2Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current
ChaLes.hnnoeon.andPru.en
О ТОЧНЫХ ЬР-ОЦЕНКАХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ МЕР, СВЯЗАННЫХ С ОСОБЕННОСТЬЮ Х9.
Д. И. Икромова
Независимая научная сотрудника кафедры алгебры и геометрии Самаркандского государственного университета. [email protected]. Узбекистан.
Мы рассмотрим оценки преобразования Фурье мер, сосредоточенных на гладких поверхностях S с R3, заданных графиком гладкой функции, имеющей особенность типа Х9 Арнольда. Так как ранг этой особенности равняется двум, то в некоторой точке обе главные кривизны поверхности обращаются в нуль. Доказано, что если поверхность задана в виде графика функции, имеющей особенность типа Х9, то для любого р > 3 преобразование Фурье соответствующих поверхностных мер принадлежит Lp(R3). Заметим, что для любой гладкой поверхности преобразование Фурье нетривиальной поверхностной меры с компактным носителем не принадлежит L3(R3), т.е. полученная Lp(R3)-оценка точна.
Пусть S с Rn-гладкая гиперповерхность, а ф £ неотрицательная
гладкая функция с компактным носителем. Рассмотрим поверхностную меру Др. := ф(x)dS(x), где dS(x)- индуцированная мера Лебега (т.е. стандартная поверхностная мера) на поверхности S и ф(х)- плотность меры. Преобразование Фурье меры определяется следующим интегралом:
ар® = 4 е^ар, (1)
где х^-скалярное произведение векторов х и Соотношение (1) соответствует преобразованию Фурье распределения, определенного мерой ар (см. [5. 129-л], а также [4. 256-л]). В этой статье мы рассмотрим следующую задачу. Найти "тйтит" (т.е. точную нижнюю грань) следующего множества: {р > 1:ар £ Lp(Rn) для любого ф £ С^)}, (2)
где мы обозначим через Lp(Rn), 1 < р < то, пространство Лебега всех классов эквивалентности комплексно-значных борелевских измеримых
функций f на Rn таких, что / п^(х)|рах конечен. В предельном случае р = то Lp ^п) состоит из всех измеримых, существенно ограниченных функций. Точная нижняя грань множества (2), обозначаемая через р5, называется точным показателем интегрируемости функции ар [2. 32-л].
May 15, 2024
86
Uchinchi renessans yosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current Challenges, Innovations and Prospects
Так как dp. имеет компактный носитель, то d[I является ограниченной аналитической функцией в Rn. Так что d[IeLот(Rn) для произвольной гиперповерхности S. С другой стороны, если S-гиперплоскость и ф-произвольная нетривиальная функция на S, то d[I не принадлежит Lp(Rn), как только р < го.
Однако, если S удовлетворяет так называемому условию "кривизны" (см. [6. 712-л] для более детального определения этого условия), то существует положительное вещественное число р<го такое, что d[IeLp(Rn). Таким образом, поведение преобразования Фурье меры связано с геометрическими свойствами гиперповерхности S.
Следует отметить, что задача об определении минимального числа р, удовлетворяющего условию d[IeLp(Rn), является тонкой, открытой проблемой анализа. В статье [3. 359-л] рассмотрена аналогичная задача в случае, когда S с R3 является аналитической гиперповерхностью с хотя бы одной ненулевой главной кривизной в каждой точке. В статье [1. 20-л] рассмотрен более общий случай, когда S с Rn является аналитической гиперповерхностью с не менее чем п — 2 ненулевыми главными кривизнами в каждой точке.
В настоящей работе рассматривается задача о точных Lp-оценках преобразования Фурье поверхностной меры для более вырожденного случая, когда S с R3 является гладкой поверхностью, причем в некоторой точке обращаются в нуль обе главные кривизны. Задачи с такими особенностями встречаются в приложениях, например, в работе [3. 359-л] рассмотрен случай, когда имеет особенности типа облики. Для соответствующей поверхности обе главные кривизны обращаются в нуль в некоторой точке. Эти обстоятельства объясняют актуальность поставленной задачи.
Поскольку dц имеет компактный носитель, благодаря методу разбиения единицы можно считать, что мера dц сосредоточена в достаточно малой окрестности фиксированной точки. Ради определенности предположим, что S содержит начало координат, а касательная плоскость к поверхности в начале координат определяется равенством Т^ = {х3 = 0}, что не умаляет общности результата, ибо любая поверхность евклидовым движением приводится к таковой. Таким образом, плотность ф сосредоточена в достаточно малой окрестности начала координат. Следовательно, мы можем предположить, что S с R3 задана в виде графика гладкой функции
87
May 15, 2024
Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current
ChaLes.hnnoeon.andPru.en
S = {(Х1,Х2,Х3):Х3 = Ф(Х1,Х2)} (3)
где ф-гладкая функция, определенная в окрестности нуля UсR2, а также в силу нашего предположения о касательной плоскости ф(0,0) = 0, и Уф(0,0) = 0. Таким образом, Ф имеет особенность в нуле, т.е. нуль является критической точкой для этой функции. Далее будем считать, что кратность этой критической точки конечное число.
В этой работе мы будем предполагать, что плотность ф сосредоточена в достаточно малой окрестности начала координат R3, а также, что поверхность S на носителе плотности ф задается в виде графика гладкой функции. Основные результаты работы содержатся в следующей теореме.
Теорема. Пусть S с R3- гладкая гиперповерхность, заданная в виде графика функции ф(х1(х2), т.е. S := {х £ R3:x3 = ф(х1(х2)}, где ф - гладкая функция, удовлетворяющая следующим условиям:
(1) для произвольного мультииндекса (а1; а2) £ , с условием а1 + а2 < 3 выполняется равенство д^1 д^2ф(0,0) = 0;
(и) ф имеет особенность кратности не более 9 в нуле. Тогда существует окрестность нуля и такая, что при любой плотности ф £ С£°(и) имеет место включение d[I £ L3+0(R3).
Замечание 1. Следует отметить, что если
д2ф(0,0) д1 д2ф(0,0) чд2дЖ0,0) д2ф(0,0)
т.е. если хотя бы одна из главных кривизны поверхности не обращается в нуль в начале координат R3, то, вообще говоря, утверждение теоремы 1 не
верно. Например, пусть ф(х1(х2) = х2 + х|, для этой функции кратность
22
критической точки равна 4. Тогда легко показать, что ] £ L~(R3). Этим объясняется существенность условия, о том, что обе главные кривизны обращаются в нуль в начале координат.
Замечание 2. С другой стороны, если кратность критической точки больше 7, то утверждение теоремы 1 не справедливо, как видно из примера
функции, имеющей особенность типа Е8. Точнее, если ф(х1(х2) = х^ + х|, то
22
кратность критический равна 8, при этом ] £ L~(R3). Таким образом, условия, о том, что порядок функции не меньше четырех, является существенным.
Точность основной теоремы следует из следующего предложения [1. 20л]. Предложение. Пусть S с R3 — С2-гладкая гиперповерхность, содержащая начало координат, dц мера, определяемая равенством
D^(0,0) :=
* 0,
May 15, 2024
88
Uchinchi renessans yosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current _Challenges, Innovations and Prospects
dp(0 := J eix^(x)dS,
S
и пусть ф- неотрицательная непрерывная функция, сосредоточенная в достаточно малой окрестности нуля такая, что ф(0) > 0. Тогда d[i £ Lp(R3) для любого 1 < p < 3.
Отметим, что в предложении гладкость амплитуды не требуется.
REFERENCES
1. Акрамова Д. И., Икромов И. А, Максимальные функции Рендола и суммируемость преобразования Фурье мер, Матем. заметки, 109:5 (2021), 643663.
2. Архипов Г. И, Карацуба А. А, Чубариков В. Н., Тригонометрические интегралы, Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:5 (1979), 971-1003.
3. Erd'os L, Salmhofer M, Decay of the Fourier transform of surfaces with vanishing curvature, Math. Z, 257:2 (2007), 261-2.
4. H' ormander L, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, v. 1: Distribution Theory and Fourier Analysis, Grundlehren Math. Wiss., 256, SpringerVerlag, Heidelberg, 1983.
5. Паламодов В. П, "Обобщенные функции и гармонический анализ", Коммутативный гармонический анализ - 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фунд. направления, 72, ВИНИТИ, М., 1991, 5-134.
6. Stein E. M., Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton Math. Ser., 43, Princeton Univ. Press, Princeton, 1993, 712.
89
May 15, 2024
