2Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current
ChaLes.hnnoeon.andPru.en
НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
Н. Т. Юлдашева
базовый докторант Института математики им. В.И.Романовского АН РУз. [email protected]. Узбекистан.
Рассмотрим уравнение в частных производных второго порядка
D+ yu = 0, (0,1), y > 0 -(-y)mu + u +
\ У s xx yy
( - y)
^—u u = 0, y < 0,
m x _.y '
2
(1)
y
где Вг0+у — частная дробная производная Римана-Лиувилля порядка /(0 < / < 1) от функции и(х,у) [3, ^42, 44], в области В = В+ иВ~ иI, где В+ — полуплоскость у > 0, В — конечная область полуплоскости у < 0, ограниченная характеристиками ОС и ВС уравнения исходящими из точек 0(0,0) и В(1,0) и отрезком ОВ прямой у = 0, I = {(х,у) : 0 < х < 1, у = 0}.
В уравнение (1) т, С0, Д, — некоторые действительные числа,
_ . . т + 2 т _ л удовлетворяющие условиям т > 0, | с0 |< —-—, — ~<ро < 1.
Введем следующие обозначения: Пусть I = (0,1) единичный
интервал
прямой
y = 0,
©0( x) =
m+2 Л
x 2
(m + 2)
x
точка пересечения характеристик уравнения
(1), выходящей из точки (х,0) (х е I), с характеристикой ОС.
I
0+
оператор обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса Р (а, Ь, с; ^) введенный в [2] и имеющий при действительных с, и х > 0 вид
<
290
May 15, 2024
Uchinchi renessans yosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current
( I:fnf )( * )
—a—ß x
r(a)
J( x — t )a—1 F a + ß,—-n,a ;1 — -If ( t ) dt (y > 0 )
о V x J
dn dx
(I£nß—n,"—nf )(x) (or < 0, n = [—a] + 1).
В частности
(I^f )(-x) = f (x), (КГ" f )(x) = (I0-f)(*),
(Iff )( * ) = ( DT )( X ),
где (f)(x) и (f)(x) операторы дробного интегрирования и
дифференцирования Римана-Лиувилля порядка а > 0.
Нелокальная краевая задача для уравнения (1) в неограниченной области изучена в работе [5].
Задача. Найти в области D решение u (x, y) уравнения (1) удовлетворяющее условиям:
У^ u| = 0 (-ад < х < 0,1 < x < ад),
A (Ioaf,ß-1-au[0(t)]) (x) f B (Ioa;1,b-1fa,ß-1-a lim (-y)ß0 uy (t, y)) (x) = g(x), а также условиям сопряжения
где
a =
m + 2(ß +a0 )
lim y1 ru (x, y) = lim u (x, y ), (x e I), Jim y1r(yl~ru (x y))y = lim (—y)ßo uy(x, y), (x e1 ) 5
_ m f 2(ß0 -a0) , ß = ——^ 0 , a, b - действительные числа, причем
2(т 7 2) ' ' 2(т + 2) а > шах{-а, (-1}, А, В - вещественные константы разных знаков, g(х) -
заданная функция такая, что g(х) е С1 (I )п С2 (I).
Решение уравнения (1) будем искать в классе дважды дифференцируемых функций в области Б таких, что
и (х, у) стремится к нулю при х2 + у2 ^ ад,
у1уи ( х, у )еС ( II7 ), и ( х, у ) е С (1 ), у 1-(у1 и)^е С ({(х, у) : 0 < х < 1, у = 0}), е С(I ), иуу е С(Б ).
u
<
291
May 15, 2024
Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current _Challenges, Innovations and Prospects
Отметим, что нелокальная краевая задача для уравнения (1) в случае с0 = 0, Д0 = 0 изучена в работе [4].
Единственность решения задачи доказана методом интеграл энергии. Существование решения получено как решение соответствующего уравнения с дробными производными разных порядков [1. ^297].
REFERENCES
1. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo Y.Y. Theory and applications of fractional differential equation. North Holland. Math. Studies 204. Amsterdam-Boston. Tokio. 2006. 523p.
2. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function. Math. Rep. Kyushu Univ. 1978. V.11, No.2, P.135-143.
3. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения: монография. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.
4. Репин О.А. Краевая задача для дифференциального уравнения с частной дробной производной Римана-Лиувиля, Уфимск. матем. журн., 2015, том 7, выпуск 3, 70-75 с.
5. Ruziev M. Kh. A boundary value problem for a partial differential equation with fractional derivative. Fractional calculus and Applied Analysis., 24 (4), 2021, pp. 509-517.
292
May 15, 2024
