МАГНИТОАКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ ПЛАЗМЕ: СРАВНЕНИЕ ОДНОЖИДКОСТНОЙ И ДВУХЖИДКОСТНОЙ МОДЕЛЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.951

МАГНИТОАКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ ПЛАЗМЕ: СРАВНЕНИЕ ОДНОЖИДКОСТНОЙ И ДВУХЖИДКОСТНОЙ МОДЕЛЕЙ

Н.Е. Молевич1'2, С.Ю. Пичугин1, Д. С. Рящиков1'2

С помощью одножидкостной и двужидкостной моделей проведены расчеты скоростей и инкрементов (декрементов) магнитоакустических волн с учетом реальных условий фотодиссоциативных областей межзвёздной частично ионизованной среды. Показана допустимость использования одножидкостной модели в длинноволновом пределе (для частот волн, меньших частоты нейтрально-ионных столкновений). В коротковолновом диапазоне двужидкостная модель предсказывает появление двух магнитоакустических волн, обусловленных возмущениями только ионной компоненты среды.

Ключевые слова: частично ионизованная плазма, магнитоакустические волны, тепловыделение.

Введение. Частично ионизированная (ЧИ) плазма встречается во многих различных астрофизических средах, например, относительно холодных слоях и структурах солнечной атмосферы, межзвездном газе, планетарных ионосферах, и демонстрирует богатство физических эффектов, которых нет в полностью ионизированных плазменных средах [1, 2]. В тепловыделяющей полностью ионизованной плазме альфвеновские волны устойчивы, а конденсационная и магнитоакустические (МА) моды могут усиливаться при условии изобарической и изоэнтропической тепловой неустойчивости, соответственно [3, 4]. В ЧИ плазме надо дополнительно учитывать трение, возникающее за счет ионно-нейтральных столкновений, и появление новых мод [5-7]. Исследования

1 Самарский филиал ФИАН, 443011 Россия, Самара, ул. Ново-Садовая, 221; e-mail: theor@fian.smr.ru.

2 Самарский университет, 443086 Россия, Самара, Московское ш., 34.

проводились с использованием как одножидкостной модели плазмы [5], так и двух-жидкостной модели [6, 7], в которой плазма может быть представлена как смесь двух компонент - ионной и нейтральной, причем ионная компонента объединяет электроны и ионы. При этом эффекты, связанные с наличием в среде тепловыделения, в [6, 7] не учитывались. В [8, 9] на основе двухжидкостной модели нами проведено исследование дисперсионных свойств как конденсационных мод, так и МА волн в ЧИ тепловыделяющей плазме во внешнем магнитном поле. В настоящей работе проводится сравнение результатов расчетов характеристик МА волн в изоэнтропически неустойчивой тепловыделяющей ЧИ плазме с использованием одножидкостной и двухжидкостной моделей.

Двужидкостная и одножидкостная модели. Система магнитогазодинамических уравнений в ЧИ двухжидкостной плазме с источниками тепловыделения выглядит следующим образом [6, 8]:

Рг\ д^Г + УУ V

-УРг - агп{Уг - К) - -1 В х (Ух В),

4п

дР■ -> дВ ->

+ У(рУ) = 0, — = Ух (V х В), У В = 0,

(ЗТг квТ (дрг - \ квТгРг

Су ^¿рЛ — + - УТЛ - -— ( -д- + -УрЛ = _р^(р,,Т), Р = т К

дУп

дрп

рп\ -д^ + УпУУп = -УРп - ап(уп - У), — + У(рпуп) = 0,

СУ <хпрп -КГ + УпУТп - в п

дг

Шп

дрп

дг

+ УпУрп = -рп^п(рп,Тп), Рп

кв Тпрп

Шп

В (1) переменные и функции с индексом г - параметры ионной компоненты, а с индексом п - параметры нейтральной компоненты, р,Т, Р - плотность, температура и давление соответственно, V, В - вектора скорости и индукции магнитного поля, к в - постоянная Больцмана, Су, Сусхп - высокочастотные теплоёмкости при постоянном объёме, Шп - масса нейтральных частиц, Ш - эффективная масса частиц ионной компоненты, равная половине массы иона, практически не отличающейся от шп, агп - коэффициент трения между ионами и нейтралами, причем агп = Пгпргрп, где Пгп - константа скорости ионно-нейтральных соударений, (рг,Тг), Шп(рп, Тп) - обобщенные источники теплопотерь, при этом Ш = Ь - Q, где Q - удельная мощность нагрева, а Ь -удельная мощность охлаждения. При записи уравнений (1) пренебрегалось влиянием

диссипативных процессов, обусловленных наличием вязкости, конечной проводимости и теплопроводности, а также влиянием теплопередачи между нейтральной и ионной компонентами.

Будем считать, что вектор индукции стационарного магнитного поля B0 находится в плоскости x,z, т. е. B0 = B0 sin ах0 + B0 cos az0, где а - угол между вектором B0 и осью z, Хо, Zz0 - единичные вектора. Далее будем рассматривать динамику возмущений только вдоль оси z. Таким образом, зависимостями от x и у можно пренебречь (д/дх = д/ду = 0). Также учтем, что в стационарных условиях для обеих компонент отток энергии уравновешен притоком тепла, т. е. Wi(pi0,Ti0) = 0, Wn(pn0,Tn0) = 0. Полагаем, что в начальный момент среда не движется. Решая уравнения (1) в первом порядке теории возмущений, можно получить линейные уравнения, в которые входят только малые возмущения Bx,pi и pn соответственно х - компоненты вектора индукции магнитного поля, плотности ионной и нейтральной компонент (Bx/B0 ~ pin/pi0n0 ~ £ ^ 1) [9]. Подстановка в эти уравнения выражений Bx = Лв exp(-iut + ikz), р = Ai exp(-iut + ikz), pn = An exp(-iut + ikz) позволяет получить следующее дисперсионное соотношение, связывающее частоту ш и волновое число k МА волн в ЧИ двухжидкостной плазме с тепловыделением [9]:

,2 s

ш

Di(w, k)Dn(ш, k) = i—иг,

Pío , /т^2 2 ш + iVni

di(u,k)^° + ( Vi cos2 а PnoA

ш

ш + i(Vin + Vni) k2 ' Dn(^ k)

+

В (2)

+v2 cos2 а

iVi,

ш + i(Vin + Vni)

Ш

с, —

k2

Ш

D.(.,k) - iVni

. 2\ . ,4 ,2 2 r>2

Di(u, k) = ü? ( Vi cos2 а - + k¡ - k¡ Ví D.(ш, k) = Ü - |, V2 = ^■

kB Tío Cp oí - iuTiCp ^г mi Cvoí - iuTiCvooi

Vni ^inPio ■ Vin ^inPno ■

Ti

kB Tío miQio

kB T,

Tn

в Tno mnQ.o

kB T.o Cp o. - i.T.Cp^n

mn Cvo. - i.T.Cvron'

_ kBwotí n _ kB(wotí - Wopi) Cv oí = -■ cp oí = -■

_ kB WoTn n Cvo. = ■ cp o.

mn

mi mi _ kB (WoTn - Wopn) m. '

w _ Tío f dWi\ Pío f dWt

WoTi = оД ж) o ■ Wopi = Qo\ ~d~P,

Wo

Tn

no

oTn

Q.o V dT,

dW„

no

Wo

io Pno f dW,

opn

Q.o\ dP

no

2

2

n

где ипг, щп - частоты нейтрально-ионных и ионно-нейтральных столкновений, Суог, Срог и Суоп, Сроп - эффективные низкочастотные теплоёмкости ионной и нейтральной компоненты при постоянном объеме и давлении в тепловыделяющей среде [4], Уд - скорость альфвеновских волн, тг,тп - характерные времена нагрева ионной и нейтральной компоненты.

Перейдем к рассмотрению МА волн в ЧИ тепловыделяющей плазме, используя од-ножидкостную модель. Имеем следующие выражения для скорости движения центра масс, относительной скорости, суммарной плотности и давления:

V ргУ + рпУпг -> V V , г> г> , г>

V =-;-, ш = У — Уп, р = рг + рп, Р = Рг + Рп.

Рг + Рп

В одножидкостной модели плазмы предполагается равенство температур ионной и нейтральной компонент Тг = Тп + Т .В этом случае, учитывая, что у = у + СпШ, Уп = У — СгШ (£г = рг/р, Сп = рп/р), из (1) можно получить уравнения

р'ж + У уУ) = —уР — 4ПВ х (у х В) — рСгСпШУШ — р(уУ)(Сп Ш)+

+£пр(уУ)ш,др + У(рУ) = 0, (3)

р(£гСУтег + СпСУ теп)

квТ ( д£гр

дТ -

ж +У УТ

тг \ дЬ квТ ( д^пр

+ рСгСп(СУ тег — СУ теп)ШУТ—

+ УУ£гр + СпШУ&р ) —

тп \ дЬ

+ У У^пр — СгШУСпр) = —р(^г + ^п),

= Ух (у х В) + Ух (СпШ х В),Р = кврТ{^- + дЬ \ тг тп

где для относительной скорости имеем следующее выражение [7]:

Ш = — (СгУРп — СпУРг — ^ в- х (Ух В)

агп \ 4п

Подставляем в (3)-(4) следующие разложения

р = ро + р, У = У= Ш, Т = То + Т, Р = Ро + Р,

Рг = Рг0 + Рг, Рп = Рп0 + = -Во + В = £¿0 + р £п = Спо + р

где р/ро ~ T/T0 ~ P/Pq ~ Pi,n/Pi0,n0 ~ |/cs ~ ^/cs ~ B|/|Bq| ~ е < 1, cs - скорость звука (см. ниже). Будем полагать, что ~ £,n/£,n0 ~ е2- Если ограничиться толь-

ко членами первого порядка малости, то из (3)-(4) тогда можно получить следующие уравнения для малых возмущений Bx и р вдоль оси z в ЧИ тепловыделяющей плазме, находящейся в стационарном магнитном поле, вектор индукции которого лежит в плоскости x, z:

д3 Bx dt3

BQ

1 2 sin 2 a\ d 3Bx 2Bq sin ad 3р

4пр0 уn П + 1 7 dtdz2 pQ(n + 1) dt3

ainQ

TS CvooS^T

d 2Bx

pon(1 - n) \ dt2

BQ2 cos2 a d2 Bx BQ sin a d2р

4np0 dz2

d f d2p 2 d2p \

- cSs^r + C

dt V dt2 dt2) + cvqs V dz2

Po

dt2

d2p 2 d2p4

c

os

dz2

BQ sin a 4n

d3B d2B

xx TSCVooS о + CVQS~

dtdz2

dz2

(6)

где n = P-q/Pq = &q - степень ионизации плазмы, aM = H-nP-oPno, Cvos = nCvo +

(1 - n)Cv<x>n, CvQS = TsAtq, CpQS = (CvQS - TsРоЛро/То, Qsq = nQ-0 + (1 - n)QnQ, Ts kß To

ms Qso'

Yo

Л

T 0

kß To

n

dWi

+ (1 - n)

ß TQ „2

■os

dT d±i / 0

kß Tq

Yqs-, Yos

Ж) , Лр0

CP

n

P QS

ms

dW-dPi / o

mimn

+ (1 - n)2

mn

nmn + (1 - n)m- 1 + n

dW„

dpn

lo

тя тя Суоя'

СР теЯ/СУ теЯ = СР тег/СУ тег = СР теп/СУ теп.

Подстановка в (5)-(6) выражений Вх = Ав ехр(—гшЬ + гкг), р = Ар ехр(—гшЬ + гкг) позволяет получить следующее дисперсионное соотношение для МА волн в одножид-костной модели:

квТо СРоя — гштяСРооЯ

ms Cvos - iuTsCvoos

Ш2 k2

'2 7 2 2 2 Л I

Ш — k cA cos U +

iuk2c2A(1 - n)(1 + n cos2

von(1 + n)

где c2A

Bl

4npo

2 2 2 ш cA sin U

iui(1 - n) vq(1 + n)

1

= П^а2, VQ = Vin + vni = ^inPl-

МА волны в ЧИ газе, описываемые двужидкостной и одножидкостной моделями. Проведем сравнение предсказаний дисперсионных соотношений (2) и (7), полученных в

f

+

0

о

2

двужидкостном и одножидкостном приближениях, соответственно. Расчеты были проведены с учетом условий, характерных в астрофизических исследованиях для термически неустойчивых областей фотодиссоциации межзвездной среды [10]: Тго = Тпо = То = 1000 К, V) = 5 х 10-5 с-1, п = 10-4, = 5/3, 7го = 7по = 7яо = 2, т^ = 2 х 109 с, (дШг/дТ)о = (ОШп/дТ)о = 0.06 эрг/(с-г-град), 4/с\ = 1.75.

На рис. 1(а) представлены расчетные зависимости скоростей V = И,е(ш)/к МА волн от волнового числа к при а = 45°, полученные как с использованием дисперсионного соотношения (2) (двухжидкостная модель), так и с использованием соотношения (7) (одножидкостная модель). Скорости быстрой МА волны, рассчитанные с использованием двухжидкостной и одножидкостной моделей, практически одинаковы. Расчетные скорости медленной волны также весьма близки, при этом они обращаются в ноль при к > 5 х 10-14 см-1 (медленная МА волна в этом случае перестает распространяться). Однако для более коротких длин волн расчеты с использованием двухжидкостной модели показывают возможность возникновения дополнительных МА волн. Одна из них появляется при к > 10-12 см-1 и имеет скорость, намного превышающую скорость МА волн в области малых значений к. Расчетная скорость этой волны при к > 10-11 см-1 совпадает со скоростью Уа распространения альфвеновской волны. Еще одна дополнительная волна возникает при к > 10-1° см-1 и достигает скорости звука ся. Полученные с помощью двухжидкостной модели результаты могут быть объяснены тем, что в коротковолновой области, когда частоты волн превышают среднюю частоту столкновений // = 2г/(1 — г/)ио = 10-8 с-1 [7], ионы и нейтралы слабо взаимодействуют друг с другом за период колебаний волны, что способствует появлению быстрой и медленной МА волн, обусловленных возмущениями только ионной компоненты. При этом, когда Уа ^ сг (сг - скорость высокочастотного звука в ионной компоненте) скорости этих волн при а = 45° достигают значений c<xf = Уа и = сг/\[2 = соответственно [4]. Назовем эти МА волны быстрой ионной и медленной ионной волнами соответственно. В диапазоне 2 х 10-13 < к < 4 х 10-12 см-1 расчеты показывают также возможность возникновения двух дополнительных МА волн, распространяющихся со скоростями, намного меньшими скорости быстрой МА волны (тонкие пунктирные кривые).

На рис. 1(Ь) приведены результаты расчетов инкрементов (1ш(ш) > 0) и декрементов (-1ш(ш) > 0) МА мод. При этом значения 1ш(ш) быстрой и медленной МА волн, рассчитанные на основе двухжидкостной и одножидкостной моделей практически одинаковы. Как показывают расчеты, в исследуемых условиях изоэнтропической неустойчивости (7^о > 7^) [3] быстрая МА волна усиливается только в длинновол-

Рис. 1: (а) Скорости МА волн, рассчитанные на основе одножидкостной (значки) и двухжмдкостной (кривые) моделей. Сплошная кривая и кружки соответствуют быстрой МА волне, штриховая кривая и ромбики - медленной МА волне, штрих-пунктирная кривая - быстрой ионной волне, толстая серая кривая - медленной ионной волне. Тонкие пунктирные кривые - две дополнительные медленные МА волны. (Ь) Значения |/ш(ш)| МА мод, рассчитанные с помощью одножидкостной (значки) и двухжидкостной (кривые) моделей. Пунктирная кривая и черные кружки - инкремент быстрой МА волны, остальные кривые и значки соответствуют отрицательным значениям 1ш(ш). Сплошная кривая и кружки - декремент быстрой МА волны, штриховая кривая и ромбики - декремент медленной МА волны, штрихпунктирная и толстая серая кривая - декременты быстрой и медленной ионной волны соответственно. Квадраты, треугольники и тонкие серые линии - нераспространяющиеся ("энтропийные" [7]) моды с Яе(ш) = 0.

новой области (к < 10-14 см-1) с максимумом инкремента при кт ~ 2 х 10-15 см-1 (И.ешт ^ 10-9 с-1), что согласуется с формулой тя И.е Шт = (СуояСроя/Су^яСр^я)1/2 [11]. Медленная, быстрая ионная и медленная ионная МА волны будут иметь положительный декремент во всем диапазоне волновых чисел, то есть не усиливаются. Как видно из рис. 1(Ь) декременты быстрой и медленной ионных волн одинаковы и намного превышают декремент быстрой МА волны.

Заключение. В настоящей работе проведено исследование МА волн в ЧИ тепловыделяющей плазме с помощью дисперсионных соотношений, полученных в двужидкостном и одножидкостном приближениях. Проведены численные расчеты скоростей и коэффициента усиления (ослабления) МА мод с учетом условий, характерных для термически неустойчивых областей фотодиссоциации межзвездной среды, и осуществлено сравне-

ние результатов, полученных на основе двух моделей. В случае, когда частота МА волн много меньше средней частоты V столкновений между ионами и нейтралами, расчеты с использованием одножидкостной и двухжидкостной моделей ЧИ плазмы приводят к практически одинаковым результатам. Однако в области, где частота МА волн превышает значение V, появляются существенные отличия в результатах, полученных на основе различных моделей. Расчеты с помощью двухжидкостной модели приводят к появлению в высокочастотной области дополнительных МА мод, что объясняется возможностью распространения высокочастотных МА волн отдельно в ионной компоненте ЧИ плазмы.

Работа частично поддержана Министерством науки и высшего образования РФ (государственные задания по темам 0023-2019-0003, FSSS-2020-0014).

ЛИТЕРАТУРА

[1] I. Ballai, Frontiers in Astronomy and Space Sciences 6, 39 (2019).

D0I:10.3389/fspas.2019.00039.

[2] J. L. Ballester, I. Alexeev, M. Collados, et al., Space Sci. Rev. 214, 58 (2018).

D0I:10.1007/s11214-018-0485-6.

[3] J. Heyvaerts, Astron. & Astrophys. 37(1), 65 (1974).

[4] D. I. Zavershinskii and N. E. Molevich, Astrophysics & Space Science 358, 22 (2015).

D0I:10.1007/S10509-015-2418-0.

[5] P. Forteza, R. Oliver, and J. L. Ballester, Astron. & Astrophys. 492, 223 (2008).

D0I:10.1051/0004-6361:200810370.

[6] T. V. Zagarashvili, M. L. Khodachenko, and H. O. Rucker, Astronomy & Astrophysics

529, А82 (2011). D0I:10.1051/0004-636/201016326.

[7] R. Soler, M. Carbonell, and J. L. Ballester, Astrophysical journal. Supplement series

209(1), 16 (2013). DOI: 10.1088/0067-0049/209/1/16.

[8] N. E. Molevich, S. Yu. Pichugin, and D. S. Ryashchikov, Bulletin of the Lebedev

Physics Institute 47(1), 1 (2020). D0I:10.3103/S1068335620010054.

[9] N. E. Molevich, S. Yu. Pichugin, and D. S. Ryashchikov, Bulletin of the Lebedev

Physics Institute 47(8), 252 (2020). D0I:10.3103/S1068335620080072.

[10] К. В. Краснобаев, Р. Р. Тагирова, Письма в астрономический журнал 45(3), 192

(2019).

[11] N. E. Molevich and A. N. 0raevskii, Sov. Phys. JETP 67(3), 504 (1988).

Поступила в редакцию 18 февраля 2021 г.

После доработки 26 мая 2021 г. Принята к публикации 27 мая 2021 г.