Свободномолекулярное обтекание полых клина и конуса с вогнутой стороны Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ

Том III 1972

№ 2

УДК 533.6.0П.8

СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПОЛЫХ КЛИНА И КОНУСА С ВОГНУТОЙ СТОРОНЫ

М. А. Закиров

Получены формулы и приведены результаты расчетов суммарных аэродинамических коэффициентов и локальных потоков частиц и импульсов при обтекании полых клина и конуса гипертермическим свободномолекулярным потоком при диффузном и зеркальном отражении частиц от поверхности. Рассмотрены особенности поведения решений, связанные с изломом поверхности и зеркальным отражением частиц.

Задача исследования обтекания свободномолекулярным потоком вогнутых тел, сводящаяся обычно к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода (см. обширную библиографию в [1]), сильно усложняется, когда тело имеет изломы поверхности, а также при зеркальном отражении частиц от поверхности. В этих случаях ядра интегральных уравнений сингулярны.

В работах [2—4] рассмотрено обтекание клина бесконечного удлинения при диффузном отражении частиц. В работе [2] при учете трех столкновений частицы с поверхностью клина вычислены макроскопические коэффициенты аккомодации. В работах [3, 4] путем численного решения интегральных уравнений определены аэродинамические коэффициенты и локальные потоки, а также получена формула для потока частиц в угловой точке клина.

В настоящей статье приведены точные формулы для локальных потоков частиц, нормального и касательного импульса в угловой точке клина и конуса при диффузном и зеркальном отражении частиц. Для расчета суммарных аэродинамических коэффициентов и локальных потоков по всей поверхности клина и конуса в случае зеркального отражения частиц применены точные формулы, а в случае диффузного отражения—метод Монте-Карло, который ранее был использован для расчета аэродинамических характеристик в статье [5] и для расчета всех параметров газа по полю потока в работе [6].

Постановка задачи. Принятые обозначения. Пусть вектор скорости ги-пертермического свободномолекулярного потока направлен по оси конуса или по биссектрисе двугранного угла клина бесконечного удлинения (фиг. 1). Будем рассматривать формулы для аэродинамических коэффициентов и локальных потоков при диффузном отражении частиц от поверхности с температурой Tw — const и при зеркальном отражении частиц.

Обозначим коэффициенты локальных потоков частиц, отнесенных к п^ V,

тпоа Им

через N; коэффициенты локальных потоков импульсов, отнесенных к <?=—=—

в направлении нормали к поверхности—через Р, а в направлении проекции У8 на касательную плоскость к поверхности—через т; концентрацию частиц, отнесенную к Лдд — через я'; аэродинамические коэффициенты сопротивления, отнесенные к дБм,—через с±1 и сг1; расстояние от элемента поверхности до оси хх в случае конуса и до плоскости симметрии в случае клина—через Я. Здесь т,

бегающего потока, 5М — площадь миделя тела (для клина 8Ы = 21*, где I. — длина клина, для конуса 5М = я). Параметры Л”1 и к~1 обозначают квадраты наиболее вероятных скоростей молекул в распределении Максвелла при температуре набегающего потока Тж и температуре поверхности Тш. Нижние индексы у коэффициентов будут обозначать: „о“ —окрестность угловой точки; ,+ * — коэффициент, получающийся при учете только первого столкновения частиц, летящих из бесконечности, * — коэффициент, получающийся при учете только первого отражения частиц, г — коэффициент, соответствующий второму столкновению и отражению и т. д. до вылета частицы в бесконечность. Коэффициенты величин, полученных с учетом первого, второго и т. д. столкновений и отражений частицы до вылета в бесконечность, будут обозначаться без индексов „ + и г.

Параметр V равен единице для клина и двум—для конуса.

Решения интегрального уравнения для угловой точки клина и конуса при диффузном отражении частиц. В случае диффузного отражения частиц от поверхности интегральное уравнение для функции распределения отраженных частиц сводится к интегральному уравнению для потока частиц

?0

15

/О

Ґ 1 ■ 1 ■к. К»

11 1

И 1

■*/ *

11 1

і 1 -1 ^ Я

1

1

ч ІІІ А /імин Конус • о М0 • * ЛЛ • о \ іїагр/рі/зное

і

1

1 \ отражение зеркальное отражение

1 I '

1

\

V / ч \

V \\. \ * \

X д \ \

1 \ 6, / / л к, N Л

і у\ \ \ \

} і V щ л

// \ \ ч N \

ч \ \ Ч ^ \ ч

» .4 * гл

г 1 _1_. £ «V

Ж

60°

Фиг. 1

М(.х1 і) = М+ (ху і) + — § Ы(х2 і) сое фі гій, / = 1, 2, 3.

Здесь — телесный угол С вершиной В точке х1 I, в котором частицы летят

к X] I от тела, 4<1 — угол между вектором ХцХц и нормалью к поверхности В точке Хг (.

В угловой точке клина и конуса при X] ->■ 0 (см. фиг. 1) получим

N0 = N+0 + Nr0 = N+0(l-h)-\ Л =4- 1«»<М9 =

вт

Ы+0 = вігі (

Имея функцию распределения отраженных частиц в окрестности угловой точки

/0 = ~Ы0 Яда ^ ехр ^ — Лв 2 ^ = ^оо лш2’

получим после интегрирования формулы для локальных потоков импульсов и концентрации частиц:

Ро = Р+ъ~*гР— о + ^о. т0= т+о4"т— 0 + т'-0>

Я+о = 2 81П«0, Я_о = ^ЛГ+05-1, Рго = 5"1 Уп (ЛГ0-^+0)-|-у=-/2 ,

0 /4

. 0 = віп 2 0, '_о = 0, тг о = ЗЛ^о /3 (2 У~п 5Ш) \ п'0= 1

2 У т.

, 2 / вігі 40\

/2 = -д- — 26 + — у

, /3 =—-д-8іп220, /4 = 4 (л — 0) для клина;

/2 = ж. совз 0 (3 в!п2 0) 1 (5 — 8 сов2 0 + 3 сов^б), /3 = — тс сов2 0 біп3 6, /4 = 2тс (1 + сов 0) для конуса.

Отметим, что при 1^ = 0 для произвольного вогнутого тела, имеющего

рованном отражении частиц от поверхности ( 7^ = равна , т. е. п'=1.

На фиг. 1 пунктиром показаны величины ІУ0, Рг и —для клина и конуса при диффузном отражении частиц.

Свободномолекулярное обтекание клина и конуса при зеркальном отражении частиц. Из набегающего потока выделим луч (пучок) частиц, падающих на площадку с18у, и проследим его траекторию при кратных отражениях. Обозначив через У номер столкновения луча с поверхостью, еу-— угол между вектором скорости V луча и нормалью п к поверхности, му — угол между V и Кот, получим следующие рекуррентные соотношения:

Концентрация частиц в пучке при кратных отражениях от поверхности клина остается постоянной, пу+1 = Пу = 1, а для конуса изменяется в соответствии с формулой

Вычисляя углы шя при последнем отражении луча от поверхности, получим следующие формулы для расчета номера п отражения, после которого луч уходит в бесконечность, и коэффициента полного сопротивления сг:

В формулах (1), (2) и (5) выражения в квадратных скобках обозначают целые части.

Рассмотрим теперь формулы для расчета локальных потоков.

Пусть луч из бесконечности падает в точку А (см. фиг. 1). Рассчитаем для этого луча х1}-, у (/= 1, 2, 3,...). Номер т отражения луча, после которого «у>90° (луч разворачивается к входному сечению), определяется по формулам

также изломы поверхности, поток частиц через поверхность, отнесенный к ,

равен N — 0,5п~1/2, а концентрация частиц в любой точке течения при изоли-

Пу = біп [(2у — 1) 0] эт 1 0.

а) при 0>6О°

п — 1, С! = 4 віп2 0;

(1)

(2)

в) при 2Г+І < 6 < "2Г

С1 = 2 {1 — С08 [2 (X — 1) в] (1-^)-^ сов 2X0} ; = біп [(2Х — 1)в] віп-1 0, X = 2, 3, 4,...;

180° „ 180°

(4)

(3)

(5)

Здесь в квадратных и фигурных скобках взяты соответственно целые и дробные части. На каждом отрезке ххр Xjy+1 все лучи падают к поверхности под вполне определенным конечным набором углов, которые определяются по формуле

(2* — 1)6, (6)

причем индекс ft принимает значения при xt<xlm и т > U + 1)

к=\, 2, 3,...,/; (7)

при и «<У

ft — j + 1, У ~4~ 2, j -f- 3,..., n; (8)

при 0 > x1>xlm

ft = 1, 2, 3,..., n. (9)

Здесь значение n определяется по формулам (2) и (5). Имея в виду, что функция распределения частиц в каждом пучке с вектором скорости V равна fj = tij «оо S (S — V), где 8 (£ — V) — дельта-функция Дирака, найдем после интегрирования формулы для локальных потоков через элементы поверхностей, ограниченных координатами х1}-, хХу+1 и 0 >• ;> *1 т:

N = sin1-4 0 £ sinv [(2ft —1)0], (10)

P = 4sin1~'l0 S sin1+v [(2ft — 1) 0]. (11)

В этих формулах при суммировании индекс ft принимает значения на отрезках xtj, хгу+1 в соответствии с формулами (7) и (8), а при 0>^1>л:1п,—

в соответствии с формулой (9).

Концентрация частиц газа в окрестности элементов поверхностей, ограниченных координатами xXj, X\j+i и Ol>Xi^-xim, рассчитывается по формулам:

для клина

при хх<хш, m>(J+ 1) при хх<ххт, /я</ при 0 > х, > m

прих!<х1т, я* > (У 4- 1)

п' = 2/, (12)

п’ = 2(п — у), (13)

п’ — 2я; (14)

для конуса

(15>

при /п<у

e«n [(2* — 1) в]. (16)

при 0>*! >х1т

«' = isnr 2в,п(2*-1>в]- <17>

А=1

Из формул (10)—(17) видно, что зависимости локальных потоков и плотности частиц от хг являются разрывными ступенчатыми функциями.

Для расчета некоторых сумм (10), (11), (15) —(17) можно использовать формулы:

П

2 sin [(2ft -- 1)0] = sin2 л0-cosec 0, k= l

tl k = \

2 sin“ [(2ft —1) 0] = 1 + 2 2 cosa (2*0), n = 2X + 1.

*=i ft=i

*

Заметим, что для случаев л0 = 90° потоки частиц в окрестности угловой точки клина совпадают при диффузном и зеркальном отражении частиц:

90е

N0 — sin-1 0, 0 = — , п = 1, 2, 3, ...

Интересно также отметить связь между потоком частиц для клина и плотностью частиц я2 для конуса: n2 = 2A^1sin—!0. Иногда представляет интерес отношение — (Ncos + где Nms, Nrs— потоки частиц, падающих на всю

поверхность тела из бесконечности и при кратных отражениях. Это отношение равно

180° 180°

Л^* = Х + ^—1 при < 6 < 2Х —"i ’ *=2,3,4,...;

180° 180°

JV* = X при 2Х_!_ 1 <е<~2Х~' * = 2,3,4--------

Здесь рассчитывается по формуле (3).

Фиг. 2

Результаты некоторых расчетов для случая зеркального отражения частиц приведены на фиг. 1 (сплошные кривые). На фиг. 2 представлены значения сх и на фиг. 3 — значения N„ Рг в зависимости от R для конуса 0 = 30° и N* для клина и конуса в зависимости от 0.

Расчет аэродинамических коэффициентов и локальных потоков методом Монте-Карло. Для расчетов методом Монте-Карло была использована универсальная программа, описание которой при расчете параметров по полю свободномолекулярного течения было дано в работе [6]. При расчете локальных потоков поверхность делится на большое количество площадок AS, например, для конуса они получались делением высоты конуса вдоль оси хг на 100 равных частей. Для каждой площадки при розыгрыше траекторий молекул производится накопление сумм числа частиц, нормальных и касательных импульсов. После розыгрыша достаточно большого числа Np случайных траекторий частиц рассчитывается математическое ожидание вклада одной разыгранной частицы в соответствующие коэффициенты, затем рассчитывается поток соответствующих величин за единицу времени. Результаты, полученные методом Монте-Карло при применении различных датчиков случайных чисел и при ./Vp = (2 — 4)-104, совпали с погрешностью 3—5% с результатами работ [3, 4] для клина, а также с решениями для клина и конуса, полученными выше.

Результаты расчета методом Монте-Карло для конуса при зеркальном отражении частиц показаны кружками на фиг. 2 (ct) и фиг. 3 (Nr, Pr, N*), при диффузном отражении частиц — кривыми зависимости Sw (c_i -)- cr j) на фиг. 2, JV* (8) — на фиг. 3 и графиками фиг. 4. На фиг. 4 кружки обозначают теоретические значения локальных потоков в окрестности угловой точки. На фиг.3

светлые и темные кружки обозначают результаты, полученные при применении соответственно псевдослучайных чисел и чисел, строго равномерно распределенных в интервале [0,1] и представляющих последовательность дробных частей {ив}, где я —числа натурального ряда, в—иррациональное число.

Некоторые заключительные замечания. Поток частиц и нормального импульса в окрестности угловой точки для конуса существенно больше, чем для клина, а различие касательного напряжения невелико. Интересно отметить, что для клина потоки частиц N0 при зеркальном и диффузном отражении совпадают при 0 = 90°/я (л = 1, 2, 3,...) и мало отличаются при остальных значениях 0. Касательное напряжение с, при диффузном отражении частиц отрицательно (см. фиг. 1 и 4). Это связано с тем, что суммарный вклад частиц, летящих от тела наружу, больше, чем суммарный вклад частиц, летящих от тела внутрь.

Кривая ^(0) при зеркальном отражении, имеющая колебательный характер (см. фиг. 2), достигает минимума при 0 57° для клина и при 0 з: 54° для конуса.

Значения Сі совпадают для клина и ко* нуса при значениях 0, определенных по

h

г (І0

— Г і |‘ Г t*N в"30°> ” з\ тЦЗЄ/7/<аЛЬлаЄ Y £4- JU )0Л7рдЖЄНІ/Є - — /t/іан \зерхольное -ъ-~ному£ \отражемае /І О Н О С \ 0e/00yjHOe о/7?рож£>//ае

1 1

fj <

к L 9 •

V V

\ д MK)

ё #1

¥r wf

1

0 О 0,5 П

' 30°' so° д

Фиг. 3

формуле (4). При 0 0 величина 4. При всех 0 различие между значения-

ми сг для клина и конуса сравнительно невелико.

Если учесть, что в реальном случае Sw » 1, то коэффициент полного сопротивления ct = 2 + c_i+crl для конуса при диффузном отражении слабо зависит от 0 в диапазоне 10°—45°.

При зеркальном отражении частиц локальные потоки и концентрация частиц в зависимости от координаты R являются разрывными ступенчатыми функциями (см. пример расчета на фиг. 3). Концентрация частиц в окрестности поверхности клина принимает значения, кратные л^. Поток частиц к поверхности клина и концентрация частиц в окрестности поверхности конуса отличаются на множитель 2 sin-1 0.

Поведение потоков Nr и Рг и концентрации пг в окрестности угловой точки для случаев диффузного и зеркального отражения частиц принципиально различно: в первом случае наблюдается резкое изменение величин, остающихся постоянными во втором случае.

Результаты, приведенные на фиг. 3, показывают, что в среднем каждая частица, падающая из бесконечности в полости клина и конуса при диффузном и зеркальном отражении совершает примерно одинаковое число отражений до вылета в бесконечность.

В случае гипертермического набегающего потока и зеркального отражения частиц в расчетах методом Монте-Карло следует пользоваться датчиком чисел, строго равномерно распределенных в интервале [0,1].

Полученные результаты показывают также, что при применении метода Монте-Карло отпадают трудности, связанные с тем, что тело имеет излом поверхности или что частицы отражаются зеркально.

Найденные решения задач свободномолекулярного обтекания тел в окрестности угловой точки при диффузном отражении частиц могут быть использованы при корректировке численных решений. Решения при зеркальном отражении частиц могут представлять интерес, например, в случае обтекании тела потоком света.

В заключение приношу искреннюю благодарность М. Н. Когану, В. С. Галкину и В. А. Перепухову за полезные советы в работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука”, 1967.

2. Ерофеев А. И. Обтекание клиновидной полости свободномолекулярным потоком газа. .Инженерный журнал", т. 5, вып. 5, 1965.

3. Баранцев Р. Г., Рахлин Б. Б. Свободномолекулярное обтекание ломаной пластинки. .Аэродинамика разреженных газов”, сб. IV. ЛГУ, 1969.

4. Пономарев В. Я. Обтекание невыпуклого клина свободномолекулярным потоком с конечным числом Маха. Изв. АН СССР — МЖГ, 1967, № 4.

5. Богачева А. А., Перепухов В. А., РухманЭ. Е. Применение метода Монте-Карло к расчету аэродинамических характеристик вогнутых тел и тел сложной формы в свободномолеку-ляром потоке. ЖВМ и МФ, т. 8, № 6, 1968.

6. Закиров М. А. Газодинамические параметры свободномолекулярного потока перед выпуклыми и вогнутыми телами. .Ученые записки ЦАГИ', т. II, № 6, 1971.

Рукопись поступила IIVII 1971 г.