теории пластичности скалярное произведение (Ти&ич, 5и) примет вид

(Т„ Ай„, вгг)= \ С“тп Аг,7 Ьгтп ЙО, (2.4)

где компоненты тензора С\- вычисляются в точке и*=ид1 по зависимости

(I -4- и 1/30/у °„т) + 3(1 _ 2(а) °тп

2 £ 1 1 д

С.. ■

1]тп

+ 4- ТТ£("фг) е'"" (2-5)

Из (2.2) следует, что скалярное произведение (Тч, он) определяется следующим образом:

{Т9, ш) = - | ( -у^г- Зтп Кш + Рщ 8«т) (№ + ] ртз Ьиш с1Б. (2.6)

2 Зр

Уравнение (2.3) представляет основную зависимость метода последовательных нагружений с коррекцией погрешности [6], используя которую, можно получить разрешающие уравнения для различных задач.

Разбивая процесс нагружения на N различных интервалов для параметров нагрузки цп (/г = 0, 1,2, А1) из (2.3), получаем

общее разрешающее уравнение метода последовательных нагружений с коррекцией погрешности

Та(ип, ?„) Ди„+1 = - Д<7я+1 Т9(ип, дп) - РТ(ия, ?„), (2.7)

из которого находится вектор приращений перемещений на п + 1 шаге.

Полный вектор перемещений определяется по зависимости

^П+1 ' «л Т Д«И-г1 ■ (2*8)

Весовой множитель £ может быть выбран в диапазоне [6]. При 8 = 0 из (2.7) следует соотношение шагового метода в обычной формулировке, а при р=1 уравнение (2.7) представляет зависимость для вычисления приращения перемещений с одношаговой коррекцией по методу Ныотона [5, 6].

Важным фактором для получения устойчивого, сходящегося к точному, решения является выбор шага по параметру <7. Эти вопросы исследовались в работе [6]. Однако в практических расчетах возможно получение более простых оценок сходимости. Как отмечалось в [6], для обеспечения устойчивого процесса счета можно пользоваться критерием

И ТК, Яп) II < У II Т„ (“«• Яп) II д<7„+,» (2-9)

где 0 < *<С 1-

При нарушении условия (2.9) необходимо проводить расчет с меньшими шагами Д^„ или проведение уточняющих шагов при постоянном параметре нагрузки дп по схеме метода Ныотона, которая следует из (2.7) и имеет вид

ГиКк> Яп) АКк+г = - 7Х*, Яп), (2.10)

где

11пк +1 “ 11пк + ^11пк+1 ’ Цп0 ~ «я-

Этот итерационный процесс прекращается при условии II Дмла II < где '*— заданная точность расчета.

Как показано в работе [6], решение, вычисленное шаговым методом при 0<<7<(7Л, близко к точному и поэтому в большинстве случаев может быть использовано в качестве начального приближения для уточнения решения методом Ньютона при ^ = Близость начального приближения к точному решению обеспечивает сходимость итерационного процесса (2.10).

Необходимость проведения коррекции решения, полученного шаговым методом, итерационным процессом (2.10) определяется условием (2.9), в котором можно принять <р ж 0,25.

Покажем это на примере решения простой нелинейной задачи.

3. Рассмотрим расчет статически неопределенной системы, представленной на рис. 2. Система состоит из трех стержней: крайние стержни имеют длину I, а средний I — и0. Площадь поперечного сечения среднего стержня площади поперечных сечений крайних стержней равны £2- Стержни выполнены из нелинейного пластического материала, кривую деформирования которого аппроксимируем степенной зависимостью

а (г) = £е(1 - «?); (3.1)

здесь параметр 0 <^-[ < 1, 0 а.

Варьируя параметрами у и а, можно получить широкий спектр нелинейных выпуклых кривых деформировання. Причем (3.1) описывает возрастающую ветвь кривой деформирования в диапазоне

0 < г ^ е°:

1

(1 + 7)]

1/т

При а = 0 из (3.1) следует зависи-,мость для упругого материала.

В процессе сборки системы трех стержней и бруса А (см. рис. 2) был выб-

УХ///

Рис. 2 Рис. 3

ран зазор и0 между длинами крайних стержней и среднего стержня. Необходимо определить распределение упругопластическпх напряжений и деформаций в стержнях.

Нетрудно видеть, что эта задача сводится к решению нелинейного уравнения, которое следует из уравнений равновесия и совместности системы

(3.2)

Ъ.кр + 2 и=.2в0,

.VI /

где и — перемещение среднего стержня, и — щ—перемещение крайнего стерж-ня, кр = £,/£2, И фз — параметры пластичности среднего и крайнего стержней,

которые определяются по кривой деформирования

Еч

°(£1)

1»-.

Ег,

=Ф2)

(3.3)

здесь иЦ и (и0““ и)/1 — Деформации стержней, 84

Оператор Т (и, q) для уравнения (3.2) примет вид

Т(и, д) = (2 + 11 — 2«и? = 0.

(3.4)

\ 41 /

Соответственно, операторы Ти(и,Ц) И Тд(и, у) определяются следующими соотношениями:

Та (и, 9) = 2 + кр

Ь

д'^

ди

■ кРи;

Тп («. Я)

2

(3.5)

В таблице представлены результаты расчетов, которые проводились при

условии кр = 1, 7 = 0,2, и0 = 0,02 м, I = 1 м, а = 1 и

2, в=:

Как видно из

таблицы, в первом варианте при а= 1 погрешность решения незначительно возрастала от шага к шагу. Поэтому понадобился один шаг уточнения решения при <7=1 для получения окончательного результата, погрешность которого по невязке составляет 0,02596. Это объясняется невысоким уровнем нелинейности, характеризуемым параметром Ф].

а = 1, Д? = = 0,1 а = 2, Д(? = = 0,1

п <7 п ЧоЧп и. 102 +1 т (ип, <?„) 7? Л? и- 102 Т (Ию Чп)

0 0 0 0 1 _ 0 1

1 0,1 0,002 0,1333 1,3625 — 0,1333 2,1373 —0,0025

2 0,2 0,004 0,2928 1,4522 0,160 0,3091 2,6997 0,110

3 0,3 0,006 0,4217 1,5037 0,085 0,4872 3,2212 0,216

4 0,4 0,008 0,5593 1,5490 0,085 0,6643 3,7549 0,250

4* 0,4* 0,008 — — — 0,5973 3,5490 -0,015

5 0,5 0,010 0,6981 1,5885 0,090 0,8245 4,2749 0,124

6 0,6 0,012 0,8372 1,6239 0,095 1,0287 5,0184 0,307

6* 0,6* 0,012 — — — 0,9410 4,6857 -0,015

7 0,7 0,014 0,9765 1,6562 0,100 1,2063 5,7686 0,250

7* 0,7* 0,014 — — — 1,1295 5,4302 -0,009

8 0,8 0,016 1,1162 1,6862 0,105 1,4127 6,8111 0,252

8* 0,8* 0,016 — — — 1,3278 6,3561 -0,008

9 0,9 0,018 1,2500 1,7143 0,065 1,6291 8,1863 0,252

9* 0,9* 0,018 — — — 1,5384 7,5668 -0,008

10 1 0,020 1,3968 1,7410 0,115 1,8547 10,0924 0,253

10* 1* 0,020 1,3783* 1,7376 0,00025 1,7608 9,2253 -0,009

* Обозначает один шаг уточнения по схеме Ньютона (2.10) при постоянном .

Во втором варианте при а = 2 уровень нелинейности значительно выше, причем на рабочей части кривой деформирования (сплошная линия на рис. 3) при е° = 1,25696 находится максимум. Поэтому в процессе счета из-за быстрого роста погрешностей потребовалось проведение уточнения решения по схеме (2.10). Причем одного шага уточнения оказалось достаточно для снижения погрешности по невязке до уровня 1%.

Пунктиром на рис. 3 показано изменение расчетных напряжений в среднем стержне, которые определяются по формуле

1п+1

Ъп

Номера точек соответствуют номерам шагов. Совмещение шагового метода с коррекцией погрешности с уточнением решения методом Ньютона позволяет за заданное число шагов с достаточной для инженерных расчетов точностью найти решение существенно нелинейной задачи.

В ряде случаев такой прием может оказаться высокоэффективным или единственно возможным для получения решений сложных нелинейных задач, для которых наиболее перспективно применять метод конечных элементов.

4. Рассмотрим упругопластическое тело, разбитое на Ме конечных элементов. Переходя к обозначениям МКЭ [9], представим перемещения \и\, приращения перемещений {Дм}, деформации {е} и приращения деформаций {Дг} в элементе в виде

{Дм}

14

! Дг!

и

\В]е \Bl\Ui)

(4.1)

где

(г

вектор узловых перемещений элемента, {Дм}

че — вектор

приращений узловых перемещений, [./V] — матрица положения, [В] — матрица связи узловых перемещений и деформаций.

Введем матрицу связи напряжений и деформаций [Д.], которая для различных типов напряженно-деформированного состояния приведена в работе [9].

Компоненты матрицы [Д.] зависят от параметров упругости Е*

и м.*

£*

З Е

2 (1 + |х) <рс + 1 — 2;л ’

Матрица [£>] = [Д.] эквивалентна тензору с

1]тт

компоненты

которого определяются соотношениями (1.2).

При <Гс= 1 [Д] = [Д] — матрица, соответствует упругому состоянию.

Тензор с“.тп заменим матрицей [Д], которая определяется следующим соотношением;

[Д

= [Дс] + 4 1 Е Ег 1 + д г1- дц (і: 1 [/]{■} Нг'[/];

4 2 —2 0 0 0 "

_2 4 -2 0 0 0

1 —2 —2 4 0 0 0

— 6 0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 3 0

0 0 0 Г) 0 3

(4.2)

Разобьем процесс нагружения на /V различных интервалов. Если известно решение при д — дп, то с учетом введенных обозначений и выражений для операторов Ти и Т из уравнения (2,3)

получим уравнение для векторов приращений узловых перемещений на п 1 шаге нагружения.

где индекс п соответствует состоянию системы, при котором вычисляются матрицы [Д,] и [Д.]; {/^ — вектор объемных сил, действующих в элементе; {^-}е — вектор поверхностных сил, действующих в элементе, граничащем с поверхностью 5^-; Ые — общее число конечных элементов: —число конечных элементов, сов-

падающих с границей 5/^; {/} — вектор, у которого отличны от нуля компоненты, соответствующие линейным деформациям вектора деформаций.

Для всех видов напряженно-деформированного ’состояния, кроме плоского деформированного, эти отличные от нуля компоненты равны единице. При плоском деформированном состоянии вектор {/} имеет вид

Изменяя в (4.3) порядок суммирования и переходя от узловых перемещений элемента к общим векторам неизвестных узловых перемещений «а и возможных перемещений {8«}а всей системы, получаем следующее уравнение:

откуда в силу произвольности вектора возможных перемещений {§«}о следует система уравнений МКЭ для решения задач деформационной теории пластичности методом последовательных нагружений с коррекцией погрешности:

Здесь 1Кк]„ — касательная матрица жесткости, [Кс]п — секущая матрица жесткости, вычисленные при {и}о={м)о„; {Р} — общий вектор нагрузок.

.V

V

{/}"={(!+(*) (1+и)- 0}.

({Ди}£ я+1 [Кк\п - Д<7„+1 {Л7 + Р {и)1п [Кс]п - Мп {Пт) {8и}е = о, (4.4)

[**]„ {Д«}2„+1 = (?дп -г Д?я+1) {/=■} - р \Кс]п {и}о„. (4.5)

Компоненты матриц жесткости и общего вектора нагрузок в каждом элементе определяются по зависимостям [9]

теп = / [в\1[ос)п[в\еа^

о л е

:/ь= /([5Г[о]{/}^г+[л^]7'{а)^-

(4.6)

причем второй интеграл в выражении для fe вычисляется только при условии, что элемент граничит с поверхностью 5^, на которой заданы поверхностные силы.

Решая (4.5), находим вектор приращений {Ди}йл+1 и состояние системы при д — дпЛЛ

{к)нл+1 — [и] о.п + {Ди}ап+1 ■ (4'7)

После этого возможен переход к следующему шагу по Ад.

Для задач большой размерности, к которым относятся задачи МКЭ, существенным фактором является организация эффективных вычислений. Определенная экономия времени счета может быть достигнута, если в алгоритме решения задачи будет предусмотрена возможность определения параметра < 1, при котором в рассчитываемом теле начинается упругопластическое деформирование. Для этого необходимо решить упругую задачу, считая на первом шаге, что в (4.5) матрица жесткости [/Ск] совпадает с матрицей жесткости упругого, неравномерно нагретого тела, дй~ О, Д^! = 1, вектор {и}=0. Определив перемещения {и}о, а по ним напряжения {а}е и деформации в элементах для каждой расчетной точки, найдем отношение Ад — от/аг:, где зт — точка на кривой деформирования материала, соответствующая началу упругопластического деформирования (от можно считать равным пределу пропорциональности опц), ае. ■— интенсивность упругих напряжений в расчетной точке. Анализируя значения для в^ех расчетных точек, находим

<7Т = пип Д<7;- и соответственно векторы перемещений и напряжений /

после первого шага

{и}в1 = 0т{и}£; {о), =яАя)е-

В дальнейшем расчет ведется по соотношениям (4.5)—(4.7) при < Ч < 1 •

Выбор шага по Ад или необходимость в дополнительном уточнении по схеме метода Ньютона (2.10) должны быть предусмотрены в программе расчета в зависимости от изменения величины невязки решения, которая в данном случае имеет вид

{Г}„ = [/у {«},„-{£}?„. (4.8)

Для оценки невязки решения можно использовать одну из норм вектора |! {г)п || , = шах | гг | , где г1 — элемент вектора,

I

II Нп И 2 = 2 I Г! I ИЛИ II {Г«} II » = > кот°Рые необходимо

I. /

сравнивать с соответствующими нормами вектора {Р\Адп, используя критерий (2.9).

1. Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения.— М.: Оборонгиз, 1961.

2. ФеодосьевВ. И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем. — ПММ, 1963, т. XXVII, вып. 2.

3. Давиденко Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений.ДАН СССР, 195-3, т. 88, № 4.

4. Демьяну шко И. В., Тем и с Ю. М. Кинетика напряженно-деформированного состояния дисков при циклическом неизотермическом нагружении. Изв. АН СССР, МТТ, 1975, № 3.

5. Strict in J. A., Haisler W. E., Von Riese-mann W. A. E. Naluation of solution procedures for material and or geometrically nonlinear structural analysis.— A1AA J., 1973, vol. 11, N 3. /Русск. пер. - Ракетная техника и космонавтика, 1973, т. 11, № 3.

6. Темис Ю. М. Метод последовательных нагружений с коррекцией погрешности в геометрически нелинейных упругих задачах. — Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всесоюзн. межвузов. сб./Торьк. ун-т, 1970, вып. 16.

7. Биргер И. А. Общие алгоритмы решения задач теорий упругости, пластичности и ползучести. — В сб.: Успехи механики деформируемых сред, М.: Наука, 1975.

8. Темис Ю. М. Вариационный метод решения задач неоднородной теории пластичности. - Изв. АН СССР. МТТ, 1976, № 5.

9. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.

- М.: Мир, 1975.

Рукопись поступила 17jIV 1982