CC BY
2
УДК 533.95
НЕЛИНЕЙНОЕ ИНДУЦИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ АЛЬФВЕНОВСКИХ ВОЛН В ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ
С. А. Белов1'2, С.Ю. Пичугин1
Используя теорию возмущений с точностью до членов второго порядка малости, произведен вывод уравнений, описывающих распространение альфвеновских волн в частично ионизованной плазме. Показано, что альфвенов-ская волна нелинейно индуцирует возмущения плотностей ионной и нейтральной компонент плазмы.
Ключевые слова: альфвеновские волны, частично ионизованная двухжидкостная плазма, нелинейное индуцирование возмущений.
Ранее в ряде работ, в частности в [1-3], было исследовано распространение нелинейных альфвеновских волн в полностью ионизованной плазме. Для различных астрофизических приложений представляет интерес анализ динамики альфвеновских и магни-тоакустических волн в частично ионизованной (ЧИ) плазме [4-8]. В [4-8] исследования проводились в линейном приближении, причем в [5-8] использовалась так называемая двухжидкостная модель, в которой плазма может быть представлена как смесь двух компонент - ионной и нейтральной, где ионная компонента объединяет электроны и ионы. В настоящей работе на основе двухжидкостной модели производится вывод уравнений в нелинейном приближении, описывающих распространение альфвеновских волн и индуцирование ими акустических возмущений в ЧИ плазме.
Исходная система магнитогазодинамических уравнений в ЧИ двухжидкостной плазме выглядит следующим образом [5, 7]:
рг (df + = -VP - MV - К) - 4--B x (V X B),^ + V(pV) = 0,
dB -
— = VX (Vi X B), VB = 0,
1 Самарский филиал ФИАН, 443011 Россия, Самара, ул. Ново-Садовая, 221.
2 Самарский университет, 443086 Россия, Самара, Московское шоссе, 34; e-mail: theor@fian.smr.ru.
ovilJd-T + VvT) - kBH(% + у^Л = 0, P,
\ о. I i * , i i о ( 1 , * i , I ^ t , t
\ dt J m, \ dt ) m,
Pra (it + Vn^V^ = -VPn - a,n(vn - Vi), ^ + V{pnvn) = 0,
r< (dTn , V ^ \ kB Tn (dPn . V ^ \ n p kBTnPn Oy^nPni ~?rr + VnVTn)--+ VnVPn) =0, Pn
r* , ' i t ' nit 1 r\ . ' I It * £ n I t n • \ J
ot ) mn \ ot ) mn
В (1) переменные с индексом i - это параметры электронно-ионной компоненты, а переменные с индексом n - параметры нейтральной компоненты; p,T,P - плотность, температура и давление соответственно; V, B - вектора скорости и индукции магнитного поля; кв - постоянная Больцмана; Oy,, Oyn - теплоёмкости при постоянном объёме; m,,mn - средние молекулярные массы; ain - коэффициент трения между ионами и нейтралами, причем ain = Q,,npipn, - где Qin - константа скорости соударений на единицу массы. При записи уравнений (1) пренебрегалось влиянием диссипативных процессов, обусловленных наличием вязкости, конечной проводимости и теплопроводности.
Рассмотрим линейно-поляризованную по оси x альфвеновскую волну, распространяющуюся вдоль внешнего магнитного поля с вектором индукции B0, направленным вдоль оси z. Тогда, пренебрегая зависимостью переменных от координат x и у, систему уравнений (1) можно записать в следующем виде:
N Bo 8BX пг ч РИ dt + Viz Qz j = 4П dz ain(Vix Vnx), (2)
(dViz + dViz \ кв ( dTi + Tdpi \ Bx dBx
4 +Viz^r) =- m [pi ж+t, ж)- - ain(Viz- Vnz), (3)
dP i + d (PiViz) = 0 (4)
dt + dz 0 ()
dBx д(VizBx) D dViz + Bo~
dt dz dz
O ( dTi + dTi \ к в Ti ( dp i + dp i
0yip\ ~dtt + Viz -dz) - It + Viz Ж d Vnx d Vnx
P n ( dt + Vnz dz ) ain( Vix Vnx),
l'dVnz + V 9УиЛ =_ dTn + T брЛ + _ )
Pn \ dt + Vnz dz J m \ ^n dz + n dz ) + ain(Viz Vnz),
дрп д{риУиг) _ п ^ I дТп , т ^ дТп\ кВ Тп ( др
пп
Супрп[-Ж + Уп*Ж) - -Ж + Уп*Ж) = 0- (10)
Для получения уравнений, описывающих распространение альфвеновской волны в ЧИ плазме, используем теорию возмущений и ограничимся рассмотрением величин вплоть до второго порядка малости по параметру е ^ 1, представляющему собой относительную амплитуду возмущения в волне. Полагаем, что в начальный момент среда не движется. Запишем следующие разложения:
Рг = Рг0 + Рг1 + Рг2, Рп = Рп0 + Рп1 + Рп2, Уг^ = УИ + Уг2, Уп^ = Уп1 + Уп2,
Ti — Tio + Тц + Ti2, Тп — Тпо + Тп\ + Тп2, Вх — Вх\ + Вх2, (11)
Pi1,nl/Pi0,n0 ~ Tii,nl/Ti0,n0 ~ |yn\/Ci ~ |yn\\/cn ~ Bxl/Bo ~ е, Pi2,n2/Pi0,n0 ~ Ti2,n2/Ti0,n0 ~ \ yi2\/ci ~ \ Уп2\/сп ~ Вх2/В0 ~
Ci, cn - скорости звука (см. ниже). Если теперь подставить выражения (11) в уравнения (2)-(10) и ограничиться только членами первого порядка малости, то можно получить следующие линейные уравнения:
2 д2Bxi
дЛ dt2 CA dz2
V0
д 2Вх1 ЛГ2 д2ВХ1 dt2 A дz2
0,
12)
д2pil 2 д2 рц дрц дрп1 _
- + (1 - п)и0—х--— 0,
д-12
дz2
дt
дt
:13)
д2рп1 дt2
2 д2Рп1 . п ч дPi1 . дРп1 „
- Cn+ (1 - + — 0-
Где V0 — ^inP0, Р0 — Pi0 + Рп0, yA
к в Тп
Y
B Тп0
Y
С pi Срп
В0 с2 4пр^ A
В02
2
A 2
4npi0 п
:14)
к в Ti
Ci — Y
B Ti0 2
C
mi
тп УУг СУп
Здесь величины СРг = Суг + кв/тг, СРп = Суп + кв/тп - теплоёмкости ионной и нейтральной компоненты при постоянном давлении; сг,сп - скорости звука в ионной и нейтральной компоненте; Уа - низкочастотная скорость альфвеновской волны; п = рго/р0 - степень ионизации плазмы.
Независимость уравнения (12) от уравнений (13), (14) означает, что альфвенов-ские волны и возмущения плотностей ионной и нейтральной компонент независимы в линейном приближении. Таким образом, если ЧИ плазма не была изначально акустически возмущена, то распространение альфвеновских волн не приводит к появлению в ней акустических возмущений первого порядка, т. е. можно положить, что Рг1, Рп1, Тц, Тп1 ,Угх1,Упх1 = 0 (Угтл,Упх1, ВХ1 = 0). С учетом этого факта уравнения (2)-(10) во втором порядке малости можно свести к следующим уравнениям:
д (д2Вх2 2 д2Вх2 \ (д2Вх2 2 д2ВХ2 \ , Л
х2 - сА-.В2) + м ^В2 - П-.ВХ2) =0, (15)
дг\ дг2 а дг2) \ дг2 а дг2
д2рг2 2д2рг2 . (л . дРг2 дРп2 1 -2 ВХ1 „ п ^
~Ш2~ - + (1 - - - ^-дгхт = 0' (16)
д2Рп2 2 д2Рп2 дРг2 дРп2
-Ж - сп~—п~ - (1 - + = (17)
Уравнение (16) показывает, что альфвеновская волна нелинейно воздействует на акустические возмущения рг2 и рп2 через возмущения магнитного давления В'^.1/8п = Вх/8п. В то же время из (15) - (17) видно, что акустические возмущения второго порядка малости не влияют на возмущения Вх2 в альфвеновской волне. Суммируя уравнения (12) и (15), можно получить следующее уравнение, описывающее распространение альфвеновской волны в ЧИ плазме:
д (д2 Вх 2 д2Вх \ (д2Вх ~ д2ВХ \ , Л
тЫ -сА оФ) + ч -У2 оФ) =0 (18)
Видно, что в рассматриваемом приближении распространение альфвеновской волны в ЧИ плазме описывается линейным уравнением (18), и при этом альфвеновская волна индуцирует возмущения плотностей ионной и нейтральной компонент благодаря градиенту магнитного давления В"^/8п.
Представим решения уравнения (18) в виде
Вх = Ав ехр(-гшЬ + гкг), (19)
где ш = шп - гш1,к - действительно. При этом шп - частота альфвеновской волны, - временной декремент затухания, к - волновое число. Подстановка в (18) выражения (19) позволяет получить дисперсионное соотношение для альфвеновских волн, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля в ЧИ плазме:
ш(щ2 - сА) + т(Ш2 - У2) = 0 (20)
Это соотношение эквивалентно дисперсионному соотношению, полученному в линейном приближении в работе [4]. Решение уравнения (20) в низкочастотном диапазоне, где ши ^ пио, имеет вид
ш = - . (21)
Таким образом, при ши ^ г/ио альфвеновские волны в ЧИ плазме распространяются со скоростью Уд = ши/к с декрементом затухания, обусловленным ионно-нейтральными столкновениями, Ш1 = ш\(1 — п)/2пщ.
Если поперечная компонента магнитного поля Вх в ЧИ плазме эволюционирует в соответствии с выражением Вх = Ав ехр(—ш/г) вт(—шиt + кг), то член, описывающий индуцирование возмущений плотностей в (16), будет иметь вид:
1 д2 В2 1 1
х = — А2вк2 ехр(—2ш/г) со^(—2ш иг + 2кг) = — А2вк2Ие [ехр(—2гш£ + 2гкг)].
8п дг2 4п в ^ ^ ч и .
В соответствии с этим представим частные решения уравнений (16), (17) в виде
Рг2 = Ие |Аг[1 — ехр(—2Ш + 2гкг)]}, рп2 = Ие |А„[1 — ехр(—2Ш + 2гкг)]}. (22)
В области низких частот, где ши ^ пи0, уравнения (16), (17) можно свести к
уравнению для возмущения суммарной плотности плазмы р2 = р^2 + рп2, причем Рг2 = ПР2, Рп2 = (1 — П)Р2:
д2Р2_ г2 д4Р4 = !_ СШ (23)
дг2 См дг2 = 8п дг2 . (23)
Здесь с2м = пс2 + (1 — п)с2п, см - низкочастотная (модифицированная) скорость звука в ЧИ плазме. Если подставить в (23) выражения (22), то можно получить следующее частное решение уравнения (23), описывающее акустические возмущения, индуцированные альфвеновской волной в ЧИ плазме и распространяющиеся со скоростью Уд:
Р2(г,г) = Ие А(к)
1 — ехр ( — к Уд(1 П)г ) ехр[2гк(—Уд1 + г)] иоп
(24)
А2
где А(к) = ——~2-2-В -гт-г. При этом мы воспользовались выражением
16п[У4 — см — гкУА (1 — п)/п^о] (21), справедливым в рассматриваемой низкочастотной области. Как видно из выражения (24), при распространении в ЧИ плазме альфвеновской волны с частотой ши в ионной и нейтральной компонентах плазмы одновременно могут возникать периодические возмущения с частотой 2ши, испытывающие затухание вследствие ионно-нейтральных столкновений. В полностью ионизованной плазме (24) примет вид
Р2(г, г) = 16П(АВ— с2) {1 — со8[2ши(—г + г/Уд)]}.
Из этого выражения получается аналитическое решение (33) в [1] для возмущений продольной скорости, индуцированных альфвеновской волной.
Таким образом, в настоящей работе проведено исследование альфвеновских волн, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля в ЧИ плазме. На основе двух-жидкостной модели с точностью до членов второго порядка малости произведен вывод уравнений для поперечной компоненты магнитного поля и возмущений плотностей ионной и нейтральной компонент плазмы. Выяснено, что при распространении альф-веновских волн в ЧИ плазме происходит нелинейное индуцирование акустических возмущений второго порядка малости в обеих компонентах плазмы. Эти периодические возмущения будут иметь частоту, вдвое превышающей частоту альфвеновской волны.
Работа частично поддержана Министерством науки и высшего образования РФ (государственные задания по темам 0023-2019-0003, FSSS-2020-0014).
ЛИТЕРАТУРА
[1] J. F. McLaughlin, I. De Moortel, A. W. Hood, Astronomy & Astrophysics 527, A149 (2011). DOI: 10.1051/0004-6361/201015552.
[2] S. A. Belov, S. A. Molevich, D. I. Zavershinsky, Phys. Scr. 94(10), 105605 (2019). DOI: 10.1088/1402-4896/ab2f02.
[3] S. Belov, N. Molevich, D. Zavershinsky, Solar Physics 295, 160 (2020). DOI: 10.1007/s11207-020-01726-9.
[4] P. Forteza, R. Oliver, J. L. Ballester, M. L. Khodachenko, Astronomy & Astrophysics 461, 731 (2007). DOI: 10.1051/0004-6361:20065900.
[5] T. V. Zagarashvili, M. L. Khodachenko, H. O. Rucker, Astronomy & Astrophysics 529, A82 (2011). DOI: 10.1051/0004-6361/201016326.
[6] J. L. Ballester, I. Alexeev, M. Collados, et al., Space Sci. Rev. 214, 58 (2018). DOI: 10.1007/s11214-018-0485-6.
[7] N. E. Molevich, S. Yu. Pichugin, D. S. Ryashchikov, Bulletin of the Lebedev Physics Institute 47(8), 252 (2020). DOI: 10.3103/S1068335620080072.
[8] N. E. Molevich, S. Yu. Pichugin, D. S. Ryashchikov, Bulletin of the Lebedev Physics Institute 48(7), 20 (2021). DOI: 10.3103/S1068335621070046.
Поступила в редакцию 16 июня 2022 г.
После доработки 10 сентября 2022 г.
Принята к публикации 16 сентября 2022 г.
