Самоподобная интерполяция в задачах динамики разреженного газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том ХЫ 2010 № 5

УДК 533.6.011.8

САМОПОДОБНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

С. Л. ГОРЕЛОВ, ЗЕЙЯР СО

Дается описание метода самоподобной интерполяции, целью которого является аппроксимация решения задачи по заданным асимптотическим представлениям различного характера на концах интервала задания искомой функции. Эффективность метода в его простейшем варианте демонстрируется на решении задач динамики разреженного газа: медленные плоские течения Куэтта и Пуазейля и гиперзвуковое обтекание тел простой формы.

Ключевые слова: самоподобная интерполяция, разреженный газ, медленные течения, аэротермодинамические характеристики тел простой формы в высокоскоростных течениях разреженного газа.

1. Самоподобная интерполяция. Уровень современной вычислительной техники дает возможность использовать многие методы аппроксимации для получения аналитических решений задач различной сложности. Во многих случаях это помогает избежать численного решения задач, требующего большого количества машинного времени. Кроме того, решение в виде формул позволяет провести анализ решения по широкому спектру параметров. Существует большое количество рациональных методов аппроксимации, среди которых можно отметить Паде-аппроксимацию или аппроксимацию полиномами Чебышева. Однако этим методам присущи некоторые недостатки: ложные полюса, длинные ряды. Большой интерес представляет новый, пока широко не распространенный метод «самоподобной интерполяции» [1, 2], позволяющий получать интерполяционные формулы, описывающие переходные явления любой природы на полубесконечных интервалах изменения параметров задачи.

Для иллюстрации применения методов самоподобной интерполяции ниже рассматривается два типа задач динамики разреженного газа в переходной области от свободномолекулярного режима течения до сплошносредного: задачи о медленных плоских течениях Куэтта и Пуазейля и задачи определения аэродинамических характеристик плоской и треугольной пластин и

теплового потока в критической точке сферического затупления при гиперзвуковом обтекании. Приводится краткое описание простейшего варианта метода. Проводится сравнение полученных результатов с известными данными.

В работах [1, 2] развит аналитический подход, позволяющий рассматривать интерполяционные задачи любой природы на основе знания лишь асимптотических выражений около границ. Большая общность этого метода заключается в том, что его можно применять в таких трудных ситуациях, когда известно всего несколько членов разложения и другие

ГОРЕЛОВ Зейяр Со

Сергей Львович аспирант МФТИ

кандидат физико-математических наук, начальник сектора ЦАГИ

методы неприменимы. Исключительность метода состоит в том, что получаемые интерполяционные формулы являются аналитическими решениями важных задач.

Пусть решение задачи дается функцией /(х), в которой переменная х изменяется в интервале [0, да). Стандартная ситуация заключается в том, что рассматриваемая физическая задача

так сложна, что трудно или невозможно найти надлежащее приближение для отыскиваемой функции во всем рассматриваемом интервале. Однако, используя теорию возмущений, часто можно получить асимптотическое разложение для малых значений переменной

где к = 0,1, 2,..., и определить асимптотическое поведение функции при большом значении переменной

Задача интерполяции состоит в том, чтобы определить поведение функции на всем интервале [ 0, да) на основании информации, содержащейся в асимптотических разложениях (1.1) и (1.2).

В простейшем варианте метод автомодельной интерполяции позволяет построить интерполяционные формулы для функций, асимптотические разложения которых на границах полубесконечного интервала представляют собой стандартные степенные ряды.

Предположим, что

/ (х) = Рк (х), (х ^ 0),

(1.1)

/(х) = Рas(х), (х ^да).

(1.2)

/ (х) = 00, х ^ 0

(1.3)

(1.4)

Построим интерполяционные формулы разных порядков.

Первый порядок. Для интерполяционной формулы первого порядка получаем:

(1.5)

Формула будет иметь вид:

Бп хп1 = А0 ха0.

Отсюда

п1 =0^ Б1 = 41 а°.

п = а

В результате, получаем формулу

/ *( х) = {аЦ а0 + < а0 х)а0,

которая дает правильную ассимптотику (1.5) как при х ^ 0, так и при х ^да .

Второй порядок. Здесь имеем

/ (х) —

о0, х ^ 0,

Ао хао + А1 ха, х ^да. В этом случае интерполяционная функция будет иметь вид:

(1.6)

/ (х) =

(О/ П1 + Сх|

V П2

В х2

п2

(1.7)

Так же, как и в первом случае, при х ^ 0 / (х) = /(х), а неизвестные «1, «2, С, Б2 находятся следующим образом. При х ^да главный член в формуле (1.7) приравнивается главному члену в (1.6), в результате получаем уравнение:

В22 х 2 — А х 0, «2 — а о /2, Б2 — А 0 .

В круглых скобках (1.7) пренебрегаем о по сравнению с Сх при х ^да, и получаем:

Л/5

« — ^ 5; С — 1 2

Ча 0

А07А1 ; у —--1; 5 —а1 -а0 + 2.

ап

Интерполяционная формула второго порядка будет иметь вид:

/ (х) — ((о02/а°(а1-а0-2) + Сх)а1 -а0+2 + В2 х2)а0/2.

Аналогично строятся интерполяционные формулы для приближений следующих порядков. Например, для приближения третьего порядка:

/ (х) —

о0, х ^ 0,

А0 ха0 + А1 ха + А2 ха2, х ^ да

и интерполяционная формула будет:

/ (х) — •

( п1 + Бх)

щ/ п2 ,

Бх) + Ех2

п2/ п3

I п3

Б3 х

2. Медленные течения разреженного газа. Основной проблемой задач динамики разреженного газа является получение решений в широком диапазоне чисел Кнудсена Кп. Чаще всего известно асимптотическое поведение решения для течений, близких к свободномолекулярному, когда число Кп ^ да . Обычно известна асимптотика и для сплошносредного режима, когда Кп ^ 0.

Рассмотрим сначала задачу Куэтта о течении разреженного газа между параллельными пластинами, которые двигаются вдоль оси х друг относительно друга с равной и противоположной по направлению скоростью. В [3] приведено интегральное уравнение для профиля скорости g (х) в этой задаче:

1/2

g(х) — /(х) + | ^(х, 5)g(s)ds,

\/П

/ (х) — -\Т0

1/2

а — х 2

- Т

а| — + х 2

(2.1)

Г2 - х

Е(х,5) —-рГ-1 (|х - 5), Тп (х) —|

0

со

В этой задаче требуется найти напряжение трения . Из [3] имеем при а^ 0

% = 1 -^а . Р

о

(2.2)

При а^да из решения уравнений Навье — Стокса с учетом скорости скольжения находим:

Рх1 =УП 2УП Р0 "а а2

(2.3)

здесь а — величина, обратно пропорциональная числу Кнудсена; Рх; — напряжение трения

в свободномолекулярном случае (а = 0).

Построим самоподобную интерполяцию разных порядков. Первый порядок:

В этом случае

Р

Р

1 а

-\/П

а

а ^да.

Р

\/П

Рх°~ л/П-

а

(2.4)

Второй порядок:

Рх

Р

1 ^/П п

1--а а^ 0,

2

л/П

а

а ^да,

Р* аТП

Р

1 + 4

а

л/П

2 Л

-1/2

а

(2.5)

Третий порядок:

Р

Р

л ТП

1--а

2

л/П 2\/П

а ^ 0,

р* аТП

Р

1 +12

>/П

аа

4

2

а^да,

((П-1)

- 1)а+6

V 2 ;

а

V 2

3 \ а3

1/3

(2.6)

Полученные результаты представлены на рис. 1. Точками показано численное решение уравнения (2.1) вариационным методом наименьших квадратов (в качестве пробной функции был выбран полином двадцатой степени). В табл. 1 сравниваются значения напряжения трения для нескольких чисел а. Максимальная ошибка интерполяции в нулевом порядке составляет 6% при а = 1, в первом порядке — 2.7% при а = 3 и во втором порядке — 0.6% при а = 3. Получается неплохая точность, хотя известно всего два члена ряда при а ^ 0, причем точность увеличивается с увеличением порядка интерполяции.

-0.5 0 0.5 1 1.5

Рис. 1. Зависимость напряжения трения от числа а: - нулевой порядок самоподобной интерполяции;---первый порядок; •••

а

- численныи расчет

Таблица 1

Сравнение расчета решения задачи Куэтта и самоподобной интерполяции разных порядков

а 0.1 0.3 1.0 3.0 5.0 10.0 30.0 100.0

Численный расчет 0.9269 0.8186 0.6 0.3596 0.2552 0.1475 0.05595 0.0175

Нулевой порядок 0.0946 0.8552 0.6393 0.3714 0.2617 0.1505 0.05578 0.0174

Первый порядок 0.9218 0.8074 0.5854 0.3439 0.2463 0.1448 0.05491 0.0173

Второй порядок 0.9244 0.817 0.6029 0.3557 0.2535 0.1472 0.05539 0.0173

Рассмотрим течение разреженного газа между двумя бесконечными параллельными неподвижными пластинами под действием малого градиента давления. В [3, 4] приведено интегральное уравнение для профиля скорости g (х) :

1/2

g(х) —1 ^(х) + -а | Т-1 (а |х - )(э)Ж, 2 ^П-1/2

5 (х)—ТП г - т

а — х 2

- т0

а — + х 2

>, Тп (х) — | Л

да 2 х

-Г —

(2.7)

Требуется вычислить расход газа:

1/2

в(а)—— [ g(х) dx .

п "

-1/2

Нетрудно получить величину расхода при а ^ 0:

д(а) —-0.451п (а) + 0.965.

Таблица 2

Сравнение результатов расчета методом последовательных приближений задачи Пуазейля и

самоподобной интерполяции

а 0.01 0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0 500.0

Работа [4] 3.05 2.033 1.62 1.54 1.99 2.77 9.37 17.69 84.36

Самоподобная интерполяция 3.04 2.066 1.56 1.47 1.92 2.72 9.36 17.69 84.35

Относительная разница, % 0.18 1.6 3.5 4.5 3.4 1.7 0.14 0.044 0.007

Асимптотика при а ^да из работы [4] имеет вид:

™ ч а лм„ 1.0653 2.1354

2(а) =—+1.0162 +----—.

6 а а2

Для построения самоподобной интерполяции оставим в этих разложениях по два члена:

в(а) =

-0.451п(а) + 0.965 а ^ 0,

^а + 1.0162 а^да. 6

(2.8)

Построим простейшую самоподобную интерполяцию в виде:

Q(а) = Ь1а - а01п

ехр

< Ь \ °0

а

-ехр

\\

1 / у

(2.9)

а0 =-0.45, а1 =0.965, Ь0 =1.0162, Ь1 =0.1667.

Отметим две особенности, отличающие интерполяционную формулу (2.9) от формул, построенных для решения задачи Куэтта (2.4) — (2.6):

1) функция Q(а) немонотонна, она имеет минимум — известный парадокс Кнудсена;

2) при а^0 функция Q(а) имеет логарифмическую особенность.

Эти особенности усложняют интерполяцию. Тем не менее, результаты расчетов по простейшей интерполяционной формуле (2.9) отличаются от результатов работы [4] незначительно. Результаты сравнения показаны в табл. 2. Там же показаны относительные отклонения результатов расчета по формуле (2.9) от данных [4]. Максимальное отклонение равно 4.5% при а = 1, т. е. в районе минимума расхода. На рис. 2 дан график функции Q(a) по формуле (2.9) (сплошная кривая). Точками нанесены значения Q(a) из [4]. Видно, что они ложатся на кривую Q(a), рассчитанную по (2.9).

35

30

25

20

15

10

5

-1 0 12 Рис. 2. Зависимость расхода Q от числа а:

расчет по интерполяционной формуле; • • последовательных приближений [3]

1д а

расчет методом

2

3. Гиперзвуковые течения разреженного газа. Основной задачей при гиперзвуковых течениях разреженного газа является расчет аэродинамических характеристик летательных аппаратов в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Принято использовать число Рейнольдса

Re^ _ р<» ю n , где рю, ию — плотность и скорость набегающего потока, ц — коэффициент

l4To )

динамической вязкости, То — температура торможения. Кроме того, принципиальное значение имеет оценка теплового потока в критических точках.

Рассмотрим задачу гиперзвукового обтекания треугольной пластины под углом атаки. Эта задача имеет большое значение, так как спускаемые аппараты типа Буран в плане имеют вид, близкий к треугольной пластине, и результаты расчета обтекания треугольной пластины могут служить для оценки аэродинамических характеристик аппаратов такого типа.

Аэродинамические характеристики гиперзвуковых летательных аппаратов в связи с сильным влиянием вязкости зависят от многих параметров и их очень сложно рассчитать. Достаточно точный расчет обтекания тел сложной формы при Reo сопряжен с большими трудностями, связанными с адекватной постановкой задачи и созданием соответствующих математических моделей. В работе [5] на основе теории вязкого взаимодействия пограничного слоя с невязким потоком получены простые формулы для вязких поправок к коэффициентам давления, трения и теплоотдачи плоской пластины под углом атаки в широком диапазоне параметров подобия. Для расчета давления в основном порядке использованы формула Ньютона, методы касательных клиньев и конусов. Использование теории полос и гипотезы локальности позволяют проводить детальные расчеты тел типа крыла. Полные коэффициенты аэродинамических сил складываются из коэффициентов для невязкого случая cx ю, cyю и дополнительных коэффициентов, возникающих из-за влияния вязкости. Тогда для этих коэффициентов можно записать:

Су

Cx=Cx-+vRer Су=Сую+тй

Формулы для вычисления cx ^, cx., Су ^, Су. можно найти в [5].

При определении аэродинамических характеристик для случая Re0 ^ 0 необходимо привлекать динамику разреженного газа, в частности, расчеты свободномолекулярных течений и теорию первых столкновений [3]. Коэффициенты сопротивления СХо и подъемной силы Суо

в свободномолекулярном случае вычисляются аналитически.

Определение поведения различных характеристик в переходной области вызывает серьезные затруднения. При числе Рейнольдса порядка 1 — 100, в основном, применяется метод прямого статистического моделирования. Для тестирования приближенных методов были использованы расчеты [6, 7]. Использование метода самоподобной интерполяции первого порядка позволяет получить достаточно простые выражения для решения в промежуточной области. Так для коэффициента сопротивления можно записать:

_1_

^ - СХШ )"2 + Re0 С-2

На рис. 3, 4 приведены графики для коэффициентов сопротивления сх плоской и треугольной пластин соответственно в сравнении с расчетами методом Б8МС.

Важнейшей задачей прикладной аэротермодинамики больших сверхзвуковых скоростей является исследование теплообмена в окрестности критической точки, где реализуются максимальные величины тепловых потоков. Для расчета тепловых потоков в режиме разреженного газа используется метод прямого статистического моделирования решения кинетического уравнения

1

сх

0.8 \ a=30°

0.6

0.4 a= 15° —-

0.2 ~ lgRe0

-1 0 12 3 4 5

Рис. 3. Коэффициент сопротивления плоской пластины (М = 10, ^ = 0.05):

---самоподобная интерполяция; ••• — расчет методом Б8МС [5]

1дБ.е0

-1 0 12 3 4 5

Рис. 4. Коэффициент сопротивления треугольной пластины ( Мш = 10, а = 15°, Гш = 200 К, ^ = 0.03):

---самоподобная интерполяция; ••• — расчет методом Б8МС [6]

Больцмана (Монте-Карло) [8], в режиме сплошной среды широко применяются расчеты в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя [9]. Отметим, что численные решения крайне сложны и для оценок тепловых потоков широко используются различные аппроксимационные зависимости (например, [9]). Для представления данных по теплообмену часто используется число Стантона:

St =

q

Р»"» (h0 - К )

где q — тепловой поток, h), hw — полная энтальпия потока в условиях торможения и при температуре стенки в рассматриваемой точке. В области применимости теории пограничного слоя с хорошей точностью можно принять, что S^Rc0 зависит лишь от температурного фактора. Так, например, при малых температурных факторах (холодная стенка) в области применимости теории пограничного слоя St^Rc 0 = const« 2 [9]. Использование самоподобной интерполяции в этом случае приводит к простым формулам.

St

0.8

0.6 \

0.4 \

0.2 lgRe0

-1 0 1 2 3 4 5

Рис. 5. Тепловой поток в критической точке сферы: ---[8];----самоподобная интерполяция; ••• — расчет методом DSMC [7]

Обозначая число Стантона в свободномолекулярном случае St0, а в сплошной среде Stro [10] и используя зависимость [9] для случая Reo ^ го , получаем:

Г Sto Reo ^ 0,

St Ч 0 ,- 0 (3.3)

[Stго /VRe0 Re0

В первом порядке самоподобной интерполяции имеем

St = (St-2 + Re0 St ГО2 )-1/2. (3.4)

На рис. 5 приведены графики зависимости числа Стантона от Re0, рассчитанные по формулам из [9] и (3.4). Кроме того, точками нанесены результаты расчетов [8]. Отметим, что разница этих данных не превышает 10%.

Заключение. Рассмотрен ряд задач динамики разреженного газа (задача Куэтта, задача Пуа-зейля, обтекание треугольного крыла), для которого были известны асимптотические решения в граничных точках полубесконечного интервала. Для получения решения во всей области использованы самоподобные аппроксимации различных порядков. Для проверки точности были получены численные решения для промежуточных значений параметров. Сравнение показывает довольно высокую точность полученных аналитических формул. Из этого следует, что подобные методы можно использовать для экономии вычислительных средств в ряде практически важных задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gluzman S., Yukalov V. I. Unified approach to crossover phenomena // Physical review. 1998. V. 58, № 4.

2. Горелов С. Л. Применение метода самоподобной интерполяции к задачам динамики разреженного газа // ПММ. 2005. Т. 69, вып. 3.

3. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. — М.: Наука, 1967.

4. Lo S. S., Loyalka S. K. An efficient computation of near-continuum rarefied gas flows // ZAMP. 1982. V. 33, № 3.

5. Николаев В. С. Аппроксимационные формулы для аэродинамических коэффициентов плоской пластины в широком диапазоне параметров подобия // Ученые записки ЦАГИ. 1979. Т. X, № 4.

6. Горелов С. Л., Ерофеев А. И. Особенности обтекания пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа // Труды ЦАГИ. 1981, вып. 2111.

7. Горелов С. Л., Ерофеев А. И. Пространственное обтекание тел простой формы разреженным газом // Труды ЦАГИ. 1985, вып. 2269.

8. Горелов С. Л., Русаков С. В. Физико-химическая модель гиперзвукового обтекания тел разреженным газом // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 3.

9. Ботин А. В., Провоторов В. П., Рябов В. В., Степанов Э. А. Теплообмен в окрестности пространственной критической точки неравновесного вязкого ударного слоя при произвольной каталитической активности поверхности // Труды ЦАГИ. 1993, вып. 2514.

10. Фэй Д. А., Риддел Ф. Р. Теоретический анализ теплообмена в передней критической точке, омываемой диссоциированным воздухом / В кн.: Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. — М.: ИЛ, 1962.

Рукопись поступила 26/12010 г.