НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ В ЗАДАЧЕ КУЭТТА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. Выпуск № 100

http://trudymai.ru/

УДК 533.6.011.8

Нелинейные явления в разреженном газе в задаче Куэтта

Выонг Ван Тьен , Горелов С.Л.

Московский физико-технический институт (национальный университет),

Институтский переулок, 9, Долгопрудный, Московская область, 141701, Россия.

*

e-mail: tienbom@mail.ru

**

e-mail: gorelovsl@yandex. ru

Аннотация

Исследуются процессы тепломассопереноса в разреженном газе, заключенному между двумя бесконечными параллельными пластинами, которые имеют разные температуры и движутся относительно друг друга. Методом прямого статистического моделирования (DSMC) вычисляются распределения плотности, скорости, температуры газа, потоков тепла и тензора напряжений в широком диапазоне чисел Кнудсена и при различных значениях отношений температур и скоростей движения пластин. Полученные результаты, сравнены с аналитическими для свободномолекулярного предела, а для широкого диапазона чисел Кнудсена, расчеты для теплового потока и напряжения трения были сопоставлены с результатами, полученными методом самоподобной интерполяции. Установлено, что в переходной области между свободномолекулярным и сплошносредным пределами, кроме касательной составляющей тензора напряжений присутствует нормальная составляющая (которой нет ни в свободномолекулярном случае, ни в случае сплошной среды) причем, и нормальная и касательная составляющие

существенно немонотонны по числам Кнудсена. Величина максимума этих напряжений зависит от скорости движения пластин и отношения температуры между пластинами. Кроме этого, направление теплового потока, по отношению к горячей стенке, зависит от числа Кнудсена и может менять свое направление при определенном соотношении перепада температур и скоростей движения пластин.

Ключевые слова: задача Куэтта, разреженный газ, потоки импульса и тепла.

Введение

Динамика разреженного газа изучает явления, имеющие место при произвольном отношении длины пробега (времени между столкновениями) молекул к характерному размеру (времени) явления. В круг задач динамики разреженного газа входят, например, задачи об обтекании летательных аппаратов, движущихся на больших высотах, о движении газов в вакуумных аппаратах, ультразвуковых колебаниях в газах, структуре ударных волн и т.д. Исследование таких явлений требует учета молекулярной структуры газа, кинетического описания применения уравнения Больцмана. Решение уравнения Больцмана для таких задач крайне сложно, даже в настоящее время с использованием современной вычислительной техники. С другой стороны, ряд явлений, возникающих в разреженном газе можно выявить, исследуя простейшие течения, к которым относится течение Куэтта.

Течение газа между бесконечными параллельными пластинами, возникающее при их продольном движении (задача Куэтта), хорошо изучено теоретически в

линейной постановке (когда скорости движения пластин много меньше скорости звука, а перепад температуры пластин, отнесенный к температуре газа существенно меньше единицы). При этом, данные исследования проводились как в рамках постановки сплошной среды, так и с помощью моделей динамики разреженного газа [1, 2]. В линейной постановке задача Куэтта распадается на две отдельные задачи: задача о чистом сдвиге (температура пластин одинакова) и задачу о теплопередаче (пластины неподвижны) [1-7]. Однако, необходимо отметить, что при больших скоростях и при большой относительной разнице температур пластин в газе возникают нелинейные эффекты [8-11]. В частности, кроме напряжения трения, которое присутствует и в линейном случае, появляется напряжение давления, которого нет как в свободномолекулярной, так и в сплошносредной моделях. За счет работы внутренних напряжений повышается температура газа, что приводит к появлению переноса тепла по нормали к пластинам даже в случае их одинаковой температуры. Если пластины движутся с достаточно большой скоростью и имеют разные температуры, нормальный к пластинам тепловой поток складывается из двух частей: "диффузионный" (направленный от "горячей" пластины к холодной) и "конвективный" (направленный к пластинам). Таким образом, на горячей стенке диффузионный и конвективный тепловые потоки направлены в противоположные стороны. При определенных значениях относительной температуры и скорости движения пластин, поток тепла на горячей стенке может стать равным нулю или поменять свой знак. Полученные результаты позволили выявить ряд новых эффектов разреженности в течениях газа и дали больше знаний о изучении

механизмов процессов тепломассопереноса необходимых для совершенствования вакуумной и авиационно-космической техники.

1. Постановка задачи

Рассмотрим течение Куэтта в горизонтальной плоскости [1, 2], которую совместим с плоскостью ху. Ось х направлена вдоль пластин. Газ движется между двумя параллельными плоскими стенками на расстоянии к друг от друга. Пластина при у = 0 покоится и нагрета до постоянной температуры Т0, а другая движется в

собственной плоскости с постоянной скоростью Ж и нагрета до температуры Т1. Поскольку пластины имеют постоянные температуры и скорость движущейся пластины также постоянна, состояние газа является стационарным. Так как размеры пластин бесконечны (размеры пластин вдоль осей х и у существенно больше к ) задача становится одномерной, то есть все физические величины зависят лишь от одной переменной у. Состояние газа описывается функцией распределения

молекулярных скоростей / (у, £), удовлетворяющей уравнению Больцмана

* |='(г)

где J (/) - интеграл столкновений.

Будем считать, что отражение молекул от стенок диффузное. Тогда можно считать, что функции распределения отраженных молекул по скоростям могут быть описаны распределением Максвелла с температурами соответствующих стенок:

/ (У - 0,£ > 0):

С Л3/2

т

к 2якТо у

ехр

те}

\ 2 кТ0 У

(1.1)

/ (У - Н,4У < 0) = п

/ \3/2 т

2пкТх

ехр-

т

2 кТ

- ж)2+£

(1.2)

здесь £х- декартовы компоненты скорости молекул, причем £у направлена

перпендикулярно граничным поверхностям, £ - I£ + £ + £ - полная скорость молекул. Т0,Т1- температуры нижней и верхней пластин. п0 и п1- числовая плотность отраженных молекул. Ж - скорость движения верхней пластины.

Параметры п0 и п1 определяются из условий непротекания на стенках

(равенство нулю нормальной составляющей скорости газа):

| е/^ +1 еу/(0, % -0, | +1 еУ/(к % -0

£ > 0

£ < 0

£ < 0

£ > 0

В работе вычисляются плотность, скорость, температура газа, две компоненты тензора напряжений (касательная составляющая (напряжение трения), нормальная составляющая (напряжение давления) тензора напряжений) а также тепловой поток

к стенкам.

Введем некоторые безразмерные параметры

-1, р - пкуЩТ!, б = —, 41 - пкТ

Ц\ V

Т ж

Г = -0. Ч = 1 - Т ' -

Т1

р р _ р = Г ХУ р = г уу

фЩ' х р' уу р

2кТ

т

где t - отношение температур пластин, - относительная скорость, Р Р -

соответственно безразмерные касательная и нормальная составляющие тензора напряжений (компоненты тензора напряжений - напряжение трения и напряжение

давления), и б - безразмерный тепловой поток к нижней пластине.

2. Сильно разреженный газ

Рассмотрим свободномолекулярное течение газа [11] в постановке п.1 с краевыми условиями (1.2) и (1.3), тогда функция распределения в газе определяется

/ = /о + /1

Решение задачи Куэтта приведено в аналитическом виде в [2]. Для сильно разреженных газов функция распределения молекул / не зависит от нормальной

2

координаты и при Е,у > 0 имеет вид (1.1) с числовой плотностью п0 = -—п.

При ¡Е,у < 0 функция распределения /1 задается в форме (1.2) с числовой

241

плотностью п =-г п

1 1

Тогда скорость потока газа по х может быть вычислена как:

и =1 , 5 = , 5 = или — = Л-

(2.1)

Температура газа равна:

Г о \

3

-пкТ = т¡\({х - и )2 + + £ = -+ -пхкТ

4 " " 4

2

1+2 —

3

w

V 3 У

Т =4 + (2.2)

Т ' 3' "

(1

Напряжение трения определяется как:

Рху = т^ = ^ = Рху, или ^ = - 2 = -рст (2.-)

Нормальная составляющая тензора напряжений (напряжение давления) Р = 0 Аналогично вычисляется тепловой поток:

д = [тт, б = д = ^Л(г -1 -11(1+ 41)-1 (2.4)

* 2 у д V 2 )\ >

это уравнение можно записать несколько иначе

- = д+т - д-т, д+т = а(г)(г -1), д-т = а(г)2 —2, а(г) = (2.5)

д1 2 у1я1 + V г

Из формулы (2.4) получается что тепловой поток направлен от нижней пластины к верхней при г > 1 + —2/2, (д+т > д~т), и от верхней пластины к нижней

при г < 1 + —2/2, (д+т < д~т). Величина теплового потока немонотонна в зависимости

от отношения температур г и относительной скорости .

На рис. 1 и 2 показаны графики зависимости температуры Т / Т1 газа от относительной скорости и отношения температур г. Сплошными кривыми нанесены результаты, полученные по формуле (2.2), а точками - методом прямого статистического моделирования.

На рис. 3 и 4, показаны зависимости скорости — / и напряжения трения Ру / от отношения температур г, Сплошными кривыми нанесены результаты,

полученные по формуле (2.1) и (2.3), а точками - методом прямого статистического моделирования.

Рис. 1. Зависимость Т / Т1 от относительной Рис. 2. Зависимость Т / Т1 от отношения скорости Чж при определенном отношении температур t при

t - 0.5 и t — 2

определенном относительной скорости Чж — 0.5 и Чж — 2

Рис. 3. Зависимость Ч / Чж от отношения

температур t

Рис. 4. Зависимость Рху / Чж от отношения температур t

На рис. 5 и 6 показаны графики зависимости теплового потока б газа от относительной скорости Чж и отношения температур t. Сплошными кривыми нанесены результаты, полученные по формуле (2.4), а точками - методом прямого статистического моделирования.

Рис. 5. Зависимость Q от относительной Рис. 6. Зависимость Q от отношения

скорости при определенном отношении температур ? при определенном

I = 05 и ? = 2 относительной скорости = 0.5 и = 2

Как видно из приведенных выше рисунков, все расчеты, полученные методом прямого статистического моделирования при свободномолекулярном случае, хорошо согласуются с аналитическими результатами.

3. Вязкий газ

Рассмотрим стационарное плоское течение Куэтта несжимаемого газа в горизонтальной плоскости [12], которую совместим с плоскостью ху. Ось х направлена вдоль пластин. Газ движется между двумя параллельными плоскими стенками на расстоянии к друг от друга, одна из которых покоится, а другая движется в собственной плоскости с постоянной скоростью Ж, давление вдоль пластин постоянное. Для такого течения система уравнений имеет вид [12]:

д 2и „ д 2Т ( ди*^

, 0, Я—^ = -р ду ду2 И

с граничными условиями:

\дУ у

(3.1)

и

>,(у — 0) — 0, и(у — к) — ж, Т(у — 0) — Т), Т(у — к) — Т (3.2)

Уравнения (3.1) с граничными условиями (3.2) имеют решение:

и — жу, Т — Т0 + (Т - Т0)у + ж2 у К ° У1 К 2Л К

V у4

V " у

К

где /л — коэффициент вязкости, Я — коэффициент теплопроводности

Для теплового потока к нижней стенке можно записать (при у — 0):

4 — -^ — -яТ^-/! (3.3)

ду К 2К

Таким образом, тепловой поток складывается из диффузионной части (газ покоится, ж — 0) и конвективной части (температуры стенок одинаковы, Т0 — Т1).

1) Если ж — 0 и Т1 > Т0, газ покоится, тепловой поток направлен к стенке у — 0, то есть от горячей стенки к холодной.

2) Если Т0 — Т1, то тепловой поток направлен к стенке у — К, то есть, эта стенка нагревается за счет трения.

3) При Т1 - Т0 >/V2 / 2Я поток тепла направлен к стенке у — 0, при Т1 - Т0 < /ж2 / 2Я тепловой поток направлен к стенке у — К .

Запишем уравнение (3.3) в безразмерном виде

Кп(41 - 41) (3.4)

4 — Кп 41

т (t -1)-2«

+ 15/ ч - 1 „2 Ц 2кТ, _ ттг т

где=-1), ^=^ и ^^==цш:

а 15 к То

Л = -—ц 1 = -0, т 4 т Т

— масса молекулы, к — постоянная Больцмана, п — числовая плотность, Кп — число Кнудсена.

Величина теплового потока может иметь разный знак в зависимости от отношения температуры пластин. При t > 1 + 45, /15 тепловой поток положителен, а

при t < 1 + 45,2 /15 тепловой поток отрицателен.

Для напряжения трения можно записать:

ди

Рху =-Ц— = -Ц

Ж Ру _Р у

ду

Н рБ}

Ж

Кп „ 1

Т = " КПРНС ' ^ =Ц

(3.5)

Для получения решения в аналитической форме используется метод "самоподобной

интерполяции" [13, 14].

Имея в виду формулы (2.5) и (3.4), получаем:

Ч + - + — = Ч - Ч ,Ч = Ч1

Ч+Кп, Кп ^ 0

Ч+ет Кп ^^

, Ч =

Ч-сКп, Кп ^ 0 Ч ~ Кп ^ да

Интерполяционная формула первого порядка будет:

б

г \ V Ч1 у

Ч+ Ч + Кп ч Ч- Кп

1 ст 1 Нс 1 ст 1 Нс

Ч+ + Ч + Кп ч + Ч- Кп

ст Нс ст Нс

(3.6)

величины ч+с,Ч-с,Ч+т,Чст определены формулами (2.5) и (3.4).

Аналогично, для напряжения трения, с учетом (2.3) и (3.5) получаем:

Р 1

г ~ \

ху

5 5

р.

V Р У

Р Р Кп

г стг Нс_

Рст + РнсКп

(3.7)

4. Результаты и обсуждение

Рассмотрим задачу Куэтта в широком диапазоне чисел Кнудсена при фиксированных значениях отношения температур t и относительной скорости . []Задача решалась методо прямого статистического моделирования (ЭБЫС) [15-20]. Для данной постановки вычислим плотность, скорость, и температуру газа для трех характерных случаев:

1) Кп = 0.001 (типичный случай, область которого близка к сплошной среде);

2) Кп = 1 (типичный случай, область которого называется переходной);

3) Кп = да (свободномолекулярный случай).

Рис. 7. Распределение плотности газа по у для разных значений числа Кнудсена при t = 1 и = 10

Рис. 8. Распределение температуры газа по у для разных значений числа Кнудсена при t = 1 и = 10

На рис. 7, 8 и 9 показаны графики распределения плотности, скорости и температуры газа по у для указанных выше значений числа Кнудсена ( Кп = 0.001,1, да), при отношении температур t = 1 и относительной скорости = 10.

10-1

06-

0.4-

0.2-

0.0

- Кп = 0.001

* Кп = 1

. Кп =!пИпКу

У

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Рис. 9. Распределение скорости газа по у для разных значений числа Кнудсена при t = 1 и = 10

Из этих графиков видно, что в переходной области (Кп = 1), распределение плотности и температуры газа между пластинами неравномерное. Такое неравномерное распределение плотности и температуры влияет на присутствие нормальной составляющей тензора напряжений, которой нет ни в свободномолекулярном случае, ни в случае сплошной среды.

Рис. 10. Распределение плотности газа по Рис. 11. Распределение температуры газа по у для разных значений Б№ при t = 1 и у для разных значений при t = 1 и Кп = 1

При увеличении скорости движения верхней пластины , неравномерное

распределение плотности и температуры газа становится еще сильнее. На рис. 10 и 11 показаны распределения плотности и температуры по у от разных значений

относительной скорости в переходной области (Кп = 1).

Рис. 12 Зависимость напряжения

давления от числа Кнудсена при = 5

и

разных значениях отношений температур t

Рис. 13 Зависимость напряжения давления от числа Кнудсена при t = 1 и разных значениях относительной скорости

Интересный эффект, который обнаружен в данной работе, это присутствие напряжения давления Руу в переходной области (рис.12, 13). Он приводит к тому,

что в переходной области две пластины не просто движутся относительно друг от друга, а ещё и отталкиваются. Максимальное значение Руу зависит от относительной

скорости и отношения температуры t.

На рис. 14, 15 и 16 сопоставлены результаты, полученные в рамках метода прямого статистического моделирования (точки) и метода самоподобной интерполяции (сплошные линии) (формулы (3.6) и (3.7)).

Рис. 14. Зависимость б от числа Кнудсена для разных значений относительной скорости при отношении ? = 1.2

Рис. 15. Зависимость б от числа Кнудсена для разных значений отношения температур ? при относительной скорости = 0.5

На рис.14 представлен график зависимости величины теплового потока б от относительной скорости при фиксированных значениях отношения температур паластин ?, а на рис. 15 - от отношения температур пластин ? при фиксированных значениях относительной скорости . Отчетливо виден немонотонный характер этой зависимости и изменение знака теплового потока б в зависимости от чисел Кнудсена Кп.

Рху/Эуу

Рис. 16. Зависимость Ру / Б№ от числа Кнудсена для разных значений отношения температур t при определенной относителной скороси = 0.5

На рис. 16 показан график для касательной составляющей тензора напряжений (напряжение трения) от числа Кнудсена при разных значениях отношений температуры t.

Выводы

Рассмотрены нелинейные процессы тепломассопереноса в разреженном газе, заключенном между бесконечными параллельными пластинами, которые имеют разные температуры и движутся относительно друг друга. Найдены следующие эффекты, которые могут быть обнаружены только в рамках нелинейной постановки:

• Обнаружено напряжение давления, которого нет как в свободномолекулярном случае, так и в случае сплошной среды. Причем, данное явление имеет существенно немонотонный характер по числам Кнудсена и его максимальное значение увеличивается с ростом скорости движения пластины и отношения их температур.

• При определенных условиях (соотношение между величиной скорости движения пластин и отношения их температур) тепловой поток на поверхности горячей пластины меняет свой знак на противоположный.

• Тепловой поток на горячей стенке может менять свой знак в зависимости от степени разреженности газа (числа Кнудсена).

Библиографический список

1. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. - М: Наука, 1967. - 440 с.

2. Cercignani C. The Boltzmann Equation and Its Applications, Springer, New York/Berlin, 1988, 476 p.

3. Yoshio Sone. Molecular Gas Dynamics: Theory, Techniques and Applications, Birkhäuser, 2007, 667 p.

4. Горелов С.Л., Коган М.Н. Течение разреженного газа между двумя параллельными пластинами // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. 1. № 6. С. 126 - 130.

5. Горелов С.Л., Выонг Ван Тьен. Течение Куэтта и теплопередача между параллельными пластинами в разреженном газе // Математическое моделирование. 2014. Т. 26. № 10. С. 33 - 46.

6. Выонг Ван Тьен, Горелов С.Л. Теплопередача в цилиндрическом течении Куэтта разреженного газа // Механика жидкости и газа. 2016. № 6. С. 101 - 107.

7. Haviland J.K., Lavin M.L. Application of the Monte Carlo Method to Heat Transfer in a Rarefied Gas // Physics of Fluids, 1962, vol. 5, no. 11, pp. 1399 - 1405.

8. Ivchenko I.N., Loyalka S.K., Tompson R.N. Analytical methods for problems of molecular transport, Springer, 2007, 409 p.

9. Абрамов А.А., Бутковский А.В. Эффекты немонотонности и изменения знака потока энергии впереходном режиме в задаче Куэтта с теплопередачей // Механика жидкости и газа. 2010. № 1. С. 168 - 175.

10. Абрамов А.А., Бутковский А.В. Эффекты немонотонности потока энергии и нормального импульса в переходном режиме в задаче Куэтта при больших числах Маха // Теплофизика высоких температур. 2010. Т. 48. № 2. С. 274 - 278.

11. Черняк В.Г., Поликарпов А.Ф. Нелинейные явления в газах в проблеме Куэтта // Журнал экспериментальной и технической физики. 2010. Т. 137. № 1. С. 165 - 176.

12. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М: Наука, 1974. - 711 с.

13. William W. Liou, Yichuan Fang. Microfluid Mechanics: Principles and Modeling, The McGraw-Hill Companies, Inc, 2006, 353 p.

14. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженного газа. - М.: Машиностроение, 1977. - 184 с.

15. Шидловский В.П. Введение в динамику разреженного газа. - М: Наука, 1965. -220 с.

16. Bird G.A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows, Clarendon press, Oxford, 1994, 458 p.

17. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. - М: Мир, 1981. - 320 с.

18. Bird G.A. Monte Carlo simulation of gas flows // Annual Reviev of Fluid Mechanics, 1978, vol. 10, pp. 11 - 31.

19. Березко М.Э., Никитченко Ю.А., Тихоновец А.В. Сшивание кинетической и гидродинамической моделей на примере течения Куэтта // Труды МАИ. 2017. № 94. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80922

20. Sharipov F., Cumin L.M.G., and Kalempa D. Plane Couette flow of binary gaseous mixture in the whole range of the Knudsen number // European Journal of Mechanics B/Fluids, 2004, no. 23, pp. 899 - 906.

21. Егоров И. В., Ерофеев А. И. Исследование гиперзвукового обтекания плоской пластины на основе сплошносредного и кинетического подходов // Ученые записки ЦАГИ. 1997. № 2. С. 23 - 39.

22. Shen C. Rarefied Gas Dynamics: Fundamentals, Simulations and Micro Flows, Springer, Berlin Heidelberg, New York, 2005, 406 p.