CC BY
6
УДК 533.951
МАГНИТОАКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ДВУХЖИДКОСТНОЙ ПЛАЗМЕ С ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ
Н.Е. Молевич1'2, С.Ю. Пичугин1, Д. С. Рящиков1'2
В компактной форме получено дисперсионное соотношение для магнитоакустических волн в частично ионизованной тепловыделяющей плазме, находящейся во внешнем магнитном поле. Произведены расчеты инкрементов медленных и быстрых модифицированных магнитоакустических волн в случае изоэнтропической неустойчивости, демонстрирующие их сильную зависимость от степени ионизации и частоты ионно-нейтральных столкновений.
Ключевые слова: магнитоакустические волны, частично ионизованная плазма, тепловыделение, изоэнтропическая неустойчивость.
Введение. Магнитная гидродинамика допускает существование четырех типов мод, включая альфвеновскую, конденсационную, быструю и медленную магнитоакустиче-скую (МА) моды. В [1-4] было показано, что в тепловыделяющей полностью ионизованной плазме альфвеновские волны устойчивы, а конденсационная и МА моды могут усиливаться при условии изобарической и изоэнтропической тепловой неустойчивости соответственно. Для различных астрофизических приложений представляет интерес исследование динамики МА волн в частично ионизованной (ЧИ) плазме [5-8]. Причём, для описания динамики мелкомасштабных (высокочастотных) возмущений необходимо учитывать трение, возникающее за счет ионно-нейтральных столкновений [6-8]. Показано, что одножидкостная модель не может корректно описать дисперсионные свойства МА мод на этих масштабах. Поэтому в работах [6, 7] использовалась так называемая двухжидкостная модель, в которой плазма может быть представлена как смесь двух компонент - ионной и нейтральной, причем ионная компонента объединяет электроны и
1 Самарский филиал ФИАН, 443011 Россия, Самара, ул. Ново-Садовая, 221; e-mail: molevich@fian.smr.ru.
2 Самарский университет, 443086 Россия, Самара, Московское ш., 34.
ионы. При этом эффекты, связанные с наличием в среде тепловыделения, в [6, 7] не учитывались. В [9, 10] на основе этой модели нами проведено исследование дисперсионных свойств конденсационных мод в ЧИ тепловыделяющей плазме во внешнем магнитном поле, в результате которого проанализировано влияние степени ионизации на величину и анизотропию инкремента в случае изобарической неустойчивости среды. В настоящей работе двухжидкостная модель используется для исследования дисперсионных свойств МА волн в изоэнтропически неустойчивой тепловыделяющей ЧИ плазме.
Теоретический анализ. Система магнитогазодинамических уравнений в ЧИ двух-жидкостной плазме с источниками тепловыделения выглядит следующим образом [6, 9]:
Рг\ ^ + КУК
-УРг~ агп [Уг- К
- ¿В х (Ух В),
дР■ дВ
+ У(рг У) = 0, = Ух (У х В), У В = 0,
Су^грг ( дТг + У УТг) - т + У Ург) = -Рг^ (Рг,Т), Р = ^^5
Рп I ^ + УпУ Уп \ = -УРп - агп (Уп -У), ^ + У (Рп Уп) = 0,
дь
дЬ
СУ <хпрп
дТп дЬ
+ УпУТп -
квТп ( 9р.
Шп
дЬ
+ УпУ Рп
-Рп1^п(Рп,Тп), Рп = кв ТпРп . (1)
Шп
В (1) переменные с индексом "г" - это параметры ионной компоненты, а переменные с индексом "п" - параметры нейтральной компоненты, Р, Т, Р - плотность, температура и давление соответственно, V, В - вектора скорости и индукции магнитного поля, к в -постоянная Больцмана, Суг, Су- высокочастотные теплоёмкости при постоянном объёме, шг, шп - средние молекулярные массы, агп - коэффициент трения между ионами и нейтралами, причем агп = Пгпргрп, где Пгп = {ау)/(шг + Шп) - константа скорости соударений на единицу массы, а - сечение ионно-нейтральных столкновений, V - относительная скорость между частицами ионной и нейтральной компоненты, Шг(рг,Тг), Шп(рп,Тп) - обобщенный источник теплопотерь, при этом Ш(р,Т) = Ь(р,Т) - Q(р,T), где Q(p,T) - удельная мощность нагрева, а Ь(р,Т) - удельная мощность охлаждения. При записи уравнений (1) пренебрегалось влиянием диссипативных процессов, обусловленных наличием вязкости, конечной проводимости и теплопроводности, а также влиянием теплопередачи между нейтральной и ионной компонентами.
Линеаризуем уравнения (1). Полагаем, что в начальный момент среда не движется. Запишем следующие разложения:
Pi — Pi0 + Pi, Pn — Pn0 + Pn, Vi — Vi, Vn — Vn,
Ti — Tío + Ti, Tn — Tno + Tn, Pi — PÍO + Pi, Pn — Pno + Pn, B — BQ + B,
(2)
где Pi,n/Pi0,n0 ~ Ti,n/Ti0,n0 ~ Pi,n/Pi0,n0 ~ \Vil/Oi ~ |Fn|/cn ~ |B|/|Bq| ~ £ << 1, Ci, Cn -высокочастотные скорости звука (см. ниже), £ - величина первого порядка малости. В дальнейшем будем проводить исследования в декартовой системе координат x, у, z. При этом будем считать, что вектор индукции стационарного магнитного поля находится в плоскости x, z, т. е. B0 — B0 sin вх0 + B0 cos Bz0, где В - угол между вектором B0 и осью z, x0, z0 - единичные вектора. Далее будем рассматривать динамику возмущений только вдоль оси z. Таким образом, зависимостями от x и y можно пренебречь (д/дх — д/ду — 0). Также учтем, что в стационарных условиях для обеих компонент отток энергии уравновешен притоком тепла (т. е. Wi(Pi0,Ti0) — 0, Wn(Pn0,Tn0) — 0). Если теперь подставить выражения (2) в уравнения (1) и ограничиться только членами первого порядка малости, то можно получить следующие уравнения, связывающие возмущения плотности в ионной и нейтральной компонентах между собой и с возмущениями магнитного поля:
д_ at
д 2Br 2 2п д 2BX . ^B.
- cA cos В+ (Vin + vni)
дt2
дz2
at
д 2 B
2 2 n a
- VniCA cos B-^zp
B0 sin В
Pío
д3 Pi + ( + ) c32pi дt3 +(Vin + Vni) 6t2
' icVmi дt
д 2p,
+cv oí
дt2
д2 Pi дt2
i_ 2 д2pi + Í OPi _ pq &Pn Ci Oz2 + VinV dt pno oí
C
0i
д2 pi Oz2
+ Vi.
OPí дЬ
Pío дРи Pno дЬ
B0 sin В
4n
tícv
Vi
O3B д2 Bx
+ CV oí'
dtdz2
tC A
TncVoon rv.
oí
д2 pn 2 д 2pn
n 2 w Hn
~ ~ Vin
oí2 n dz2
Oz2
Opi Pi0 Opn
oí
Pno oí
+ Cv 0n
д2pn 2 O2pn + f Op _ Pi0_ Oppn
Oí2 C0n Oz2 + Vin{ Oí pno Oí
+
+
0.
(3)
В (3) уПг = ПгпРго, Щп = ПгпрпО - частоты нейтрально-ионных и ионно-нейтральных столкновений соответственно,
~2 В0 2 кВ ТгО 2 кв ТпО 2 кв ТгО 2 кв ТпО
ПА = ~л-, С = -, Сп = -, СОг = 70г-, с0п = Т0п-,
4прю Шг Шп Шг ш,п
= кв Тго = кв ТпО = Ср^г = Ср^п = Срог = Сроп
тг , тп , Т^ , ^Ог ^ , У0п ,
Шг(гО ШпЦпО Сужг Су^п Суог Суоп
квШотг п _ кв 'отг - ШОрг) „ _ квШотп п _ кв'ОТп - '^Орп)
СУ Ог = -, СР Ог = -, СУ Оп = -, СР0п = -,
Шг Шг Шп Шп
Ш = Т\ (дЩ\ = р^ /дЩ
°Тг <^гО\ дТг ) О , 0рг ((гО \ дрг ) О
тя/ _ ТпО (дШп \ тя/ _ РпО (дШп
'ОТп = 7:— , 'Орп
(пО V дТп) О (пО V дРп / О
Здесь величины ИР= Су+ кв /тг, NРп = Суп + кв/шп - высокочастотные теплоёмкости ионной и нейтральной компоненты при постоянном давлении, СуОг, СрОг и СуОп, СрОп - эффективные низкочастотные теплоёмкости ионной и нейтральной компоненты при постоянном объеме и давлении в тепловыделяющей среде [3]. Также введены обозначения для скоростей волн: сг, сп и сОг, сОп - высокочастотные и низкочастотные скорости звука в ионной и нейтральной компоненте, соответственно, с а - скорость альф-веновских волн. Величины тг и тп - характерные времена нагрева ионной и нейтральной компоненты, при расчете которых считается (гО = (г(рОг,ТОг), (пО = (п(рОп,ТОп).
Линейные уравнения (3) описывают динамику малых возмущений в тепловыделяющей ЧИ плазме, находящейся во внешнем магнитном поле. В настоящей работе эти уравнения используются для исследования МА волн, распространяющихся в данной среде. Подстановка возмущений магнитного поля и плотности в (3) в виде
Вх = Ав ехр(—гш1 + гкг), рг = Аг ехр(-гш1 + гкг), рп = Ап ещ^—гшЬ + гкг), (4)
где ш и к - частота и волновой вектор МА волны, позволяет получить следующее дисперсионное соотношение:
Вг(ш, к)В,п(ш, к) = гШ
п I 1 \ ргО , ( 2 2п ш + гупг ш \ п I 1\
Вг(ш, к)--+ [Са сое в——-■-- - — Вп(ш, к)
рпО \ Ш + г(Угп + Упг) к2
+
+с2 2 в ^гп ~2 ш
+Са соь в-—-- Сг ——
ш + г(Угп + Упг) \ к2
2ш
Вп(ш,к) - гУпг. (5)
Здесь:
1Ч -2(2 2 л шЛ Ш4 ш2 2 т-л г 1 \ ~2 Ш2 Вг(ш,к) = С ( Са с^ в - к2) + - ^ Вп(ш,к) = Сп - ,
~2 _ kBTi0 Cpoi — ÍUTíСрmí ~2 _ kBTn0 CP0n — 1ШТпСрмп /„\
Ci /—1 ' /—1 у Cn /—1 ' /—1 ' \6/
mi CV 0i — гшп CV Mi mn CV 0n — ^TnCV жп
Дисперсионное уравнение (5) для МА волн в тепловыделяющей частично-ионизованной плазме записано в компактном и физически понятном виде, допускающем предельные переходы к известным дисперсионным соотношениям, полученных для других условий среды распространения. Действительно, Di(u,k) _ 0 - это дисперсионное соотношение для МА волн в полностью ионизованной (pn0 _ 0) тепловыделяющей плазме в магнитном поле [3], Dn(u,k) _ 0 - дисперсионное соотношение для акустических волн в нейтральном (pi0 _ 0) тепловыделяющем газе. Как видно из (6), без учета обобщенного источника теплопотерь (Wi _ 0, Wn _ 0) имеем ~2 _ c2, ~n _ (?n (то есть совпадение со скоростями звука в ионной и нейтральной компонентах), и уравнение (5) переходит в дисперсионное соотношение для МА волн в ЧИ плазме без тепловыделения [7].
Если k _ kj - действительное число, то выражения (4) описывают волны, распространяющиеся в ЧИ плазме с частотой шр и скоростью шр/kj с временным коэффициентом усиления Ш1 (если Ш1 > 0) либо коэффициентом ослабления (если Ш1 < 0), где Шj _ шр + гш1 - решения уравнения (5) при k _ kj. При этом, как показано в [7], в ЧИ тепловыделяющей плазме будут распространяться модифицированные МА волны, в которых одновременно возмущается и ионная, и нейтральная компоненты. Дисперсионное соотношение для МА волн в ЧИ плазме без тепловыделения можно преобразовать в уравнение относительно только безразмерной переменной ш* _ ш/kci, содержащее в качестве параметра нормализованную среднюю частоту столкновений ионов и нейтралов V* _ (pi0vin + pn0vni)/kci(pi0 + pn0) [7]. В случае тепловыделяющей плазмы дисперсионное соотношение (5) после такого преобразования будет содержать еще один дополнительный безразмерный параметр k* _ k/kiT, где kiT _ CVoí/(tíCvMici). В областях шрtí << CV0i/CVMi (низкочастотная) и шртг >> CV0i/CVMi (высокочастотная) будут выполняться условия шрk* << 1 и шрk* >> 1 соответственно.
Уравнение (5) позволяет рассчитать инкремент/декремент модифицированных МА волн при заданных параметрах среды. Как пример, на рис. 1, 2 приведены расчеты зависимостей ш* от параметра k* при различных значениях V* в условиях изоэнтропи-ческой неустойчивости: ym < Yo-í, Ym < Y0n [3]. Расчеты проводились для следующих условий: Ym _ 5/3, Yoí _ Yon _ 2, m- _ mn/2, T-o _ Tno, (dW-/dT-)o _ (dWn/dTn)o при тех же значениях степени ионизации ц _ pi0/(pi0 + pn0), при которых проводились расчеты без учета тепловыделения в [7]. При этом нами исследовались только варианты, когда средняя частота ионно-нейтральных столкновений намного превышает частоту МА волн: V* >> 1.
Рис. 1: Расчетные зависимости ш* от к* при V* = 100 (штриховая кривая) и V* = 1000 (сплошные кривые) для модифицированных быстрой (а) и медленной (Ь) МА волн при в = п/4 и са/сг = 5 для степени ионизации п = 5/6. На рис. 1(Ь) кривые, построенные по результатам расчетов при V* = 100 и V* = 1000, сливаются.
Рис. 2: Расчетные зависимости ш* от к* при V* = 100 (штриховые кривые) и V* = 1000 (сплошные кривые) для модифицированных быстрой (а) и медленной (Ь) МА волн при в = п/4 и са/сг = 5 для степени ионизации п = 0.05.
Как видно из рис. 1,2, области неустойчивости (ш1 > 0) модифицированных быстрых и медленных МА волн сильно зависят от степени ионизации, поэтому при анализе волн в ЧИ газе необходимо это учитывать. В случае сильной ионизации (рис. 1) инкремент медленной МА волны в максимуме (к* ~ 1) превышает на порядок максимальный инкремент быстрой МА волны при V* = 1000, а при V* = 100 быстрая МА волна поглощается во всем диапазоне к*. Это коррелирует с известными результатами. С одной стороны, в сильном магнитном поле (са/сг > 1) быстрая МА волна в полностью ионизированной изоэнтропически неустойчивой среде усиливается значительно меньше, чем медленная МА волна [2]. С другой стороны, затухание модифицированной быстрой МА
волны без учетов эффектов теплового дисбаланса, связанное с ион-нейтральными соударениями, намного превышает затухание модифицированной медленной МА волны и имеет максимум при V* ~ 1 [7]. В случае более слабой ионизации при гг* >> 1 МА волны по своим свойствам приближаются к свойствам акустической волны (распространяющейся в нейтральной компоненте) и их инкременты становятся сравнимы по величине (рис. 2).
зЗаключение. В настоящей работе проведено исследование МА волн в ЧИ тепловыделяющей плазме, находящейся в магнитном поле. Найдено и представлено в компактной форме дисперсионное соотношение для модифицированных МА волн в рассматриваемой среде и проведены численные расчеты коэффициента усиления (ослабления) при различных значениях степени ионизации и частоты ионно-нейтральных столкновений. Результаты расчетов показывают, с одной стороны, возможность усиления МА волн в ЧИ плазме в условиях изоэнтропической неустойчивости, с другой стороны, - сильную зависимость областей усиления для медленной и быстрой МА волн от степени ионизации и частоты ионно-нейтральных столкновений.
Работа поддержана Минобрнауки РФ в рамках государственного задания вузам и научным организациям, проекты 0023-2019-0003, Е888-2020-0014.
^HTEPATYPA
[1] J. Heyvaerts, Astron. & Astrophys. 37(1), 65 (1974).
[2] R. Chin, E. Verwichte, G. Rowlands, V. M. Nakariakov, Physics of Plasmas 17(3), 032107 (2010). DOI: 10.1063/1.3314721.
[3] D. I. Zavershinskii, N. E. Molevich, Astrophysics & Space Science 358, 22 (2015). DOI: 10.1007/S10509-015-2418-0.
[4] S. A. Belov, N. E. Molevich, D. I. Zavershinsky, Phys. Scr. 94(10), 105605 (2019). DOI: 10.1088/1402-4896/ab2f02.
[5] D. Martinez-Gomez, R. Soler, J. Terradas, Astrophysical Journal 837, 80 (2017). DOI: 10.3847/1538-4357/aa5eab.
[6] T. V. Zagarashvili, M. L. Khodachenko, H. O. Rucker, Astronomy & Astrophysics 529, A82 (2011). DOI: 10.1051/0004-636/201016326.
[7] R. Soler, M. Carbonell, J. L. Ballester, Astrophysical Journal. Supplement series 209(1), 16 (2013). DOI: 10.1088/0067-0049/209/1/16.
[8] J. L. Ballester, I. Alexeev, M. Collados, et al., Space Sci. Rev. 214, 58 (2018). DOI: 10.1007/s11214-018-0485-6.
[9] N. E. Molevich, S. Yu. Pichugin, D. S. Ryashchikov, D. I. Zavershinsky, Bulletin of the Lebedev Physics Institute 45(9), 267 (2018). DOI: 10.3103/S1068335618090038.
[10] N. E. Molevich, S. Yu. Pichugin, D. S. Ryashchikov, Bulletin of the Lebedev Physics Institute 47(1), 1 (2020).
Поступила в редакцию 11 апреля 2020 г. После доработки 28 июня 2020 г. Принята к публикации 29 июня 2020 г.
