АНИЗОТРОПИЯ ИЗОБАРИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.951

АНИЗОТРОПИЯ ИЗОБАРИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Н.Е. Молевич1'2, С.Ю. Пичугин1, Д. С. Рящиков1'2

Получены линейные уравнения, описывающие динамику малых возмущений в частично ионизованной тепловыделяющей плазме, находящейся во внешнем магнитном поле с произвольным направлением вектора индукции. С помощью этих уравнений выведено дисперсионное соотношение для конденсационных мод и произведены расчеты их временных инкрементов в случае изобарической неустойчивости при наличии анизотропии коэффициента теплопроводности плазмы.

Ключевые слова: частично ионизованная плазма, тепловыделение, магнитное поле, анизотропия, конденсационная мода.

Частично ионизованная плазма составляет основной компонент планетных ионосфер, нижней солнечной атмосферы и протуберанцев, молекулярных облаков межзвездной среды. Дисбаланс процессов тепловыделения и охлаждения приводит к возникновению в таких средах изобарической или изоэнтропической тепловых неустой-чивостей [1-7]. Изобарическая неустойчивость отвечает за рост конденсаций в среде (конденсационная мода). Как показано в [7], при исследовании тепловых неустойчи-востей в межзвездном газе важно учитывать конечность частоты ионно-нейтральных столкновений. При этом для слабоионизованных сред можно рассматривать конденсации отдельно в ионной и нейтральной компонентах [7, 8]. Для тепловыделяющей плазмы с достаточно большой степенью ионизации нельзя исследовать конденсационные моды независимо в каждой из компонент - столкновения между ионами и нейтралами приводят к "перемешиванию" этих мод [9]. Причем наличие внешнего магнитного поля может приводить к анизотропии конденсационной неустойчивости, что объясняется за-

1 Самарский филиал ФИАН, 443011 Россия, Самара, ул. Ново-Садовая, 221; e-mail: theor@fian.smr.ru.

2 Самарский университет, 443086 Россия, Самара, Московское ш., 34.

висимостью параметров плазмы от направления вектора магнитной индукции. В [8, 9] нами было исследовано влияние внешнего магнитного поля и частоты нейтрал-ионных соударений на развитие конденсационной неустойчивости соответственно в слабоиони-зованном газе и в плазме с произвольной степенью ионизации. При этом использовалась так называемая двухжидкостная модель магнитной газодинамики, в которой плазма может быть представлена как смесь двух компонент - ионной и нейтральной, причем ионная компонента объединяет электроны и ионы [10]. В [9] предполагалось, что вектор индукции магнитного поля был перпендикулярен направлению, вдоль которого исследовались возмущения параметров плазмы. В настоящей работе с помощью двухжидкостной модели исследуется неустойчивость конденсационных мод в частично ионизованной тепловыделяющей плазме, находящейся в магнитном поле с произвольным направлением вектора индукции.

Система магнитогазодинамических уравнений для двухжидкостной частично ионизованной плазмы с источниками тепловыделения выглядит следующим образом [7, 10]:

Р* ( ^ +

-^Рг - рп»п,г(Уг - Уп) - -1 В х гоШ,

4п

^ дВ ->

+ 4{р№) = 0, = го1[У* х В], а1уВ = 0,

Су ^грг[ дТ- + ЙУТ^ - дР* + ВУР*) = -Р^г(РгТ) + У(КУТг),

Рг

кв ТгРг т*

(1)

дУп

дрп

Ри\ + ВпУ ВП | = -УР„ - Ри"и,г (Вп - В), -^Т + ^(Рп Вп) = 0, СукпРп[ + Вп^Тп) - -ВВТп\ дрП + Вп^Рп) = -рп^п(рп,Тп) + У(КпУТп),

дЬ

тп \ дЬ

р

п

кВ Тпрп

(2)

В (1)-(2) переменные с индексом "г" - это параметры ионной компоненты, а переменные с индексом "п" - параметры нейтральной компоненты, р, Т, Р - плотность, температура и давление соответственно, В , ВВ - вектора скорости и индукции магнитного поля, кв -постоянная Больцмана, Су, Су- высокочастотные теплоёмкости при постоянном объёме, тг, тп - средние молекулярные массы, ип,г - частота нейтрально-ионных столкновений, причем ип,г = 0,п,грг(Пп,г = {ау)/(тг + тп) - константа скорости соударений на

тп

единицу массы, а - сечение ионно-нейтральных столкновений, v - относительная скорость между частицами ионной и нейтральной компоненты, Ki, Kn - коэффициенты теплопроводности ионной и нейтральной компонент, Wi(pi,Ti), Wn(pn,Tn) - функции, описывающие тепловые потери, при этом W(p,T) = L(p,T) — Q(p,T), где Q(p,T) -удельная мощность нагрева, а L(p,T) - удельная мощность охлаждения. При записи уравнений (1)-(2) пренебрегалось влиянием диссипативных процессов, обусловленных наличием вязкости и конечной проводимости, а также влиянием теплопередачи между нейтральной и ионной компонентами.

Будем решать уравнения (1)-(2), используя методы теории возмущений. Предполагаем, что в начальный момент среда не движется. Запишем следующие разложения:

Pi = Pi0 + Pi, Pn = Pn0 + pn, Vi = Vi, Vn = Vn,

Ti = Ti0 + Ti, Tn = Tn0 + Tn, Pi = Pi0 + Pi, Pn = Pn0 + Pn, В = Bq + B, (3)

где Pi,n/Pi0,n0 ~ Ti,n/Ti0,n0 ~ Pi,n/Pi0,n0 ~ |Vi,nl/c^i,^n ~ |B|/|Bo| ~ £ << 1, c^i, c^n -высокочастотные скорости звука (см. ниже). В дальнейшем будем проводить исследования в декартовой системе координат x, у, z. При этом будем считать, что вектор индукции стационарного внешнего магнитного поля находится в плоскости x, z (т.е. B0 = Bx0x0 + Bz0z0 = B0 sin ax0 + B0 cos aZQ, где B0 - абсолютное значение вектора B0, а - угол наклона между стационарным магнитным полем и осью z, x0, Zz0 - единичные вектора. Далее будем рассматривать динамику возмущений только вдоль оси z. Таким образом, зависимостями от x и y можно пренебречь (d/dx = д/ду = 0). Также учтем, что в стационарных условиях для обеих компонент отток энергии уравновешен притоком тепла (т.е. Wi(pi0,Ti0) = 0, Wn(pn0,Tn0) = 0). Если теперь подставить выражения (3) в уравнения (1)-(2) и ограничиться только членами первого порядка малости, то можно получить следующие уравнения:

д I d2Bx 2 2 д2BX — c„ cos а-

m\ дг2

-"a

дz2

+ ^n,iP0

дВх

~8t

— Пn,iPioc2a cos2 а

д 2Bx дz2

'icv mi дг

+Cy oi

Bo sin а ( д3pi д2рЛ

+ nn,ipo )

Pi0

дг3

д^р дг2

д2р,

i c2

д2pi Pío дри

™ дz2 +Un>ipn0\ дг Pno дг

_P. _ 2 д2pi (др±_ Pi0 дргг

дг2 c0i дz2 +lín'ipn0\ дг Pno дг

+

(4)

KioTi д2

Pío dz2 B0 sin a

д 2pi кв Tío d2pi / др- _ pió дрп

dt2 mi dz2 n,iPn0 y ct pn0 Ct

4n

tícv

Vooi

C3B C2BX

--Г CV0i r, 2

Cz2

rC C

TncVoon ^.

Ct

+CV 0n KnóTn д2

pnó Cz2

п2 - c2

CtCz2

д 2pn

KióTi д4Bx

Cz4

Pió

(5)

д 2p. Ct2

C^p

Ct2 ~0n Cz2

д2pn квTno д2p,

Ct2

+ 0 . C/pí _ pio_ дррп

Cz2 +°n,ipn0[ Ct pnó Ct

+

n 2 д2pn , n {Cpi pió Cpn

c0n O 2 + 0n,ipnó \ rv ,

Ct pnó Ct

mn

_ 0 \ CPi _ po CPn

Cz2 On,ipn0\ Ct Pnó Ct

(6)

где

ca =

B0 „2

4npió

_ = kB Tió 2 = kB Tnó 2 = kB Tió 2 = kB Tnó

, Cooi To , Coon To , c0i Y0i , c0n Y0n

mi = kB Tío

Ti ~ , Tn

miQió

kB Tnó mnQnó

mn

, Yo

mi

CPooi CPoon

mn

CV

Vi

CV

Vn

CP 0i CP 0n

Yoí = t¡—, Yon =

CV

V oí

C

V 0n

kBwotí n _ kB(wotí - Wopi)

CV0i = -, CP0i = -,

mi

mi

_kBWóTn n _kB (WóTn - Wópn) CV 0n = , CP0n =

mn

mn

W _ Tió ÍCWi\r Pió (CWi

WóTi = Qió{ Ж) 0, Wópi = Qió\ ^

WóTn

Tn

nó

CWn

W

w 0 Pnó ( CWn

Qnó V CTn J 0 pn Qnó V CPn / ó Здесь Pó = Pnó + Pió, Cp oí = Cvoi + kB/mi, Cp^n = Cvon + kB /mn - высокочастотные теплоёмкости при постоянном давлении, Cv0i, Cp0i и Cv0n, Cp0n - эффективные низкочастотные теплоёмкости при постоянном объеме и давлении в тепловыделяющей среде [5, 11]. Также введены обозначения для скоростей волн: coi,con - высокочастотные скорости звука, ca - скорость альфвеновских волн. Величины tí и Tn - характерные времена нагрева, при расчете которых считается Qi0 = Qi(p0i, T0i), Qn0 = Qn(p0n, T0n). В (5)-(6) Kno = Kn(Tno), Kío = Kípo cos2 a + КШо sin2 a, Kípo = Kíp(Tío), КШо = K-N(Tío), где K-íp, Kín - коэффициенты теплопроводности ионной компоненты в направлении, параллельном и перпендикулярном вектору магнитного поля соответственно.

0

Решения уравнений (4)-(6), описывающие конденсационные моды, имеют вид:

Вх = Ав ехр(и + гкг),

рг = Аг ехр(и + гкг), рп = Ап ехр(и + гкг), (7)

где и - временной декремент/инкремент, к - волновое число. Подстановка в (4)-(6) выражений (7) позволяет получить следующее дисперсионное соотношение для конденсационных мод в частично ионизованной тепловыделяющей плазме:

Ог(и, к, а)Бп(и, к) = - прп2"п'г I ^Бг(и,к,а) +

к2 {Рп0

+

и , 2 2 _ (1 рп0^г

— + са сое а 1 - ^

к2 а \ и + р0Пг

Оп(и, к)\ +

Здесь:

+—рпоса со82 аБг(и, к, 0) \в,п(и, к) + ^рго^п,г] . (8)

и + ро^п,г 1 к2 -I

п, , , квТго СР0г + иТгСр^ + к2^ сд С082 а + ^ , 'и2

Ог(и, к, а) =--£--+ —,

^ тг Суог + иТгСу ^ + к2 ^ сд + ^ к2'

квТп0 Ср0п + иТп Ср^п + к2 Кп^ и! тп Су0п + иТп С^ооп + к2 ^^ к2'

Рп О

При этом Бг(и, к, а) = 0 и Пп(и,к) = 0 - это дисперсионные соотношения, описывающие конденсационные моды в полностью ионизованной (рп0 = 0) тепловыделяющей плазме, находящейся во внешнем магнитном поле, и в нейтральном (рг0 = 0) тепловыделяющем газе, соответственно. Дисперсионное соотношение (8) для произвольной степени ионизации с учетом угловой зависимости получено впервые.

Как показано в [9], в частично ионизованной плазме нельзя отдельно рассматривать конденсационные моды ионной и нейтральной компонент. Действительно, при определенном значении волнового числа к = kj неустойчивость конденсационной моды с временным инкрементом и = Uj возникает в случае существования положительного действительного корня Uj уравнения (8) для к = kj. При этом, обе амплитуды Аг и Ап в выражениях (7) будут отличны от нуля, а их отношение будет следующим:

Аг _ рг0 + к2 Вп(и^, ^ )

Ап рп0 рп0^п,г

Как и в [9], мы будем называть конденсационные моды в частично ионизованной плазме модифицированными ионными и нейтральными модами.

Аналогично [7-9] нами были проведены расчеты зависимостей нормализованных временных инкрементов конденсационных мод n* = n/(crnknp) от величины нормализованного волнового числа k* = k/knp, где knp = mn(Yr — 1)(Cy0n-Cp0n)/(kBcrnTn). С этой целью численно решалось уравнение (8) при различных k и выбирались действительные корни, равные временным инкрементам n конденсационных мод в исследуемых условиях. Расчеты проводились для следующих условий [7, 9]: Yr = 5/3, mi = mn/2, Ti0 = Tn0, kip = mi(Yr — 1)(CV0i — Cpoi)/(kBcriTi) = knp/2, Cpon = -Cyon < 0, Cpoi = -Cy0i < 0, KiPomi(jr - 1)kip/(kBc^iPio) = K,nom,n(Yr - 1)knp/(kBCrnPno) = 0.01 при значении нормализованной суммарной частоты ионно-нейтральных и нейтрально-ионных столкновений Qn,i(Pno + Pio)/(c rnknp) — 10 (полагалось, что po — const). В настоящей работе предполагалось, что магнитное поле достаточно сильное, чтобы вызывать сильную анизотропию коэффициента теплопроводности ионной компоненты: KiN0 = 0.01 Kip0.

0 2468 10 0 2468 10

к* к*

Рис. 1: Расчетные зависимости нормализованного инкремента конденсационных мод частично ионизованной плазмы от нормализованного волнового числа при са/с!хп = 1 для а = 0° (сплошные кривые), а = 45° (штриховые кривые) и а = 90° (штрихпунк-тирные кривые) при х = 0.2 (а) и х = 0.8 (б).

На рис. 1 представлены полученные нами зависимости и* от к* при различных значениях степени ионизации плазмы х = ри0/р0: X = 0.2 (рис. 1(а)) и х = 0.8 (рис. 1(б)) для са/с(хп = 1 при а = 0°, а = 45° и а = 90°. Верхние кривые на рис. 1 соответствуют модифицированной нейтральной конденсационной моде, нижние кривые - модифицированной ионной конденсационной моде. Как видно из рис. 1, с увеличением угла а область неустойчивости (и > 0) модифицированной ионной моды увеличивается, что обусловлено уменьшением коэффициента теплопроводности ионной компоненты Кц0 с

ростом a. Временные инкременты модифицированной нейтральной моды при каждом значении k в области неустойчивости уменьшаются с увеличением степени ионизации, а соответствующие временные инкременты модифицированной ионной моды возрастают. Зависимость временных инкрементов от направления магнитного поля не является монотонной. Это связано с тем, что перпендикулярное магнитное поле, с одной стороны, максимально уменьшает инкремент, а с другой стороны, ионная теплопроводность в этом направлении минимальна. С уменьшением угла влияние магнитного поля на инкремент быстро уменьшается, в то время как ионная теплопроводность растет медленнее. Поэтому, например, на рис. 1 максимальному инкременту модифицированной ионной конденсационной моды соответствует a = 45°.

Таким образом, в настоящей работе проведено исследование изобарической (конденсационной) неустойчивости в частично ионизованной тепловыделяющей плазме, находящейся в магнитном поле с произвольной ориентацией. Были получены линейные уравнения, описывающие тепловую неустойчивость в плазме с любой степенью ионизации, и найдено дисперсионное соотношение для конденсационных мод. С использованием данного соотношения проведены расчеты зависимостей временных инкрементов конденсационных мод от волнового числа при различных значениях степени ионизации плазмы и направления вектора индукции внешнего магнитного поля. Результаты расчетов показывают наличие сильной анизотропии изобарической неустойчивости в исследуемых случаях.

Работа частично поддержана Министерством образования и науки РФ в рамках государственных заданий ФИАН (проект 0023-2016-0002), вузам и научным организациям в сфере научной деятельности (проект № 3.1158.2017/4.6).

ЛИТЕРАТУРА

[1] J. L. Ballester, I. Alexeev, M. Collados, et al., Space Science Reviews 214, 58 (2018).

[2] J. L. Ballester, M. Carbonell, R. Soler, J. Terradas, Astron. & Astrophys 609, А6 (2018).

[3] G. B. Field, Astrophysical journal 142, 531 (1965).

[4] R. Chin, E. Verwichte, G. Rowlands, V. M. Nakariakov, Physics of Plasmas 17, 032107 (2010).

[5] N. E. Molevich, D. I. Zavershinsky, R. N. Galimov, V. G. Makaryan, Astrophysics and Space Science 334, 35 (2011).

[6] K. V. Krasnobaev, R. R. Tagirova, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 469, 1403 (2017).

[7] T. Fukue, H. Kamaya, Astrophysical journal 669, 363 (2007).

[8] Д. И. Завершинский, Н. Е. Молевич, С. Ю. Пичугин, Д. С. Рящиков, Краткие сообщения по физике ФИАН 44(10), 35 (2017).

[9] Н. Е. Молевич, С. Ю. Пичугин, Д. С. Рящиков, Д. И. Завершинский, Краткие сообщения по физике ФИАН 45(9), 17 (2018).

[10] T. V. Zagarashvili, M. L. Khodachenko, H. O. Rucker, Astron. & Astrophys 529, А82 (2011).

[11] N. E. Molevich, D. I. Zavershinskiy, D. S. Ryashchikov, Magnetohydrodynamics 52, 191 (2016).

Поступила в редакцию 14 июня 2019 г.

После доработки 16 декабря 2019 г.

Принята к публикации 17 декабря 2019 г.