ЭФФЕКТЫ НЕМОНОТОННОСТИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛАСТИНЫ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

УДК 533.6.011.8 DOI: 10.34759/trd-2020-110-9

Эффекты немонотонности аэродинамических характеристик пластины в гиперзвуковом потоке разреженного газа

1* 1 Л А ^^^ ЛЯЛА

Выонг Ван Тьен , Горелов С.Л. , Русаков С.В.

1 Московский физико-технический институт, Институтский переулок, 9, Долгопрудный, Московская область, 141701, Россия

Центральный аэрогидродинамический институт имени профессора Н.Е.

Жуковского, ЦАГИ, ул. Жуковского, 1, Жуковский, Московская область,

140180, Россия e-mail: tienbom@mail.ru e-mail: gorelovsl@yandex.ru ***e-mail: sv_vidukova@yandex.ru

Статья поступила 11.02.2020

Аннотация

Эффекты немонотонности аэродинамических характеристик плоской пластины по числам Рейнольдса в гиперзвуковом потоке разреженного газа известны со времен работ [1, 2]. В данной работе проведены тщательные исследования методом прямого статистического моделирования (Монте-Карло) этих эффектов в зависимости от определяющих параметров: чисел Рейнольдса, углов атаки, температурных факторов и отношения температур сторон пластины. Обнаружено, что при одинаковых температурах сторон пластины коэффициенты трения остаются немонотонными вплоть до угла атаки 10 градуса, а по коэффициенту давления до 30 градусов. На основание полученных расчетов, предложены приближенные аналитические зависимости коэффициентов трения, давления и подъемной силы от углов атаки и температурных факторов в широком

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

диапазоне чисел Рейнольдса. При разных температурах сторон пластины,

существуют значения угла атаки и отношения температуры на поверхностях

пластины, при которых коэффициент подъёмной силы равен нулю.

Ключевые слова: обтекание пластины потоком разреженного газа, число Рейнольдса, метод прямого статистического моделирования, эффекты разреженности газа.

Введение

Задача об обтекании плоской пластины потоком разреженного газа является предметом многочисленных исследований (см., например, [1, 2, 5, 18]). Все эти исследования проводились для случая, когда температура наветренной и подветренной сторон пластины одинакова. В данной работе рассматривается случай и одинаковых и разных температур сторон пластины. При одинаковой температуре наветренной и подветренной сторон пластины, исследован эффект немонотонности коэффициентов давления и трения по числам Рейнольдса.

В случае разных температур давление на стороны пластины от реактивной силы отраженных молекул разный. В результате, если температура подветренной стороны пластины под углом атаки больше, чем наветренной, дополнительная отрицательная подъемная сила компенсирует обычную подъемную силу и суммарная сила, действующая на пластину, может стать равной нулю или отрицательной. Причем, величина равновесного угла атаки, при котором подъемная сила становится равной нулю, при заданном значении скорости и отношении

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

температур сторон пластины, разная в свободномолекулярном течении и в случае

вязкого течения газа. Таким образом, знак подъемной силы может меняться при

изменении числа Рейнольдса.

В данной работе проведены расчеты для коэффициентов трения, давления и

подъемной силы методом прямого статистического моделирования [4, 6, 13-16], на

основание этих расчетов получили эмпирические формулы, отсюда сравнили

результаты с экспериментами для пластины и конуса [5]

1. Постановка задачи

Рассмотрим обтекание плоской пластины безграничным гиперзвуком потоком разреженного газа. Будем считать, что бесконечно тонкая пластина расположена вдоль оси ох, начало координат находится в носике пластины, ось оу -перпендикулярна пластине. Пластина обтекается газом со скоростью и вдоль оси

ох под углом атаки а.

= (и* с°а, Ц* эта, 0)

задаются функцией распределения по скоростям и набегающего потока

имеется в виде

,3/2

т

ч 2лкТху

ехр

т

2 кТ

(5 - и»)2

(1.1)

Обозначения стандартные: п^, Т, - числовая плотность молекул и температура

в невозмущенном газе; т - масса молекулы; к - постоянная Больцмана; 5 - вектор

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

собственной скорости молекулы; и - вектор скорости набегающего на пластину

потока газа.

Будем считать, что поверхности пластины нагреты до разных температур. Отражение молекул от поверхности - диффузное и функция распределения отраженных молекул по скоростям - Максвелловская с температурой поверхности

.3/2

= п

т

V 2жкТг J

ехр

т

2 кТ

(1.2)

где индекса I = 1,2 для наветренной или подветренной стороны пластины. Т заданная температура поверхности пластины, п1 плотность отраженных от

поверхности молекул.

В работе вычисляются коэффициентов трения, давления и подъемной силы

методом прямого статистического моделирования.

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

2. Разные температуры сторон пластины

Рассмотрим задачу, когда газ сильно разреженный, при отсутствии внешних сил, так что можно пренебречь столкновениями между молекулами. Состояние газа в невозмущенном потоке является равновесным. На поверхности тела выполняется условие непротекания - число падающих молекул равно числу отраженных. Согласно этому для наветренной и подветренной стороны пластины имеет вид

| 4/ ^ + | 4/1 = о, | 4/+ | 4/2 = о

4 у >о

4у <о

<о

>о

(2.1)

где /, /1, / берутся из (1.1) и (1.2).

Введем некоторые безразмерные параметры

Т Т X = Т-\X = —; Б = и

гр ' х 4

То Т1 \

т

М

2кТ ' \

х 1

2

—Б; = Б • Бта

Г

где То = Тх

г г-1 2Л 1 + М2

V 2 ,

- температура торможения.

вычисляя эти интегралы (2.1), получаем

П = п

1 х

П = пт

2 х

1Тх Т

е-^ + 7^(1 + егГ ( е-^ -^(1 -егГ(Ба))

давление на наветренную и подветренную стороны пластины вычисляется

Р\ = т I £ /х ^ + т I £ /

4 у > 0

4 < 0

Р2 = т | 44/х2 + т | £/2

4 < о

4 > о

получаем

Р1 =

пкТ

^е-5- +Щ 1 + ^ 1(1 + erf(5-)) +

4Л

а

+

4Л

ту

Т

Т„

е"5- + Л (1 + erf (5-))"

Р2

пкТ

-5-е"5а +л/Л(1 + 5- 1(1 - erf (5-)) +

ТЛ [ а ' V2

+ 2

е"5- - Л-(1 - erf (5-))

разница в этих величинах создает дополнительное давление

^Р =

л/л

25„ е-5- + 2л/Л

+ 5 2

'1 л 2

+ -—I е-+

^ (5-) +Л 5

V 2

Т т2 + —

т ут

V ^ — у — у

+

•ТЛ <

2

(е-5- + л/Л^ (5-))

/ I- I—м

¿т V т

V V — V — у

Наличие последнего члена в этом выражении при определенных величинах 5а а также Т и Т2 влияет на направление подъемной силы действующей на пластину. Трение

С,1= т | ^ + т | ££/1 = ^5осв(-)[е"5- + л/Л5-(1 + е/(5-))

У У

СТ2= т

г | + т | ££/2 = ^5осв(-^-е-5- + 4Л5а (1 - е/(5-))

4у< о о

для приведения параметров в безразмерном виде, нанесено значение 1 ^и2 то

Ср1 = 52

^{ 5-е~+ л/Л(0.5 + 5-) (1 + е/(5-)) +

Л Г1+ Г-1М2^ V 2 у

(е"5- +4л5- (1 + е/(5-)))

(2.2)

с =-1-!

Ч2 ^

{ - Бав^ + о.5 + ) (1 - er/(Ба))

+

Г 7-1 2Л 1 + 7-1 M2

V 2

(e-б2 -^(1 - вт/ (Ба)))

C,

= -±= ^в-^ + 24^(о.5 + ) вт/(Ба) +

(1 + ^)

+ \БаК 1Х„

Г 7-1 9' 1 + 7-1 М2

V 2 .

+

+ ■

(+ 4ЖБавг/ (Ба))^

Г 7-1 2Л 1 + 7-М2

V 2

(1 )

(2.3)

соб (а

(а)

Ж

'в-°а + Б„ (1 + вт/(Ба ))] Б„ = Бвт(а);Б = У-М

соб (а

(а)

с = -с" -ТлБ

2соб (а)

т =

-в-Ба + ^жБа (1 - вт/ ( Ба))

'в~Ба +4ЖБавт/ (Ба)

С = С соб (а) - С б1п (а)

(2.4)

(2.5)

при Ба >> 1 формулы (2.3) и (2.4) сводятся к известному выражению для коэффициента давления и трения при гиперзвуковом обтекании пластины [3].

С = -1 Ср Б2

2 Ба2 X

г 7-1 2Л 1 + 7-М2

2б1п2 (а) + 77—1 б1п(а) С = 2соб (а) б1п (а)

по формуле (2.5) коэффициент подъемной силы

Труды МАИ. Выпуск № 110 ОСБ (-)

СУ '

2S2 + >&« tw

1 +

v 2

-M2

http://trudymai.ru/ - 2cos (a) sin2 (a)

или

C

4л ОСБ(-)Бт(-)

S

V

' Г-2 WLr-1

1 + v 2

-M2

4л. \tw —— cos [a) sin (а)> 0 (2.6)

У

В этом случае подъемная сила не зависит от температуры подветренной стороны пластины. Влияние температуры подветренной стороны пластины на подъемную силу сказывается лишь при 5а << 1. В этом случае формулы (2.3) и (2.4)

запишутся (используя erf ( x ) = -^L)

у/л

1

C =

C л

л

4Sa^ Sa Kw

f У- 1 2Л У M2

1 +

v 2

(1 + *)

+

4л ,

+ 2

r У-

1 +

v 2

-M2

(1-Л)

C =

2cos (a)

4^S

и коэффициент подъемной силы

C

cos (a

(a)

4л S 2

2S„ +-SM

r

1 +

v 2

— -1M2

(1+41)

4л

1 + —— M2 v 2

(4J -1)

(2.7)

Из (2.7) можно вычислить зависимость величины 5а от разницы температур

поверхностей пластины в случае, когда подъемная сила равна нулю. Получаем

t

w

Ба=4Ж[Л -1

' 7-1 2Л 1 + 7-М2

V 2 ,

4 + ж

(Л +1),

' 7-1 2Л 1 + 7-М2

V 2 ,

(2.8)

или зависимость угла атаки от отношения температуры сторон пластин

а = arcsln

1

Г 7-1 2Л

1 + 7-1 М2

V 2 ,

[Л -1)

Б

4 + ж X

' 7- 1„2Л

1 + ^—- М

V 2 ,

{Л+1)

пусть Хм

Г 7-1 2Л 1 + 7-1М2 2

= 1 то а = arcsin

-1)

Б

4 + л(у[Х +1)

(2.9)

Действительно, нулевая подъемная сила получается при Ба << 1 в широком

диапазоне отношений температур поверхностей пластин.

Рис. 1. Зависимость угла атаки от отношения температур сторон пластины для разных значений

скорости М при нулевой подъемной силе

На рис. 1 показывается зависимость угла атаки от отношения температур при

нулевой подъемной силе. Где сплошными кривыми нанесены результаты,

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

полученные от формулы (2.9) а точками - методом прямого статистического

моделирования.

В данном случае, как и мы написали выше. Нам интересно при фиксированном угле атаки как изменения знака подъемной силы по числам Рейнольдса Ке0 для разных значений отношения температуры подветренной и наветренной t или наоборот, при фиксированном отношении температуры t, зависимость подъемной силы от числа Рейнольдса для разных величин углов атаки. Конечно, как мы получили выше, что зависимость подъемной силы от отношения температуры лишь при малых значениях 5 . Особенность при фиксированном малом угле атаки, существуют значения отношения температуры в зависимости от числа Рейнольдса, подъемная сила равна нулю.

На Рис. 2 представлены графики зависимости коэффициента подъемной силы от числа Ке0 для угла атаки - = 1[град.], число Маха М = 23, температурный фактор ^ = 0.2 и разных отношений температур t = 1, t = 2, t = 4 и t = 8, а на рис. 3 представлены графики зависимости коэффициента подъемной силы от числа Яе0 для отношения температуры t = 8, число Маха М = 23, температурный фактор ^ = 0.2 и разных углов атаки - = 1[град.], - = 2 [град.] и - = 3 [град.], установлено что изменение подъемной силы по числу Рейнольдса немонотонно и его знак меняется при определенном значении угла атаки, отношении температуры на поверхностях пластины и скорости набегающего потока. В данной работе интересно что как зависит отношение температуры по числу Рейнольдса при определенном значении угла атаки, когда коэффициент подъемной силы равно нулю.

Рис. 2. Коэффициент подъемной силы при ?и =0.2, числе Маха М . -23 и угле атаки сс = 1 для разных значений

Рис. 3. Коэффициент подъемной силы при Л =0.2, числе Маха Л/; =23 и отношении температур для разных значений

На Рис. 4 и 5 представлены типичные графики зависимости отношения температур поверхностей пластины от чисел Рейнольдса в случае, когда подъемная

сила С = 0

Рис. 4. Зависимость отношения температур от числа для угла атаки а — 1 [град.],

скорости набегающего потока М = 23 и /ч —0.2 в случае нулевой подъемной силы

Рис. 5. Зависимость отношения температур от числа Г^с,, для угла атаки и — I [град.], скорости набегающего потока М =5 и —0.2 в случае нулевой подъемной силы

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

3. Одинаковые температуры сторон пластины

Рассмотрим случай равной температуры сторон пластины: t = Т2 /Т = 1 или

т = т = т

Для оценочных расчетов сил, действующих на тело при его высокоскоростном движении в газе широкое распространение, получили формулы, найденные из локальных моделей. В основе этих моделей лежит предположение, что каждый элемент поверхности тела взаимодействует со средой независимо от других участков тела и сила, действующая на него, зависит лишь от ориентации элемента относительно направления движения. Эта зависимость может включать в себя скорость движения и характеристики среды (величина плотности, температура и др.), которые считаются постоянными. Примером такой зависимости является формула Ньютона [12], широко используемая в гиперзвуковой аэродинамике для оценочных расчетов распределения давления на поверхности тела.

Для определения аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа разработан приближенный метод расчета, основанный на гипотезе локальности [7]. Он состоит в следующем: аэродинамические коэффициенты сил, действующие на элемент поверхности зависят только от местного угла наклона а (угол атаки) этого элемента к вектору скорости их набегающего потока с плотностью р, от характерного для всего тела числа Ке0 и температурного фактора ^.

Яе0 = рао и^Ь / р0 - число Рейнольдса

К = Т / Т - температурный фактор

¿и0= /л(Т0) - коэффициент вязкости

Т,, Т - температура поверхности и температура торможения Ь - характерный размер тела

Коэффициенты давления и трения (соответствующие силы, действующие на элемент поверхности, отнесенные к площади элемента и скоростному напору Рои и2 /2) выражаются следующими формулами [7]

здесь коэффициенты р0, р1, т0 зависят лишь от температурного фактора ^, числа Рейнольдса Re0 и отношения удельных теплоемкостей у.

При этом предполагается, что при Re0 =х для расчета давления на теле справедлива формула Ньютона Ср = 2б1п2 а. При Яи0 = 0, то есть в гиперзвуковом свободномолекулярном потоке имеем [3]

В данной работе предпринята попытка построить формулы аналогичные (3.1) основанные на расчетах методом ПСМ [3, 6, 13-16] давления и трения на плоской пластине по углом атаки в широком диапазоне чисел Re0. На Рис. (6 - 23) представлены результаты расчетов коэффициентов давления и трения для наветренной стороны пластины, отнесенных к соответствующим значениям в свободномолекулярном случае (данные отнесены к площади одной стороны пластины).

Ср = р0 б1п2 а + р Бша Ст = т соБаБша

о

(3.1)

Ср0 = 2б1п2 а + у/жХУ1! (7-1) / 7 б1п2, Ст = 2б1п2соб2

нулевом угле атаки.

Рис. 6. Коэффициент давления наветренной стороны пластины при нулевом угле атаки и числе Маха Мх =23 для разных значений

Рис. 7. Коэффициент трения наветренной стороны пластины при нулевом угле атаки и числе Маха М = 23 для разных значений ^

Расчеты для коэффициентов давления и трения наветренной пластины при угле атаки 5 градусов.

Рис. 8. Коэффициент давления наветренной стороны пластины при угле атаки и

числе Маха для разных значений

Рис. 9. Коэффициент трения наветренной стороны пластины при угле атаки и

числе Маха для разных значений

угле атаки 10 градусов.

0.01 0.1 1 10 100

Рис. 11. Коэффициент трения наветренной стороны пластины при угле атаки и

числе Маха для разных значений

Расчеты для коэффициентов давления и трения наветренной пластины при угле атаки 20 градусов.

Рис. 12. Коэффициент давления наветренной стороны пластины при угле атаки а = 20 и числе Маха Мм = 23 для разных значений

Рис. 13. Коэффициент трения наветренной стороны пластины при угле атаки и

числе Маха для разных значений

угле атаки 30 градусов.

Рис. 14. Коэффициент давления наветренной стороны пластины при угле атаки <2 = 30 и числе Маха Мт = 23 для разных значений tw

Рис. 15. Коэффициент трения наветренной стороны пластины при угле атаки и

числе Маха для разных значений

Расчеты для коэффициентов давления и трения наветренной пластины при угле атаки 60 градусов.

Рис. 16. Коэффициент давления наветренной Рис. 17. Коэффициент трения наветренной стороны пластины при угле атаки (X = 60 и стороны пластины при угле атаки ОС = 60 и числе Маха Мл — 23 для разных значений t числе Маха М/: — 23 для разных значений I

угле атаки 70 градусов.

Рис. 18. Коэффициент давления наветренной стороны пластины при угле атаки ОС = 70 и числе Маха для разных значений

Рис. 19. Коэффициент трения наветренной стороны пластины при угле атаки и

числе Маха для разных значений

Расчеты для коэффициентов давления и трения наветренной пластины при угле атаки 80 градусов.

Рис. 20. Коэффициент давления наветренной стороны пластины при угле атаки а = 80 и числе Маха Мх = 23 для разных значений г1 .

0.01 0.1 1 ю 100

Рис. 21. Коэффициент трения наветренной стороны пластины при угле атаки и

числе Маха для разных значений

Характерной особенностью аэродинамических характеристик плоской пластины в гиперзвуковом потоке разреженного газа является немонотонность этих

характеристик по числам Re0 при малых углах атаки. Так зависимость

коэффициента давления Cp от Re0 остается немонотонной вплоть до углов атаки

порядка а = 300 (Рис. 22), а зависимость коэффициента трения Cr до а = 100 (Рис. 23). Кроме того, величина коэффициента давления Cp существенно зависит от

температурного фактора tw для всех углов атаки 0<а<п/2. Что касается величины коэффициента трения Cr, то она практически не зависит от температурного фактора. Число Re при котором достигается максимальное

значение Cp меняется от величины Re0 = 100 при а = 00 до Re0 = 0.01 при а = 900.

стороны пластины при tлv = 0.5 и числе Маха стороны пластины при I = 0.5 и числе

Эмпирические формулы, полученные в результате обработки данных расчетов аэродинамических характеристик плоской пластины при = 23, ^ = 0.1, у = 5/3 имеют вид (величины коэффициентов давления и трения отнесены к своим значениям в свободномолекулярном случае).

Cp* =

1 + (Apm -1) exp -apX (z - Xpm)

при z < X

pm

C + (A - C )

ньют у pm ньют )

exp

a

P 2

(z - XPm )2

(3.2)

при z > X

pm

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

1 + (Am -1) exp [~btl (z - Xtm )2 ] при z < Xtm

Atm exp -bt 2 (Z - Xtm )2 ПРИ Z > Xtm

Ct

*

(3.3)

Cp* = Cp / Cp0, Ct* = Ct / Ct Эмпирические формулы получены на основе гауссовой функции

f (x) = a exp[- (x - x0 )2 ] Эта функция имеет максимум в точке x = x0, причем этот максимум равен a. При x > x0 или x < x0 эта функция быстро уменьшается. В нашем случае f (x) при x < x0 и при x > x0 имеет разные пределы, которые известны.

В формулах (3.2) и (3.3) введены следующие обозначения: z = lg (Re0), Xpm и Xtm - lg(Re0m ), где Re0m - значение числа Re0 при котором достигается максимум величин Cp* (Re0) и Ct* (Re0), соответственно. A и Aím - максимальные значения этих величин. При этом предполагается, что при Re0 для расчета давления на теле справедлива формула Ньютона CpHblom = 2 sin2 а / Cp0, Стньют = 0. При Re0 = 0, то есть в гиперзвуковом свободномолекулярном потоке имеем Cp* = Ct* = 1. Коэффициенты , , A , Ate есть функции от sin а и температурного фактора tw. С помощью коэффициентов a х, a^2, btl, bí2 (которые также являются функциями

sin а), определяется наклон получаемых кривых в соответствии с расчетами.

На Рис. 24 - Рис. 28 нанесены данные сравнения расчетов по формулам (3.2) - (3.3) аэродинамических характеристик пластины с экспериментальными данными

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

из [5]. Сравнение данных расчетов Cx и Cy с экспериментальными данными

показали их хорошее соответствие.

На этих графиках черточками нанесены соответствующие значения коэффициентов в свободномолекулярном случае и в случае сплошной среды (приближение Ньютона)

Рис. 24. Коэффициент аэродинамического сопротивления плоской пластины при а = 0 (данные отнесены к площади одной стороны пластины). Кривая - расчет, маркеры - эксперимент.

Рис. 25. Коэффициент аэродинамического сопротивления плоской пластины при .

Кривая - расчет, маркеры - эксперимент.

0.1 1 ю юо юоо юооо

Рис. 26. Коэффициент подъемной силы плоской пластины при . Кривая -

расчет, маркеры - эксперимент.

Рис. 27. Коэффициент аэродинамического сопротивления плоской пластины при а = 20 . Кривая - расчет, маркеры - эксперимент.

Рис. 28. Коэффициент подъемной силы плоской пластины при . Кривая -

расчет, маркеры - эксперимент.

На Рис. 29 - Рис. 30 нанесены данные сравнения расчетов по формулам (3.2) -(3.3) аэродинамических характеристик конусов с экспериментальными данными из [5].

Рис. 29. Коэффициент аэродинамического сопротивления кругового конуса с углом полураствора под углом атаки .

Кривая - расчет, маркеры - эксперимент. Пунктиром нанесены данные Николаева B.C. [8].

Рис. 30. Коэффициент аэродинамического сопротивления кругового конуса с углом полураствора под углом атаки .

Кривая - расчет, маркеры - эксперимент. Пунктиром нанесены данные Николаева В.С. [8].

Сравнение данных расчета и эксперимента показали их хорошее соответствие.

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

Выводы

В данной работе рассмотрено обтекание пластины гиперзвуковым потока разреженного газа, при которых температура на наветренной и подветренной может быть одинаковой или разной для разных температурных факторов и чисел Маха в широком диапазоне числа Рейднольдса. Полученные следующие выводы:

1. Расчеты методом ПСМ аэродинамических характеристик плоской пластины в гиперзвуковом потоке разреженного газа показали немонотонность этих характеристик по числам Рейнольдса Re0 при малых углах атаки. Зависимость коэффициента давления Сп от Re0 остается немонотонной вплоть до

углов атаки порядка а = 30о, а зависимость коэффициента трения Ст до а = 10о.

2. Сравнение данных расчета по эмпирическим формулам, полученным обработкой результатов расчета методом ПСМ аэродинамических характеристик плоской пластины с данными эксперимента, показали их хорошее соответствие.

3. При фиксированной скорости и отношении температур сторон пластины обнаружен эффект изменения знака подъемной силы.

4. Получены зависимости отношения температур сторон пластины от числа Рейнольдса для разных углов атаки при фиксированных значениях числа Маха и температурного фактора.

Библиографический список

1. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Расчет обтекания пластины бесконечного размаха потоком разреженного газа // Ученые записки ЦАГИ. 1976. Т. VII. № 1. С. 102 - 106.

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

2. Горелов С.Л., Ерофеев А.И. Расчет обтекания пластины потоком

разреженного газа с учетом вращательных степеней свободы молекул // Ученые записки ЦАГИ. 1979. Т. X. № 2. С. 59 - 64.

3. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. - М.: Наука, 1967. - 440 с.

4. Яницкий В.Е. Стохастические модели совершенного газа из конечного числа частиц. - М.: ВЦ АН СССР, 1988. - 55 с.

5. Гусев В.Н., Ерофеев А.И., Климова Т.В., Перепухов В.А., Рябов В.В., Толстых А.И. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. № 1855. С. 43. URL: https://cloud.mail.ru/public/5gEy/3XP57XuKZ

6. Иванов М.С., Рогазинский С.В. Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988. - 118 с.

7. Егоров И.В., Ерофеев А.И. Исследование гиперзвукового обтекания плоской пластины на основе сплошносредного и кинетического подходов // Ученые записки ЦАГИ. 1997. Т. XXVIII. № 2. С. 23 - 40.

8. Николаев В.С. Аппроксимационные формулы для локальных аэродинамических характеристик тел типа крыла в вязком гиперзвуковом потоке в широком диапазоне параметров подобия // Ученые записки ЦАГИ. 1981. Т. XII. № 4. С. 143 - 150.

9. Выонг Ван Тьен, Горелов С.Л. Нелинейные явления в разреженном газе в задаче Куэтта // Труды МАИ. 2018. № 10. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=93327

10. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженного газа. - М.: Машиностроение, 1977. - 184 с.

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

11. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. - М.:

Физматгиз, 1959. - 220 с.

12. Bird G.A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows, Clarendon press, Oxford, 1994, 458 p.

13. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. - М.: Мир, 1981. - 320 с.

14. Bird G.A. Monte Carlo simulation of gas flows // Annual Review of Fluid Mechanics, 1978, vol. 10, pp. 11 - 31.

15. Шидловский В.П. Введение в динамику разреженного газа. - М.: Наука, 1965. - 220 с.

16. Егоров И.В., Ерофеев А.И. Исследование гиперзвукового обтекания плоской пластины на основе сплошносредного и кинетического подходов // Ученые записки ЦАГИ. 1997. № 2. С. 23 - 39.

17. Shen C. Rarefied Gas Dynamics: Fundamentals, Simulations and Micro Flows, Springer, Berlin Heidelberg, New York, 2005, 406 p.

18. Альперт Я.Л., Гуревич А.В., Питаевский Л.П. Искусственные спутники в разреженной плазме. - М.: Наука, 1964. - 384 с.

19. Баранцев Р.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. - М.: Наука, 1975. - 344 с.

20. Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. - М.: Машиностроение, 1975. - 328 с.

21. William W. Liou, Yichuan Fang. Microfluid Mechanics: Principles and Modeling, The McGraw-Hill Companies, Inc, 2006, 353 p.

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai.ru/

22. Березко М.Э., Никитченко Ю.А., Тихоновец А.В. Сшивание кинетической и

гидродинамической моделей на примере течения Куэтта // Труды МАИ. 2017.№ 94. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80922

23. Рыжов Ю.А., Никитченко Ю.А., Парамонов И.В. Численное исследование гиперзвукового обтекания острой кромки на основе модели Навье - Стокса - Фурье // Труды МАИ. 2012. № 55. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=30027&eng=N

24. Быков Л.В., Никитин П.В., Пашков О.А. Математическое моделирование процессов обтекания затупленного тела высокоскоростным потоком // Труды МАИ. 2014. № 78. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53445

25. Хатунцева О.Н. Аналитический метод определения профиля скорости турбулентного течения жидкости в плоской задаче Куэтта // Труды МАИ. 2019. № 104. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=102091

26. Никитченко Ю.А. Модели первого приближения для неравновесных течений многоатомных газов // Труды МАИ. 2014. № 77. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=52938