CC BY
40
УДК 539.31:517.928.7
Н.А. Щукина
канд. тех. наук, доцент, кафедра прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики»
РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В СИМВОЛЬНЫХ ПАКЕТАХ
Аннотация. Статья посвящена решению задач нелинейной теории упругости в пакете Maple. В рамках эффектов второго порядка получено аналитическое решение задачи о концентрации напряжений на контуре отверстия, свободного от нагрузок, при одноосном растяжении. На примере эллиптического контура исследован нелинейный эффект зависимости коэффициента концентрации напряжений от уровня внешней нагрузки.
Ключевые слова: нелинейная теория упругости, эффекты второго порядка, коэффициент концентрации напряжений, краевая задача.
N.A. Shchukina, Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics
SOLUTION OF PLANE PROBLEMS OF NONLINEAR ELASTICITY THEORY IN SYMBOLIC PACKAGES
Abstract. This article is devoted to the solution of problems of nonlinear elasticity theory in Maple package. As part of the second-order effects obtained the analytical solution for the stress concentration on relaxed hole contour in case of uniaxial tension. Considered example of the elliptic hole. The influence of external loads on the stress concentration factor.
Keywords: non-linear elasticity theory, the second order effects, the stress concentration factor, boundary
problem.
Резина является низкомодульным материалом и допускает большие эксплуатационные деформации. Поэтому для описания напряженно-деформированного состояния необходимо привлекать нелинейную теорию упругости. В статических задачах предполагается, что эластомер является гиперупругим материалом, то есть существует потенциал энергии упругой деформации. Однако применение конкретных потенциалов энергии деформации гиперупругих материалов для одних видов деформированного состояния может быть неприменимо для других деформированных состояний. Поэтому возникает актуальная задача построения такой математической модели нелинейной теории гиперупругости, которая бы одинаково удовлетворительно описывала различные напряженные состояния. В работе [1] показано, что для средних уровней деформации (20-70%), наряду с потенциалами Муни или Трелоара, можно использовать потенциал энергии деформации вида:
w = 1 j(3m+m) [/i (g)-з]-m [/2 (g)-3] + m + ^-m [/2 (g)-з]2 },
где m, m1, m2 - константы, причем m - модуль сдвига линейной теории, /k (G) - главные инварианты меры деформации Коши G.
Построение такой математической модели осуществлено методом возмущений, который использует разложение в степенные ряды объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние. Если удерживать один, два или три члена данного разложения, то будем получать решение в рамках эффектов первого, второго или третьего порядка. При этом возникает ошибка ограничения. Для нахождения каждого члена разложения получается задача линейной теории упругости однородных тел, но с добавочными «внешними» поверхностными и объемными усилиями, зависящими от решений в рамках эффектов предыдущих порядков.
Преимуществом применения такого подхода является то, что в рамках этой теории получаем три краевые задачи линейной теории упругости для эффектов первого, второго и третьего порядков. Это позволяет использовать для решения этих задач хорошо разработанные аналитические методы линейной теории упругости. Этот аспект является важным, поскольку численные ме-
тоды нуждаются в аналитических решениях для проверки на пригодность. Кроме того, аналитические решения делают возможным анализ и оптимизацию влияния силовых и геометрических параметров на поведение решения. Однако из-за громоздкости получаемых выражений разложения выше второго порядка (эффектов второго порядка) редко используются. Появление современных пакетов символьной математики позволяет написать библиотеки программ, облегчающие действия с громоздкими выражениями, описывающими эффекты первого, второго или третьего порядков при произвольном напряженно-деформированном состоянии.
Для реализации символьных выкладок создается проблемно специализированная Система аналитических вычислений «Концентрация напряжений около отверстий» на базе пакета Maple, которая дает возможность автоматизировать вывод уравнений движения (равновесия). Однако, в силу громоздкости получаемых выражений и ограниченности ресурсов техники, разложения в степенные ряды по малому параметру объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние, осуществляется только до второго порядка. Алгоритм позволяет находить выражение коэффициента концентрации напряжений для различных форм отверстия при различных видах деформации.
В основу создания специализированной системы вычислений положена идея, состоящая в том, что библиотека программ не использует формулы, полученные в [2], а вычисляет разложения всех объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние, начиная с разложения вектора перемещения. Все алгебраические операции над рядами в предположении их абсолютной сходимости проводятся в Maple пакетом powseries. Этим рядам можно придать вид разложения по малому параметру и зафиксировать порядок представления результата относительно данного параметра. Так моделируются эффекты первого, второго или третьего порядка. Для работы с дифференциальными уравнениями в частных производных используется пакет PDEtools. В созданной библиотеке программ все операции распространены на тензоры, компоненты которых являются рядами, до второго порядка включительно.
Граничные задачи линейной теории упругости для эффектов первого и второго порядков сводятся к интегральным уравнениям теории функций комплексной переменной [3].
Обозначим z = u(X) функцию, осуществляющую отображение внешности замкнутого контура на внешность окружности единичного радиуса. Потребуем, чтобы точке Х = ¥ соответствовала точка z = ¥. В качестве областей, характеризующих форму отверстия, рассматриваются только те, которые можно конформно отобразить на внешность окружности единичного радиуса с центром в начале координат с помощью функции вида:
k=n д
z = u(X) = x+ Xxj , где ak = const.
k=0 x
Для этих областей интегральные уравнения теории функций комплексного переменного приводятся к алгебраическим уравнениям с помощью интегралов типа Коши. Для эффектов первого и второго порядков искомые потенциалы аппроксимируются разложением в ряды Лорана, а коэффициенты находятся из условия удовлетворения граничным условиям на бесконечности и на контуре отверстия. При этом часть искомых коэффициентов находятся из решения алгебраической системы линейных уравнений, полученных с помощью предельного перехода на бесконечности. Для нахождения остальных коэффициентов необходимо вычислить интегралы типа Коши на контуре отверстия. На свободном от нагрузки контуре нормальные напряжения равны нулю, поэтому тангенциальные напряжения на контуре, пригодные для вычисления коэффициента концентрации, вычисляются в виде инварианта тензора напряжений Коши.
Задача о концентрации напряжений около эллиптического отверстия при одноосном растяжении на бесконечности интенсивности p, Н/м2. Без потери общности будем считать радиус отверстия равным единице. Рассматривается контур отверстия, заданный уравнением
z = e'j + me lj, je [0,2p]. Здесь m - коэффициент формы. При 0 < m < 1 получаем эллипс с центром в начале координат и полуосями a = 1 + m, b = 1- m. При m = 0 имеем окружность единичного радиуса, а при m = 1 - симметричный разрез вдоль оси OX длины 2. Будем считать, что контур отверстия свободен от напряжений. На бесконечности под углом a к оси OX приложена нагрузка интенсивности p. Универсальным силовым параметром, имеющим ту же размерность, является модуль сдвига линейной теории упругости ц. Поэтому естественно возникает безразмерный малый параметр вида h = у . Тогда на бесконечности вектор внешних
/ М-
сил f = f'h + f V на площадках с нормальным вектором i имеет разложение f' = m cos ai, f" = 0, а на площадке с нормальным вектором j разложение f = msinaj, f" = 0.
В цилиндрической системе координат {r, ф, z} введем единичный базис e1 = cos ji + sin jj, e2 = - sin ji + cos jj, e3 = k.
Коэффициент концентрации напряжений к в нелинейной теории, как и в классическом
решении линейной теории, определяется как k =
Р
, где S22 - тангенциальная компонента
«плоской» части тензора истинных напряжений Коши Б = 511е1е1 + Б22е2е2. Представление этой компоненты в рамках приближенной теории [2] имеет вид Б22 = о22ц + Б^2ц2, откуда получим выражение для коэффициента концентрации:
,оЛ+б:„л2 о™ Б:„
ц,
= 2s s 22h+s;2h2 = S22 + _22_
р r=1 Mh r=1 M r=1 M
где т - модуль сдвига линейной теории, о22 и Б^ - коэффициенты разложения по малому параметру ц тангенциальной компоненты тензора напряжений Коши.
о
Обозначим k1 =
М
к = _2 2М
. Тогда представление разложения коэффициента
концентрации напряжений по параметру ц примет вид:
к = к1 + к2ц.
Конформное отображение внешности эллипса на внешность круга IX > 1 задается фор-
с m
мулой z = x + — .
Параметрические уравнения контура отверстия имеют вид:
х = (1 + m) cos j , y = (1-m) sin j.
p
Вершинам эллипса соответствуют значения параметра j = 0, j = p и j = +—. Разложение коэффициента концентрации напряжений в вершинах j = 0 и j = p имеет вид:
к =
(3 - 5m + m2 + m3) cos a-(1 - 3m + 3m2 - m3) sin a
(1-m5 +
4 (1-m)2sin a cos a-4 (1-m) cos2 a +1 - 3m + 3m2 - m3 p
4 (1 - m)3 М '
r=1
r=1
r=1
r=1
p
В вершинах j = ±— разложение коэффициента концентрации напряжений имеет вид: (3 + 5m + m2 - m3) sin a-(1 + 3m + 3m2 - m3) cos a
k = ±--Ц--+
(1 + m )3
4 (1 + m)2sin a cos a-4 (1 + m) cos2 a-3 - m + 3m2 + m3 p 4 (1 + m)3 m '
В отличие от решения в рамках линейной теории, в квадратичном приближении коэффициент концентрации напряжений зависит не только от угла a приложения внешней нагрузки p, но и от ее величины.
Рассмотрим изменение коэффициента концентрации напряжений при значении параметра формы m = 0.5. Графики распределения относительных тангенциальных напряжений на внутреннем контуре отверстия, свободном от нагрузок, вычисленных в рамках эффектов первого и второго порядков при различных значениях параметра h, изображены на рисунках 1-4.
Тонкая линия соответствует решению, полученному в рамках линейной теории, толстая линия соответствует решению в рамках эффектов второго порядка.
Рисунок 1 - Распределение относительных тангенциальных напряжений на контуре отверстия (развертка) при т = 0.5 , ^ = — = 0.8 , а = 0
т
Тонкая линия соответствует линейному решению, толстая линия - квадратичному приближению.
Рисунок 2 - Распределение относительных тангенциальных напряжений
р р
на контуре отверстия (развертка) при т = 0.5 , ^ = — = 0.8 , а = —
т 4
Тонкая линия соответствует линейному решению, толстая линия - квадратичному приближению.
Рисунок 3 - Распределение относительных тангенциальных напряжений
р к
на контуре отверстия (развертка) при т = 0.5 , ^ = = 0.8 , а = —
т 3
Тонкая линия соответствует линейному решению, толстая линия - квадратичному приближению.
Рисунок 4 - Распределение относительных тангенциальных напряжений
p к
на контуре отверстия (развертка) при m = 0.5 , h = = 0.8 , a = —
m 2
Тонкая линия соответствует линейному решению, толстая линия - квадратичному приближению.
Как видно из графиков, в квадратичном приближении при различных значениях параметра h максимум величины коэффициента концентрации напряжений достигается при раз-
5
личных значениях j. При этом величина максимального значения —, по сравнению с класси-
p
ческим решением линейной теории, изменяется в зависимости от угла a приложения и величины p внешней нагрузки.
Таким образом, учет нелинейности в области концентраторов напряжений позволяет говорить об эффекте раздвоения одного максимума в вершине угловой точки на два симметричных максимума в окрестности данной вершины. При этом в самой вершине эллипса достигается минимум.
Применение Системы аналитических вычислений «Концентрация напряжений около отверстий», реализованной в среде Maple, позволяет быстро и эффективно использовать предлагаемый алгоритм для нахождения аналитического решения задач о концентрации напряжений для различных форм отверстия при различных видах деформации, а также визуализировать и анализировать полученное решение.
Список литературы:
1. Жуков Б.А., Щукина Н.А. Модель эффектов третьего порядка в статических задачах расчетов резинотехнических изделий // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Серия Естественные науки. 2010. № 3. С. 24-27.
2. Жуков Б.А. Щукина Н.А. Эффекты третьего порядка в исследовании концентрации напряжений около отверстий // Известия ВолгГТУ. 2010. Т. 1, № 3. С. 113-118.
3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд. М.: Наука, 1966. 707 с.
