CC BY
19
РАЗДЕЛ II. ФИЗИКА
УДК 533.6.011.8
DOI: 10.18384/2310-7251-2018-1-16-22
НЕЛИНЕЙНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ЗАДАЧЕ КУЭТТА В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ ПРИ ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ
Выонг В.Т.1, Горелов СЛ.12
1 Московский физико-технический институт (государственный университет) 141701, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский переулок, д. 9, Российская Федерация
2 Центральный аэрогидродинамический институт им. профессора Н.Е. Жуковского 140180, г. Жуковский, Московская область, ул. Жуковского, д. 1, Российская Федерация
Аннотация. В данной работе рассматривается задача Куэтта о течении газа и теплопередаче между двумя параллельными бесконечными пластинами на расстоянии h друг от друга, одна из которых покоится, а другая движется в собственной плоскости с постоянной скоростью W, температуры пластин T0 и T1. В задаче вычисляются нормальная и касательная составляющие тензора напряжений и поток тепла к поверхности пластин Q. Результаты, полученные методом прямого статистического моделирования, сравниваются с аналитическими результатами, полученными с помощью метода самоподобной интерполяции. Результаты исследований показывают, что в переходной области между свободномолекулярным и сплошносредным пределами кроме касательной составляющей тензора напряжений присутствует нормальная составляющая, которой нет ни в свободномолекулярном случае, ни в случае сплошной среды. Необходимо отметить, что нормальная и касательная составляющие существенно немонотонны по числам Кнудсена. Тепловой поток также имеет немонотонное поведение и меняет знак при изменении степени разреженности газа (числа Кнудсена Kn). Ключевые слова: течение Куэтта, эффекты разреженности газа, метод прямого статистического моделирования, метод самоподобной интерполяции.
NONLINEAR KINETIC EFFECTS IN THE COUETTE PROBLEM FOR A RAREFIED GAS IN THE TRANSITION REGION
V.T. Vuong1, S. Gorelov1,2
1 Moscow Institute of Physics and Technology (State University) Institutskii per. 9,141701 Dolgoprudnyi, Moscow Region, Russian Federation
2 Central Aerohydrodynamic Institute
ul. Zhukovskogo 1,140180 Zhukovsky, Moscow Region, Russian Federation
© Выонг В.Т., Горелов С.Л., 2018.
Abstract. We consider the Couette problem of a gas flow and heat transfer between two parallel infinite plates located at a distance h from each other, with one plate resting and the other moving in its own plane at a constant velocity W. The temperatures of the plates are T0 and T1, respectively. The normal and tangential components of the stress tensor and the heat flux to the surface of the plates are calculated. The results obtained by the direct simulation Monte-Carlo method are compared with the analytical ones using the self-similar interpolation method. The results show that in the transition region between the free-molecular flow and continuous flow, the stress tensor has two components: the tangent one and the normal one, which is absent both in the free-molecular case and in the case of a continuous flow. Moreover, the normal and tangential components are essentially non-monotonic in the range of Knudsen numbers. The heat flux also has a non-monotonic behavior and changes its sign with a change in the Knudsen number (gas rarefaction factor Kn).
Key words: Couette flow, rarefaction effects of gas, direct simulation Monte-Carlo method, self-similar interpolation method.
В данной работе рассматривается течение между двумя бесконечными параллельными пластинами [1; 2], которые имеют разные температуры Т0 и Т1 и движутся относительно друг друга со скоростью Ш в широком диапазоне числа Кнудсена.
Введём некоторые безразмерные параметры:
г = Sw= ^, РХу = рху-, Руу = -1, р = пкуЩЁ,
Q = q 41 qi vn
t -1—sw 2
(i + 4t) , qi = nkTi
2kTi
m
где t - отношение температур пластин, - относительная скорость, Рху, Руу -безразмерные касательная и нормальная составляющая тензора напряжений, соответственно, Q - безразмерный тепловой поток.
Рассматриваем течение при больших числах Кнудсена, тогда столкновениями между молекулами газа можно пренебречь.
Напряжение трения (касательная составляющая тензора напряжений) определяется формулой: Рху =--^^.
1+ Ы г Л/ п
Нормальная составляющая тензора напряжений Руу = 0.
41
Поток тепла к пластинам запишем в виде: Q =
4П i+4t
t -1--s2
W
При малых числах Кнудсена для вязкого несжимаемого газа можно записать напряжение трения в виде: Рху = -КиБШ.
Нормальная составляющая тензора напряжений Руу = 0.
Тепловой поток к нижней пластине (при y = 0) равен:
Q = — = Kn
15 (- 252
При переходном режиме нет никаких аналитических решений, поэтому в данной работе расчёты в широком диапазоне чисел Кнудсена и при различных значениях отношения температур и скоростей движения пластин получены методом прямого статистического моделирования и методом самоподобной интерполяции [4].
По методу самоподобной интерполяции тепловой поток в зависимости от числа Кнудсена Кп получается в виде:
Q =
Г q "
v^iy
qCmqhcKn qcmqhcKn
qCm + qhcKn qcm + qhcKn
i 2 "\[t
где q+m = a(t)(t-1), q^m = a(t)-52, a(t) = -=-=
2 >Jn 1+ V t
15
и qhc = —(( -1), qhc =- 52.
r+ =—(( -8
Были проведены расчёты для параметров касательной Рху и нормальной Руу составляющих тензора напряжений и потока энергии к движущей стенке <3 при определённой относительной скорости Sw и определённом отношении температур между пластинами I в зависимости от числа Кнудсена Кп. Для теплового потока результаты, полученные методом прямого статистического моделирования, сравнивались с результатом, полученным методом самоподобной интерполяции.
На рис. 1, 2 показаны зависимости значений касательной Pxy/Sxy от числа Кнудсена при некоторых значениях соотношений температур между пластинами I и относительной скорости Sw. Видно, что касательные составляющей тензора напряжений существенно немонотонны по числам Кнудсена Кп.
Рис. 1. Зависимость Pxy/Sw от числа Кнудсена при I = 0 и разных значениях относительной скорости Sw.
Рис. 2. Зависимость Рху/Бш от числа Кнудсена при = 10 и разных значениях
отношений температур t.
На рис. 3, 4 показаны зависимости нормальной составляющей Руу тензора напряжений от числа Кнудсена Кп при некоторых значениях отношений температур t между пластинами и скорости Бш. Установлено, что в переходной области между свободномолекулярным и сплошносредным пределами кроме касательной составляющего тензора напряжений присутствует нормальная составляющая (которой нет ни в свободномолекулярном случае, ни в случае сплошной среды). Этот эффект показывает, что при переходном режиме две пластины не просто движутся относительно друг от друга, а ещё и отталкиваются. При этом и нормальная, и касательная составляющие существенно немонотонны по числам Кнудсена. Величина максимума этих напряжений зависит от скорости движения пластин
Рис. 3. Зависимость Руу от числа Кнудсена при t = 1 и разных значениях относительной скорости
»
При Sw = 10
-1 Н..............................1 I I щц.....................1 ........
1Е-3 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000
Рис. 4. Зависимость Pyy от числа Кнудсена при SW = 10 и разных значениях отношений температур t.
На рис. 5 представлены результаты расчётов теплового потока для разных отношений температур пластин I при разных значениях числа Кнудсена Кп и относительной скорости пластин Sw = 0,5. Из рисунка видно, что при фиксированных значениях отношений температур и скоростей пластин тепловой поток к движущей пластине в зависимости от числа Кнудсена меняет знак. Впервые этот эффект был обнаружен в [3] численно при решении задачи Куэтта методом прямого статистического моделирования. Сплошными кривыми нанесены результаты, полученные методом самоподобной интерполяции [4; 5], точками -методом прямого статистического моделирования.
Рис. 5. Зависимость теплового потока О от числа Кнудсена при относительной скорости Sw = 0,5.
Статья поступила в редакцию 13.12.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М: Наука, 1967. 440 с.
2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: Наука, 1974. 712 с.
3. Абрамов А.А., Бутковский А.В. Эффекты немонотонности и изменения знака потока энергии в переходном режиме в задаче Куэтта с теплопередачей // Механика жидкости и газа. 2010. № 1. С. 167-174.
4. Горелов С.Л. Применение метода самоподобной интерполяции к задачам динамики разреженного газа // Прикладная математика и механика. 2005. Т. 69. Вып. 3. C. 438-444.
5. Горелов С.Л., Выонг Ван Тьен. Течение Куэтта и теплопередача между параллельными пластинами в разреженном газе // Математическое моделирование. 2014. Т. 1. № 10. C. 33-46.
REFERENCES:
1. Kogan M.N. Dinamika razrezhennogo gaza [Rarefied gas dynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 440 p.
2. Shlikhting G. Teoriya pogranichnogo sloya [The theory of the boundary layer]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 712 p.
3. Abramov A.A., Butkovskii A.V. Effekty nemonotonnosti i izmeneniya znaka potoka energii v perekhodnom rezhime v zadache Kuetta s teploperedachei [Effects of non-monotonocity and change in the sign of the energy flow in the transient mode in the Couette flow problem with heat transfer] In: Mekhanika zhidkosti igaza [Fluid Dynamics], 2010, no. 1, pp. 167-174.
4. Gorelov S.L. Primenenie metoda samopodobnoi interpolyatsii k zadacham dinamiki razrezhennogo gaza [Application of the method of self-similar interpolation to the problems of rarefied gas dynamics] In: Prikladnaya matematika i mekhanika [Journal of Applied Mathematics and Mechanics], 2005, vol. 69, no. 3, pp. 438-444.
5. Gorelov S.L., Vuong Van Tien Techenie Kuetta i teploperedacha mezhdu parallel'nymi plastinami v razrezhennom gaze [Couette flow and heat transfer between parallel plates in a rarefied gas] In: Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Models and Computer Simulations], 2014, vol. 1, no. 10, pp. 33-46.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Горелов Сергей Львович - доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник Центрального аэрогидродинамического института им. профессора Н.Е. Жуковского, доцент кафедры компьютерного моделирования Московского физико-технического института (государственного университета); e-mail: gorelovsl@yandex.ru;
Выонг Ван Тьен - аспирант кафедры компьютерного моделирования Московского физико-технического института (государственного университета); e-mail: tienbom@mail.ru
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Sergey L. Gorelov - Doctor in Physical and mathematical sciences, associate professor, leading researcher at the Central Aerohydrodynamic Institute; associate professor at the Department of Computer Modeling, Moscow Institute of Physics and Technology (State University); e-mail: gorelovsl@yandex.ru;
Van Tien Vuong - postgraduate student at the Department of Computer Modeling, Moscow Institute of Physics and Technology (State University); e-mail: tienbom@mail.ru
ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ
Выонг В.Т., Горелов С.Л.. Нелинейные кинетические эффекты в задаче Куэтта в разреженном газе при переходном режиме // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2018. № 1. С. 16-22. БО!: 10.18384/2310-7251-2018-1-16-22.
FOR CITATION
V.T. Vuong, Gorelov S.L. Nonlinear kinetic effects in the Couette problem for a rarefied gas in the transition region. In: Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics. 2018. no. 1. pp. 16-22. DOI: 10.18384/2310-7251-2018-1-16-22.
