CC BY
23
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 539.31:517.928.7
Н.А. Щукина
канд. тех. наук, доцент, кафедра прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики», г. Москва
НЕЛИНЕЙНЫЙ ЭФФЕКТ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ОТ ВНЕШНЕГО УСИЛИЯ
Аннотация. Рассматривается плоская задача в напряжениях. В рамках эффектов второго порядка получено аналитическое решение задачи о концентрации напряжений на контуре отверстия, свободного от нагрузок, при равномерном растяжении. На примере эллиптического контура исследован нелинейный эффект зависимости коэффициента концентрации напряжений от уровня внешней нагрузки и формы контура.
Ключевые слова: коэффициент концентрации напряжений, нелинейная теория упругости, эффекты второго порядка.
N.A. Shchukina, Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics, Moscow
THE NONLINEAR EFFECT DEPENDENCE OF THE OF STRESS CONCENTRATION COEFFICIENT DUE
TO EXTERNAL FORCE
Abstract. The article discusses stress problem on plane. As part of the second-order effects, obtained an analytical solution for the stress concentration on relaxed hole contour in case of uniform stretch. Considered example of an ellipse: the nonlinear effect of stress concentration coefficient depending on external load and shape.
Keywords: the stress concentration coefficient, non-linear elasticity theory, the second order effects.
Основным нелинейным эффектом в теории концентрации напряжений, качественно отличающим ее от классической линейной теории является зависимость коэффициента концентрации от внешнего усилия. Этот факт был отмечен в работе [1]. В рамках эффектов второго порядка на точном решении было обнаружено, что для круглого отверстия этот коэффициент растет с ростом внешней нагрузки. Покажем, что характер монотонности зависит от формы отверстия и диапазона изменения внешней нагрузки. В качестве примера исследуется зависимость характера монотонности коэффициента концентрации от формы эллиптического отверстия. Аналитическое решение краевой задачи в напряжениях для плоской деформации находится методом возмущений, использующим разложение в степенные ряды по малому параметру объекты, описывающие напряженно-деформированное состояние. В нелинейной постановке краевая задача сводится к двум краевым задачам линейной теории упругости. Эти задачи выделяются при ограничении разложений для радиус-вектора частиц в текущей конфигурации R и
функции гидростатического давления p членами разложения по малому параметру r = у до
т
второго порядка в виде К = г + + и р = 1 + Р/ + Р2/2| соответственно, где т - модуль сдвига линейной теории. Из общих соотношений нелинейной теории упругости [2] получа-
0
ем разложения для тензора-градиента с точностью до О (V) в виде
0 0 0
= Е + /уК + /2У*' . Тогда разложение «плоской» части выражения тензора напряжений Коши принимает вид: Б = а/ + в 'г/2, где а = 2т[РЕ + с'],
б" = 2т
чр 2 12и ,
А 0
Е + £" + У К'7 • £'
А ( 0 0 \ Л I 0 0
, £' =1 (у к' + у К'7|, £' =1 (у к + у К"7
21 ) 2
/и , /, и2 - константы, причем и - модуль сдвига линейной теории. Здесь точка означает скалярное произведение, знак «Т» - транспонирование. Задача в нелинейной постановке для изотропного несжимаемого материала использует функцию удельной потенциальной энергии деформации (потенциалом энергии деформации) в виде [3]:
* = 1 {(3и+и) [/1 (О)-3]-/1 [/2 (О)-з] + и +/-и [/2 (С)-з]2} ,
где /к (О) - главные инварианты меры деформации Коши О .
Коэффициент концентрации в нелинейной теории, как и в классическом решении линейной теории, будем определять как отношение тангенциальной компоненты атг «плоской» части тензора истинных напряжений Коши Б. Рассматривается контур отверстия, заданный уравнением г = е'9 + те~¥, ^е[0,2^]. Здесь т - коэффициент формы. При 0 < т < 1 получаем эллипс с центром в начале координат и полуосями а = 1 + т, Ь = 1 - т . При т = 0 имеем окружность единичного радиуса, а при т = 1 - симметричный разрез вдоль оси ОХ длины 2. Будем считать, что контур отверстия свободен от напряжений. На бесконечности приложена равномерная нагрузка интенсивности р = /Л , где л - малый параметр, и - модуль сдвига линейной теории. Тогда на бесконечности вектор внешних сил V = Vл + Ъ"л2 на площадках с нормальным вектором I имеет разложение V' = и , V' = 0 , а на площадке с нормальным вектором \ разложение V = /, V' = 0 .
В работе [4] в качестве примера рассмотрена задача расчета концентрации напряжения при равномерном растяжении на бесконечности для эллиптического отверстия, и получено выражение распределения отношения тангенциального напряжения на контуре отверстия к интенсивности внешней нагрузки р.
2(1- т2) 6(т3 + т)соэ(2ф)-1- 10т2 - т4
р
р 1-2тсоэ(2^) + т2 8(т3 + т)соз(2^)-4т2соэ(4^)-2-2т4 -8т2 и
Как видно из последнего выражения, в рамках линейной теории упругости коэффициент концентрации напряжений не зависит от величины внешней нагрузки, а для квадратичного приближения линейно растет с ростом значения р/ . Рассмотрим распределение относительного танген-
/ и
циального напряжения Р = ^ (<Р, ри/) на контуре отверстия для различных значений величины
р/ и коэффициента формы т. Для линейного приближения наибольшее значение величины
/ и
°ТТ/р достигается в вершинах эллипса, соответствующих значениям параметра <р = 0 и <р = п при
любых значениях р/ и т . Для приближения в рамках нелинейной теории наибольшее значение
/ и
тангенциальных напряжений достигается либо в тех же вершинах эллипса, либо в двух симметричных относительно данных вершин точках. При этом в самих вершинах эллипса достигается минимум. При 0 < т < 0.2678 максимальные значения лежат в вершинах эллипса и растут с увеличением параметра формы т (рис. 1а). При т » 0.2678 коэффициент концентрации напряжений
не зависит от внешней нагрузки (рис. 1б).
а) т = 0.1
б) т = 0.2678
Рисунок 1 - Распределение относительного тангенциального напряжения по контуру отверстия
В диапазоне 0.2678 < т < 0.3876 максимальные значения продолжают лежать в
вершинах эллипса, но убывают с ростом р/ (рис. 2а). В промежутке 0.3876 < т < 1 один экс/ т
тремум °уп с некоторого значения р/ расщепляется на три. Один остается в вершине, и его / р / т
значение продолжает уменьшаться, а два других располагаются симметрично относительно
вершины и «расходятся» с увеличением параметра т и, начиная с некоторого значения, р/
/ т
начинают превышать значение в вершинах, соответствующих ( = 0 и ( = р (рис. 2б).
а) т = 0.3876
б) т = 0.8
Рисунок 2 - Распределение относительного тангенциального напряжения
по контуру отверстия
Таким образом, учет нелинейности в области концентраторов не только снижает значение концентрации напряжений, но и позволяет говорить об эффекте раздвоения одного макси-
мума в вершине угловой точки на два симметричных максимума в окрестности данной вершины эллипса. Несмотря на использование потенциала энергии деформации, содержащий три константы (/,/,/), величины / и / в окончательные выражения для коэффициента концентрации не входят. То есть подтверждается утверждение о том, что эффекты второго порядка описывают только влияние геометрической нелинейности.
Список литературы:
1. Жуков Б.А., Щукина Н.А. Эффекты третьего порядка в исследовании концентрации напряжений около отверстий / Б.А. Жуков, Н.А. Щукина // Изв. ВолгГТУ. 2010. Т. 1, № 3. С. 113-118.
2. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1980. 512 с.
3. Жуков Б.А., Щукина Н.А. Модель эффектов третьего порядка в статических задачах расчетов резинотехнических изделий / Б.А. Жуков, Н.А. Щукина // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Сер. Естеств. Науки. 2010. № 3. С. 24-27.
4. Жуков Б.А., Щукина Н.А. Автоматизация решений плоских задач нелинейной теории упругости в рамках эффектов второго порядка / Б.А. Жуков, Н.А. Щукина // Новый университет. Сер. Вопр. естеств. наук. 2012. № 3 (6). С. 24-28.
