Эффекты второго порядка в концентрации напряжений около эллиптического отверстия Текст научной статьи по специальности «Физика»

Наблюдается отсутствие концентрации напряжений как на границе раздела областей, так и вблизи торцов прямоугольника. Однако большая часть накопленной энергии порядка 65 % сосредоточена во внешней области обладающей меньшей жесткостью по сравнению с внутренней. Таким образом, говорить о том, что только параметры Дандерса определяют пары материалов-концентраторов, нельзя. Во внутренней угловой точке области величина концентрации напряжений зависит также от сочетания этих материалов. В данном случае внешняя область должна быть более жесткой по сравнению с внутренней.

Вызывает интерес вопрос, связанный с особенностями поведения динамических характеристик для пар материалов, которые подвержены возникновению волн Стоунли. И в этом случае важное значение имеет определенное сочетание таких материалов. Результаты проведенного анализа для пар материалов, представленных в [8], показали, что возникновение на границе раздела двух сред волн Стоунли возможно лишь в том случае, если для материалов, составляющих области, жесткость # < 1. В этом случае наблюдается сильная локализация напряжений вдоль границы раздела областей. Во внутренней угловой точке областей есть особенность, что подтверждается численным анализом характеристического уравнения системы (3) для пар материалов с указанными свойствами. Наблюдается сильная локализация напряжений вдоль границы раздела областей. Кроме того, имеем скачкообразный разрыв в напряжениях <722(<5,у) на

границе раздела. Что касается количества запасенной энергии, то приблизительно 75 % ее сосредоточено во внешней более «жесткой» области. Это подтверждает ранее сделанные выводы о том, что для таких сред присутствуют признаки краевого резонанса [13], выраженные не так ярко, как в случае однородной об-

Донецкий национальный технический университет

ласти. Внутренняя, более «мягкая» область, воспринимает около 25 % запасенной энергии.

Исследование распределения компонент тензора напряжений в окрестности границы х = 8 с параметром жесткости g > 1 показало для таких материалов отсутствие локализации напряжений вдоль границы раздела сред и в угловой точке А. При указанном сочетании материалов около 75 % запасенной энергии сосредоточено во внутренней более «жесткой» области.

Литература

1. Вовк Л.П. И Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 1. С 29-33.

2. Вовк Л.П. II Проблеми трибології (Problems of tribology).

2000. № l.C. 118-122.

3. Белоконь A.B., Вовк Л.П. IIПМ. 1982. T. 18. № 5. С. 101 -105.

A. Гетман И.П., Лисицкий О.H. II ПММ. 1988. T. 52. № 6. С. 1044-1048.

5. Гетман И.П., Лисицкий О.Н. И ПМ. 1991. Т. 27. №8. С. 54-59.

6.Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. // ПМ. 1985. Т.21. № 5. С. 121 - 125.

7. Касаткин Б.А. II Акуст. журн. 1982. Т. 28. № 2. С. 232 -237.

8. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев, 1981.

9.Головчан В.Т. и др. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 5: Динамика упругих тел. Киев, 1986.

10. Боджи Д. II Тр. Амер. об-ва инженеров-механиков. Прикл. механика. 1971. Т. 38. № 2. С. 87 - 96.

11. Пельц С.П., Шихман В.М. И Докл. АН СССР. 1987. Т. 295. № 4. С. 821 - 824. .

12. Плевако В.П. II ПММ. 1979. Т. 43. № 4. С. 760 - 764.

13. Вовк Л.П., Лупаренко Е.В. II Системні технології. Математичні проблеми технічної механіки. Днепропетровск,

2001. С. 28-33.

7 марта 2003 г.

УДК 539.3

ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА В КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИИ ОКОЛО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОТВЕРСТИЯ

©2003 г. Б.А. Жуков

In work examine the influence of second-order effects on stress concentration near an elliptic orifice at the plane strain in investigated. The orifice is free from stress; the loading it applied on infinity.

Исследовано влияние эффектов второго порядка на концентрацию напряжений около эллиптического отверстия при плоской конечной деформации. Показано, что распределение напряжений около отверстия в квадратичном приближении не только количественно, но и качественно отличается от распределения в линейном приближении. Для определенных значений

внешней нагрузки при достаточно большой кривизне в вершине эллипса происходит расщепление одного максимума в этой вершине на два в ее окрестности. Подобным образом себя ведут некоторые компоненты напряженного состояния вблизи вершины разреза в решении, полученном в рамках нелинейной механики разрушения [1].

Общая постановка приведена в [2]. Предполагается, что вектор перемещения при плоской деформации и и гидростатическое давление q, входящее в уравнение состояния вследствие несжимаемости, могут быть представлены в виде разложений по степеням некоторого малого параметра Г):

U = tjVF +

Г

S О S S

VF-VVF + УЯ

Л

q=ri<h+Yq2'

F и Н - произвольные бигармонические функции; ^ = "1/^ду ~ '^Удх~ симплектическ™ оператор;

V = *%x+j/^y- опеРатоР Гамильтона; i и j — базисные векторы декартовой системы координат (х, у). Вектор U удовлетворяет условию несжимаемости с точностью до членов, пропорциональных г?3.

Представление F, H, qi и q2 через комплексные потенциалы имеет вид:

F = z$ + Z& +ç + (p, qx = 4г (#'-$'-¡q),

H = zV + zW + X + X- =q2Q-%(pâ + bû' + bû'),

q20=4l{f,-ll/-ic2), a = W’ + (p", b = z&' + (p' + $, где cj,c2- вещественные постоянные интегрирования. Буквами ф, х. У> $ обозначены аналитические функции комплексной переменной z = X + I у (комплексные потенциалы). Штрихи у комплексных потенциалов означают производные по г.

Для контура, свободного от нагрузки, комплексные

потенциалы ç, %, щ г? имеют вид: 1? = а,г+г?,

ср' = byz + $', y/ = dxZ + V X' = hz + X'’ ГДе ФУ™' ции, снабженные знаком тильды, ограничены в окрестности бесконечно удаленной точки и равны в ней нулю.

Силовые граничные условия на бесконечности получаются в виде систем уравнений для эффектов первого и второго порядков:

^[(«î2 “«iKl "^«2^12] ={nlh\~n\fn)^ 1>

4(2^12+Ci )= (1)

= ("2/11 + ”1/12)^ 1 +4[(ni ~п^П +2n1n2^nl 4[(«f “«2)^1 _2n1n2 tn\=

~ (и2 /21 — ^1/22)^ — 32(2ûj2 + C|)(2j| +

+ {(n12 -n])\\.6bn(2an +C1)]-2n1n2[l6fc12(2a12 +c,)]}

4(2du +c2) = 4[(«!2 -nf )i12 +2nin2 in j+

+ (»2/21 +«1/22 V”1 +l8(feu +bi2)+

+ (n,2 -n|)[l 66,2(2^2 +cI)]-2ni/22[l6èll(2ai2 + q)],

где ûj = «и +Ш12 ; b\ = ¿u + ¡¿>12 ; dy = i/ц +1di2", h = hi + iti2, ц-модуль сдвига; f -T]fu +t?fbIX

г = 1,2 - разложение декартовых компонент внешней нагрузки на бесконечности, заданной в недеформиро-ванной конфигурации при «мертвом» нагружении; п = пх + ш2 - декартовы компоненты единичного вектора внешней нормали к контуру на бесконечности. Граничные условия в напряжениях на ненагруженном внутреннем контуре I определяются системой уравнений:

Ai

v(a)

Ф1(сг)-Ф,(сг)

1

и(сг)ф1(сг) + и(сг)'1'1(сг)

= -4(2û12+CiMct) + 4î^6,,

41

и(ст)

Ф2(ст)-Ф2(ст)

и(сг)Ф2 (а)+1Х<т)Т2 (сг)

v(cr).

- ~[4(2d12+с2)+P(a)]v(a)+——[4;7j + g(cr)],

(2)

P = -4iqlc-siaa+bФ'l+bФ'1),

<2 = -4iqla - я(р 1г —ЬФ[), ql =4/^^-®! — /С1), с^+Ф,, а = гФ'1+'1,1,/г = гФ1+Ч'1/,

Ь = %Ф1+<р' + & , г = ь(д)- функция, отображающая этот контур в плоскости комплексного переменного г на окружность единичного радиуса с центром в начале координат в плоскости комплексного переменного

С, Ф, =ё'(д), Ф! Ф2 = у'(д), Ф2=ЦО-,

дд дд

4*2 = х"(Я) > ст - точка на единичной окружности.

Для исследования распределения напряжений на контуре нет нужды вычислять все компоненты тензора напряжений Коши, достаточно знать выражение для первого инварианта:

SXX + Syy=V

T]2qx{(y) + r}2

а{а)а{а)~

Ь(а)Ф\{<У)

v(<?)

Ь(а)ф1 (сг)

+ <?2о(°'Щ > (3)

Ч2о(°) = 4'^2(^)-ф2(СТ)-г'(2й?12 +с2)).

На ненагруженном контуре он всегда равен тангенциальному напряжению в деформированной конфигурации.

Постановка задачи. Рассматривается задача о цилиндрической полости с поперечным сечением в виде эллипса. На бесконечности действует плоскопараллельная система сил, плоскости приложения которых перпендикулярны оси цилиндра. На площадках в от-

счетной конфигурации с нормальным вектором е1 = сояа'1 + действуют усилия

{ =71^+71^2/2,^ { 2=°. {1=Ре1'П~1- (4)

Конформное отображение внешности эллипса на внешность единичного круга дается формулой:

ь = {$+т2 0<т<1. (5)

Решение. Подставляя (4) в (1) и решая систему, найдем константы в выражении для комплексных потенциалов:

Р

Hi

= 0, 2а12 +сх =

AßT]

bn = 0, Ьп = 0, 2dn + с1 = 0, ij j = 0, tl2 = 0.

(6)

Подставляя (6), (5) в (2) и применяя аппарат интегралов типа Коши, получаем выражения для комплексных потенциалов:

т2еР2

Ф,=

in?p

1 4 iiri(m2-Ç2)

, Ф2 = -Í-

Vi

8

+т2^2 +т4^ +т6^2)р

4 Ц71 {т2-%2У используя которые вычисляем (3).

Для не очень вытянутых эллипсов тангенциальные напряжения на контуре достигают максимума в вершине с наибольшей кривизной. Коэффициент концентрации К равен:

т2 +1 1т1 — 4 т2 +1 р

К = 2-

- + —

(7)

1-т2 2 (ш2-і) Ч

Область на плоскости (т,р/рі), в которой верна формула (7), расположена под кривой на рис. 1. В области, расположенной над кривой, происходит расщепление. На рис. 2 показаны графики относительных значений тангенциального напряжения Зцхр IР в зависимости от параметра / при р / ц = 0,2,

т = 0,9 в окрестности вершины эллипса с ? = 0. Жирная линия соответствует квадратичному приближению. В вершине появляется минимум напряжений, а симметрично около нее возникают два максимума.

Рис.1

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2

0

Рис. 2

0,2 0,4 0,6 0,!

Таким образом, показано, что расщепление одного максимума напряжений на два характерно для нелинейных решений в области конечной, хоть и достаточно большой кривизны контура, а не только для разреза. Литература

1. Астафьев В.И., Крутов А.Н. II Изв. РАН. МТТ. 2001. № 5. С. 125-133.

2. Жуков Б. А. И Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. 2001. С. 70-71.

Волгоградский государственный технический университет_____________________________________26 ноября 2003 г.

УДК 519.5

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ИСТОЧНИКА ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ПРИМЕСЕЙ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ

© 2003 г. Н.И. Каргин, В.И. Наац

The paper is concerned with methods for solving inverse pollutants source problem as applied to routine monitoring of the pollution condition of the atmosphere. The authors focus attention on the organization of inverse pollutants source problem, development of method for the construction of the calculation model and realizing calculation experiment with describing its results.

Объектом исследования данной работы являются процессы переноса загрязняющих веществ (ЗВ), распространяющихся в приземном слое атмосферы от источников различной длительности действия. Подобные

задачи решаются, в частности, на основе уравнения турбулентной диффузии, исследование которой связано с изучением закономерностей распространения примесей в атмосфере.