CC BY
56
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ
Т о м II 197 1
М 6
УДК 533.6.011.8
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОГО ПОТОКА ПЕРЕД ВЫПУКЛЫМИ И ВОГНУТЫМИ ТЕЛАМИ
М. А. Закиров
Выведены формулы и дано описание метода Монте-Карло для расчета плотности, средней скорости, температуры, полной и тепловой энергии, компонент тензоров количества движения и напряжения свободномолекулярного потока газа перед выпуклыми и вогнутыми телами.
При рассмотрении условий полета тел в верхних слоях атмосферы наряду с задачами определения аэродинамических характеристик тел [1—9] возникают задачи определения возмущений газодинамических параметров в окрестности тел, обтекаемых свободномолекулярным потоком [10—13, 16, 17]. Знание этих параметров необходимо также при решении уравнения Больцмана методом последовательных приближений, когда поле свободномолекулярного течения принимается за исходное.
Плотность газа в окрестности сферы и конуса рассчитана при диффузном и зеркальном отражении частиц от поверхности [10—13, 16, 17]. Средняя скорость частиц на оси перед конусом определена при диффузном отражении частиц от поверхности [12].
В настоящей статье для случая диффузного отражения частиц от поверхностей круглой пластины, конуса, цилиндра, сферы, вогнутых полусферы и полуцилиндра выведены формулы для расчета параметров газа — плотности, средней скорости, температуры, потоков полной и тепловой энергии, компонент тензоров количества движения и напряжения по оси симметрии перед этими телами. Для случая обтекания полусферы и конуса с вогнутой стороны были проведены также расчеты методом Монте-Кардо. При решении задачи принято, что длина цилиндров бесконечна, температура отраженных частиц газа Tr = const, число М набегающего потока газа М> 1.
Постановка задачи. Решение интегрального уравнения для потока частиц, при обтекании произвольного элемента сферы с произвольным вектором . Рассмотрим обтекание круглой пластины, сферы, цилиндра, полусферы, полуцилиндра и конуса с полууглом раствора (3 свободномолекулярным потоком, имеющим скорость V00, Схемы обтекания и соответствующие системы координат показаны на фиг. 1. Рассматривалось обтекание полого конуса с выпуклой и вогнутой сторон, причем ось симметрии х была направлена противоположно а точка О отсчета находилась в основании конуса. Радиусы основания конуса, сферических и цилиндрических поверхностей равны единице.
Функции распределения частиц, пролетающих в окрестности точки х, равны:
I-з
f = /оо = «00 (-^г)3/2 еХР ~А0О £ & - Voo iH . *1 6 Йо= .
' ' L i—\ J
3/2
/ = fr = nr ^ ) exp & )’ € Q-
(1)
Здесь — максвелловская функция распределения частиц, летящих из бесконечности;
/г— функция распределения частиц, летящих от поверхности; п, Т, т — плотность, температура и масса частиц газа;
£2^, й — телесные углы, в пределах которых частицы летят в точку х из бесконечности и от тела;
т _ т
‘оо~ 2k Т
hr-
2kTr ’
индексами со, г отмечены значения переменных для невозмущенного потока и частиц, отраженных от поверхности.
Функция fr зависит от пг и Тг. Будем считать, что Tr = const и известна. В случае полной аккомодации частиц Тг равна температуре поверхности Tw. Плотность пг найдем, приравнивая потоки падающих частиц N и отраженных
частиц: пг = 2 J^nA^N. Для выпуклых тел
Л/
2,0
15
J.0
Г / Яруг/гая пластина 1 і/
о
JS—1—| 10 j:
Сфера а цилиндр
N 1/
тН—-
і V [V х
с Полусфера и полуцилиндр —
5\
(] У
1
VJ 0 <2
Т
н. Л ^
ч
ЧЧ
-=
0 2 4 S 8 х
Фиг. 1
при V^»
N = "оо V<x> sin “м
где ам — локальный угол атаки.
Для вогнутых тел величина N определяется при решении интегрального уравнения типа Фредгольма второго рода [1—3]:
N = (*,) + J N (х2) a (xh х2) dA2, |
О (хь Jf2)
(2)
где йА2 — элемент площади поверхности; 01 и 62—углы между линией, соединяющей точки Щ и М2, и нормалями щ и п2 к поверхности в точках М1 и Мъ соответственно; г12—расстояние можду точками и М2.
Решение уравнения (2) получено при Цао > 1 для сферического сегмента и бесконечного вогнутого цилиндра [3-6, 9].
Отметим, что ввиду чрезвычайно простого вида ядра уравнения (2) для сферы О (хь х2) = — (4л/?2)-1, легко можно получить решение (2) для произвольного сферического элемента, обтекаемого с произвольной скоростью 7<»:
Л/ = ЛГ- Ч- А"*
где Na) и ЛГ* — количества частиц, падающих из бесконечности в единицу времени на единицу площади и на всю вогнутую часть произвольного сферического элемента радиусом /?; 5* — площадь поверхности сферического элемента.
J30
При допущениях, принятых здесь, для полусферы
п, = 2 Уп пкj hlJ'■ (cos 0 + 0,5),
для полуцилиндра [1, 6, 9]
пг= 2 УН пт h]!2 |--9- + 0,5 ) .
Для конуса ом = р, для сферы и цилиндра введем угол в между и внутренней нормалью, для полусферы и полуцилиндра — угол 8 между и внешней нормалью к поверхности, причем ом = я/2 — 0.
Элемент телесного угла, входящий в выражение (1), равен: для конуса, сферы и полусферы
dQ = sin ф d’bdf, tpf (0, 2тс), (0, А2)>
где «р—ь долгота, отсчитываемая вокруг оси Ох, ф — угол между (—Ох) и вектором, проведенным из точки х в точку поверхности; для цилиндра и полуцилиндра
dQ = sin tdedty, е 6 (0, 7с), ф 6 (— фг. Фг).
где е — полярное расстояние, отсчитываемое от прямой, проходящей через точку х параллельно образующей цилиндра, ф — долгота.
Связь между углами б и ф получается следующей:
COS 0 = + X sin2 4* + COS ф у 1 — Х2 sin5
здесь .плюс' соответствует сфере и цилиндру, а „минус" полусфере и полуцилиндру.
Расчет газодинамических параметров вдоль оси Ох. Газодинамические параметры являются моментами функции распределения и рассчитываются по формулам:
плотность газа п(х)
пХ (•*> = поо П1’ "х = ЇГ //*& = 1 + / я S, 1- sr = Voo h'h (3)
00 *
средняя скорость частиц Vx(x) вдоль оси Ох
' ;(4)
К <х) М = А»'* К (X). П ,Х) = | Пх di = ^ (- 1 + 2 /Сх 2), 5^ = ^ |
температура газа Т(х)
, , , 4-+S-> + V*S7'K, 1 2V‘x\X)
= --------------5-^; (5)
%
поток полной кинетической энергии Ех(х) вдоль оси Ох
ПОВ тПпс , Яоп Г
рх (X) W =----------------2-------Е* М> Е* (X) = — J 52 аг = S<
00
5 , \ 4 Т.
Т+^Н-Т^^г
;(б)
тепловой поток qx (х) вдоль оси Ох
noamhKh ■ , hK Г - -
Ух (X) (■*) — 2 Ух (X)’ Ух (\) п J (’ (^х Vg) fdi =
— Ех(\) — vx(\) ^2/>д-л:(Х) + 2 +5a + 3S°o’y/ ~Т^ 2
(7)
компонента тензора напряжений Р'хх
Кх (X) = («00 «А»1 г1 * / & - УхУ» М = Аґ„ (М - пх (8)
компонента тензора потока количества движения Мхх
мхх ,Х) = («00 г1 *■/ =■ 4- + ^ + 3 5” \/~ % • <9>
Входящие в выражения (3) — (9) интегралы Кц — АГХ з рассчитываются по формулам:
для конуса при обтекании с выпуклой стороны (Х=1)
Sin3 фп 1 — COS3 ф.
Кп = Sin Э (1 — совфг), /Ci2~=sinp—2“, /Ci3*=sinp------------------------3-,
sin ф2 = (1 + д:2)_,/*, cos ф2 = х (1 + х2)~‘!* ; для сферы (Л = 2)
[ 1 — cos8 ф21 1
(t - cos ф8) ---------3—^j +ш,
1 Г 2х — (х* — 1) 1„ “ту
^22 = |_ * "І" х (■** — 1) ' 4 . ’
1 /jfl-1)‘/.
(10)
8іпф2 = —, совф2
для полусферы (X = 3)
1Г 1 — Sin* ф, 1
_K3i (0,5 — х) (1 — cos ф2) + -3- \х (1 - cos3 ф2) +-------------------I,
К& = \- |sin* ф2 (1 — х sin* ф2) + -р- |ж — sin* ф2 cos2 ф2 + ~~2~~ (х ~ cos2 h —
- (дс* — 1) In ) }> ^33 = [(”5” — (' cos3 W ~X*~ ^п3 +
-f,-g-[ X(l — cos5 Фа) + 0 — ein®^] > Sin ф2 = (1-f •**)_,/*. cos фа = xsin фа;
для цилиндра (X = 4)
, sin 2 фа .
2 1 1/1 *\
*« = x n +2x’ — (^3jc* + Et) ’
6
фі J
фі=0
__x_(. 8іп4ф2\ 1 — 1/4 x*
4 / + 3 х
* /• _________________ 1 /х2 1) ”*
— J cos* ф к 1 — ■** sin* ф Йф, sin фа = — , COS ф2 =------------------------------- -------
у''
Vj.
■Ш
У*
Фиг. 4
К
V V
Л\
\\ У
/У V
л л \
/ / \ л
/ / \ \ \
1 / V
/0 / N \ г*\
к \ \
N
( \
//
ї /
м У
г 1
.А
0 2 9 6 8 г
для полуцилиндра (X = 5)
К,
и.
Зх
: 4 я 12х*
сое
3 / = 5~ыс [
І-//?*
-2Ф3]
8ІП ф2
+
'к
3 ) + ' 4—1
, віп 4 ф2 \
2тос I “ 4 1+2 - 4 +
4
~г( 2 +
2 -Фа) (1_4^) + віп 2 ф2
віп* ф2 э1п 2фг~|
ФгН"
4лг2
■
3 те
Е*2= ^ сов* ф У 1 —Xі віп* ф (ІХ,
Фі=о
яіп ф2 = (1 + х2)~>/г, сов ф2 = л: (1 + -*2)'
При х> 1 можно получить Ег Е2=~^с ■
фИГ 0 В табл. 1 и 2 и на фиг. 1—6 приведены
значения функций и параметров е\, Е%, «XV К\2< Км- У'х&у ч'х(ку К при 5оо=10> 7’г/7'оо = 0-4 Ддя различных значений х, причем за положительное направление отсчета Ух^ц на фиг. 4 принято
направление Уау. Таблица!
X X X X Е* С1 X
1.1 0,6293 2,9 0,2667 4,7 0,1662 6,5 0,1205 8,3 0,0945
1.2 0,5911 3,0 0,2581 4,8 0,1627 6,6 0,1187 8,4 0,0933
1,3 0,5553 3,1 0,2500 4,9 0,1594 6,7 0,1169 8,5 0,0922
1,4 0,5225 3,2 0,2424 5,0 0,1563 6.8 0,1152 8,6 0,0912
1.5 0,4926 3,3 0,2352 5,1 0,1533 6,9 0,1135 8,7 0,0901
1,6 0,4656 3,4 0,2285 5,2 0,1503 7,0 0,1119 8,8 0,0891
3,7 0,4410 3,5 0,2221 5,3 0,1475 7.1 0,1103 8,9 0,0881
1,8 0,4188 3,6 0,2160 5,4 0,1448 7,2 0,1088 9,0 0,0871
1.9 0,3985 3,7 0,2103 5,5 0,1422 7,3 0,1073 9.1 ’ 0.0862
2,0 0,3800 3,8 0,2049 5,6 0,1397 7,4 0,1059 9,2 0,0852
2,1 0,3631 3,9 0,1997 5,7 0,1373 7,5 0,1045 9,3 0,0843
2,2 0,3475 4,0 0,1948 5,8 0,1349 7.6 0,1031 9.4 0,0834
2,3 0,3332 4,1 0,1901 5,9 0,1326 7.7 0,1018 9,5 0,0826
2,4 0,3200 4,2 0,1857 6,0 0,1304 7,8 0,1005 9,6 0,0817
2,5 0,3077 4’3 0,1814 6,1 0,1283 7,9 0,0992 9,7 0,0809
2,6 0,2964 4,4 0,1773 6,2 0,1263 8,0 0.0980 9,8 0,0800
2,7 0,2858 4,5 0,1734 6,3 0,1243 8,1 0.0968 9,9 0,0792
2,8 0,2760 4,6 0,1697 6,4 0,1223 8,2 0,0956 10,0 0,0784
X Е* 2 X 4 X Е* X X £*2
— 1,0 0,7441 1,3 0,5065 3,5 0,2201 5,7 0,1370 7,9 0,0991
-0,9 0,7698 1,4 0,4819 3.6 0.2143 5.8 0,1346 8,0 0,0979
-0,8 0,7830 1,5 0,4589 3,7 0,2087 5,9 0,1324 8,1 0,0967
-0,7 0,7887 1,6 0,4375 3,8 0,2035 6,0 0,1302 8,2 0,0955
—0,6 0,7897 1.7 0,4176 3,9 0,1984 6,1 0,1281 8,3 0,0944
-0,5 0,7881 1,8 0,3991 4,0 0,1936 6,2 0,1260 8,4 0,0933
-0,4 0,7858 1,9 0,3819 4,1 0,1891 6,3 0,1241 8,5 0,0922
—0,3 0,7842 2,0 0,3660 4,2 0,1847 6,4 0,1222 8,6 0,0911
-0,2 0,7839 2,1 0,3511 4,3 0,1805 6,5 0,1203 8,7 0,0901
—0,1 0,7847 2.2 0,3373 4,4 0,1765 6,6 0,1185 8.8 0,0890
0,1 0,7841 2.3 0,3244 4,5 0,1727 6,7 0,1167 8.9 0,0881
0,2 0,7790 2,4 0,3124 4,6 0,1690 6,8 0,1150 9,0 0,0871
0,3 0,7687 2.5 0,3012 4,7 0,1655 6,9 0,1134 9.1 0,0861
0,4 0,7529 2,6 0,2906 4,8 0,1621 7,0 0,1118 9,2 0,0852
0,5 0.7319 2,7 0,2808 4,9 0.1589 7.1 0,1102 9.3 0,0843
0,6 0,7068 2,8 0,2715 5,0 0.1558 7.2 0,1087 9,4 0,0834
0,7 0,6788 2,9 0,2629 5,1 0,1528 7,3 0,1072 9,5 0,0825
0,8 0,6492 3,0 0,2547 5,2 0,1499 7,4 0,1058 9.6 0,0817
0,9 0,6191 3,1 0,2470 5,3 0,1471 7.5 0,1044 9.7 0,0808
1,0 0,5893 3,2 0,2397 5,4 0,1444 7,6 0,1030 9.8 0,0800
1,1 0,5603 3,3 0,2328 5,5 0,1419 7,7 0,1017 9,9 0,0792
1,2 0.5327 3,4 0,2263 5,6 0,1394 7,8 0,1004 10,0 0,0784
Применение метода Монте-Карло для определения параметров свободномолекулярного течения около тел сложной формы. Для определения газодинамических параметров в окрестности тел необходимо знать функцию распределения отраженных частиц /г, для нахождения которой в общем случае необходимо решить систему интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода [1—3]. Другой путь состоит в применении метода Монте-Карло [14], который уже использовался при расчете аэродинамических характеристик тел [8, 15, 16]. Для исследования газодинамических параметров по полю внутренних и внешних свободномолекулярных течений около тел сложной формы автором настоящей статьи была составлена универсальная программа на основе метода Монте-Карло.
Задача расчета средних значений газодинамических параметров методом Монте-Карло решалась следующим образом. Обтекаемое тело окружалось условной поверхностью, с которой производился розыгрыш случайных координат старта и компонент вектора скорости частиц, летящих из бесконечности. Эта поверхность, называемая в дальнейшем контрольной, была выбрана в форме параллелепипеда. Затем находились координаты точки пересечения прямолинейной траектории частицы с поверхностью и производился розыгрыш компонент скорости отраженных частиц в соответствии с заданным законом отражения частиц от поверхности [8], и так далее, до вылета частицы в бесконечность.
Рассмотрим в потоке плоскую формальную поверхность, которая будет служить для фиксирования параметров газа и не будет влиять на траекторию частиц. Пусть 5^ — площадь формальной поверхности, X—ее номер. Рассмотрим потоки признака <р, переносимые частицами через формальную поверхность С внешней стороны [индекс „ + (£+у-Я/)>0] и с внутренней стороны [ин-
декс , — *, (£_/Л/Х0]. Здесь П]— компоненты скорости частиц и орта внутренней нормали к поверхности по осям системы координат ¥у;- (/=1, 2, 3), связанной с 5Х.
Пусть / — функция распределения частиц в окрестности Среднее значение потока величины <р, переносимого молекулами через поверхность выражается формулой
| | */<?+.,»!/) Г | ?/(£_,-л;) Л?х<й/] =
5Х (5+/лу-)>0 ^(^/«уХО
»-)• <«>
|1=1 |Х= 1
Здесь В — N(4^ Кде)-1, а N к Np— поток частиц в единицу времени и число разыгранных частиц, проходящих через контрольную поверхность. Правая часть уравнения (11) состоит из двух слагаемых — сумм признака <р, переносимых частицами с внешней и с внутренней * стороны поверхности 5Х, при
розыгрыше всех ц= 1 -т-Мр траекторий частиц.
С помощью формулы (11) получим выражения для средних значений газодинамических параметров в окрестности
плотность частиц, отнесенная к яа, при <р = (5^ п;)~1
»-=лгр р.=Лр
"х = л—= [X (6+;Я/Г‘ X (г-уПуГ1! • В^ВУ^М-1;
50 (1=1 11=1
компоненты средней скорости, отнесенные к (Л^)-‘/а, при <р = (£±/- лу)~!
\LZzNp Р-=МР
ууа) = а» = в*(5х«аГ’ { Ц[^+/яуГ1]-Е
111=1 11-1 }
в^в^г, .
-1
температура газа, отнесенная к , при <р = £а(5±у яД
т'х = щ т„ = [(«; 5,)-1 (г+х, + г_Хф) - к;»],
|“=ЛГр
±Вз X 52 <£±у л^_1 > * = в* *»• к = І (X) I;
Р=1
компоненты тензора потока количества движения при <р = 5у(5±улу)—1
Чмм = ^ву(Х)(Пооть-'г1 = в3 V [ 2 Му(5+^уГ1- 2 ];
ц=1 11=1
компоненты тензора напряжений
РЧ (X)= МЧ (X) ~ лх ^ а (X) У у (X) >
компоненты вектора полной энергии при у = £5 (5±/я/) 1
1 р-—Мр
Е'/ы = Ет(т-лооСЛ) = в^Г1 [ 2 -
4 ■ ' (1=1 (1=ЛГр
- 2 52 £_/ (5_/ «у)-1 ] • В< = В3^ ;
^ = 1
компоненты вектора тепловой энергии
9У (X) = (X) — 2 1/1 5 (X) р&] (X) ^ У (X) (г+х, +• Т-Х*) 5Х 1 •
На фиг. 7 приведена взятая из работы [10] кривая плотности п' перед сферой радиусом /? = 1 при зеркальном отражении частиц от поверхности. Там же приведены результаты расчета п' методом Монте-Карло. Поверхности моделировались круглыми пластинами радиусом /? = 0,3, удаленными от центра сферы на расстояния х = 1,01; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0 и установленными перпендикулярно оси х, параллельной (— 1^,) (см. фиг. 1).
При учете больших градиентов п' перед сферой и размеров результаты работы [10] хорошо совпадают с полученными методом Монте-Карло. Погрешность составляет 3—5%.
Методом Монте-Карло были также рассчитаны газодинамические параметры перед полусферой и вогнутым конусом с полууглом при вершине Р — 45° при = 10, 7'г/Тж = 0,4.
■Формальные поверхности^ 5^ в форме круга радиусом Я. = 0,3, перпендикулярные оси х, были расположены на расстояниях х= —
—0,5; 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0, допол-
нительные поверхности для полусферы — на расстоянии х = 0,95 (/? = 0,3), и для конуса — на расстоянии х = — 0,9 (^? = 0,1) (в скобках указан радиус поверхности 5Х). Из фиг. 1 и 4—6 видно хорошее совпадение теоретических результатов для полусферы с результатами, полученными методом Монте-Карло (полутемные кружочки). Для вогнутого конуса на фиг. 1 и 4—6 показан диапазон разброса (светлые кружочки) параметров, полученных при применении различных датчиков случайных чисел. Видно, что разброс достигает 5%, а в некоторых точках и больше.
Анализ результатов. Газодинамические параметры перед телами при диффузном отражении частиц зависят от температуры отраженного газа, скорости потока и координаты х.
Поведение газодинамических параметров перед телами зависит от протяженности тел в поперечном направлении. Результаты для цилиндров сильно отличаются от результатов для круглой пластины, сферы, полусферы и конуса, радиус миделя которых /?=1. При ^>1,5 перед цилиндрами величины п'х, | дх (Х) | больше, а | Ух (Х) | меньше, чем перед остальными телами. Величины перед цилиндрами при 1,5 <.*<5,5 меньше, а при х >7 больше, чем перед другими телами.
Различие всех параметров перед пластиной и полусферой при лг>0 невелико. При *=0 параметры перед пластиной, полусферой и полуцилиндром равны примерно между собой и соответствующим параметрам перед сферой и цилиндром при х= \ (различие примерно 1И).
Плотность частиц достигает максимума (значительно большего для вогнутых тел) на поверхности. При х = — 1 для полуцилиндра плотность ниже, чем для полусферы, так как в первом случае вероятность вылета частицы из вогнутой части выше. При х — 0 плотности перед полусферой и пластиной п1—п3 —
— 1 -}- У rcSr, а перед полуцилиндром плотность несколько ниже и равна я5 = 1
+ Yл ^0,5 + -jjrj S,. Значения п' перед пластиной, полусферой и вогнутым
кднусом практически совпадают при Для плотности частиц в угловой
точке конуса при обтекании с вогнутой стороны получена формула
п' = 1 -f- У я Sr (1 + cos Р) sin-2 р,
из которой видно, что плотность частиц в угловой точке конуса при уменьшении f) резко возрастает.
Значения средней скорости частиц на расстояниях от х ——1 до х = 0,25 для полусферы и полуцилиндра положительны, причем большие значения относятся к полусфере. На поверхностях тел V=0.
Температура Гх перед телами сначала достигает значительного максимума Гх 20, а затем убывает. Максимум для круглых тел достигается при л: = 3-4-4 для цилиндров — на значительно больших расстояниях (х >10).
Тепловой поток для круглых тел до расстояния х х 3,5 -+• 4,0 отрицателен (направлен к телу), затем, становясь положительным, достигает максимума и убывает до нуля (значение в равновесном потоке).
Полученные результаты хорошо согласуются с данными работ [10—13, 16, 17]. Формулы для п' и Vx, выведенные в работе [12] для конуса, и формулы для пг в работе [16] для сферы совпадают с приведенными выше. Результаты численного расчета п' перед конусом (р = 25°), изложенные в статье [11], хорошо согласуются с данными расчета по формулам (3) и (10).
Выше анализировались параметры по оси х. Для наиболее интересных
-* Я
случаев сферы и полусферы значения п' по оси z, составляющей угол ц<С“2~
с осью х и проходящей через центр сферы, выражаются при z<sin V формулами:
для сферы
п' = 1 -(- V *Sr cos (г), (12)
71
ДЛЯ полусферы при [X ф ~Y
<Ь я
п' — 1 тс-1''* S, I i (C0S9 cos [х -f- sin 0 sin |a cos f + 0,5) sin fydpdy,
<p—0 cp=0
sfl + A2 - 1 ,------------
cos '|2 = —2~kz----’ cos ® = — z sin2 ^ cos ^ ' 1 — sin2 ф .
k = [ 1 + г2 — 2 г sin fA cos ? (cos2 jj. + sin2 cos <p)_1/l ]'/а; я
ДЛЯ полусферы при (1 = -?j-
К
~2~ + J sin2 ф У I — z‘2 sin2 ф dip ) . (13у
о '
Из формулы (13) видно, что п' в основании полусферы достигает максимума в центре (точка 0) и убывает к краям, достигая на кромке г = + 1 минимума
У я 5,
п' = 1 + —2------■ Формула (12) совпадает с формулой, приведенной в статье [16]-
• Автор приносит искреннюю благодарность М. Н. Когану, В. С. Галкину и В. А. Перепухову за внимание к работе и ценные замечания. *
я' = 1+(*Г‘/а<Ц
ЛИТЕРАТУРА
1. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука",
1967.
2. Аэродинамика разреженных газов. Сб. под ред. С. В. Валлан-дера. № 1, 1963.; № 2, 1965; № 3, 1967.; № 4, 1969. Л., Изд. ЛГУ.
3. Л а р и ш Э. Аэродинамическое взаимодействие при свободномолекулярном обтекании. Изв. АН СССР—„Механика и машиностроение”, 1960, № 3.
4. С h a h i п е М. Т. Free molecule flow over nonconvex surfaces. Rarefied Gas Dynamics. Proc.- Second Internat. Symposium on Rarefied Gas Dynamics. N. Y. — L., 1961.
5. Pratt M. J. Concave surfaces in free molecule flow. AIAA. J., vol. 1, No 7, 1963.
6. Sparrow E. W., Jonsson V. K-, Lundgreen T. S., Chen T. S. Heat transfer and forces for free molecule flow on a concave cylindrical surface. J. Heat Transfer, 86, No 1, 1964.
7. Галкин В. С. Определение моментов и сил, действующих на вращающиеся тела в свободномолекулярном потоке и в потоке света. „Инженерный журнал*, т. 5, вып. 5, 1965.
8. Богачева А. А., Перепухов В. А., Рухман Э. Е. При-
менение метода Монте-Карло к расчету аэродинамических характеристик тел сложной формы в свободномолекулярном потоке. „Журн. вычислит, матем. и матем. физ.“, т. 8, № 6, 1968.
9. S t е w а г t J. D. Free-molecular drag for flow along a concave
cylindrical surface. AIAA J., vol. 7, No 8, 1969.
10. А л ь п e p т Я. Л., Гуревич А. В., П и т a e в с к и й Л. П.
Искусственные спутники в разреженной плазме. М., .Наука*, 1964.
11. Ларина И. Н. Поле плотности вокруг конуса в свободномолекулярном потоке. Изв. АН СССР —МЖГ, 1968, № 4.
12. Elliott J. R., Rasmussen М. L. Free-molecule flow past a cone. AIAA J., vol. 7, No 1, 1969.
13. Sentman L. H„ Karamcheti K. Rarefied flow past a sphere. AIAA J., vol. 7, No 1, 1969.
14. Бусленко H. Б. и др. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). М., Физматгиз, 1962.
15. К о г а н М. Н., Д е г т я р е в Л. М. О расчетах течений при
больших числах Кнудсена. Astron. Acta, II, No 1, 1965.
16. Перепухов В. А. Аэродинамические характеристики
сферы и затупленного конуса в потоке сильно разреженного газа. „Журн. вычислит, матем. и матем. физ.“, т. 7, № 2, 1967.
17. Probstein R. F. Shock wave and flow field development
in hypersonic re-entry. ARS J., vol. 31, No 2, 1961.
Рукопись поступила 27jIV 1971
