CC BY
41
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том VI 1975 №4
УДК 533.6.011.8
ОБ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ НЕКОТОРЫХ СЛОЖНЫХ ТЕЛ В СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОМ ПОТОКЕ
М. А. Закиров
Исследуется влияние формы вогнутых тел на величину коэффициента сопротивления. Проведен анализ задачи о существовании формы тела минимального сопротивления в классе вогнутых тел. Предложены приближенные формулы для расчета аэродинамических коэффициентов крылатых осесимметричных тел. Доказано, что центр давления одного класса тел, поверхность которых обладает центральной симметрией, совпадает с центром симметрии.
Задача исследования обтекания вогнутых тел свободномолекулярным потоком, состоящая в решении сложных интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода с симметричным ядром [1], аналитически решена только для вогнутых сферических и цилиндрических поверхностей [2, 3]. Для более сложных тел применяются численные методы [4, 5] или же метод Монте-Карло [6, 7]. Здесь приведены некоторые результаты исследования обтекания вогнутых тел сложной формы методом Монте-Карло с помощью универсальной методики [7].
В статье применяются следующие обозначения, совпадающие с обозначениями работы [7]: Т^, Л~1/2 —средняя скорость, температура и наиболее ве-
роятная скорость в максвелловской функции распределения скоростей частиц набегающего потока газа; Т— — температура поверхности; X— связанные с телом оси; 1—проекции Удд на оса X XI', с^ —коэффициенты сил в скоростных осях;
с,-, Ш{ — коэффициенты сил и моментов относительно связанных осей; Мр— число разыгранных частиц; — коэффициент кратности отражения частиц от вогнутой поверхности; <1т и — характерные размер и площадь тела; 5^ =
5^ = 5,^ Т^2 Т~*12. Нижние индексы у аэродинамических коэффициентов обозначают: / — суммарные коэффициенты; +/, —г и п — коэффициенты, получающиеся при учете только первого столкновения частиц, летящих из бесконечности, при учете только первого отражения частиц и при учете второго столкновения и отражения и т. д. до вылета частицы в бесконечность.
Влияние вогнутости поверхности тела на коэффициент сопротивления. При диффузионном отражении частиц от поверхности проведено исследование значений коэффициента сопротивления для вогнутых тел двух типов: тела с вогнутостью в центре (полусфера, полуцилиндр, полые клин и конус); тела с вогнутостью по периферии (например, осесимметричное тело с „юбкой“ в хвостовой части).
Анализ значений коэффициента сопротивления, полученных для вогнутых сферических и цилиндрических сегментов [2, 3], для полого конуса [8], а также результаты расчетов для полого клина, конечного удлинения, проведенные в данной работе, показывают, что для тел первого типа при обтекании их потоком с
Vо,, направленным по оси симметрии в вогнутую сторону (для этого случая угол атаки а = 0), коэффициент сопротивления за счет кратных отражений имеет положительный знак (приводит к увеличению сопротивления), причем суммарный
коэффициент сопротивления этих тел при а = 180° (обтекание с выпуклой стороны) меньше, чем при а = 0. Для тел второго типа при а = 0 (в этом случае .юбка' в хвостовой части) для случаев коэффициент ст1 имеет отрицатель-
ный знак, а суммарный коэффициент сопротивления С( при а = 0 меньше, чем при а =180° (при условии, что „юбка* оканчивается плоской донной частью).
Представляет интерес сравнение полученных результатов с известными решениями вариационных задач о теле минимального сопротивления. На фиг. 1 ,а
приведены результаты расчета методом Монте-Карло для осесимметричного вогнутого тела при изменении угла 0 конической „юбки“ (параметры L, R и Rt были зафиксированы). Видно, что для этого случая, характеризующегося тем, что точки А и В, через которые проходит образующая, закреплены, коэффициент г1}для случая прямолинейной образующей АВ достигает минимума, равного
О О л -—- 4 О О
Cj = с -f 0,3971 у ж S~ . Однако еще меньшее значение, равное сх = с+1 -|-0,334]Лс S"1, достигается для оптимальной выпуклой образующей АОВ, найденной из решения вариационной задачи [9]. В случае, когда заданы диаметр и объем тела, телом минимального сопротивления является вогнутое тело вращения с образующей в форме квадратной параболы, причем при получении этого результата в [9] не учитывались кратные отражения частиц. Как показывают результаты расчета, приведенные на фиг. 1,6, учет кратных отражений частиц, дающих отрицательную добавку в коэффициент сопротивления, улучшает результат решения вариационной задачи, полученной без учета кратных отражений частиц.
Об аэродинамических коэффициентах крылатых осесимметричных тел. Расчетами методом Монте-Карло при различных законах отражения частиц были обоснованы приближенные формулы для расчета аэродинамических коэффициентов крылатых осесимметричных тел (например, тело, приведенное на фиг. 2 и состоящее из корпуса-цилиндра и крыла-прямоугольной пластины) по всей области изменения углов <р и 0:
9 = — sign (К^з) arccos Vю2 (V^3 + ^3)~1/2, <р е j
0 = arccos (— 1 V^l —'), 0е(о. J),
определяющих ориентацию вектора Vм относительно тела. Смысл этих формул состоит в том, что закон изменения аэродинамических коэффициентов во внутренних точках области (<р, 0) принимается аналогичным закону изменения аэродинамических коэффициентов по границе области (9, 0), т. е.
сц(Ъ 0) = ch + [* (0. Ч = °) — ck (V ? =
K(f), (1)
где с* обозначает коэффициенты с\, с,-, от2 и &а- Функция /С (?) для всех коэффициентов, кроме Сц определяется по формуле
*(*) =
С*
с* (* =0= і)] [с* (?=°* ® - і) -с* (т =»= 7)] 1'
а для сх — по формуле
К(ч) = (1 — І*) (I - Я)-1 совср; /* =/? сое-1 <р; Є (°. ¥*): 1*=Ь
9 Є ('¥*> ^<р* = агсс0іі т~Х '
Диффузное отражение (осе->), 5^7,5, Т^/Т^-0,3
с,
ГО
Формула (1), для расчетов по которой необходимо предварительно рассчи-
тать методом Монте-Карло коэффициенты по границе области (<р, 0) (0<<р<— ,
О<0<—у, позволяет существенно экономить время на ЭЦВМ. Для примера на фиг. 2 линиями приведены результаты расчетов методом Монте-Карло, а! точками — по формуле (1).
Для коэффициента т1 справедливы приближенные формулы:
Щ (?» Щ = Щ
БШ
1,3 «
те\ ЬУп (/2 —Я2) сов< = "2/ =
= я/?2, <1 м = 2Я.
т-1 <Р:
■’М—"".-, им
Отличие значений /и__] от т, из-за неучета импульсов, передающихся телу при повторных столкновениях частиц с поверхностью, может достигать 20 — 30%.
Для расчета 0) была получена очень простая приближенная формула
= С1 (9 = 6 = 0) + | «1^ = 0. 9 = \) — С1 = 0 = -|)] со*1,5 9 +
+ с\ = 0 = — с\ (<р = 0 = 0)| Б^1-3 0.
О центре давления одного класса тел в свободномолекулярном потоке. Будем рассматривать выпуклые тела, поверхность которых: а) обладает центральной симметрией; б) поверхность тела можно разбить на совокупность элементарных площадок, нормали к которым в центрах этих площадок проходят через центр симметрии. Такими телами являются, например, шар, круговые или призматические цилиндры с плоскими или сферическими основаниями, шар с отсеченными сегментами и т. д. Докажем, что в свободномолекулярном потоке при
постоянном значении коэффициента аккомодации тангенциального импульса ах
при любом значении модуля и направления Vю вектор равнодействующей силы проходит через центр симметрии.
Разделим всю поверхность тела на пары равных элементарных площадок dS+ и dS_ таких, что площадки каждой пары расположены симметрично относительно центра симметрии, а нормали к центрам каждой площадки проходят через центр симметрии. Индекс относится к наветренной стороне, а „—* — к подветренной. От воздействия свободномолекулярного потока на каждую элементарную площадку действует нормальная и тангенциальная сила, причем коэффициент тангенциальной силы равен:
ст = 71-1,2 *№) COSa; P = 5cosina; slna = (KMX«j|
Пусть r+—радиусы-векторы, проведенные из центра симметрии в центры площадок dS+; S' — площадь проекции тела на плоскость ху, проходящую через
центр симметрии нормально Vm, причем ось г противоположна вектору Voo и проходит через центр симметрии. Учитывая, что S' симметрична относительно осей х и у, вычислим коэффициент момента, отнесенный к dM — = 1, отно-
сительно центра симметрии
'» = !'■+ dS+ + J сх- dS- ==Jr+ (^+ ~ dS+ =
•S+ 5_ s+
= 2aT j 7+(Vra\V(Xi |-1 - n sin a) dS' = 2a J (j xdS' - 7ydS') = 0;
S' S'
здесь i, j — орты по осям x и у.
Отметим, что если нарушается условие б, например, для эллипсоида, то равнодействующая не проходит через центр симметрии.
ЛИТЕРАТУРА
1. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., ,Наука', 1967.
2. Chahine М. Т. Free molecule flow over nonconvex surfaces. Rarefied gas dynamics, Proc. of the Second Internet. Symposium on rarefied gas dynamics. New York and London, 1961.
3. P r a 11 M. J. Concave surfaces in free molecule flow. AIAA J., vol. 1, N 7, 1963.
4. Баранцев P. Г. Аэродинамика невыпуклых тел в установившемся свободномолекулярном потоке. В сб. „Аэродинамика разреженных газов", вып. IV, Изд. ЛГУ, 1969.
5. М у с а н о в С. В Внутренние свободномолекулярные течения.
Труды ЦАГИ, вып. 1206, 1970.
6. Богачева А. А., Перепухов В. А., РухманЭ. Е. Применение метода Монте-Карло к расчетам аэродинамических характеристик вогнутых тел и тел сложной формы в свободномолекулярном потоке. „Журн. вычислит, матем. и матем. физ.“, т. 8, № 6, 1968.
7. Закиров М. А. Исследование внутренних и внешних свободномолекулярных течений около произвольной группы сложных тел.
В сб. под ред. М. Н. Когана „Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика", Труды ЦАГИ, вып. 1411, 1972.
8. 3 а к и р о в М. А. Свободномолекулярное обтекание полых клина и конуса с вогнутой стороны. „Ученые записки ЦАГИ“, т. III,
№ 2, 1972. _
9. МиелеА., Притчард Р. Тонкие тела минимального соп- " ротивления. Под ред. Миеле А. .Теория оптимальных аэродинамических форм", М., 1969.
Рукопись поступила 10j VII 1973 г.
